Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình Học Phần 1

Nhaèm muïc ñích giuùp caùc em hoïc sinh Trung hoïc Phoå Thoâng vaø caùc ñoäc giaû: –Phöông phaùp suy nghó, suy luaän Toaùn. –Phöông phaùp vaän duïng kieán thöùc giaùo khoa vaøo baøi taäp.–Cung caáp kó naêng vaø ñöùc tính kieân trì, caàn maãn khi giaûi toaùn.Toâi bieân soaïn cuoán saùch naøy.Saùch ñöôïc vieát tæ mæ, coâng phu, kó löôõng; do soá löôïng kieán thöùc vaø baøi taäp nhieàu neân ñöôïc chia thaønh 2 cuoán:Cuoán I: Boài döôõng hoïc sinh gioûi Hình hoïc giaûi tích trong maët phaúng bao goàm: phöông phaùp toïa ñoä trong maët phaúng, ñöôøng thaúng, ñöôøng troøn, elip, Hình hoïc giaûi tích trong maët phaúng: hyperbol, parabol vaø caùc baøi toaùn toång hôïp.Cuoán II: Boài döôõng hoïc sinh gioûi Hình hoïc giaûi tích trong khoâng gian: vectô, phöông phaùp toïa ñoä trong khoâng gian, maët phaúng, ñöôøng thaúng, maët caàu vaø ñöôøng troøn trong khoâng gian.Phöông phaùp giaûi ngaén goïn, ñôn giaûn, deã hieåu vaø chæ söû duïng caùc kieán thöùc cho pheùp duøng trong saùch giaùo khoa hieän haønh; tröôùc moãi muïc ñeàu coù toùm taét caùc kieán thöùc cô baûn vaø caùc kó naêng caàn coù. Hy voïng raèng cuoán saùch naøy seõ laø taøi lieäu tham khaûo quí baùu cho taát caû caùc em hoïc sinh vaø caùc ñoäc giaû muoán töï hoïc, töï boài döôõng moân Hình Hoïc.

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm mục đích giúp các em học sinh Trung học Phổ Thông và cácđộc giả:

– Phương pháp suy nghĩ, suy luận Toán

– Phương pháp vận dụng kiến thức giáo khoa vào bài tập.– Cung cấp kĩ năng và đức tính kiên trì, cần mẫn khi giảitoán

Tôi biên soạn cuốn sách này

Sách được viết tỉ mỉ, công phu, kĩ lưỡng; do số lượng kiến thứcvà bài tập nhiều nên được chia thành 2 cuốn:

Cuốn I: Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích trong

mặt phẳng bao gồm: phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đườngthẳng, đường tròn, elip, Hình học giải tích trong mặt phẳng:hyperbol, parabol và các bài toán tổng hợp

Cuốn II: Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học giải tích trong

không gian: vectơ, phương pháp tọa độ trong không gian, mặt phẳng,đường thẳng, mặt cầu và đường tròn trong không gian

Phương pháp giải ngắn gọn, đơn giản, dễ hiểu và chỉ sử dụngcác kiến thức cho phép dùng trong sách giáo khoa hiện hành; trướcmỗi mục đều có tóm tắt các kiến thức cơ bản và các kĩ năng cần có

Hy vọng rằng cuốn sách này sẽ là tài liệu tham khảo quí báu cho tấtcả các em học sinh và các độc giả muốn tự học, tự bồi dưỡng mônHình Học

Chân thành chúc các em học sinh và các độc giả thành công saukhi sử dụng sách

TÁC GIẢ

C D

A TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Vectơ trong không gian

ABuuur: A: điểm đầu, B: điểm cuối

: giá của ABuuur, : giá của CDuuur

AB

uuur

= AB: độ dài ABuuur

ABuuur = CDuuur  có cùng phươngAB CD



uuur uuur

ABuuur và CEuur đối nhau  có cùng phương, ngược hướngAB CE



uuur uur

 Các hệ thức và quy tắc cần nắm vững:

+ Quy tắc xen điểm: ABuuur = ACuuur + CBuur, ABuuur = OBuuur – OAuuur

+ Hệ thức trung điểm: O là trung điểm AB thì MAuuur + MBuuur = 2MOuuur + Hệ thức trọng tâm tam giác ABC: GAuuur + GBuuur + GCuuur = Our

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện ABCD: GAuuur + GBuuur + GCuuur + GDuuur = Our + Quy tắc hình bình hành:

ABuuur + ADuuur = ACuuur

ADuuur – ABuuur = BDuuur

+ Quy tắc hình hộp

ABuuur + ADuuur + AAuuur = ACuuur

 ar, br, cr đồng phẳng khi:

– Các giá của ar, br, cr cùng

thuộc một mặt phẳng ()

– m, n  ¡ : ar = mbr + ncr

 Hệ thức giữa dr và ba vectơ không đồng phẳng ar, br, cr cho trước:

dr= m.ar + n.br + p.cr (m, n, p  ¡ và duy nhất)

E

A

B

CD





K

ML

xMx

r r br = 0

ar, br, cr đồng phẳng  a, b 

r r cr = 0Các hệ quả: * SABC = 1 AB, AC

2  uuur uuur

* Thể tích hình hộp ABCD.ABCD = AB, AC AA  

uuur uuur uuur

* Thể tích tứ diện ABCD: V = 1 AB, AC AD

6  uuur uuur uuur

* Phương trình mặt cầu tâm I (a, b, c) bán kính R:

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

* x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 là phương trình mặtcầu tâm I (a, b, c), bán kính R = a2 b2 c2  d (a2 + b2 + c2 > d)

B ĐỀ TOÁN VÀ LỜI GIẢI

Bài 1 Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD.

Chứng minh AB CD AD CB 2MNuuur uuur uuur uur  uuur

Giải

N là trung điểm BD: MB MD 2MNuuur uuur  uuur

 MA AB MC CD 2MNuuuruuur uuur uuur uuur

 MA MC AB CD 2MNuuuruuur uuuur uuur uuur

 0 AB CD 2MNruuur uuur  uuur

 AB CD 2MNuuur uuur  uuur

(1)Từ (1): AD DB CB BD 2MNuuur uuur uur  uuur uuur

uuur uur uuur uuur uuur

uuur uur uuur

Bài 3 Gọi P và Q lần lượt là các trung điểm của các cạnh AC, BD của tứ diện

ABCD Chứng minh rằng AB AD CB CD 4PQuuur uuur uur  uuur uuur

A

PB PD 2PQuur uur  uuur

 PA AB PC CD 2PQuuur uuur uur  uuur uuur

 AB CDuuur uuur PA PCuuur uur  2PQuuur

 AB CD 0 2PQuuur uuur r   uuur

 AB CD 2PQuuur uuur  uuur

(1)Từ (1)  AD DB CB DB 2PQuuur uuur uur  uuur uuur

 AD CBuuur uur DB DBuuur uuur  2PQuuur

 AD CB 2PQ 

uuur uur uuur

(2)Cộng từng vế (1) và (2): AB AD CB CD 4PQuuur uuur uur  uuur uuur

Bài 4 Trong không gian cho hai tam giác ABC, ABC có trọng tâm G, G.

Chứng minh AAuuurBBuuurCCuuur3GGuuur

uuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuuur

AAuuurBBuuurCCuuurAG BG CGuuur uuur uuur   3GGuuurG Auuuur G Buuuur uuuur G C 

Bài 5 Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi K là giao điểm của AC và mặt

phẳng (BDA) Chứng minh KAuuurKBuuurKD 0uuurr

Giải

Trong mp (ACCA), AC cắt AO tại K

(O là tâm đáy ABCD)

 KOA ∽  KAC theo tỉ số đồng dạng

 K là trọng tâm  ADB

 KAuuurKBuuurKD 0uuurr

Bài 6 Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng và M là

một điểm di chuyển

a) Chứng minh rằng vectơ vuuurM 2MA MB 3MCuuur uuur  uuur

bằng một véctơ vr khôngphụ thuộc vào vị trí của M

b) P là điểm sao cho AP vuuurr

Đường thẳng AP cắt BC tại U

Chứng minh UB 3UCuuur uuur

.c) Chứng tỏ rằng khi M di chuyển trong mặt phẳng () qua tâm I của đường

I

D

C B A

tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với vectơ vr thì biểu thức:2MA2 + MB2 – 3MC2 không đổi

Giải

a) 2MA MB 3MCuuuruuur  uuur

= 2 MA MCuuur uuur  MB MCuuur uuur

= 2CA CB vuuur uur r không phụ thuộc vị trí của M

b) Trên tia AC, đặt điểm D sao cho C là trung diểm AD thì AD 2ACuuur  uuur

Từ D, vẽ DP BCuuuruuur

thì AP AD DP 2AC BC vuuuruuur uuur  uuur uuur rĐặt CU = x  BC = 2x  UB = 3x  UB 3UCuuur uuur

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC thì IA = IB = IC

2MA2 = 2MI IAuur uur

2 = 2MI2 + 4 MI.IAuur uur + 2IA2

= 2 MI.vuur r= 0 do M  () thì MIuurvr

Bài 7 Cho hình hộp ABCD.ABCD

a) Chứng minh rằng AC A C 2ACuuuruuur  uuur

b) Xác định vị trí của điểm O sao cho

OA OB OC OD OAuuur uuur uuur uuur uuur    OBuuurOCuuurODuuur0r

c) Chứng minh rằng với mọi điểm M trong không gian, ta có:

MA MB MC MD MAuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuurMB MC MD 8MOuuur

Giải

a) Là hình hộp nên bốn đường chéo AC,

CA, BD, DB đồng quy tại trung điểm

O của mỗi đường

Trong hình bình hành ACCA

OA OB OC OD OAuuur uuur uuur uuur uuur    OBuuurOCuuurODuuur0r

c) O là trung điểm AC  MA MCuuur uuuur2MOuuur

O là trung điểm BD  MB MDuuur uuuur2MOuuur

O là trung điểm CA  MC MAuuuruuuur2MOuuur

O là trung điểm DB  MD MBuuur uuuur2MOuuur

 MA MB MC MD MAuuuruuuruuuruuuruuuur uuuur uuuur uuuurMBMCMD8MOuuur

Bài 8 Cho tứ diện ABCD M, N là hai điểm sao cho MA kMC 0uuur uuur r

Gọi E là trung điểm AB, F là trung điểm

CD thì E, F cố định I là trung điểm MN thì:

N

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

GA GB GC GD 4GAuuur uuur uuur uuur    uuurA A 0uuur r

 4GA 1A A

4

uuur uuur

 G  AA và duy nhất

Bài 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Xác định vị trí

của điểm O sao cho OS OA OB OC OD 0uur uuur uuur uuur uuur   r

Giải

Gọi I là giao diểm của hai đường chéo

AC và BD của đáy

OS OA OB OC OD 0uuruuur uuur uuur uuur   r

 OS 2OI 2OI 0uur uur uur r

 OS 4OI 0uur uur r

 S, O, I thẳng hàng và OSuur   4OIuur

 OSuur   4IOuur

: điểm O  SO sao cho OS = 4OI

Bài 11 Cho ba điểm cố định A, B, C không thẳng hàng Tìm tập hợp các điểm

M trong không gian sao cho MA MB MCuuuruuur uuur 2MA MB MCuuur uuur uuur

Giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì:

MA MB MC  2MA MB MC 

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

 MG GA MG GB MG GCuuuruuur uuur uuur uuur uuur 3MAuuur MA MB MCuuuruuur uuur

 3MGuuur 3MA 3MGuuur uuur

 3 MGuuur 3 GAuuur  MGuuur GAuuur

 Tập hợp điểm M là mặt cầu tâm G, bán kính bằng AG

Bài 12 Cho hình hộp ABCD.ABCD Chứng minh rằng hình hộp này là hình

hộp chữ nhật khi và chỉ khi:

AB AD AAuuur uuur uuur   AB AD AAuuur uuur uuur   AB AD AAuuur uuur uuur    AB AD AAuuur uuur uuur  

C B

A

D

B' A'

G

B O

uuur uuur uuur  uuur  uuur uuur 

 Hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau là hình hộp chữ nhật

Bài 13 Cho tứ diện OABC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Hãy phân tích

các véctơ OG, GA, GB, GCuuur uuur uuur uuur theo ba véctơ OA, OB, OCuuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

theo a, b, cr r r, m, n

b) Xác định m, n để MN // BD

c) Tính độ dài của đoạn thẳng MN

c b

a A

uuur uuuur uuur

B N B Duuur uuuur uuur D N

CDuuurCN NDuuur uuur  n.NDuuurNDuuurND (1 n)uuur 

Bài 15 Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi

một, OA = OB = OC M là điểm sao cho nửa đường thẳng OM tạo với tia

OC một góc gằng 45o, tạo với hai tia OA, OB thành hai góc nhọn bằng nhau;

OMuuur OA

Hãy phân tích OMuuur theo OA, OB, OCuuur uuur uuur

Giải

Gọi Ox là tia phân giác của góc vuông

AOB Với các giả thiết về vị trí điểm M thì

M  mp (OC, Ox)

Từ M, hạ MH  (OAB): H  Ox

Từ H, kẻ HI  OA, HK  OB thì do

MOA MOB  HI = HK, OIHK là một

hình vuông ·MOI = 45o  ·MOH = 45o

Tam giác vuông cân OMH cho OM = OM2 OA2

Từ M kẻ ML  OC

Tam giác vuông cân OML cho OL = OM OA

2  2 .Tam giác vuông cân IOH cho OI = OH OA2

OA2

uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 16 Cho hình tứ diện OABC Đặt v OA OC,r uuur uuur

1

v  (1 a)OA aOB aOC 

uur uuur uuur uuur

,

2 2

v OA OB a OC 

uur uuur uuur uuur

(a  0) Định a để ba vectơ v, v , vr uur uur1 2 đồng phẳng

x

L

HO

1 2

v, v , vr uur uur đồng phẳng  m, n  ¡ để v m.vr  uur1 n.vuur2

 OA OC m(1 a).OA m.a.OB m.a.OC n.OA n.OB n.a OCuuur uuur   uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur

 OA 0.OB OC (m ma n)a (ma n)b (ma na )OCuuur uuur uuur    r  r   2 uuur

(*) trở thành 8cos3t – 6cost + 1 = 0  2(4cos3t – 3cost) + 1 = 0

 2cos3t = –1  cos3t = 1 cos2

a) Chứng minh ba vectơ u, v, wr r ur đồng phẳng

b) Định x để p, q, rr r r đồng phẳng

Để p, q, rr r r đồng phẳng   m, n  ¡ sao cho p mq nrr  r r

Bài 18 Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng O

là một điểm bất kì Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi vàchỉ khi có 4 số thực , , ,  sao cho:        

       



0uuur uuur uuur uuur

Giải

A, B, C, D đồng phẳng  tồn tại các số thực , ,  sao cho

uuur uuur uuur r

 OB OAuuur uuur  OC OAuuur uuur   OD OAuuur uuur  0r

      OAuuur OBuuur OCuuur OD 0uuurr

Đặt:  = –  –  –    +  +  +  = 0 thì

uuur uuur uuur uuurr

Bài 19 Trong không gian tọa độ Oxyz cho các vectơ: ur= (1; 2; 3), vr= (3; –1; 2),

wur= (2; 3; –1); pr= (9; –3; 7), qr= (1; 8; 8), rr= (5; –5; 1)

Chứng minh rằng: a) u, v, wr r ur không đồng phẳng

b) p, q, rr r r đồng phẳng

Giải

Bài 21 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ:

ar = (–2; 3; 1), br = (5; –7; 0) cr= (3; –2; 4)

a) Chứng tỏ a, b, cr r r không đồng phẳng

b) Phân tích vectơ dr= (3; –2; 1) theo ba vectơ a, b, cr r r

 m = 337 ; n = 715  d 33a 15b 10c

Bài 22 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ: ur= (1; cos c; cos b);

vr= (cos c; 1; cos a); wur= (cos b; cos a; 1) Tìm hệ thức giữa a, b, c để u, v, wr r urđồng phẳng

 cosa.cosb.cosc – cos2b + cosa.cosb.cosc – cos2a + 1 – cos2c = 0

 1 + 2cosa.cosb.cosc = cos2a + cos2b + cos2c

 1 – cos2a – cos2b = cos2c – 2cosa.cosb.cosc

 1 – cos2a – cos2b + cos2acos2b = cos2a.cos2b – 2cosa.cosb.cosc + cos2c

 (1 – cos2a) – cos2b (1 – cos2a) = (cosa.cosb  cosc)2

 (1 – cos2a) (1 – cos2b) = (cosa.cosb  cosc)2

 sin2a.sin2b = (cosa.cosb – cosc)2

 cosa.cosb – cosc =  sina.sinb  cosa.cosb msina.sinb = cosc

 cos (a  b) = cos c  a  b =  c + k2

Bài 23 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ

pr= (b + c; bc – 1; (b2 + 1)(c2 + 1))

= ((bc – 1)(c2 + 1)(a2 + 1) – (ca – 1)(b2 + 1)(c2 + 1); (c + a)(b2 + 1)(c2 + 1)

– (b + c)(c2 + 1)(a2 + 1); (b + c)(ca – 1) – (c + a)(bc – 1)) = (m; n; p)

 n.(ab – 1) = (ab – 1)(a + c)(b2 + 1)(c2 + 1) – (ab – 1)(b + c)(c2 + 1)(a2 + 1)

= (ab – 1)(c2 + 1)[(a + c)(b2 + 1) – (b + c)(a2 + 1)]

= m(a + b) + n(ab – 1) + p(a2 + 1)(b2 + 1)

= (a + b)(c2 + 1)(a + b)(abc – a – b – c) + (ab –1)(c2 + 1)(1 – ab – bc – ca)

= (c2 + 1)(a –b).0 = 0  p, q, rr r r đồng phẳng

Bài 24 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1); B(5; 3; 4); C(8; –3; 2)

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông

b) Tìm tọa độ chân của đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ B.c) Tính diện tích của tam giác ABC.

Giải

a) ABuuur= (4; 1; 3)  AB = 26

ACuuur= (7; –5; 1)  AC = 75 5 3

BCuuur= (3; –6; –2)  BC = 7

AB.BCuuur uuur= 12 – 6 – 6 = 0  AB BCuuuruuur

: tam giác ABC vuông tại B

b) Gọi D(x; y; z) là chân đường phân giác trong của góc B thì:

Bài 25 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; –1; 1), B(0; 1; 2),

C(1; 0; 1) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

a) Chứng tỏ D nằm ngoài mặt phẳng (ABC)

b) Tìm tọa độ trọng tâm của hình tứ diện ABCD

ADuuur= (4; –5; 8)  AB, AC AD 

uuur uuur uuur

= 60 + 40  0  D nằm ngoài mp (ABC)

C (4;5;-5)

b) Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: G(2; –1; 3)

Bài 26 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.ABCD Biết

A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C(4; 5; –5) Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại

C(x3; y3; z3), D(x4; y4; z4)

a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

b) Tìm tọa độ trọng tâm của hình tứ diện ABCD

C (-3;-2;17)B

D

D ' (-7;-2;11) C '

B'(4;5;10)A'

c) Từ AB 3ACuuur uuur

 C nằm trong đoạn AB sao cho CA 1

2

CB  Để E, C chia điều hòa đoạn AB thì EA CA 1

Bài 29 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.ABCD.

a) Biết A(4; 1; –2), C(–3; –2; 17), B(4; 5; 10), D(–7; –2; 11) Tìm tọa độ cácđỉnh B, C, A, D

b) Trong trường hợp tổng quát, biết A(x0, y0, z0), C(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), D(x3;

y3; z3), tìm tọa độ các đỉnh B, C, A, D

Giải

a) Trong mặt phẳng (ACCA), CI cắt AC

tại G (I là trung điểm BD)

GIC ∽ GCA  GI IC' 1

a) Chứng tỏ A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng.

b) Tìm tọa độ giao điểm I của AC và BD

Bài 31 Trong không gian tọa độ Oxyz cho tam giác CDE với C(0; –4; 1),

D(–1; 1; 3), E(1; –2; 3) Tính độ dài trung tuyến, đường cao, phân giác trongxuất phát từ đỉnh E của tam giác

Bài 32 Trong không gian tọa độ Oxyz cho tứ diện PABC Biết P (1; –2; 1),

A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1), C(–1; 4; 2) Tìm tọa độ hình chiếu H của P trên mặtphẳng ABC

Bài 33 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hình tứ diện ABCD biết A(2; 3; 1),

B(4; 1; –2), C(6; 3; 7), D(–5; –4; 8) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuấtphát từ đỉnh D

Giải

DA=(-7; -7; 7)

DA, DB ( 35; 7; 28)DB=(-9; -5; 10)

DCuuur= (11; 7; –1)DA; DB DC

Bài 34 Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn vectơ ar = (–1; 2; 3),br = ( 2; –3; 4),

b) Định m để v vuur uur2 3 2

c) Định m để vuur2 vuur3

 m3 – 3 = 3m2 – 3m  m3 – 3m2 + 3m – 3 = 0

Bài 40 Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4; 2; –6), B(5; –3; 1),

C(11; 9; –2), D(12; 4; 5) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của mộthình chữ nhật

a) Tính các góc của tam giác

b) Tính diện tích tam giác

a) Tính cos r ri, v , cos f; v , cos k, v r r r r và chứng tỏ rằng:

cos2 + cos2 + cos2 = 1

b) Biết  = 30o Hỏi  biến thiên trong khoảng nào?

 cos2  = 1 – cos2  –74= sin2  – sin2 60o

1 cos2 1 cos120o 2sin 60 o .sin 60 o 

 0 < sin ( – 60o).sin ( + 60o) < 34  0 < cos  < 3

2  30

o <  < 90o

Bài 45 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A (1; 0; 2), B(–2; 1; 1),

C(1; –3; –2) D và E là hai điểm trên AB, BC sao cho:DA 2

Bài 46 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(–3; –2; 6), B (–2; 4; 4).

a) Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn Euler của tam giác OAB

Giải

b) Gọi H(x; y; z) là trực tâm tam giác

OAB L: trung điểm AH, K: trung điểm

OB thì trung điểm I của LK là tâm của

đường tròn Euler của tam giác OAB

OH, OA, OB đồng phẳng  –32x – 16z = 0  2x + z = 0 (3)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ (1), (2), (3)

K H

a) Chứng minh ABCD là hình thoi.

b) Tính diện tích của hình thoi này

a) Chứng tỏ bốn điểm trên là bốn đỉnh của một hình bình hành

b) Tính diện tích của hình bình hành này

uuur uuur uuur

 AB, AC, ADuuur uuur uuur đồng phẳng (1)

D

B' A'

Bài 49 Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi P, R lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB, AD; gọi P, Q, Q, R lần lượt là các giao điểm của các đườngchéo của các mặt ABCD, CDDC, ABCD, ADDA

a) Chứng minh rằng PPuuur uuurQQRRuuur0r

b) Chứng minh hai tam giác PQR và PQR có trọng tâm trùng nhau

= 1 AA 0

uuur r

b) Gọi G là trọng tâm tam giác PQR

G là trọng tâm tam giác PQR

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur

= 0 3GGr  uuur0 3GGr  uuurTừ câu a: PPuuur uuurQQRRuuur0r  3GGuuur0r  GGuuur0r

OA OB OC OD OAuuur uuur uuur uuur   uuurOBuuurOCuuurODuuur

b) Với giá trị nào của k thì bốn điểm A, B, C, D là đồng phẳng

1 k

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r

 OA OAuuur uuur OB OBuuur uuur OC OCuuur uuur OD ODuuur uuur 0r

 OA OB OC OD OAuuur uuur uuur uuur   uuurOBuuurOCuuurODuuur

b) Do giả thiết: nếu k = –1  A, B,C, D sẽ là các trung điểm của AB, BC,

CD, DA  A, B,C, D là các đỉnh của một hình bình hành  A, B,C, Dđồng phẳng

Bài 51 Cho hình tứ diện ABCD Gọi E là trọng tâm tam giác BCD; I; I, J, J,

K, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CD, CA, BD, AD, BC G làđiểm định bởi GA GB GC GD 0uuur uuur uuur uuur   r

Chứng minh rằng:

a) IIuur uur uuurJJKK2AGuuur

b) GA 3GE 0uuur uuurr

Giải

Gọi G là trung điểm II; AG cắt BI tại E

a) Từ I, kẻ đường thẳng song song với AE,

cắt BI tại L; II, KK, JJ cắt nhau tại

trung điểm G của mỗi đường

Tam giác ABE có IL là đường trung

bình  BL = LE; tam giác ILI có GE là

đường trung bình  E là trung điểm LI

K'

J

I' J'

G A

B

D E

K I

L

Từ AG = 3GE  GAuuur 3GEuuur GA 3GE 0uuur uuurr

Bài 52 Cho hình lập phương ABCD.ABCDcó cạnh a Gọi P, Q là các điểm

sao cho APuuur AD , C Quuur uuur   C Duuur

.a) Chứng minh PQ đi qua trung điểm M của BB

b) Tính độ dài đoạn PQ

Giải

Đặt khối lập phương vào hệ trục

Oxyz như hình vẽ: D(0; 0; 0),

A(0; a; 0), B(a; a; 0), C(a; 0; 0),

D(0; 0; a), C(a; 0; a), B(a; a; a)

2aTrung điểm M của PQ : M a; a;

uuur uuur uuur uuur

đạt giá trị nhỏ nhất

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur

uuur uuur uuur

 MAuuurMB MC MDuuuruuuruuur 4 MGuuur

= 4GM

a

b

d2

d1d

N

M

 MAuuurMB MC MDuuuruuuruuur

nhỏ nhất  GM ngắn nhất

 M là chân đường vuông góc hạ từ G xuống mặt phẳng (P)

Bài 54 Cho hai vectơ a, br r có giá (d), (d) chéo nhau; A và B là hai điểm trên(d), (d); M, M là hai điểm định bởi AM x.a, BMuuur  r uuuurx.br

(x  ¡ ) Chứngminh khi x thay đổi thì MMuuuurcó giá song song với một mặt phẳng cố định

Từ D kẻ đường thẳng song song

với AB, cắt Bd2 tại D

Từ C kẻ đường thẳng song song

với AB, cắt Ad1 tại C

Bài 55 Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh a

Đặt v AB AC AD AB AAr uuur uuur uuur uuur   uuurADuuurACuuur

Tính vr theo a

Giải

Đặt hình lập phương vào hệ trục Oxyz

như hình vẽ: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0)

C(a; a; 0), D(0; a; 0) A(0; 0; a), B(a; 0; a) C(a; a; a), D(0; a; a)

ABuuur= (a; 0; 0), ACuuur= (a; a; 0)

ADuuur= (0; a; 0), ABuuur= (a; 0; a)

AAuuur= (0; 0; a), ADuuur= (0; a; a),

ACuuur= (a; a; a)

A

y

0

Bài 56 Cho ba nửa đường thẳng Sx, Sy, Sz vuông góc với nhau từng đôi một I,

J, K là ba điểm cố định trên Sx, Sy, Sz; M, N, P là ba điểm di chuyển trên

Sx, Sy, Sz sao cho SM m.SI, SN m.SJ,SPuuur uur uur  uur uur m.SKuuur

(m > 0)

a) Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác MNP khi m thay đổi

b) Tính SGuuurtheo m và theo SIuur, SJuur, SKuuur

Khi m thay đổi, mặt phẳng MNP luôn

song song với mặt phẳng (IJK) và ta

cũng có SG m.SLuur  uur

 S, L, G luôn thẳng hàng  tập hợp trọng tâm G của tam giác MNP khi mthay đổi là đường thẳng SL

Bài 57 Cho tam giác ABC.

a) Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

Tính BC.AAuuur uuurCA.BBuuur uuurAB.CCuuur uuur

.b) Gọi B1, C1 là hai điểm bất kì trên hai đoạn AB, AC; I, J là trung điểm của BGvà B1G Chứng minh IJ 1BB1 CC1

2

.Giảia) BC.AA BC.AB AC 1AB.BC AC.BC



uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

M

D