Tiểu luận cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học, nó mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton. Cơ học lượng tử nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng của các vật có kích thước rất nhỏ bé. Cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. Chính vì thế, việc học tập về nghiên cứu Cơ học lượng tử rất cần thiết, đặc biệt là đối với sinh viên khoa Vật lý. Phương trình Schrodinger là phương trình động lực học cơ bản quan trọng trong cơ học lượng tử. Phương trình này có vai trò tương tự như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ, giúp chúng ta khảo sát sự biến đổi trạng thái của hệ theo thời gian. Trong trường hợp hệ không tương tác với trường ngoài biến thiên theo thời gian, ta có phương trình Schrodinger dừng có nghiệm là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ đang xét và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét. Từ hàm sóng và năng lượng sau khi giải phương trình Schrodinger, cho phép tính toán các đặc tính mong muốn từ đó có thể tìm ra các tính chất mới và hình dung một cách tổng quan hơn về phổ năng lượng của bài toán. Chính vì vậy, việc giải phương trình Schrodinger là vấn đề cơ bản trong cơ học lượng tử.

Lời cảm ơn

Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo Trương Minh Đức – GV học phần

Cơ học lượng tử Em xin chân thành cảm ơn thầy đã tạo điều kiện để em được thực hiện đề tài này Thầy cũng là người đã hướng dẫn em làm đề tài này, thầy đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và là nguồn động lực quan trọng để

em hoàn thành đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy

Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô trong khoa Vật Lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế đã tận tình truyền đạt kiến thức cho em trong

ba năm học tập Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho quá trình nghiên cứu tiểu luận mà còn là hành trang quý báu để em tiếp tục học tập và bước vào đời một cách tự tin và vững chắc

Em cũng hết lòng biết ơn sự quan tâm và ủng hộ của gia đình và bạn bè

Đó chính là nguồn động viên tinh thần rất lớn để em hoàn thành tốt đề tài của mình

Sinh viên thực hiện

Huỳnh Thị Phương Đông

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 2

III Đối tượng nghiên cứu 2

IV Nhiệm vụ nghiên cứu 2

V Phương pháp nghiên cứu 2

VI Phạm vi nghiên cứu 2

PHẦN B NỘI DUNG 3

I TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER 3

1 Phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian 3

2 Mật độ dòng xác suất – sự bảo toàn số hạt 4

3 Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian 5

3.1 Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng 5

3.2 Các tính chất của nghiệm phương trình Schrodinger dừng 7

II HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG MỘT CHIỀU 7

1 Các tính chất của chuyển động một chiều 7

2 Chuyển động của hạt tự do 8

3 Giếng thế vuông góc vô hạn 10

4 Ghi chú về trường hợp giếng thế đối xứng 12

5 Giếng thế hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn 13

6 Chuyển động qua thế bậc thang 16

7 Chuyển động qua hàng rào thế 20

8 Dao động tử điều hòa lượng tử 24

III BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRONDINGER TRONG CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU 28

PHẦN C KẾT LUẬN 51

I Kết quả thu được 51

II Các vấn đề còn tồn tại và hướng nghiên cứu tiếp theo 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 1

PHẦN A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Với sự phát triển của nhiều ngành khoa học chúng ta có thể dần khám phá ra những đều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên Một trong những ngành khoa học ngày càng phát triển đó là Vật lý Trong ngành Vật lý học

có rất nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải những vấn đề của thế giới

mà các ngành khoa học khác không thể giải thích rõ ràng được Một trong các công cụ chủ yếu của Vật lý học là thuyết lượng tử mà cơ bản nhất là cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học, nó

mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton Cơ học lượng tử nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng của các vật có kích thước rất nhỏ bé

Cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được Chính

vì thế, việc học tập về nghiên cứu Cơ học lượng tử rất cần thiết, đặc biệt là đối với sinh viên khoa Vật lý

Phương trình Schrodinger là phương trình động lực học cơ bản quan trọng trong cơ học lượng tử Phương trình này có vai trò tương tự như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển Đây là phương trình

vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ, giúp chúng ta khảo sát sự biến đổi trạng thái của hệ theo thời gian Trong trường hợp hệ không tương tác với trường ngoài biến thiên theo thời gian, ta có phương trình Schrodinger dừng có nghiệm là hàm sóng mô tả trạng thái của

hệ đang xét và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét Từ hàm sóng và năng lượng sau khi giải phương trình Schrodinger, cho phép tính toán các đặc tính mong muốn từ đó có thể tìm ra các tính chất mới và hình dung một cách tổng quan hơn về phổ năng lượng của bài toán Chính

vì vậy, việc giải phương trình Schrodinger là vấn đề cơ bản trong cơ học lượng tử

Vì mong muốn tìm hiểu khoa học, có niềm yêu thích với môn cơ học lượng tử và đặc biệt thấy được tầm quan trọng của phương trình

Schrodinger nên em quyết định chọn đề tài “Hệ thống các bài toán chuyển

động của phương trình Schrodinger trong một chiều” làm đề tài cho tiểu

luận của mình Em mong rằng tiểu luận này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 2

cho các bạn sinh viên chuyên ngành Vật Lý để phục vụ cho học tập và là tài liệu tham khảo trong giảng dạy

II Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu các phương pháp giải bài toán liên quan đến phương trình Schrodinger trong chuyển động một chiều

III Đối tượng nghiên cứu

- Lý thuyết của phương trình Schrodinger trong chuyển động một chiều

- Các bài toán của phương trình Schrodinger trong chuyển động một chiều

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương trình Schrodinger trong chuyển động một chiều

- Hệ thống các bài toán chuyển động của phương trình Schrodinger trong chuyển động một chiều

V Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích và tổng hợp

- Phương pháp phân loại và hệ thống lý thuyết

- Phương pháp Vật lý lý thuyết

- Phương pháp Vật lý – toán

VI Phạm vi nghiên cứu

- Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán chuyển động của phương trình Schrodinger trong chuyển động một chiều

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 3

PHẦN B NỘI DUNG

I TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

1 Phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian

Trong cơ học Newton, trạng thái của một hạt được đặc trưng bởi tọa độ

và xung lượng Việc tìm tọa độ và xung lượng tại một thời điểm bất kỳ khi biết giá trị của chúng tại thời điểm ban đầu được cho bởi phương trình chuyển động cổ điển, ví dụ như phương trình của định luật II Newton

F dt

t r t r U m

t

t r

Trong phương trình này ta sử dụng biến không gian là r

thay cho tọa độ tổng quát q Phương trình này không chứng minh và được chấp nhận như một trong các tiên đề của cơ học lượng tử được gọi là Tiên đề IV Nội dung của tiên đề này như sau:

Sự thay đổi theo thời gian của hàm trạng thái của một hạt (hệ hạt) lượng

tử được cho bởi phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian có dạng:

T

2 ˆ ˆ

Phương trình (1.3) là một phương trình vi phân bậc nhất theo thời gian

và bậc hai theo không gian Về nguyên tắc, để tìm nghiệm của phương trình

ta phải biết được hàm sóng tại thời điểm ban đầu t0

(điều kiện đầu) và biết được hàm sóng tại hai vị trí của tọa độ (điều kiện biên) Ta lần lượt xét hai điều kiện này:

 Điều kiện đầu: Trong cơ học cổ điển khi giải phương trình chuyển động theo định luật II Newton thì điều kiện đầu là tọa độ và xung lượng tại thời điểm đầu x t0    , p t0 tại t  t0 Trong cơ học lượng tử, điều kiện đầu cho

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 4

phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian là hàm trạng thái r, t0

2 Mật độ dòng xác suất – sự bảo toàn số hạt

Chúng ta sẽ chứng minh rằng từ phương trình (1.3) ta rút ra định luật bảo toàn số hạt biểu thị bằng phương trình liên tục có dạng:

 ,  0 )

, (

ở hàm sóng)

* ˆ ˆ

t r U m

t

t r

t r

i t

t

r 

Nếu kí hiệu

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 5

   r t r t r t r t 

m

i t r

Chẳng hạn, khi hạt chuyển động theo trục x thì

dx

d t x t

x dx

d t x m

i t x

j div dV

3 Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian

3.1 Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng

Ta khảo sát trường hợp khi không có trường ngoài biến thiên thì toán tử Hamilton không phụ thuộc tường minh vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng Khi đó phương trình (1.3) có nghiệm quan trọng, nhận được bằng phương pháp phân ly biến số

f t

t f i

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 6

 

 t f t

t f

n

e r t

Khi Hˆ có phổ trị gián đoạn thì

            

n n

t iE

n

c t

c r

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 7

(2) Ở trạng thái dừng mật độ xác suất và mật độ xác suất không phụ thuộc vào thời gian

(3) Ở trạng thái dừng, trị trung bình của một đại lượng động lực có toán

tử tương ứng không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì không đổi (4) Xác suất đo giá trị của một đại lượng động lực ở trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian

3.2 Các tính chất của nghiệm phương trình Schrodinger dừng

Phương trình Hˆ  E cho nghiệm với mọi E, nhưng không phải giá trị nào của E cũng ứng với một trạng thái vật lý, mà chỉ có những trạng thái thỏa mãn với điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng mới ứng với một trạng thái vật lý Các điều kiện đó là

(1) Hàm  phải đơn trị

(2) Hàm  phải liên tục Trong trường hợp thế năng gián đoạn thì  và đạo hàm theo tọa độ  ' cũng liên tục tại những điểm gián đoạn đó Tuy nhiên, ở những miền mà thế năng U   thì   0và  ' gián đoạn

(3) Nếu thế năng không tiến đến  thì hàm sóng phải hữu hạn trong toàn

bộ không gian Điều kiện này cũng thỏa mãn trong trường hợp thế năng

1 Các tính chất của chuyển động một chiều

Phương trình Schrodinger trong trường hợp chuyển động một chiều theo trục x có dạng:

 x E  x

Hˆ   , với U  x

dx

d m

2

2 2

2 2

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 8

Hình 1: Dạng của thế năng U x trong trường hợp tổng quát

(1) Trạng thái liên kết: Khi hạt bị giam giữ trong một miền nào đó thì chuyển động của hạt giới hạn về cả hai phía, ví dụ trên Hình 1 chuyển động của hạt có năng lượng E U1 bị giới hạn trong miền x1  x  x2 Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm theo tọa độ của nó tại các điểm biên trong lúc giải phương trình Schrodinger, ta nhận được phổ trị riêng của năng lượng là gián đoạn

(2) Trạng thái không liên kết: Khi chuyển động của hạt không bị giới hạn, ta nói trạng thái của hạt không liên kết (chuyển động tự do) Trên sơ đồ thế năng ở Hình 1 có 2 miền ứng với chuyển động tự do của hạt

a) Trường hợp hạt có năng lượng ở trong khoảng U1  E U2: Chuyển động của hạt là vô hạn về phía x   Điều đó có nghĩa là hạt có thể chuyển động giữa x  x3và x   Phổ năng lượng trong chuyển động này là liên tục và không suy biến ứng với hàm sóng mô tả chuyển động tự do theo chiều âm của trục x

b) Trường hợp E  U2: Hạt chuyển động ra xa vô hạn về cả hai phía

x    Phổ năng lượng của hạt là liên tục và suy biến bậc 2 Điều này ứng với một giá trị năng lượng của phương trình (2.2) có hai hàm riêng, một ứng với chuyển động tự do của hạt theo chiều dương, một theo chiều âm (3) Trường hợp thế năng đối xứng: Trong trường hợp thế năng là một hàm chẵn đối với tọa độ thì Hamilonian cũng là hàm chẵn, lúc đó hạt ở trạng thái liên kết và nghiệm của phương trình Schrodinger (2.2) được phân thành hai lớp: lớp nghiệm chẵn    x     x  và lớp nghiệm lẻ

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 9

0 2

2 2

Phổ trị riêng năng lượng là liên tục, có giá trị nhất định trong khoảng từ

0 đến ∞, trong đó p  p x  k là xung lượng của hạt tự do, k  k x là thành phần vecto sóng trên trục x

Hàm sóng phụ thuộc thời gian ứng với hạt tự do ở trạng thái dừng có dạng:

k kx i

trong đó, ta đã thay giá trị của E theo (2.6)

Hàm sóng ứng với hạt tự do là nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát có dạng:

ck chính là biên độ của bó sóng và được xác định từ điều kiện ban đầu

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 10

giếng thế một chiều có bề rộng L Lúc đó hạt hoàn

toàn bị nhốt trong giếng Về mặt hình thức hạt có thể

coi tương đương với một viên bi trượt không ma sát

dọc theo một sợi dây được căng giữa hai bức tường

rắn sao cho va chạm của viên bi với chúng là tuyệt

đối đàn hồi Thế năng đang xét có dạng như Hình 2

Dạng giải tích của thế năng là

Ta thấy rằng ngoài giếng thế U ( x)   hàm

sóng  (x)  0, hạt không tồn tại ở ngoài giếng

thế Như vậy ta chỉ xét hạt trong giếng thế  0  x  L

Phương trình Schrodiger cho trạng thái dừng có dạng:

0 ) ( 2 ) (

2 2

x) sin cos

Do điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên nên ta có:  (x)  0

và  (L)  0 Ta suy ra: B = 0 và sin kL  0 Vì vậy kL  n Vì 2 2 2

2 2

2

E n n mL

E n    

Hình 2: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều vuông góc và sâu vô hạn

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 11

trong đó: 2

2 2

Hàm riêng (2.15) bây giờ có thể viết lại như sau:

x L

n A kx A x

sin

0

2 2

L A xdx

L

n A

2 )

L

n L

x n



Ta có thể đưa ra một số kết luận về bài toán giếng thế một chiều vuông góc sâu vô hạn như sau:

a Năng lượng En của hạt trong giếng bị lượng tử hóa Điều này xảy ra là

do chuyển động của hạt mặc dầu tự do nhưng bị giới hạn

b Hàm sóng  n có n – 1 nút (điểm mà tại đó hàm sóng bằng không)

c Mật độ xác suất tìm hạt n ( x) có n cực đại ở đó mật độ xác suất tìm hạt có giá trị lớn nhất Hình 3 chỉ đồ thị các hàm sóng  , mật độ xác suất tìm hạt và các mức năng lượng tương ứng với các trạng thái khác nhau

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 12

lượng E n trong giếng thế vuông một chiều sâu vô hạn

4 Ghi chú về trường hợp giếng thế đối xứng

Trong trường hợp này, thế năng có dạng

Sơ đồ thế năng có dạng như Hình 4 Vì thế

năng là hàm chẵn của tọa độ nên nghiệm của

phương trình (2.14) được phân thành hai lớp

nghiệm lẻ và nghiệm chẵn:

- Đối với lớp nghiệm chẵn:  (x)   ( x),

thay vào hàm sóng (2.15) ta được:  n(x)  Bcos kx

Áp dụng điều kiện biên 0

Hình 4: Sơ đồ thế năng của giếng đối xứng một chiều

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 13

2 2

2 2

2

n mL

E  

5 Giếng thế hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn

Bây giờ ta xét trường hợp giếng thế

hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn với thế

năng có dạng:

Sơ đồ thế năng được cho ở Hình 5 Có

thể thấy rằng khi năng lượng E  U0 thì hạt

tự do không bị liên kết, năng lượng E là

liên tục Ngược lại, khi E  U0 hạt bị nhốt

trong giếng, năng lượng của hạt bị lượng tử

hóa ứng với các trạng thái liên kết Ta sẽ

giải phương trình Schrodinger cho từng miền thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các trạng thái khác nhau của hạt trong trường hợp E  U0

E m



E U

ta được phương trình Schrodinger và nghiệm tương ứng cho từng miền như sau:

Miền IU  x U0 : 1"  x  21 x  0, Miền IIU x  0  :  2"  x  k2 2 x  0, Miền III U x U0 :  3"  x   2 3 x  0 Nghiệm của các phương trình trên có dạng:

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 14

kx C

2 2

2 

n E mL



0 2 2 0

2 

U mL



ta được:

2 2 0

   đối với lớp nghiệm chẵn, (2.25)

2 2 0

 đối với lớp nghiệm lẻ (2.26) Hai phương trình siêu việt trên đây xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn Giá trị năng lượng chứa trong số hạng

L mE

Hình 6: Nghiệm đồ thị cho giếng thế sâu hữu hạn Các giá trị năng lượng được cho bởi giao điểm của

2 

V mL



 Hình (a) ứng với các trạng thái chẵn, hình (b) ứng với các trạng thái lẻ

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 15

Hình 6a Biểu diễn đồ thị của tan  và

2

0



  sẽ không có giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là không có giá trị năng lượng cho phép

Một cách tổng quát giá trị của bề rộng giếng mà tại đó có n trạng thái liên kết, nghĩa là có n giá trị năng lượng được cho bởi

0

2 2

n mL

  n , vì khi U0   cả tan  và cot 

tiến tới vô cùng

2 

n E mL



 nên ta nhận được biểu thức của năng lượng cho trường hợp thế vô hạn

2 2

2 2

2 2

n mL E

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 16

Hình 7: Sơ đồ 3 mức năng lượng và hàm sóng trong giếng thế một chiều Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế vô hạn

Hình 7 biểu diễn 3 mức năng lượng đầu tiên và các hàm sóng tương ứng

Trạng thái cơ bản (n=1) và trạng thái kích thích thứ hai (n=3) là trạng thái chẵn, trạng thái kích thích thứ nhất (n=2) là trạng thái lẻ Đồ thị cho thấy rằng, các hàm sóng “lan tỏa” qua miền E U0 Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt    2

x

 ở miền I và miền II khác không, nghĩa là hạt có thể có mặt ở bên ngoài giếng Mức độ “thấm qua” của hạt phụ thuộc và độ lớn của α, nghĩa là của độ sâu U0 của giếng, hạt thấm qua được một đoạn

6 Chuyển động qua thế bậc thang

Bây giờ ta xét chuyển động của hạt trong

trường thế có dạng

( ) {

Theo cơ học cổ điển hạt có năng lượng E

đi từ miền I qua miền II sẽ có động năng

miền II động năng của hạt có giá trị âm

Hình 8: Sơ đồ thế năng biểu diễn thế bậc thang

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 17

Đây là điều không thể chấp nhận trong phạm vi cổ điển, miền II được gọi là miền cấm cổ điển và hạt không thể đi vào miền này

Bây giờ ta sẽ khảo sát chuyển động của hạt theo quan điểm của cơ học lượng tử và sẽ tìm ra một số tính chất đặc thù của hạt vi mô Ta viết phương trình Schrodinger cho từng miền

d

Nếu đặt:

2 2 0

2 2



U E m





k dx

d

Miền II: 2 2 0

2 2 2





k dx

d

Nghiệm của hai phương trình này là

r i x ik x

ik Be

ik Be

 2

Ta định nghĩa hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T như sau:

x i

r j

j R

1

1

x i

t j

j T

1

2

Ta đã biết j x là thành phần trên trục x của vecto mật độ dòng xác suất

Từ biểu thức của j x theo ta được biểu thức của j x

x d x m

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 18

k k B





 0

k k

k C



 0 0

2

0 0 2

0

0 2

k k k k

k k

2 0 0

0 2 2

0

4 2

k k

k k k

k

k k

Dễ dàng nghiệm lại R + T = 1 Điều này chứng tỏ số hạt được bảo toàn

Sự truyền qua của sóng từ miền I sang miền II khi E U0 được mô tả ở Hình 9

Hình 9: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang trong trường hợp năng lượng

0

U

E 

b Trường hợp E U0

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 19

Khi đó hệ số k  1 2mE U0

 là một số phức Để sử dụng các kết quả của trường hợp E U0, tương tự như Phần 5, ta đặt k i , với

i k

Trường hợp này ta có sự phản xạ toàn phần Sóng phản xạ có dạng:

) (

0

0 1

i k

i k

Như vậy, sự phản xạ làm dịch chuyển pha của sóng tới Sóng truyền qua miền II khác không và có dạng:

x x

ikx

i k

k Ce

2 0 2

2 2

Hình 10: Hàm sóng của hạt qua thế bậc thang trong trường hợp năng lượng E U0

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 20

7 Chuyển động qua hàng rào thế

Bây giờ ta xét chuyển động của hạt từ trái

qua phải và gặp hàng rào thế có dạng đơn giản

như ở Hình 11 Biểu thức giải thích của thế

năng là

( ) {

Theo cơ học cổ điển nếu hạt có năng lượng

nhỏ hơn độ cao U 0 của rào thế thì hạt bị chặn

lại ở miền II được Trong lúc đó theo phần 6 đã

xét ở trên thì ngay cả khi năng lượng của hạt

nhỏ hơn độ cao hàng rào thế U0, hạt vẫn có khả năng xuyên qua miền II để

có mặt ở miền III bằng hiệu ứng đường ngầm Ta sẽ tìm hệ số truyền qua bằng cách giải phương trình Schrodinger cho từng miền khác nhau của thế năng

ik Ae e

1

0 0

)

x x

e B Be

i x ik Ce

2

1

3

C j

j T

x i

B Be a

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 21

ik a

2

Ta được một hệ 4 phương trình tuyến tính bậc nhất

0 1 '  

Trước hết ta phải tìm các hệ số B và B’ rồi thay vào phương trình để tìm C:

+ Khử hệ số A: Nhân phương trình (2.55a) cho ik0 rồi cộng với phương trình (2.55b), ta được:

B e ik ik

B e

B e

ik

e ik ik

0

0 0

ik

e ik ik

0

0 0

e ik e

ik

e ik C

0 0

ik

MS    2 

0 2

e ik

k     

0 2 0

2 0 2

2

a2  k022sha  2ik0 2cha



SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 22

Từ đó, ta đƣợc:

e ik C

a ik

0 2

C C

0 2 0

2 0 2

0 2

2 2

2 2 0 2

0 2

k C

C C D

e e a

e T

0

2 2



 , với

E

E U k

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 23

Hình 12: Hàm sóng của hạt có năng lượng E U0 khi đi qua hàng rào thế

Thật vậy, giả sử chọn U0  E  1 , 28 10 31J , 31

10 8 ,



m kg (khối lượng electron), ta có sự phụ thuộc của T vào giá trị của a như sau:

a(m) 10-10 1,5.10-10 2,0.10-10 5,0.10-10

T 0,1 0,03 0,008 5,0.10-7 Như vậy, hiệu ứng đường ngầm là một hiện tượng biểu hiện rõ tính chất sóng của hạt vi mô, điều này không thể có đối với hạt vĩ mô

Công thức chỉ áp dụng cho hàng rào

thế dạng hình chữ nhật Đây là một

trường hợp lý tưởng Trong trường hợp

hàng rào thế có dạng như ở Hình 13, ta

có thể áp dụng công thức trên bằng cách

chia hàng rào thế này vô số các hàng rào

thế vuông góc rộng dx, cao U(x) Hạt có

năng lượng E đi vào hàng rào thế tại

điểm x  x1 và ra khỏi hàng rào tại x  x2

Khi đó, công thức tính hệ số truyền qua

T T

Cơ học lượng tử cho rằng năng lượng của hạt không thể là tổng động năng và thế năng của hạt vì theo nguyên lý bất định Heisenberg thì xung

Hình 13: Hàng rào thế có dạng bất kỳ

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 24

lượng (động năng) và tọa độ (thế năng) của hạt không đồng thời xác định Năng lượng của hạt chính là trị riêng của toán tử Hamilton khi thế năng không phụ thuộc tường minh vào thời gian

Hiệu ứng đường ngầm được ứng dụng rộng rãi để giải thích các hiện tượng vật lý như: sự phát electron lạnh, sự phân rã alpha, hoạt động diode tunnel,…

8 Dao động tử điều hòa lượng tử

Dao động điều hòa là một dạng

chuyển động rất quan trọng trong vật lý

nói chung và vật lý chất rắn nói chung

Đó là dao động của các ion hoặc nguyên

tử quang vị trí cân bằng trong mạnh tinh

thể, dao động của các nguyên tử trong

phân tử,… Bài toán về dao động điều hòa

lượng tử được ứng dụng nhiều trong vật

lý lý thuyết như lý thuyết bức xạ cân

bằng, lý thuyết phổ, lý thuyết nhiệt dung

của vật rắn,…

Trước hết ta xét trường hợp dao động tử điều hòa một chiều với thế năng

có dạng parabol đối xứng

2 2

2

1 )

Theo quan điểm cổ điển của hạt sẽ chuyển động dao động với biên độ phụ thuộc vào cơ năng ban đầu E Cơ năng này có thể cung cấp cho hạt dưới dạng thế năng (độ lệch ban đầu), dưới dạng động năng (vận tốc ban đầu), hoặc cả thế năng và động năng ban đầu Nếu bỏ qua mọi sự hao hụt về năng lượng thì trong quá trình chuyển động, động năng và thế năng có thể thay đổi nhưng tổng của chúng là một đại lượng không đổi và bằng năng lượng ban đầu Đối với một giá trị bất kỳ của E sẽ có hai giới hạn của biên độ dao động, được xác định bởi x  x C (điểm lùi cổ điển) Sau đây ta sẽ giải bài toán dao động tử điều hòa lượng tử bằng phương pháp giải tích

Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian có dạng

0 2

2 2







Để giải phương trình này ta dùng phương pháp đổi biến số

Hình 14: Sơ đồ thế năng của dao động tử điều hòa Tại các

lượng toàn phần E

SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 25

x

m 2 1

k

k k a

1

'

k

k k ka

a k

k a

1 2

1 2