6 boi duong HS gioi toan6 10

Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số: a Có một chữ số b có hai chữ số c Là số chẵn.. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.. b Tồn tại hay không một số tự nhiên có

CHUYÊN ĐỀ: SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG.

**********

* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.

Bài toán 1: Tính các tổng sau.

a) 1 2 3 4 n     b) 2 4 6 8 2.n    

c) 1 3 5 (2.    n1) d) 1 4 7 10 2005     

e) 2+5+8+……+2006 g) 1+5+9+….+2001

Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: A       1 2 4 8 16 8192

Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số

b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số

Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+….+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.

b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 1 2 3     n 2004

c) Chứng minh rằng: (1 2 3     n) 7 không chia hết cho 10  �n N

Bài toán 5: a) Tính nhanh 1.2 2.3 3.4 1999.2000   

b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh B 1.1 2.2 3.3 1999.1999    

c) Tính nhanh : C1.2.3 2.3.4 48.49.50.  

Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trường hợp tổng quát

Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:

a) 3;8;15;24;35; b) 3; 24;63;120;195; c) 1;3;6;10;15; d) 2;5;10;17; 26; e) 6;14;24;36;50; g) 4; 28;;70;130;

Bài toán 7: Cho dãy số 1;1 2;1 2 3;1 2 3 4;      

Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?

Bài toán 8: Cho S1  1 2;S2   3 4 5;S3    6 7 8 9;S4     10 11 12 13 14; Tính S100

*

Các bài toán về tập hợp.

Bài toán 10: Cho a) A 1; 2 ; B1;3;5 b) A x y, ; Bx y z t, , , 

Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B

Bài toán 11: Cho a) Ax N x� M M2; 3;x x100 b) Bx N x� M6;x100

Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử

Bài toán 12: Cho C353535 D478478478

a) Viết tập hợp P các chữ số trong C và tập hợp Q các chữ số trong D bằng cách liệt kê phần tử.b) Bằng cách liệt kê phần tử hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó 2 phần tử thuộc P và một phần tử thuộc Q

Bài toán 13: Cho a) Ax N x ab a�  ; 3.b b) B �x N 20Mx

c) C � Σx N x 11.n 3;n N x; 300

Xác định các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử

Bài toán 14: Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng.

a) A1; 4;9;16; 25;36; 49;64;81;100 b) B2;6;12;20;30;42;56;72;90

CHUYÊN ĐỀ: TẬP HỢP , TẬP HỢP CON - ÁP DỤNG.

Bài toán 1: Cho tập hợp Aa b c d e, , , ,  .

a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?

d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?

Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường hợp

Bài toán 4: Cho các tập hợp A1; 2;3; 4 ; B3; 4;5

Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B

Bài toán 5: Cho tập hợp A1; 2;3; 4

a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn

b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A

Bài toán 6: Chứng minh rằng nếu A�B B; �D thì A�D

Bài toán 7: Có thể kết luận gì về hai tập hợp A, B nếu biết:

a)  �x B thì x A� b) �x A thì x B� ,  �x B thì x A�

Bài toán 8: Cho tập hợp K 5;6;7;8 Viết các tập hợp con của tập hợp K sao cho các phần tử

của nó có ít nhất một số lẻ, một số chẵn

Bài toán 9: Cho H là tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.

a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H b) CMR: H �K

c) Tập hợp M có số phần tử sao cho H �M M; �K

+ Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử ? nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

+ Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mãn điều kiện trên

Bài toán 10: Cho tập hợp M 30; 4; 2005; 2;9 Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:

a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn

Bài toán 11: Cho Ax N x� M M2; 4;x x100 ; Bx N x� M8;x100

a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B

b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?

Bài toán 12: Cho a�18; 42;60 , b�35;52

Hãy xác định tập hợp M a b 

Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.

a) CMR: B�A

b) Viết tập hợp M sao cho B�M M, �A Có bao nhiêu tập hợp M như vậy

Bài toán 14: Cho A � Σx N x 7.q 3;q N x; 150

a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A

Bài toán 15: Cho M 1;13; 21; 29;52 Tìm x y M; � biết 30  x y 40

CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG

Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.

a) Viết tập hợp A b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A

Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 0   a b c.

a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên

b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448 Tìm ba chữ số a, b, c nói trên

Bài toán 3: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp để được kết quả đúng.

a) ab bc ca abc   b) abc ab a  874

c) abcd abc ab a   4321 d) **.** *** (2 thừa số ở vế trái chẵn và tích là số

có ba chữ số như nhau)

Bài toán 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0 Lập số lớn nhất và số nhỏ nhất có

bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên Tổng của hai số này bằng 11330 Tính tổng: a b c d  

Bài toán 5: a) Có hay không một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho nó cộng với số gồm 4 chữ số

ấy viết theo thứ tự khác được tổng bằng 999

b) Tồn tại hay không một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự khác được tổng bằng 999 ?

Bài toán 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số của số

đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu

Bài toán 7: Tìm kết quả của các phép nhân

Bài toán 8: Tổng của hai số có ba chữ số là 836 Chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5, của số

thứ hai là 3 Nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp hai lần số kia Tìm hai số đó

Bài toán 9: Chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số

như nhau ta được thương là 2, còn dư Nếu xoá một chữ số ở số bị chia và xoá một chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhương số dư giảm hơn trước là 100 Tìm số bị chia

và số chia lúc đầu

Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A2005 1005 : (999 x) với x N�

Bài toán 11: Người ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,… Hỏi chữ số thứ

Bài toán 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục

với chữ số hàng đơn vị Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và

dư 2 Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cùng là 1

Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= 11 122 2{n c.s1 123

n c.s2 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 100

chữ số 6 Hãy tính tích A.B

CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG.

**********

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau

Bài toán 13: Tìm x N� biết

a) 2 4 128x  b) x15 x c) (2x1)3 125 d) (x5)4  (x 5)6 e) x10 1x g) 2x 15 17

Bài toán 15: Tìm n N� biết: a) 9 3 n 81 b) 25 5� �n 125

CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG (TIẾP THEO)

**********

Bài toán 16: Tính giá trị của các biểu thức

n  g) 1 5

.2 4.2 9.22

Cho C    4 22 23 22005 CMR: C là một luỹ thừa của 2

Bài toán 23: Chứng minh rằng:

a) 55  M54 5 73 b) 76  M75 7 114 c) 10910810 2227M

e) 106 M5 597 g) 3n 22n 2 3n 2 10nM  �n N*

h) 817279  M9 4513 i) 810  M89 8 558 k) 109 10810 5557M

Bài toán 24: a) Viết các tổng sau thành một tích: 2 2 2 ; 2 2 2 23 ; 2 2  2 23 24

b) Chứng minh rằng: A   2 22 23 2 2004 chia hết cho 3; 7 và 15.

Bài toán 25: a) Viết tổng sau thành một tích 34   35 36 37

* Chú ý: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

- Một số chính phương có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không có tận cùng là 2; 3; 7; 8

Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 2007.2009.2011 2017 2002.2004.2006.2008 

Bài toán 3: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng như nhau.

a) 11a và a (a N� ) b) 7a và 2a (a là số chẵn)

Bài toán 4: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10

a) 481n 19991999 b) 16200182000 c) 192005112004 d) 81022102 e)1752441321 g) 12200421000

Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số: 22003 và 32003; 195 2005; 7

5

234 ; 5

6579

Bài toán 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng 5 5  2 53 5 96

Bài toán 7: Chứng minh rằng số 1 20042006 9294

Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 7199841998

Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phương không ?

a) 1088 b) 100! 7  c) 101001050 1

CHUYÊN ĐỀ: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG

(TIẾP THEO)

=====    =====

* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

b) 20042005 ; 19942004 ; 8 28205 205 ; 894895 896; 112006

20

2004 ; 51954

7194

Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau

a) 20022001 2004 ; 19922000 2005 ; 83

81

72 ; b) 20032004 2005 ; 1932001 2004; 62006

2183

c) 19972000 2006 ; 105110

101

27 ; 20022003

20012007

d) 1998200 2000 ; 24201 205.42201 205 ; 20032005

2001198

Bài toán 4:

Cho A    20 21 22 22005Tìm chữ số tận cùng của A Chứng tỏ rằng A không là số chính phương

Bài toán 5:

Cho B    5 52 53 596a) Chứng minh rằng BM96

Cho ;a b N b ; 0 Nếu có số tự nhiên k sao cho a b k ta nói a chia hết cho b

Kí hiệu: a bM đọc là: a chia hết cho b hoặc b chia hết a; hoặc a là bội của b hoặc b là ước của a

2 Tính chất chia hết của một tổng:

a) Tính chất 1: a mM ; b m a+b mM � M

+ Chú ý: 1) Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu a b � : a mM ; b m a- b mM � M

2) Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng: a m a m1M; 2M; ;a m nM �a1  a2 a m nM b) Tính chất 2: Nếu a không chia hết cho m; b chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m

+ Chú ý: - Tính chất 2 đúng với một hiệu a>b

- Tính chất 2 đúng với một tổng nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m

3 Các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9.

a Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những

số đó mới chia hết cho 2

b Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó

mới chia hết cho 5

c Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 9

d Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 3

e Các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; 25; 125

II Bài tập áp dụng.

Bài toán 1: Chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c

Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu a mM �k a m M ( k N� )

Bài toán 3: Chứng minh rằng: a) ab ba M b) 11 ab ba M với a>b9

Bài toán 4: Chứng minh rằng:

a) S     1 2 22 239 là bội của 15 b) T 1257259 là bội của 124

c) M     7 72 3 72000M d) 8 P a a    2 a3 a2nMa1; ,a n N�

Bài toán 5: Cho a c M và b cM Chứng minh rằng: ma nb c ma nb c m n N M;  M; , �

Bài toán 6: CMR: tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp

không chia hết cho 5

Bài toán 7: CMR: a) tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6,

b) tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho 6

Bài toán 8: Tìm n N� để

a) n M b) 4.6 n n  M c) 38 3n n5 n  M

d) n5Mn1 e) 3n4Mn1 g) 2n1 16 3M  n

Bài toán 9: Cho ;a b N� và a b M Chứng minh rằng: 47 a M3 7b

Bài toán 10: CMR:a) �n N thì {

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN - ÁP DỤNG.

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT

=====    =====

Phương pháp 1: để chứng minh A bM (b� 0) Ta biểu diễn A b k trong đó k N�

Bài toán 1: Cho n N� Chứng minh rằng: (5 )n 100M125

Bài toán 2: Cho A  2 22 2 2004 Chứng minh rằng:

n n

Bài toán 8: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120

(Chú ý: Các bài toán trên đây được sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại)

Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) (5n7)(4n6) 2M �n N

b) (8n1)(6n5) không chia hết cho 2 �N

Bài toán 10: Chứng minh rằng: A n n ( 1)(2n1) 6M �n N

Bài toán 11: a) Cho n N� Chứng minh rằng: n2M3 hoặc n2 chia 3 dư 1

b) CMR: Không tồn tại n N� để n2 1 300 0

Bài toán 12: Chứng minh rằng: m n N, � ta luôn có m n m ( 2n2) 3M

Bài toán 13: Chứng minh rằng: (n20052006)(n20062005) 2M �n N

Bài toán 14: CMR không tồn tại n N� để 2

15 2004

1 20042004 2004

so

n   1 4 442 4 4 43

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP)

=====    =====



Phương pháp 4: Để chứng minh A bM Ta biểu diễn b dưới dạng b m n Khi đó

+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh A mM và A nM � MA m n hay A bM

+ Nếu ( ; ) 1m n �ta biểu diễn A a a 1 2 rồi tìm cách chứng minh a m a n1M; 2M thì tích

1 2

a a m nM tức A bM

Bài toán 1: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6

c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24

d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

Bài toán 2 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a2 M1 6

Bài toán 3: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48

c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384

Bài toán 4: : Chứng minh rằng: B10n 18n M1 27

Bài toán 5: Chứng minh rằng:

a) 10n36n1 27M  n N n; 2b) số {

Phương pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết

Bài toán 6: Chứng minh rằng: 1020006 M8 72

Bài toán 11 : Chứng minh rằng (2101) 2510M

Bài toán 12: Cho số tự nhiên ab bằng ba lần tích các chữ số của nó

a) Chứng minh rằng: b aM

b) Giả sử b=k.a Chứng minh rằng k là ước của 10

c) Tìm các số ab nói trên

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP)

Chứng minh rằng nếu ab cd M11 thì abcdM11

Bài toán 9 : Cho hai số tự nhiên abc và deg đều chia 11 dư 5 Chứng minh rằng số abcdeg 11M

Bài toán 10 :

Cho abcdeg 13M Chứng minh rằng: abcdeg 13M

Bài toán 11:

Cho biết số abcM7.Chứng minh rằng: 2a  M3b c 7

Bài toán 12 : Cho số abcM4 trong đó a, b là các chữ số chẵn Chứng minh rằng:

Bài toán 16: Chứng minh rằng: 9.10n M18 27  �n N

Bài toán 17: Chứng minh rằng: nếu abcdM99 thì ab cd M99 và ngược lại

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT TRONG TẬP SỐ TỰ NHIÊN

ÔN TẬP TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT (TIẾP)

Bài toán 1: Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a chia hết cho b và b chia hết cho a Bài toán 2: Tìm số tự nhiên n sao cho các phân số sau có giá trị là số tự nhiên

n n



 c)

3 151

n n

n n



