Mô hình hóa động lực học quadrotor

Tóm tắt Sử dụng cách tiếp cận Cơ hệ nhiều vật, bài báo trình bày kết quả xây dựng mô hình động lực của mô hình máy bay lên thẳng dạng Quadrotor, nghiên cứu các ứng xử của mô hình khi thay đổi các thông số đầu vào. Kết quả khảo sát sẽ là cơ sở cho việc thiết lập thuật toán và thiết kế hệ thống cơ khí và điều khiển máy bay. 2. Mô hình hóa động lực học 2.1 Các đặc tính Quadrotor Quadrotor có 2 cặp cánh quạt gắn với 2 cặp động cơ tương ứng được bố trí như ở hình 1. Cặp động cơ trướcsau được điều khiển quay theo chiều kim đồng hồ, trong khi đó cặp động cơ còn lại được điều khiển quay ngược chiều kim đồng hồ, cách bố trí này sẽ làm triệt tiêu ảnh hưởng của các mô men cánh quạt và các hiệu ứng khí động học.

VCCA-2011

Mô hình hóa động lực học Quadrotor Modeling of Quadrotor dynamics Đào Văn Hiệp, Trần Xuân Diệu, Phùng Thế Kiên

Trường HVKTQS e-Mail: xuandieuvtl@gmail.com

Tóm tắt

Sử dụng cách tiếp cận Cơ hệ nhiều vật, bài báo trình

bày kết quả xây dựng mô hình động lực của mô hình

máy bay lên thẳng dạng Quadrotor, nghiên cứu các

ứng xử của mô hình khi thay đổi các thông số đầu

vào Kết quả khảo sát sẽ là cơ sở cho việc thiết lập

thuật toán và thiết kế hệ thống cơ khí và điều khiển

máy bay

Abstract: In this paper, the authors used the

aprroach with Dynamics of Body systems to estalish

the mathematical model of a helicopter called

Quadrotor and investigated the behaviours of the

model by varying the input parameters The results

from modelling are the fundament to estalish the

control algorithms and to design the mechanical parts

Ký hiệu

Ký hiệu Đơn vị Ý nghĩa

H, At, JT,

JR, I, M các ma trận của mô hình

tử sóng véc-tơ vận tốc góc

Fu, F, Q*,

Chữ viết tắt

UAV thiết bị bay không người lái

1 Đặt vấn đề

Trong những năm gần đây, các thiết bị bay không

người lái (UAV) được đặc biệt quan tâm do nhu cầu

thực tế trong hoạt động quân sự như do thám, kiểm tra

địa hình địa vật cũng như trong hoạt động dân sự

như chụp ảnh, giám sát, quan trắc Có rất nhiều loại

UAV đã được phát triển như kinh khí cầu, máy bay

cánh cố định, trực thăng rô-to đơn, quadrotor, Mỗi

loại UAV đều có những ưu điểm và những hạn chế

của nó Quadrotor là loại máy bay trực thăng có 4

cánh quạt với những ưu điểm nổi bật là cất cánh và hạ

cánh thẳng đứng dễ dàng, kích thước nhỏ gọn, giữ ổn

định ở một vị trí trong không gian tốt, có kết cấu cơ

khí đơn giản và khả năng tải lớn Nghiên cứu mô hình

động lực học của quadrotor là bước quan trọng ban

đầu để từ đó đưa ra thuật toán điều khiển cũng như

thiết kế chế tạo

2 Mô hình hóa động lực học

2.1 Các đặc tính Quadrotor

Quadrotor có 2 cặp cánh quạt gắn với 2 cặp động cơ tương ứng được bố trí như ở hình 1 Cặp động cơ trước-sau được điều khiển quay theo chiều kim đồng

hồ, trong khi đó cặp động cơ còn lại được điều khiển quay ngược chiều kim đồng hồ, cách bố trí này sẽ làm triệt tiêu ảnh hưởng của các mô men cánh quạt và các hiệu ứng khí động học

H 1 Cấu trúc của hệ thống điều khiển số

H 2 (a) thay đổi góc pitch; (b) thay đổi góc roll; (c)

thay đổi góc yaw

Quadrotor hoàn toàn không cần đĩa lắc để điều chỉnh góc cánh như trực thăng rô-to đơn Chỉ cần điều khiển tốc độ của 4 động cơ, ta hoàn toàn có thể có được các góc roll, pitch, yaw như mong muốn

Nguyên lý điều khiển của quadrotor rất đơn giản, có thể trình bày ngắn gọn như sau: giả sử lúc đầu 4 rotor

306

có cùng tốc độ (có cùng lượng ga), để thay đổi góc

pitch ta tăng (giảm) tốc độ của động cơ trước đồng

thời giảm (tăng) tốc độ của động cơ sau; thay đổi góc

roll cũng làm tương tự; để thay đổi góc yaw ta tăng

(giảm) tốc độ của cặp động cơ trước-sau và giảm

(tăng) tốc độ của cặp động cơ trái-phải Để giữ ổn

định độ cao, ta nên giữ tổng lượng ga không đổi Sơ

đồ quan hệ giữa các lực khi thay đổi các góc được thể

hiện ở hình 2 [3]

2.2 Mô hình động lực học

Ta coi quadrotor là một vật rắn chịu một lực (hợp lực

của các lực tạo ra bởi các động cơ) và 3 mô-men làm

quadrotor quay theo các góc roll, pitch, yaw Để

nghiên cứu động lực học của mô hình quadrotor ở đây

ta sử dụng phương trình Lagrange II

H 3 Các hệ quy chếu của quadrotor

Chọn hệ quy chiếu quán tính Fi và hệ quy chiếu động

gắn với vật Fb được thể hiện ở hình 3 [3] Gốc tọa độ

của hệ quy chiếu Fb được gắn với trọng tâm của

quadrotor

Các tọa độ suy rộng đối với quadrotor được chọn như

sau:xq1,yq2,zq3,q4,q5,q6,

hay

1 2 3 4 5 6

[q q q q q q ]T



Ở đây, (x, y, z) là tọa độ của trọng tâm C của mô hình

quadrotor trong hệ quy chiếu quán tính và , ,  là

ba góc yaw, pitch và roll thể hiện hướng của

quadrotor

Ta có thể chuyển hệ tọa độ Fi sang hệ tọa độ Fb bằng

các phép biến đổi sau:

- Tịnh tiến Fi dọc theo trục z0 một đoạn z, được hệ

tọa hiện thời F1;

- Tịnh tiến F1 dọc theo trục x1 một đoạn x, được tọa

độ hiện thời F2;

- Tịnh tiến F2 dọc theo trục y2 một đoạn y, được tọa

độ hiện thời F3;

- Quay F3 quanh trục x3 một góc , ta được hệ tọa độ

hiện thời F4;

- Quay F4 quanh trục y4 một góc , ta được hệ tọa độ

hiện thời F5;

- Quay F5 quanh trục z5 một góc, ta được hệ tọa độ

động gắn với vật Fb

Ma trận của phép biến đổi từ hệ quy chiếu Fi sang hệ

quy chiếu Fb sẽ là:

H





           

           

(1)

Theo [2], từ ma trận chuyển đổi ta nhận được ma trận cosin chỉ hướng khi thực hiện phép chuyển đổi liên tiếp từ hệ quy chiếu Fi sang hệ quy chiếu Fb là:

t

c s c s s s s c c s c c

           

           



và tọa độ trọng tâm là:

 1 2 3T



C

r (3) Đạo hàm biểu thức trên trong hệ quy chiếu quán tính

ta được vận tốc của khối tâm  1 2 3

T

v r (4)

Từ ma trận cosin chỉ hướng, theo [1] ta dễ dàng xác định được toán tử sóng của véc-tơ vận tốc góc trong

hệ quy chiếu quán tính:

4 5 6 5 6 4 5 6 5 6

4 5 6 5 6 6 4 5

0

0

0

T

t t

= A A

Từ toán tử sóng ở (5) ta xác định được vận tốc góc của quadrotor trong hệ quy chiếu quán tính:

Phương trình Lagrange loại II đối với vật rắn (mô hình quadrotor) là

Q

*

       

      

     

dt

 (7)

trong đó:

T – là động năng của vật rắn

- là thế năng trọng lực của vật rắn

Q* – là véc-tơ lực suy rộng

Động năng của quadrotor được xác định theo công thức

q M(q)q

1 T 2

 T

trong đó:

M(q) – là ma trận khối lượng suy rộng,

m

M(q) = J J + J IJ .

JT – là Jacobi tịnh tiến, được xác định theo công thức

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

T

C

r J q

(8)

JR – là Jacobi quay, được xác định theo công thức

5

6 5 6

6 5 6

R

s



J q

VCCA-2011

I – là Ten-xơ quán tính khối của quadrotor đối với hệ

quy chiếu quán tính, theo [1] nó được xác định theo

công thức

IAI AT

b (10)

Ib – là Ten-xơ quán tính khối của quadrotor đối với hệ

quy chiếu động, do quadrotor có hình dạng đối xứng

trục và các trục tọa độ được chọn trùng với trục đối

xứng, nên theo [1] ta có

0 0

x

z

I I I

I

(11)

Thay các biểu thức (2) và (11) vào biểu thức (10) ta

được Ten-xơ quán tính khối của quadrotor đối với hệ

quy chiếu quán tính

Thế năng trọng lực được xác định theo công thức

0T

m

   g r C (12)

trong đó:

g0 – là véc-tơ gia tốc trọng trường, g0T[0 0 g]T

Thay (3) và véc-tơ gia tốc trọng trường vào biểu thức

(12) ta được

 mgz (13) Véc-tơ lực suy rộng gồm 2 thành phần chính, là các

lực và các mô men như đã được đưa ra ở trên Do đó

Q*[FT ]T (14) Lực tạo ra từ 4 động cơ xét trong hệ quy chếu Fb là

[0 0 ]T

Ở đây,

f – là lực tổng hợp sinh ra từ các động cơ

f  f f f f , f i = k f2

i , i = 1 4

với k f là hằng số dương phụ thuộc vào từng loại cánh quạt, i là vận tốc góc của động cơ thứ i

Do đó, Fu trong hệ quy chiếu Fi được xác định theo công thức

F = AtFf =  5 6 5 6 5 

T

s f s c f c c f (15) Véc-tơ mô men  là

[  ] ,T



 trong đó



      (u2u l4) ,

( u u l ) ,



ở đây, Milà các mô men được tạo ra từ các động cơ

Mi, l là khoảng cách từ các động cơ tới trọng tâm của

quadrotor Chú ý rằng Mi = k M2

i , i = 1 4, k M là các

hằng số dương Đặt k = k M /k f, từ đó ta dễ dàng có Mi

= k f i

Sử dụng phần mềm Maple để xây dựng các công thức

và lập hệ phương trình vi phân Từ phương trình Lagrange II (2.7) ta được hệ 6 phương trình vi phân sau:

f

s

q

f c s

q

mg f c c

q

) (

) 2

2

5 5 5 2 4 5 2 4 5 5 5 6 5 6

4I z q s I z q q c I x c c I x c c I y c I z c I y q c s I x c s I y

 (  2 4 4 )

5 4 4 2 5 2

6 c s c I x c s c I y

) 2 2

( ) (

2 )

5 5 2 5 5 5 6 4 4 4 4 4 5 4 2 2

5 I x I y c c I x q q s c I y s c I x q q c I x c I z c c I x c I y c c I y

4 5 5 5 5 5 2 4 5 2

6 c c s I x c s I y c s c I y s c I z q c c s Ix c s c I y

x x

y z

x y

y z

z c I c I c c I c c I q s I q c c s I c c s I q q c c I

I

4 5 5 4 4 4 5 4 4 5 5 5 4 2 4 2 5 2 4 2 5 2 5 2 5

5 5 5 2 4 5 5 5 2 4 5 5 6 5 5 5 2

y c c I c I c I q q c s I c c s I c c s I s c I I

2q4q6(c52c4s4I xc52s4c4I y)q52(s5c4s4I ys5c4s4I x) (21)

2.3 Mô phỏng động lực học quadrotor

Trong mục này, ta sẽ sử dụng Matlab-Simulink để

giải hệ phương trình gồm 6 phương trình vi phân từ

(16) đến (23) Kết quả của phép giải mô tả ứng xử của

hệ khi chịu các tác động

Mô phỏng cần phải được thực hiện để khẳng định tính

đúng đắn các giả thiết của chúng ta khi thiết lập mô

hình toán của Quadrotor Trên cơ sở tính đúng đắn

của mô hình toán, khi thay đổi các tác động vào hệ

(các thông số của động cơ) ta sẽ thu được các kết quả

ứng xử của hệ thống

hiệu Giá trị Đơn vị

Quadrotor

Mô men quán tính theo trục x

Ix 0,0115 kg.m2

Mô men quán tính theo trục y

Mô men quán tính theo trục z

Gia tốc trọng trường g 9,81 m/s2 Khoảng cách từ tâm

Quadrotor đến tâm các động cơ

Hệ số tỷ lệ giữa mô men động cơ và lực động cơ

Các giá trị đầu của tất cả các thông số trạng thái đều

có giá trị bằng không

308

H 4 Mô hình giải hệ phương trình vi phân trong Simulink

Mô hình ở hình 4 mô phỏng nguyên lý điều khiển

các thông số đầu vào (lực các động cơ f i) để đạt

được các thay đổi của các thông số đầu ra (x, y, z, ,

, ) như đã trình bày ở phần 2 Khối tính toán lực

động cơ ở hình 4 thể hiện ràng buộc như để thay

đổi độ cao, thay đổi các góc roll, pitch, yaw , khối

này có đầu ra là các lực mà các động cơ cần tạo ra

Khối tính toán lực và mô men cho hệ phương trình

vi phân để tính toán, đưa ra hợp lực và mô men

gồm f, , ,  Khối s-function (quadrotor) được

lập để giải hệ phương trình dựa trên các thông số

được cung cấp từ khối tính toán lực và mô men cho

hệ phương trình vi phân Đầu ra của khối s-function

là các thông số động học quan tâm của quadrotor

Các kết quả mô phỏng gồm:

Mô phỏng 1: Khi các động cơ chưa cung cấp lực

H 5 Độ dịch chuyển theo trục x, y, z theo thời gian và

các góc , ,  theo thời gian

Kết quả này cho thấy khi các động cơ không cung

cấp lực thì quadrotor rơi tự do Kết quả này thể hiện

ứng xử đúng đắn của mô hình, kết quả này cũng có

thể kiểm nghiệm thông qua công thức đơn giản h =

0,5gt2 Để giữ được độ cao ở gốc tọa độ (z = 0) thì

mỗi động cơ cần phải cung cấp cho hệ một lực là

m.g/4 = 1,962N

Mô phỏng 2: Quadrotor bay lên, mỗi động cơ phải

cung cấp cho hệ một lực lớn hơn 1,962N Ở đây ta

mô phỏng ứng xử của hệ khi các động cơ cung cấp cùng một lực 3N

H 6 Độ dịch chuyển theo trục x, y, z theo thời gian và

các góc , ,  theo thời gian

Mô phỏng 3: Quadrotor bay lên đồng thời quay

góc roll (), động cơ trước và sau cung cấp một lực như nhau (ở đây là 3N), động cơ bên trái cung cấp một lực lớn hơn (3,2N) trong khi động cơ bên phải cung cấp một lực nhỏ hơn (2,8N)

Ta thấy khi điều khiển đồng thời độ cao và góc roll, nếu lực của các động cơ không đủ lớn thì quadrotor

sẽ mất độ cao, sẽ lao xuống và cũng gây ra dịch chuyển theo phương y (hình 7)

H 7 Độ dịch chuyển theo trục x, y, z theo thời gian và

các góc , ,  theo thời gian

Mô phỏng 4: Quadrotor bay lên đồng thời quay

góc pitch (), động cơ trái và phải cung cấp một lực như nhau (ở đây là 3N), động cơ trước cung cấp một lực lớn hơn (3,2N) trong khi động cơ sau cung cấp một lực nhỏ hơn (2,8N)

VCCA-2011

H 8 Độ dịch chuyển theo trục x, y, z theo thời gian và

các , ,  theo thời gian

Tương tự như với mô phỏng 3, nhưng ở đây sẽ xảy

ra dịch chuyển theo phương x

Mô phỏng 5: Quadrotor bay lên đồng thời quay

góc yaw (), động cơ trái và động cơ phải cung cấp

cùng một lực lớn (ở đây là 3,2N), động cơ trước và

sau cung cấp cùng một lực nhỏ (ở đây là 2,8N)

H 9 Độ dịch chuyển theo trục x, y, z theo thời gian và

các , ,  theo thời gian

Ở đây không thấy có sự ảnh hưởng của điều khiển

góc yaw đến thông số đầu ra còn lại, nhưng góc

yaw thay đổi chậm hơn rất nhiều so với thay đổi

của góc roll, pitch trong cùng một điều kiện, điều

này cho thấy thực tế điều khiển góc yaw cũng

tương đối khó

3

Kết luận

Với cách tiếp cận cơ học hệ nhiều vật, trong bài báo này, nhóm tác giả đã trình bày kết quả nghiên cứu

mô hình động lực học của quadrotor Nhóm tác giả

sử dụng phương pháp Phương trình Lagrange II để lập hệ phương trình động lực học quadrotor khác hoàn toàn so với các bài báo trước đây sử dụng Phương pháp Newton-Euler Phương trình Lagrange II luôn đưa ra số lượng phương trình tối thiểu (bằng số bậc tự do của hệ), cách thành lập hệ phương trình cũng đơn giản hơn đặc biệt phương pháp này rất tương thích với các phần mềm tính toán như Maple và Matlab-Simulink

Các ứng xử của mô hình động lực học được mô phỏng ở phần 4 đã chứng tỏ tính đúng đắn của mô hình toán và phù hợp với ứng xử trong thực tế Mô hình này là cơ sở để thiết kế hệ điều khiển và tính toán kết cấu cơ khí của quadrotor - những nội dung nghiên cứu tiếp theo của nhóm tác giả

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội

2007

[2] Đào Văn Hiệp: Kỹ thuật robot NXB Khoa

học và Kỹ thuật (in lần 2), Hà Nội 2004 [3] Pedro Castillo, Rogelio Lozano and Alejandro

E.Dzul: Modelling and Control of Mini-Flying Machines, Springer, Compiègne,

France 2004

[4] Jens Wittenburg: Dynamics of Body systems

(Second Edition), Springer, Karlsruhe 2007

Trần Xuân Diệu sinh năm

1983 Anh tốt nghiệp đại học tại Học viện kỹ thuật quân sự năm 2007 Sau khi ra trường anh là nghiên cứu viên của Viện tên lửa – Viện kỹ thuật quân sự Hiện nay anh đang theo học cao học chuyên ngành

cơ điện tử tại Học viện kỹ thuật quân sự Hướng nghiên cứu chính là động lực học và điều khiển robot, điều khiển máy lái tên lửa

Phùng Thế Kiên sinh năm

1982 Anh tốt nghiệp đại học tại Học viện kỹ thuật quân sự năm 2007 Sau khi

ra trường anh là trợ lý kỹ thuật công ty thông tin M3- Tập đoàn viễn thông quân đội Viettel Hiện nay anh đang theo học cao học chuyên ngành cơ điện tử tại Học viện kỹ thuật quân sự Hướng nghiên cứu chính là động lực học và điều khiển robot

310