D10 c4 b2

Bất phương trình tương đương Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm có thể rỗng là hai bất phương trình tươngđương và dùng kí hiệu "Û " để chỉ sự tương đương của hai bất phươ

BÀI 2_CHƯƠNG 4_ĐẠI SỐ 10 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN

I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1 Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

( ) ( ) ( ( ) ( )) 1( )

f x <g x f x £ g x

trong đó f x( ) và g x( ) là những biểu thức của x.

Ta gọi f x( ) và g x( ) lần lượt là vế trái của bất phương trình ( )1 Số thực x0 sao cho( )0 ( )0 ( ( )0 ( )0 )

f x <g x f x £ g x

là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ( )1 Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vônghiệm

Chú ý:

Bất phương trình ( )1 cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g x( )>f x( ) (g x( )³ f x( )).

2 Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f x( ) và g x( ) có nghĩa là điềukiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình ( )1

3 Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xemnhư những hằng số và được gọi là tham số Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xemvới các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm cácnghiệm đó

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm

III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tươngđương và dùng kí hiệu "Û " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương vớinhau và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương đó

2 Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phươngtrình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơngiản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổitương đương

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

có thể bị thay đổi Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏamãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới

2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P x( )<Q x( ) với biểu thức f x( ) ta cần lưu ý đến điềukiện về dấu của f x( ). Nếu f x( ) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trườnghợp Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình

3) Khi giải bất phương trình P x( )<Q x( ) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trườnghợp

a) P x Q x( ), ( ) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình

b) P x Q x( ), ( ) cùng có giá trị âm ta viết

( ) ( ) ( ) ( )

P x <Q x Û - Q x <- P x

rồi bình phương hai vế bất phương trình mới

1 Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CẶP BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

a) Phương pháp giải tự luận.

 

x x

; 3

Ví dụ 3 Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất

55

Vì hai bất phương trình này không có cùng tập nghiệm nên chúng không tương đương nhau.

Ví dụ 4 Khẳng định nào sau đây đúng?



x  x1.

C 2

10

Vì a b     a c b c,   c Trong trường hợp này c x 

b) Bài tập vận dụng có chia mức độ

NHẬN BIẾT

Câu 1 Tập xác định của hàm số y 3 2 x 5 6 x là

A B C D Câu 2 Tập xác định của hàm số là

Câu 9 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình

[ 1; ).

x Î - +¥ x Î - +¥( 1; ). x Î -[ 1; +¥ ) { }\ 2 x Î - +¥( 1; ) { }\ 2

x <

2

x ¹

5 2

Câu 21 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có tập xác định là mộtđoạn trên trục số.

2 Dạng 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

a) Phương pháp giải tự luận.

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình:

*Giải theo tự luận:

m>-2.

m>-a (a+ 1)x a- + > 2 0 (a–1)x a- + > 3 01

m (m+ 2)x m£ + 1 3m x( - 1)£ - -x 13

m (m+ 3)x³ 3m- 6 (2m- 1)x m£ + 21

Vậy Tập nghiệm của bất phương trình là: S     ; 1.

*Giải theo pp trắc nghiệm:

Thay x  , thỏa mãn  Loại A, D.2

Thay x  , không thỏa mãn  Loại B Vậy chọn đáp án C.0

Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: 2x1x là S a b; 

Tính P a b . ?

A

12

P 

B

16

P 

13

P 

Lời giải Chọn D.

*Giải theo tự luận: 2x1 x (1)

TH1:

12

S 

  Và

13

P 

Ví dụ 3: Cho bất phương trình:

112

x x

*Giải theo tự luận: ĐK: x 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm

*Giải theo trắc nghiệm:

Thay x ; x 11  ;x3 ;x 0 vào bất phương trình, ta thấy x là nghiệm của bất1phương trình, còn các giá trị khác thì không Vậy chọn x 1

b) Bài tập vận dụng có chia mức độ



x

B

2320

x 

C

52

x  

D

2023

x 

Câu 4: x là nghiệm của bất phương trình nào sau đây:2

 x  x x x

D 5x 6 3x

Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình

21

 

 là:

Câu 18: Cho bất phương trình: 2 2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình

x 2 x

2x

 

 là:

Chọn A.

*Giải theo pp trắc nghiệm

Thay x ; x 11  ; x 2 ; x2 vào bất phương trình, ta thấy tất cả đều là nghiệm của bất phươngtrình, Vậy chọn x 2 là giá trị nguyên lớn nhất

Câu 20: Cho bất phương trình:

3 Dạng 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN a) Phương pháp giải tự luận.

Ví dụ 1: Bất phương trình mx 3 m vô nghiệm khi:

Lời giải Chọn A.

*Giải theo tự luận:

Bất phương trình mx 3 m vô nghiệm khi:

*Giải theo pp trắc nghiệm:

Thay m 0 , bất phương trình đã cho vô nghiệm  Vậy chọn đáp án A

Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình m x2  3 mx có nghiệm?4

A m 1 B m 0 C. m 0 và m 1 D   m

Lời giải Chọn D.

*Giải theo tự luận:

Vậy với   m , bất phương trình có nghiệm

Ví dụ 3: Điều kiện của m để bất phương trình: 2m1x m  5 0 nghiệm đúng với  x 0;1

m

D m 5Lời giải



TH2:

12

TH3: Với

12

m

,  không có m thỏa mãn.

Vậy với m 5, bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  x 0;1

*Giải theo trắc nghiệm:

Câu 3: Cho bất phương trình: mx 6 2x3m Tập nào sau đây là phần bù của tập nghiệm của bất

phương trình trên với m 2 :

Câu 12: Với giá trị nào của m thì bất phương trình

5

72

m  

B

83

m 

C

83

m  

D

83

m 

Câu 15: Với m 0 thì bất phương trình mx  3 0 :

A vô nghiệm B đúng   x C đúng  x 0 D có nghiệm x 0Câu 16: Với m 2 thì bất phương trình mx 5 2x :

Câu 17: Với m 2 thì bất phương trình mx 5 2x :

A vô nghiệm B đúng   x C đúng  x 0 D có nghiệm x 1

Câu 18: Với

12

m 

Câu 21: Điều kiện của m để bất phương trình m2x2m2 6

m 

B

32

Câu 24: Cho bất phương trình: m x3 2m x2 1 Xét các mệnh đề sau:

(I)Bất phương trình tương đương với x m 1  2m1

(II) Với m 0 , bất phương trình thỏa   x

(III) Giá trị của m để bất phương trình đúng  x 0 là ; 1  0

(I)Bất phương trình tương đương với mx  2 0

(II) m 0 là điều kiện cần để mọi x 1 là nghiệm của bất phương trình (*)

(III) Với m 0 , tập nghiệm của bất phương trình là

Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ

Câu 2: Cho bất phương trình: m x m    Các giá trị nào sau đây của x 1 m thì tập nghiệm của bất

phương trình là S    ;m :1

Lời giải Chọn C.

*Giải theo tự luận:

Bất phương trình m x m    x 1 (m1)x(m1)(m1)

Để tập nghiệm của bpt là S    ;m thì 1 m 1

 Vậy chọn đáp án C

Câu 3: Cho bất phương trình: mx 6 2x3m Tập nào sau đây là phần bù của tập nghiệm của bất

phương trình trên với m 2 :

A S 3; B S  3; 

C S    ;3

D S    ;3

Lời giải Chọn D.

*Giải theo pp tự luận

Lời giải Chọn A.

*Giải theo pp tự luận

*Giải theo pp tự luận

Bất phương trình m2 m x m  6x 2 (m2)(m 3)x 2 m

có tập nghiệm là R khi( 2)( 3) 0

2

m m

Chọn B.

*Giải theo pp tự luận

m x m  x m  m m x  

TH1: Nếu m 1 thì BPT  0x0 nên BPT vô nghiệm

TH2: Nếu m 1 thì BPT  (m1)x m  3 vô nghiệm

1 0

3 0

m m

*Giải theo pp tự luận

m 

Lời giải Chọn D.

*Giải theo tự luận:

m 3x3m 7 0  (m 3)x 7 3m (*)

TH1: Với m 3 , bất phương trình (*) trở thành:

7 33

m x

m S

m x

m S

m 

, bất phương trình đã cho nghiệm đúng với  x 2; 

Câu 23: Điều kiện của m để bất phương trình m2x2m2 6 nghiệm đúng với  x 1 ?

A m  2 B m 2 C m  2 D không có m

Lời giải Chọn D.

*Giải theo tự luận:







Tập nghiệm của bất phương trình là

2

;2

m S

m S

Kết hợp điều kiện m  2  không có m

Vậy không có m thỏa mãn

Câu 23: Cho bất phương trình : mx2m2 2x8  Xét các mệnh đề sau:

Chọn B.

mx2m2 2x8   m 2x2m 2 m2

(1)Với m 2 , bất phương trình trở thành : x2m2

Với m 2 , bất phương trình (1) luôn đúng

(I)Bất phương trình tương đương với x m 1  2m1

(II) Với m 0 , bất phương trình thỏa   x

(III) Giá trị của m để bất phương trình đúng  x 0 là ; 1  0

a) Phương pháp giải tự luận.

Ví dụ 1: Tập nghiệm của hệ bất phương trình

Vậy hệ bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Tập nghiệm của hệ bất phương trình

Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm là S   3;3 

b) Bài tập vận dụng có chia mức độ

x x

x x

x x

x x







x x

4 3

3 2

là:

A

42; 5

  B

42; 5

Câu 8: Tập nghiệm của hệ bất phương trình

10 3 0

x x

a) Phương pháp giải tự luận.

Ví dụ 1 Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ?

Lời giải

 x  Vậy (I) đúng.

 Với m0thì

225

 x  Vậy (II) sai

 Với m0 thì

225

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình

Hệ bất phương trình có nghiệm

14

5 5

A m4 B m4 C m4 D m4.

Câu 2 Hệ bất phương trình

1 0 0

m£

-C

3 2

m>-D

3 2

x

x m

ìï - ïïï

x

x m

ìï - £ ïí

íï - £

ïî có nghiệm duynhất

C

72 13

m<

D

72 13

m³

C

5 2

m<

D

5 2

m³

C

72 13

m<

D

72 13

-ïïï + £ - +íï

ïï + > - +ïïî vô nghiệm khi và chỉ khi:

-ï + £

-ïî vô nghiệm khi và chỉ khi:

A m>1. B m³ 1. C m<1. D m£1.

Bảng đáp án

Hai bấtphươngtrình tươngđương

Giải bấtphươngtrình bậcnhất 1 ẩn

Tìm tham số

phương trìnhbậc nhất 1 ẩn

có nghiệmthỏa đk

Giải hệbấtphươngtrình bậcnhất 1 ẩn

Tìm tham

số để hệbất phươngtrình cónghiệmthỏa đk

3 x  (1) Một học sinh giải như sau:

Câu 8 Nghiệm của bất phương trình

3 2

x  

A.x  hay 3 x  5 B.x   hay 5 x   3 C. x 3 hay x 5.D. x  

Câu 9 Tập nghiệm của bất phương trình x  x  3 3   x  3 là:

(I) Bất phương trình tương đương vớimx   ;2 0

(II) m  là điều kiện cần để mọi 0 x  là nghiệm của bất phương trình (*);1

(III) Vớim  , tập nghiệm của bất phương trình là 0

Câu 14 Cho bất phương trình m x m     0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tập x 1nghiệm của bất phương trình đã cho là S    ;m 1

x có nghiệm là

A

5 3

(I) Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm

(II) Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 

(III)Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là

2

;5

Câu 24 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình

(I) Bất phương trình tương đương vớimx   ;2 0

(II) m  là điều kiện cần để mọi 0 x  là nghiệm của bất phương trình (*);1

(III) Vớim  , tập nghiệm của bất phương trình là 0

12

12

(I) Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm

(II) Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 

(III)Khi m0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là

2

;5

A 1. B 0 C 2. D 3

Lời giải Chọn D

 x  Vậy (I) đúng

 Với m0thì

225

 x  Vậy (II) sai

 Với m0 thì

225

Hệ bất phương trình vô nghiệm m 1 3 m2

Câu 24 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình

Lời giải ChọnA

5

72

Hệ bất phương trình có nghiệm

14

5 5

m Hệ này luôn có nghiệm Vậy (I) đúng

Với

1 6

m

Hệ này vô nghiệm nếu

1 7





m m

Với m0 thì

7 01

C  II

, III, IV

33 x  (1) Một học sinh giải như sau:

và x³ 1 VI 1 x- £ và x 1 x- £ x2

Câu 16.Nghiệm của bất phương trình

( 4) 5

25

x x

Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?

Câu 20.Cho bất phương trình: 1 x mx  2 (*) Xét các mệnh đề sau:0

(I) Bất phương trình tương đương với mx   2 0

(II) m  là điều kiện cần để mọi 0 x  là nghiệm của bất phương trình (*)1

(III) Với m  , tập nghiệm của bất phương trình là 0

Câu 21.Cho bất phương trình: m x3 2m x2 1 Xét các mệnh đề sau:

(I) Bất phương trình tương đương với x m 1 2m1

(II) Với m  , bất phương trình thỏa x0   

(III) Giá trị của m để bất phương trình thỏa   là x 0

A Chỉ (II) B (I) và (II) C (I) và (III) D (I), (II) và (III)

Câu 22.Số 1 x  là nghiệm của bất phương trình 2m 3mx21 khi và chỉ khi

Câu 24.Điều kiện m để bất phương trình m21x m  2 0

có nghiệm với mọi giá trị của x là

x x

(I) Bất phương trình tương đương vớimx   ;2 0

(II) m  là điều kiện cần để mọi 0 x  là nghiệm của bất phương trình (*);1

(III) Vớim  , tập nghiệm của bất phương trình là 0

A Chỉ (I) B Chỉ (III) C (II) và (III) D Cả (I), (II), (III).

Câu 35.Cho bất phương trình: m x2 2 m x2 1  Xét các mệnh đề sau:

(I)

(I) Bất phương tŕnh tương đương vớix  2 x 1;

(II) Vớim  , bất phương tŕnh thoả 0   x ;

(III) Với mọi giá trị m   thì bất phương tŕnh vô nghiệm.

x  

2023

Câu 45.Tập nghiệm của hệ bất phương trình

13

4 3

32

x

x x