skkn phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ . thpt vĩnh lộc

GIẢ THIẾT KHOA HỌC Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đónhững câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinhchủ động tiến hành các h

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

-*** -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I XUẤT PHÁT ĐIỂM VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là một phần kiến thứctrọng tâm và then chốt trong chương trình đại số lớp 10 ở bậc THPT Ở đây,các em học sinh được trang bị một cách đầy đủ, hoàn chỉnh và chi tiết về kháiniệm phương trình , bất phương trình và hình thành các kỹ năng giải cácphương trình, bất phương trình đại số,vô tỷ

Việc giải phương trình và bất phương trình vô tỷ giúp phát triển tư duy củahọc sinh đặc biệt là tư duy lý luận và tư duy giải quyết vấn đề của học sinh Đây là một lớp các bài toán hay, khó và đem lai nhiều hứng thú cho họcsinh nhưng cũng đồng thời đem lại nhiều khó khăn bỡ ngỡ như: phức tạp vàkhông có các bước giải mẫu mực sẵn có; tìm được nghiệm mà không biết cáctrình bầy, giải sai, giải thiếu nghiệm hoặc không tìm được lời giải

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Thực tế cho thấy, trong nhiều năm qua để đánh giá khả năng tư duy vàphẩm chất trí tuệ của học sinh thông qua các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyểnsinh đại học, cao đẳng người ra đề đã chọn phương trình, hệ phương trình vàbất phương trình vô tỷ như một phần chung, bắt buộc cho tất cả các thí sinh Đây là một trong những đề tài mà nhiều người quan tâm xong chưa có một

hệ thống đầy đủ và đa dạng bài tập cũng như các phương pháp giải khiến chohọc sinh không khỏi khó khăn vướng mắc khi đứng trước dạng bài tập này Kiến thức này được giảng dạy cho các em học sinh ở khối lớp 10 lần đầutiên được tiếp cận với phương pháp học mới với những yêu cầu và đòi hỏi caohơn học sinh THCS về khả năng tự học, tự nghiên cứu mà hệ thống bài tậpnày trong sách giáo khoa lại không nhiều

III GIẢ THIẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập một cách hợp lý, lồng ghép vào đónhững câu hỏi, tình huống gợi vấn đề trong quá trình giảng dạy để học sinhchủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa …các bài toán với sự trợ giúp thích hợp sẽ giúp các em phân loại, nhận dạng vàgiải được các phương trình bất phương trình vô tỷ và hệ phương trình vô tỷđồng thời góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN 1:MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

I MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Mục đích nghiên cứu

Trước những thực tế đặt ra trên, ta cần hướng dẫn cho các em học sinh lớp

10 biết cách phân loại và nhận dạng các phương trình và bất phương trình vô

tỷ nhằm vào các mục đích sau:

1.1 Thứ nhất: giúp các em giải quyết tốt bài toán giải phương trình, bất

phương trình vô tỷ, hệ phương trình vô tỷ và các bài toán có liên quan Hìnhthành được một hệ thống kiến thức tổng hợp và vững chắc về lĩnh vực này

-1.2 Thứ hai: củng cố và khắc sâu các kiến thức đại số có liên quan như

phương trình và bất phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình và bấtphương trình quy về bậc hai Rèn luyện kỹ năng biến đổi, tính toán

1.3 Thứ ba: rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo; tư duy giải quyết vấn đề

tư duy biện chứng; xây dựng và phát triển lòng say mê và yêu thích toán họcnói riêng và khoa học nói chung

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được các mục đích đặt ra như trên, đề tài xác định giải quyết cácnhiệm vụ sau:

2.1 Nhiệm vụ 1: Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của việc giải bài

toán giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình vô tỷ

2.2 Nhiệm vụ 2: Xây dựng hệ thống bài tập và phân dạng bài tập giải

phương trình hệ và bất phương trình vô tỷ

II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Với mục đích nhiệm vụ đặt ra như trên, sau nhiều năm nghiên cứu và thựcnghiệm tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “ Phân loại bàitập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ” bằng việc phối hợp cácphương pháp nghiên cứu sau:

1 Nghiên cứu lí luận: Hình thức chủ yếu tôi dùng là nghiên cứu tài liệu lí

luận và phân tích tiên nghiệm Sử dụng các kiến thức có trong sách giáo khoatheo chương trình mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các kết quả đã có trongmột số tài liệu có liên quan trên cơ sở kế thừa những cái hay, phê phán nhữngcái dở, bổ sung và hoàn chỉnh những tri thức đã đạt được Đồng thời dựa vàonhững yếu tố lịch sử, những cách tiếp cận khác nhau của lí thuyết về nghiệmcủa phương trình bất phương bậc nhất, bậc hai và các phương trình bấtphương trình quy về bậc hai để dự kiến những quan niệm có thể có của họcsinh về bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỷ cũng như hệphương trình và các bài toán có liên quan

2 Quan sát điều tra: Tiến hành theo dõi quá trình phát hiện và lĩnh hội

kiến thức để giải quyết các bài toán có liên quan đến việc giải các phươngtrình và bất phương trình vô tỷ theo trình tự thời gian trên một lớp các đốitượng là các em học sinh lớp 10 lớp 11 và lớp 12 của trường THPT Vĩnh Lộc

3 Tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá

trình thực hiện Từ đó khám phá ra những mối liên hệ có tính quy luật của vấn

đề đặt ra

4 Thực nghiệm giáo dục: Từ việc tạo nên một loạt những tác động sư

phạm lên một lớp đối tượng gồm các em học sinh lớp10 THPT nhằm xác định

và đánh giá kết quả của những tác động đó Lấy học sinh lớp 11 và 12 để sosánh hiệu quả của tác động giáo dục này lên tư phẩm chất trí tuệ và năng lực

tư duy của các em khi giải quyết các vấn đề khác và các vấn đề có liên quan

III tæ chøc nghiªn cøu

1 Thời gian nghiên cứu: Đề tài được nghiên cứu từ tháng 8 năm 2011

đến tháng 5 năm 2013 theo các giai đoạn sau:

* Giai đoạn 1: Từ tháng 8 năm 2011 đến tháng 10 năm 2011 Đây là giai

đoạn thu thập tài liệu, xác định phương pháp, các nhiệm vụ và các vấn đề cầnthiết trong quá trình nghiên cứu của đề tài Lập đề cương nghiên cứu

* Giai đoạn 2: Từ tháng 10 năm 2011 đến tháng 02 năm 2012 tôi thu thập

các tài liệu chuyên môn, tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài Tiếnhành phân dạng các bài tập cơ bản Sau khi giải quyết các nhiệm vụ mangtính chất lí luận tôi xây dựng hệ thống các bài tập mẫu có tính chất khái quátcủa vấn đề đặt ra Và ứng dụng trong thực tiễn giảng dạy, kết hợp đồng thờivới việc quan sát và theo dõi quá trình phát hiện, lĩnh hội kiến thức của họcsinh

* Giai đoạn 3: Từ tháng 3 năm 2012 đến tháng 5 năm 2012 Tiến hành thu

thập các kết quả của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1

* Giai đoạn 4: Từ tháng 5 năm 2012 đến tháng 5 năm 2013 Dựa trên các

kết quả thu thập được của quá trình thực nghiệm giáo dục lần 1, tôi điềuchỉnh và tiến hành thực nghiệm lần 2, kiểm nghiệm và so sánh kết quả trênlớp các đối tượng học sinh được thực nghiệm và không được thực nghiêm.Sau đó tổng kết đánh giá và khái quát kinh nghiệm trong quá trình thực hiệnnhằm đúc kết mối liên hệ có tính quy luật của vấn đề Cuối cùng là bổ sung vàhoàn thiện các tri thức đã đạt được và tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm

2 Đối tượng nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu trên được thực nghiệm

đồng thời trên hai nhóm các đối tượng học sinh

Nhóm 1: Các em học sinh lớp 10A3,10A7 trường THPT Vĩnh Lộc vớinhiệm vụ là xây dựng cho các em cơ sở lí luận và thực tiễn của việc phân loại

và giải các phương trình và bất phương trình vô tỷ

Nhóm 2: Các em học sinh lớp 12A1, 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc vớinhiệm vụ là ứng dụng việc giải phân loại và giải các phương trình và bấtphương trình vô tỷ vào việc giải quyết các bài toán đại số và giải tích có liênquan như: giải phương trình lượng giác có chứa căn, giải phương trình hệphương trình và bất phương trình mũ, logarit có chứa căn

PHẦN 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN

I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Khái niệm phương trình một ẩn

D  Mệnh đề chứa biến “ f x g x ’’ được gọi là phương trình một

ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D là tập xác định Số x 0 D gọi là nghiệmcủa phương trình nếu “ f x0 g x0 ’’ là mệnh đề đúng Tập hợp tất cả cácnghiệm được gọi là tập nghiệm Giải phương trình là tìm tập nghiệm

Hai phương trình cùng ẩn gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.Phép biến đổi tương đương là phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm

b Các phép biến đổi tương đương phương trình

Định lí: Phương trình f x g x có tập xác định D;h x là hàm số xácđịnh trên D(h x có thể là hằng số) Khi đó trên D, f x g x tương đươngvới

1) f x h x g x h x

2) f   x h x g   x h x nếu h x  0 với mọi x  D

Hệ quả: Cho phương trình f x g x có tập xác định D

1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: f x g x f x 2n 1 g x 2n 1 ;n N*

f  , f x g x được gọi là bất phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số

(hay ẩn) và Dđược gọi là tập xác định Số x 0 D gọi là một nghiệm nếu “

2.2 Các phép biến đổi tương đương bất phương trình

Định lí: Cho f x g x có tập xác định D; h x là một hàm số xác đinh trên

D(h x có thể là một hằng số) Khi đó trên D, f x g x tương đương với 1) f x h x g x h x

2) f   x h x g   x h x nếu h x  0 với mọi x  D

3) f   x h x g   x h x nếu h x  0 với mọi x  D

Hệ quả: Cho bất phương trình f x g x có tập xác định D

1 Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: f x g x  f x2n1 g x 2n1;nN*

2 Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc chẵn: Nếu f x và g x không âm

2 Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: 2 0

x  '

Nếu   0 thì phương trình (1) có 2

nghiệm phân biệt:

a

b x

2

2 , 1

a

b

2 ,

Ứng dụng 2:Đồ thị của hàm đồng biến là một đường đi lên từ trái sang phải.

Đồ thị của hàm nghịch biến là một đường đi xuống từ trái sang phải Do đóhai đồ thị hàm số y  f x đồng biến và y  g x nghịch biến trên khoảng (a;b)nếu cắt nhau trên (a;b) thì chỉ cắt tại duy nhất một điểm Khi đó phương trình

 x g x

f  nếu có nghiệm trên khoảng (a;b) thì nghiệm này là duy nhất Điềunày vẫn đúng nếu một trong hai hàm là đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng Chú ý: Khẳng định trên không đúng nếu y  f x và y  g x là những hàmcùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến

III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

2 Định lí thuận về dấu tam thức bậc hai

Định lí: Cho tam thức bậc hai f x ax2bxc ( a 0)

Nếu   0 thì tam thức f x cùng dấu với a với mọi x  R

Nếu   0 thì tam thức f x cùng dấu với a với mọi

x

2

\

Nếu   0 thì tam thức f x có hai nghiệm x1; x2 và:

Tam thức f x cùng dấu với a với x  ;x1  x2; 

Tam thức f x trái dấu với a với x x1; x2

3 Cách lấy nghiệm của bất phương trình bậc hai

dấu tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau:

a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T x R

Th2: Nếu 

-





 0 0

a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T x  

a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

a thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

x1; x2

T x  , trong đó x1; x2 là hai nghiệm của phương trình

0

; 0

4 Cách giải bất phương trình tích và thương các nhị thức và tam thức

Cho bất phương trình: f x  0( hoặc f x  0 ;f x  0 ;f x  0 ) trong đó f x

là tích hoặc thương của các nhị thức và tam thức ta có hai cách giải sau:

Cách 1: Lập bảng xét dấu của các nhị thức, tam thức có trong f x và dấu

Bước 2: Lấy một giá trị x0 trên trục số thuộc tập xác định và không trùng với

 x

f trên khoảng chứa x0 Dấu của f x sẽ bị đổi dấu khi đi qua các nghiệmbội lẻ đã xếp trên trục số

Bước 3: Chọn miền nghiệm của bất phương trình là miền giá trị của biến x

làm dấu của f x cùng dấu với bất phương trình

PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế Khigiải các phương trình này ta phải khử căn thức để đưa về phương trình đã biếtcách giải như: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trìnhtích… Tùy vào đặc điểm cụ thể của mỗi phương trình mà ta sử dụng phươngpháp thích hợp để biến đổi thì mới khử được căn thức Để học sinh dễ tiếp cận

và rèn luyện kỹ năng biến đổi, nhận dạng từng phương trình, tôi đã thiết lậpmột hệ thống bài tập từ dễ đến khó và phân dạng theo từng phương pháp biếnđổi xử lý căn thức như sau:

1 Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương

Đây là dạng phương trình vô tỷ cơ bản và đơn giản nhất

Để giải chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thôngthường như đã nói ở Phần 2, mục I.1.2 để đưa phương trình đã cho về phươngtrình tích hoặc phương trình hữu tỷ đã biết cách giải.

Các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép

cô lập căn thức rồi nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức.Thông thường chúng có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với cănbậc hai :

2 0

g x f x h x g x f x

h x g x f

2 2

0 0

Tương tự ta cũng sẽ có các dạng phương trình vô tỷ như trên nhưng ứng vớicác căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4… và vế trái là tổng của nhiềucăn thức cùng bậc hơn

Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai

vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn Và có thể ban đầu cácphương trình đã cho chưa ở dạng trên nhưng sau một vài phép biến đổi tươngđương đơn giản học sinh có thể biến đổi về các dạng này hoặc phương trìnhtích của một trong các biểu thức dạng này mà có một vế bằng 0

12 2

12

x x

1 1

* 1 1

x x x

x x

x x x x x

2

1 2

1 1 0 1 0 1 1

1 1

1

2

2 x x x

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là T x  2

2 Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Sau đây là dạng phương trình vô tỷ không cơ bản Để giải chúng ta khôngthể chỉ sử dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ởtrên vì nếu chỉ biến đổi như vậy sẽ có thể nhận được phương trình mới phứctạp hơn và không giải được Vì vậy đòi hỏi học sinh phải quan sát thật tinh tếcác biểu thức có trong phương trình và biến đổi chúng thành những biểu thứcchung, giống nhau rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đãcho về phương trình mới hoặc hệ phương trình đã biết cách giải Như vậy tôi

-có thể chia lớp bài toán này thành ba dạng đặt ẩn phụ khác nhau tùy vào đặcđiểm nhận dạng và cách giải cụ thể của chúng như sau:

a Đặt ẩn phụ đưa về phương trình mới dễ giải hơn

Đặc điểm nhận dạng: Quan sát phương trình ta thấy có thể biến đổi các biểu

thức chứa ẩn trong phương trình về một biểu thức giống nhau Khi đó ta thựchiện các bước giải như sau:

Các bước giải:

Bước 1: Quan sát phương trình và biến đổi để tìm ra biểu thức giống nhau

 x

k rồi đặt biểu thức đó lầm ẩn mới: t  k x

Bước 2: Tìm điều kiện của ẩn mới trên cơ sở điều kiện của ẩn cũ (nếu có).Đây chính là bài toán tìm miền giá trị của hàm số t  k x ( cũng là bài toántìm max, min của hàm số )

Bước 3: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới (chỉ chứa ẩnmới, không còn chứa ẩn cũ)

Bước 4: Biến đổi yêu cầu bài toán cũ thành bài toán mới cho phù hợp vớiyêu cầu phương trình mới Giải bài toán mới, tìm nghiệm ẩn mới

Bước 5: Thay nghiệm của ẩn mới vừa giải được vào cách đặt ở bước 1 đểtìm nghiệm là biến cũ

4 1

x x

1 x  x   x2 14) x 1  4  x  5  x 1  4  x 15)

2

1 2 2 3

2 3

4 3 2

27) 7

2

1 2 2

3

x

x x

1 1 2

x

x x

Giải: Đk:  

2

3

; 2

0 8 8

0 0

8 8 4

2

2

2 3

2 4 4

2

t t t

l t t

t

t t

t t t

t

5 1

1 2

2 1 2 4 1

x

x x

x x

Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm là:

1 1 1 1

1

a a a a a a a a a a a

a

(thỏa mãn)

Với a=1 thay vào cách đặt được x=1 (thỏa mãn)

Với a=-2 thay vào cách đặt được x=10 (thỏa mãn)

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là T x 1 ; 2 ; 10

Ví dụ 3: Giải phương trình sau 28) 1235

Giải: Nhận thấy điều kiện xác định và có nghiệm của phương trình là:

144

1225 1

2

2 2

2 2

x x

144

1225 1

2 1

1

2

2 2

2 2

x x

x

144

1225 1

2

2 2

tm t

t t

12 49 12 25 144

1225 2

2

12

25 1

2 2

x x

16 25 9 25

2 2

x

x x

5

; 3

5

x

b Đặt ẩn phụ đưa về phương trình chứa hai ẩn

Phương pháp giải: Ngoài những dạng phương trình vô tỷ như đã nói ở trên,

ta còn gặp những phương trình mà không thể biến đổi các biểu thức chứa ẩn

về một biểu thức giống nhau Ta có thể đặt căn thức làm ẩn mới rồi biến đổiphương trình đã cho về phương trình mà có chứa cả hai ẩn cũ và mới Lúc này

ta coi một trong hai ẩn làm tham số, giải phương trình với ẩn còn lại rồi thaykết quả vừa tìm được vào cách đặt để tìm ẩn ban đầu Về thực chất thì đâycũng là phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ xong ta không chỉ rõ hệ mà thôi

Đặc điểm nhận dạng: trong những phương trình này thường xuất hiện biểu

thức tích của một căn thức với một đa thức chứa ẩn, đồng thời xuất hiện một

đa thức bậc hai hoặc đa thức có cùng bậc với bậc của đa thức trong căn

x t

2 1

1 2

Với t  2 x 1 thay vào cách đặt ta được:

3 3 0 1

0 4 3 2 1 4 2

Bài 4 Giải các phương trình sau