BÀI TẬP THỦY KHÍPHƯƠNG TRÌNH BECNULI

Chuyển động ổn định và chuyển động không ổn định: còn gọi là chuyển động dừng và không dừng Chuyển động không ổn định là chuyển động trong đó các thông số dòng chảy u, p, ρ, T, μ được

PHẦN 1: BÀI TẬP LẦN 1

1 PHÂN BIỆT CÁC CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA PHẦN TỬ:

1.1 Chuyển động ổn định và chuyển động không ổn định:

(còn gọi là chuyển động dừng và không dừng)

Chuyển động không ổn định là chuyển động trong đó các thông số dòng chảy (u, p, ρ, T, μ) được biểu diễn bằng hàm số phụ thuộc vào không gian và thời gian

1

u

u f (x, y, z, t) ; 0

t



2

p

p f (x, y, z, t) ; 0

t



Chuyển động ổn định là chuyển động trong đó các thông số dòng chảy (u, p,

ρ, T, μ) tại mỗi điểm không phụ thuộc vào thời gian, chỉ phụ thuộc vào tọa độ không gian

3

u

u f (x, y, z) ; 0

t



4

p

p f (x, y, z) ; 0

t



Thực tế là không có dòng chảy nào hoàn toàn ổn định, nhưng vì nghiên cứu dòng chảy ổn định đơn giản hơn nên trong kỹ thuật ta cố gắng tạo điều kiện cho dòng được ổn định

Dòng chất lỏng chảy qua lỗ và vòi khi có cột áp tác dụng của lỗ hoặc vòi không thay đổi theo thời gian cho ta hình ảnh về chuyển động ổn định Ngược lại, khi cột áp tác dụng qua lỗ của lỗ hoặc vòi thay đổi theo thời gian thì cho ta hình ảnh chuyển động không ổn định

Ví dụ: chuyển động của một dòng nước chảy từ một bình nước qua lỗ nhỏ trên thành bình (hình 1.1) là một dòng không ổn định nếu ta để mực nước hạ thấp dần theo thời gian từ mức 1 đến mức 2, mức 3, … ; vận tốc của dòng nước tại lỗ và tầm xa của nó giảm dần

Ngược lại, nếu ta giữ cho mực nước trong bình không đổi thì vận tốc u của dòng nước tại lỗ và tầm xa của tia nước không đổi (hình 1.2)

Đối với các dòng chảy trong kỹ thuật, công nghiệp, các thông số dòng chảy trên phụ thuộc vào không gian và thời gian, nhưng khi ta xét giá trị trung bình trong một thời gian T đủ dài thì chúng gần như không đổi, ta gọi đó là chuyển động ổn định trung bình thời gian

Trong chuyển động ổn định được phân ra làm hai loại:

1 Chuyển động đều: Dòng chảy chuyển động đều là dòng chảy trong đó có

sự phân bố vận tốc trên mọi mặt cắt ướt dọc theo dòng chảy đều giống nhau

2 Chuyển động không đều: Dòng chảy chuyển động không đều là dòng chảy

có sự phân bố vận tốc vận tốc u trên các mặt cắt ướt dọc theo dòng chảy không giống nhau

1.2 Chuyển động không xoáy và chuyển động xoáy:

Chuyển động quay của mỗi phần tử chất lỏng xung quanh một trục quay tức thời đi qua nó được gọi là chuyển động xoáy

1 rotu 2

Thực nghiệm chỉ ra rằng, trong tất cả các trường hợp của chuyển động chất lỏng thực, toàn bộ các miền dòng chảy hoặc các bộ phận cục bộ của nó đều có thể xảy ra chuyển động xoáy Ở những vùng không tồn tại chuyển động xoáy thì vùng

đó được gọi là chuyển động thế

Vậy chuyển động thế là chuyển động không xoáy của phần tử chất lỏng Trong trường hợp này, chuyển động của mỗi phần tử chất lỏng có thể chịu biến dạng nhưng không thực hiện chuyển động quay xung quanh trục tức thời đi qua bản thân nó

Việc nghiên cứu chuyển động thế có ý nghĩa quan trọng trong việc giải quyết

1

2

3

3 2 1

3

máy thủy khí có cánh, máy bay, tên lửa được giải quyết dựa trên giả thuyết về dòng chảy thế bao quanh chúng

1.3 Chuyển động một chiều, chuyển động nhiều chiều:

Dòng chuyển động một chiều là dòng chuyển động trong đó các thông số dòng chảy chỉ phụ thuộc vào một yếu tố của không gian

− u u(x, t)= : chuyển động một chiều không ổn định

− u u(x)= : chuyển động một chiều ổn định

Dòng chuyển động nhiều chiều là dòng chuyển động trong đó các thông số dòng chảy phụ thuộc vào hơn một yếu tố của không gian

− u u(x, y, t)= : chuyển động hai chiều không ổn định

− u u(x, y)= : chuyển động hai chiều ổn định

− u u(x, y,z, t)= : chuyển động ba chiều không ổn định

− u u(x, y,z)= : chuyển động ba chiều ổn định

Ví dụ:

1.4 Dòng chảy có áp và không có áp:

Dòng chảy đầy ống thì ta gọi là dòng có áp

Dòng chảy không đầy ống thì ta gọi là dòng không có áp

Hình 1.3: Dòng chảy có áp (a) và dòng chảy không có áp (b)

2 CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA DÒNG CHẢY:

2.1 Vận tốc, áp suất, khối lượng riêng, nội năng, nhiệt độ:

2.1.1 Vận tốc:

Vận tốc của một phần tử chất lỏng đo tại một vị trí nhất định trong dòng chất lỏng, ở mỗi thời điểm nhất định, gọi là vận tốc điểm tức thời, ký hiệu là u Trong dòng chảy rối, vận tốc điểm tức thời này luôn luôn thay đổi về hướng và giá trị Việc đo vận tốc điểm tức thời rất khó, đòi hỏi thiết bị rất tinh vi, nên thường người

ta thay vận tốc điểm tức thời bằng giá trị trung bình của nó trong một thời gian nhất định T, gọi là vận tốc điểm trung bình thời gian, ký hiệu u ;

T

0

1

T

=  Khi không cần nghiên cứu những hiện tượng đặc biệt của chuyển động, người ta thường lấy vận tốc điểm trung bình thời gian thay cho vận tốc điểm tức thời, nhưng vẫn dùng

ký hiệu u

Trong kỹ thuật, thông thường người ta hay dùng khái niệm vận tốc trung bình trên tiết diện ướt

Vận tốc trung bình trên tiết diện ướt là một giá trị tưởng tượng, mà mỗi phần

tử chất lỏng phải chảy theo vận tốc đó để đảm bảo cho lưu lượng đi qua tiết diện ướt được giữ nguyên như trong trường hợp mỗi phần tử chảy theo vận tốc điểm thực tế u

Từ Q ud v



=  =  ta suy ra: Q

Khi nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, có thể dùng phương pháp của Lagrăngjơ hoặc phương pháp của Ơle

Phương pháp Lagrăngjơ khảo sát chuyển động của từng phần tử chất lỏng riêng biệt Nếu dùng hệ tọa độ vuông góc Oxyz bất kỳ đặt trong môi trường chất

M(t)

M0(t0)

O

x

y

z

c

a b

z

Hình 2.1

O

z

y











z y x

u u

u

u

M(x,y,z)

Hình 2.2

y

lỏng, thì một phần tử chất lỏng ở thời điểm ban đầu (to) có vị trí Mo và tọa độ (a, b, c sẽ di chuyển đến vị trí M, tọa độ (x, y, z) ở thời điểm t (hình 2.1) Ta có: )

x x(a, b, c, t)

y y(a, b, c, t)

z z(a, b, c, t)

=

=

= Các tọa độ x, y, z của phần tử chất lỏng ở thời điểm t gọi là biến số Lagrăngjơ Có thể biết được chuyển động của phần tử và quỹ đạo của nó nếu biết được x, y, z

Trong thực tế, trừ vài trường hợp đặc biệt như nghiên cứu chuyển động của sóng, việc biết chuyển động riêng biệt của từng phần tử chất lỏng không quan trọng Hơn nữa, nó dẫn đến những tính toán phức tạp cho nên trong thủy lực học, phương pháp Lagrăngjơ được dùng ít hơn phương pháp Ơle

Trong phương pháp Ơle, ta nghiên cứu vận tốc của các phần tử chất lỏng tại nhiều điểm trong dòng chảy ở những thời điểm khác nhau Ví dụ ta xét một điểm M

có tọa độ x, y, z cố định trong không gian chứa chất lỏng chuyển động, và một phần

tử chất lỏng chuyển động với vận tốc u qua điểm M tại thời gian t: các hình chiếu

ux, uy, uz của vận tốc u lên các trục tọa độ gọi là biến số Ơle (hình 2.2)

Trong thực tế, phương pháp Ơle tiện hơn phương pháp Lagrăngjơ vì những

lẽ sau đây:

− Đối với một số dòng chảy thường nghiên cứu trong thủy lực, gọi là dòng chảy ổn định, thì ux, uy, uz không phụ thuộc thời gian

− Toàn bộ các vectơ vận tốc của các phần tử chất lỏng chuyển động qua các điểm cố định tạo thành một trường vận tốc có những tính chất của những trường vectơ, do đó việc tính toán được thuận tiện hơn

− Tiện lợi cho việc nghiên cứu thực nghiệm

2.1.2 Áp suất:

Áp suất thủy động có hướng khác nhau tùy theo chất lỏng ta nghiên cứu là chất lỏng lý tưởng hay chất lỏng thực Trong chất lỏng lý tưởng, áp suất thủy động hướng theo pháp tuyến của mặt chịu tác dụng; còn trong chất lỏng thực áp suất thủy động vẫn hướng vào mặt tác dụng, nhưng không hướng theo pháp tuyến, vì nó là tổng hợp của thành phần ứng suất pháp tuyến và thành phần ứng suất tiếp tuyến do lực nhớt gây ra

Có thể chứng minh rằng nếu tại một điểm ta biết các áp suất pháp tuyến px ,

py , pz lên ba mặt phẳng vuông góc với ba trục Ox, Oy, Oz của một hệ tọa độ vuông góc bất kỳ trong dòng chất lỏng, ta tính được giá trị của áp suất thủy động p tại điểm đó như sau:

p

3

2.1.3 Nhiệt độ tuyệt đối:

Nhiệt độ là một thông số trạng thái biểu thị mức độ nóng lạnh của vật, nó thể hiện mức độ chuyển động của các phân tử và nguyên tử Theo thuyết động học phân

tử thì nhiệt độ của chất khí là một đại lượng thống kê, tỉ lệ thuận với động năng trung bình chuyển động tịnh tiến của các phân tử

m T 3k



Trong đó:

− T: là nhiệt độ tuyệt đối của vật

− m: là khối lượng phân tử

− : là vận tốc trung bình chuyển động tịnh tiến của các phẩn tử

− k: là hằng số Bonzman, bằng 1,3805.10-23 j/K

Như vậy tốc độ chuyển động tịnh tiến của các phân tử càng lớn thì nhiệt độ của vật càng cao

Nhiệt độ ảnh hưởng rất lớn đến tính nhớt  thông qua đồ thị bên (hình 2.3)

Đối với chất nước thì  phụ thuộc vào lực liên kết giữa các phân tử chất lỏng nên nhiệt độ tăng thì lực liên kết giảm dẫn đến  giảm xuống

Ngược lại, đối với chất khí thì  phụ thuộc vào chuyển động nhiệt của phân tử chất khí Khi nhiệt độ tăng lên, chuyển động nhiệt càng mạnh dẫn đến  tăng lên

2.1.4 Khối lượng riêng và trọng lượng riêng:

Khối lượng là một thuộc tính của vật chất Chất lỏng có khối lượng; khối lượng của chất lỏng được đặc trưng bởi khối lượng của một đơn vị thể tích, gọi là khối lượng riêng hay khối lượng đơn vị, ký hiệu là 

Chất lỏng có khối lượng M, chiếm một thể tích V thì khối lượng riêng của chất lỏng được xác định như sau:

3

M

kg / cm

Chất lỏng ta khảo sát thường ở trong không gian trái đất, nghĩa là chịu trọng lượng của trường trọng lực Vì thế chất lỏng có trọng lượng; trọng lượng của chất lỏng được đặc trưng bởi trọng lượng của một đơn vị thể tích, gọi là trọng lượng riêng hay trọng lượng đơn vị, ký hiệu là γ Chất lỏng có khối lượng M chiếm một thể tích V, chịu sức hút của quả đất với gia tốc trọng trường g thì sẽ có trọng lượng :

 

Trọng lượng riêng của chất lỏng được xác định như sau:

3

G

N / m

Từ các biểu thức (2.4), (2.5), (2.6) ta suy ra liên hệ giữa trọng lượng riêng và khối lượng riêng như sau:

Chất khí

Chất nước

 , St

Hình 2.3 ,oC

.g N / m 

 =    Trong thực tế người ta còn dùng khái niệm tỷ trọng, chẳng hạn đối với chất lỏng là tỷ số giữa trọng lượng riêng của chất lỏng và trọng lượng riêng của nước thường ở nhiệt độ 4oC và ký hiệu:

n



 =

Tính nén được là tính giảm thể tích chất lỏng khi thay đổi áp suất Tính nén được đặc trưng bởi hệ số nén  , là sự thay đổi thể tích tương đối khi áp suất thay p đổi đi một đơn vị Ta có biểu thức xác định hệ số nén như sau:

2 p

o

m / N

o

V m  : thể tích ban đầu của chất lỏng

o

 = −   : lượng thay đổi thể tích của chất lỏng

o

p p p N / m 

 = −   : lượng thay đổi áp suất

Ta thấy rằng sự thay đổi áp suất và thể tích luôn ngược chiều nhau

Từ công thức trên, ta suy ra thể tích của chất lỏng ở áp suất p:

o

V=V 1− p m  (2.9) Kết hợp với (2.1), ta suy ra khối lượng riêng của chất lỏng:

2 o

p

kg / m

Trong đó: và là khối lượng riêng của chất lỏng tương ứng với áp suất p o

và p o

Thông thường trong kỹ thuật, ta hay dùng đại lượng nghịch đảo của hệ số nén, gọi là môđun đàn hồi của chất lỏng, ký hiệu là E:

2 p

1

E= N / m 

Hệ số nén của chất lỏng nói chung phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ Chẳng hạn tính trung bình đối với nước ở nhiệt độ và áp suất bình thường 8 2

E=2.10 N / m

Do đó khi áp suất tăng lên 2

1N / m thì thể tích của nước giảm đi 1 8

1.10 lần Từ đó ta

có thể suy ra rằng khi áp suất tăng đến 4000at thì khối lượng riêng chỉ tăng lên 2%

Vì vậy, trong thực tế có thể xem nước là loại chất lỏng không nén được

Sự giản nở là tính chất của chất lỏng thay đổi thể tích khi nhiệt độ thay đổi

Sự giản nở vì nhiệt được đặc trưng bởi hệ số giản nở  , là sự thay đổi của thể tích t khi nhiệt độ thay đổi một độ Theo đó ta có biểu thức xác định hệ số giản nở của chất lỏng:

  t

o

1/ K

T V



o

V V V m 

 

o

 = −

V=V 1+  T m 

Ta suy ra:

2 o

p

kg / m

Đối với các chất lỏng nén được (các chất khí lý tưởng) thì sự liên hệ khối lượng riêng , áp suất p và nhiệt độ T được biểu diễn bằng phương trình trạng thái:

Trong đó:

− v: thể tích riêng (thể tích của một đơn vị trọng lượng chất khí)

R [mol/K]: hằng số chất khí

Từ trên ta có thể rút ra:

3

p

kg / m

Nếu ta biết khối lượng riêng  ứng với trạng thái o (p , To o) thì có thể xác định được khối lượng riêng  ở trạng thái (p, T nhờ biểu thức trên và rút ra: )

p T

 = 

2.1.5 Các thông số đặc trưng khác của dòng chảy:

2.2 Các khái niệm về dòng chất lỏng không xoáy:

Chuyển động không xoáy của phần tử chất lỏng được gọi là chuyển động thế Trong trường hợp này, khi chuyển động mỗi phần tử chất lỏng có thể chịu biến dạng nhưng không thực hiện chuyển động quay xung quanh trục tức thời đi qua bản thân nó

2 =rotu= 0

Dựa vào biểu thức trên ta có thể xác định được các thành phần vận tốc ux,uy,

uz

Tuy nhiên có thể giải quyết vấn đề đó một cách đơn giản hơn khi dựa vào biểu thức trên, chuyển bài toán về tìm một hàm số đặc trưng φ(x, y, z) nào đó thõa mãn điều kiện:

Như vậy trường vận tốc trong trường hợp chuyển động không xoáy (chuyển động thế) có các tính chất tương tự như trường lực có thế (ví dụ như trường trọng lực) Vì thế hàm φ(x, y, z) thõa mãn điều kiện trên gọi là hàm thế vận tốc

Nếu φ(x, y, z) = const, thì ta có họ mặt đẳng thế Trong điều kiện bài toán phẳng, điều kiện Côsi - Riman về sự trực giao của đường dòng và đường thế vận tốc trong dòng thế phẳng:

0

   

Và tại mọi điểm trên mặt đẳng thế, thế vận tốc là một hằng số và các đường dòng luôn luôn hướng vuông góc với mặt đẳng thế (hình 2.4)

2.3 Cách mô tả dòng xoáy:

Việc nghiên cứu động học của chuyển động xoáy trong môi trường chất lỏng

là một việc rất cần thiết Vì nó đóng một vài trò rất quan trọng trong khi xét quan hệ tương tác về lực (lực nâng và lực cản) của chất lỏng đối với vật thể rắn chuyển động trong đó

Những yếu tố đặc trưng cho dòng xoáy là: đường xoáy, ống xoáy, sợi xoáy, cường độ xoáy v.v…

Nếu trong trường vectơ xoáy ta vẽ các đường cong sao cho tại mỗi điểm trên đường cong đó tiếp tuyến của đường cong trùng với hướng của vectơ xoáy tại điểm

đó Đường cong có tính chất đó gọi là đường xoáy Về bản chất có thể xem đường xoáy như là một trục quay tức thời của các phần tử chất lỏng nằm trên nó

Phương trình đường xoáy có dạng:

dx = dy = dz

Tổ hợp các đường xoáy tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ đặt trong môi trường chất lỏng chuyển động có xoáy cho ta hình ảnh một ống xoáy nguyên tố Chất lỏng chảy đầy trong ống xoáy nguyên tố cho ta hình ảnh một sợi xoáy

Định lý Hemhôn 2 về cường độ xoáy: Tại mỗi thời điểm đã cho thông lượng của vectơ vận tốc xoáy (rot u ) dọc theo ống xoáy là một số không đổi

3



2



5



4



3



2



1



1



4

 (x,y,z)=c1

2

c ) z , y , x



Hình 2.4

Cường độ của ống xoáy:

n

F (rotu) rot ud



Định lý Stốc: Cường độ xoáy bằng lưu số vận tốc theo một đường cong kín bao quanh ống xoáy

u ds (u dx u dy u dz)

Vận tốc cảm ứng gây ra do đoạn sợi xoáy dl đối với một điểm M(x, y, z) trong chất lỏng có vectơ xoáy rot u , nằm cách điểm tâm của dl một khoảng là r (hình 2.5) được xác định theo công thức Biôxava:

2

sin(r, dl)dl du



r dl du

Vectơ cảm ứng gây ra do toàn bộ sợi xoáy L đối với điểm M trong môi trường chất lỏng bao quanh được xác định như là tổng đại số các giá trị vận tốc cảm ứng d u gây ra do các đoạn phân tố xoáy dl, nghĩa là:

3

r dl



Công thức Biôxava để xác định trường vận tốc cảm ứng gây ra do một hệ thống xoáy gồm nhiều xoáy thẳng:





dl

u

d