PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I.. Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Bài 1.. Tìm điều kiện để phân thức bằng 0 Bài 1.. Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa Bài 1.. Chứng minh các phân thức
Trang 1I PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Bài 1 Tìm điều kiện xác định của phân thức:
a)
16
9
4 2
2
−
−
x
x
b)
4 4
1 2
2 − +
−
x x
x
c)
1
4 2
2
−
−
x x
d)
x x
x
−
−
2
2
3
5
e) x x x
2 2
5 6 1
2 ( +1)( −3) g) x
x2 x
2 1
5 6
+
− +
Bài 2 Tìm điều kiện xác định của phân thức:
a)
x2 y2
1
x y x
2 2
2
2 1
+
x y
x2 x
5
6 10
+
d) x y
( 3) ( 2)
+
VẤN ĐỀ II Tìm điều kiện để phân thức bằng 0
Bài 1 Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:
a) x
x
2 1
5 10
−
x x
2
2
x
2 3
4 5
+
−
d) x x
x2 x
( 1)( 2)
4 3
x2 x
( 1)( 2)
4 3
x
2 2
1
2 1
−
Bài 2 Tìm các giá trị của biến số x để phân thức sau bằng không:
a) x
2
2
4
3 10
−
3
16
3 4
−
3 2 3
1
2 3
+ − −
VẤN ĐỀ III Chứng minh một phân thức luôn có nghĩa Bài 1 Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
a)
x2
3
1
x
x 2
3 5 ( 1) 2
−
x
x2 x
5 1
2 4
+
d) x
2
2
4
4 5
−
x
x2 x
5 7
+ + +
Bài 2 Chứng minh các phân thức sau luôn có nghĩa:
CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Trang 2a) x y
x2 2y2 1
+
4
2 2
II TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
VẤN ĐỀ I Phân thức bằng nhau Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) y xy x
x
3 6 ( 0)
3 3 ( 0)
y x
2( ) 2( ) 3( ) 3
−
d) xy xy
2
( 0, 0)
y y
2 2 ( 0)
5 5
−
−
Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:
3 3 2
( 2 4)
x y y2 x2
c) x y a x y a x y
2 2
3 ( ) ( 0, )
+
Bài 3 Với những giá trị nào của x thì hai phân thức sau bằng nhau:
a) x
x2 x
2
5 6
−
− + và x
1 3
−
Bài 4 Cho hai phân thức A và B Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau:
i) x N∈ ii) x Z∈ iii) x Q∈
a) A x x
x
(2 1)( 2)
3(2 1)
=
+ ,
x
3
−
=
Bài 5 Cho ba phân thức A, B và C Hãy xét sự bằng nhau của chúng trong các trường hợp sau:
i) x N∈ ii) x Z∈ iii) x Q∈
a) A x 1
5
+
x
( 1)( 2) 5( 2)
=
+ ,
C
x
( 1)(3 2) 5(3 2)
=
−
VẤN ĐỀ II Rút gọn phân thức Bài 1 Rút gọn các phân thức sau:
a) 5x
xy y y
4 ( 0)
xy
2 3
21 ( 0)
d) 2x 2y
4
+
e) x y x y
x y
5 5 ( )
3 3
x x y x y
y x
15 ( )( ) 3( )
−
Bài 2 Rút gọn các phân thức sau:
a) x x x
x x
2
2
16( 0, 4)
4
x
2 4 3( 3)
2 6
x x y y x y
y x y
3 2
15 ( ) ( ( ) 0)
5 ( )
+
d) x y y x x y
x y
5( ) 3( )( )
10( )
2 2 5 5
x2 xy x y y
2 ( , 0)
Trang 3g) ax ax a b x
b bx
2
2
2 4 2 ( 0, 1)
5 5
x x y
2
4 4 ( 0, )
5 5
−
i) x y z x y z
x y z
2 2
( + ) − ( + + ≠0)
x xy
6 3 3 6
−
Bài 3 Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau:
a) x x x
A
x x x
3
(2 2 )( 2)
( 4 )( 1)
=
− + với x
1 2
B
x y
3 3
=
+ với x= −5,y=10
Bài 4 Rút gọn các phân thức sau:
a) a b c
a b c
2 2
( + ) −
2 2 2
2 2 2
2 2
2 7 12 45
3 19 33 9
Bài 5 Rút gọn các phân thức sau:
a) a b c abc
a b c ab bc ca
3 3 3
2 2 2
3
x y z xyz
3 3 3
3
c) x y z xyz
3 3 3
3
a b c b c a c a b
e) a b c b c a c a b
ab ac b bc
( − +) ( − +) ( − )
1 1
Bài 6 Tìm giá trị của biến x để:
a) P
x2 x
1
2 6
=
+ + đạt giá trị lớn nhất ĐS: P khi x
1
5
b) Q x x
2 2
1
2 1
+ +
=
+ + đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Q khi x
3
4
Bài 7 Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y:
a) x a a a x
2
3 3 2 2 9 1 1, 1
c) ax a axy ax ay a x y
2
( 1, 1)
x
x a
2 2
( ) 2
+
e) x y
x y ay ax
2 2
−
ax x y ay
ax x y ay
Trang 4III CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC VẤN ĐỀ I Qui đồng mẫu thức của nhiều phân thức Bài 1 Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng:
a) x xy,
1 , 3
xy y,
8 15 d) x y
y, x
xy yz xz, ,
xy yz zx
z, x, y
2 3 4
Bài 2 Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa và tìm mẫu thức chung của chúng:
a)
x
5
2 −4, x
4
3 −9, x
7
50 25− b)
x a
4 2+ ,
y a
4 2− ,
z
a2
4− c)
a
b2
2 , x
a b
2 +2 ,
y
a2−b2
d)
x
3
2 +6,
x
x2 x
2
6 9
−
1
2 1
− + , x2 x
2 2
x x
4 2
1 1
+
− , x2+1
Bài 3 Qui đồng mẫu thức các phân thức sau:
a) x
x2 x
2 +7 −15,
x
x2 x
2
3 10
+ + − , x
1 5
1
3 2
− + − , x2 x
1
5 6
+ − , x2 x
1
4 3
c)
x3
3
1
− ,
x
x2 x
2 1
+ + ,
x
x 1− d)
x
x2−2xy y+ 2−z2,
y
x2+2yz y− 2−z2,
z
x2−2xz y− 2+z2
VẤN ĐỀ II Thực hiện các phép toán trên phân thức Bài 1 Thực hiện phép tính:
a) x 5 1 x
− + −
b) x y 2y
2− +1 4−
d) xy x y xy x y
a b a b a b
+ + − + +
− + +
g) x xy xy y y x
2 − + + +2 −
Bài 2 Thực hiện phép tính:
a) 2x 4 2 x
10 15
10 15 20
2 2
2 2 2 2
d) 1−2x+ 2x + 1 e) x + 2x y−
f) x2 + 6 + 1
Trang 5g) x xy y x x y
2
2
x y x y x y2 2
2 + 1 + −3
2+ 2
+ +
+
Bài 3 Thực hiện phép tính:
a) 2 2 2 2 4 2
x xy+ xy y +x y
x y y x3 3 x2 xy y2
x2 xy y2 x2 x2 xy
1 +1 +1 +1 +1 +1
Bài 4 Thực hiện phép tính:
a) 1 3x x 3
b) x y x y y
2
2( + )( − )−−2 c) x x
x y x y
3 +1 2− −3
d) xy x
x y y x
2 1
−
−
4 1 7 1
x y x y
Bài 5 Thực hiện phép tính:
a) 4x 1 3x 2
+ − +
b) x x
x
x2 x2 x
1
+ −
3 2 3 2 9 4
x
x
x2 x x2
−
3
5 5 −10 10
a
2
1
−
2 2
x2 y2 x2 xy
k)
1 2
2 3 1
6 1 2
2 3
2 2
−
−
−
− +
−
+
x x
x x
x x
x
l) 3 2 6
x
−
−
x x
x
4 2
2
1 1
1
+ + −
+
n) a a a2 a3
1− ( 1)− 1
Bài 6 Thực hiện phép tính:
a) x
x y
1 6.
b) x xy y
2 2
2 .3
c)
2
3 2
15 2 7
x y
y x
d) x y
x y x
2
3
2
5
5 10 4 2
2 36 3
2 10 6
x
−
g) x y xy
x y
x y
2 2
9 . 3
2 6
−
3 3 15
−
a b a ab b
Bài 7 Thực hiện phép tính:
a) x
x2
2 5
:
x y
x y2 2 18 2 5
16 :
5
−
x y3 5 xy2
25 :15 3
d) x y x y
xy
x y
2 2
2 :
3 6
e) a ab a b
2
:
2 2
x y x xy
2
:
3 3
Trang 6g) 1 42 2 :2 4
4 3
9 :
4 4
15 5
2
2
+ +
− +
−
x x
x x
x
i)
1 2
64 :
7 7
48 6
2
2
+
−
−
−
+
x x
x x
x
k)
1 2
36 :
5
5
24
4
2
2
+ +
− +
−
x x
x x
x
l)
1 2
49 :
5 5
21 3
2
2
+ +
− +
+
x x
x x
x
m)
1
6 6 : ) 1 (
3
− +
−
x
x x x
Bài 8 Thực hiện phép tính:
a) 21 2 : 1 2
1
−
x
x
2 9 6 1
10 6
: 1 3
2 3 1
3
x x
x x
x
x x
x
+
−
+
+
+
−
+
− +
−
+
+
3 :
3
1 9
9
2
x x x
x x
x
Bài 9 Rút gọn các biểu thức sau:
a) x y
x y
1 1
1 1
+
−
b)
1 1
1 1
−
− +
+
−
−
c)
x x x
1 1
1
−
− +
d) x
x
x
2
2
2
1
1 2 1
1
−
+
−
−
−
e)
x y
y x
x y x y
x y x y
+
− + +
f)
− +
− + −
+
Bài 10.Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên:
a) x x
x
3 2 2
1
x x
3 2 2 4 2
x
3 2
2 1
+
d) x x x
x
3 7 11 1
3 1
x
4
16
4 8 16 16
−
Bài 11 * Phân tích các phân thức sau thành tổng các phân thức mà mẫu thức là các nhị thức bậc
nhất:
a) x
x2 x
2 1
5 6
−
2 2 6 ( 1)( 2)( 4)
2
3 3 12 ( 1)( 2)
Bài 12 * Tìm các số A, B, C để có:
x
2
2
1 ( − + =1) ( 1) +( 1) +
−
x
2
2 1
1
−
Bài 13 * Tính các tổng:
a b a c b a b c c a c b
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b a c b a b c c a c b
( )( ) ( )( ) ( )( )
Bài 14 * Tính các tổng:
a) A
n n
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 ( 1)
+ HD: k k k k
( 1)= − 1
b) B
n n n
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
+ + HD: k k k k k k
= + ÷−
Bài 15 * Chứng minh rằng với mọi m N∈ , ta có:
Trang 7b)
4 3= 2 (+ 1)( 2) (+ 1)(4 3)
c)
8 5 2(= 1) 2(+ 1)(3 2) 2(3+ 2)(8 5)
d)
3 2= 1 3+ 2 (+ 1)(3 2)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1 Thực hiện phép tính:
a) x2 x2 x2 x
1 ( 3)( 1)+ 3+
+
2
2 2
2 2( ) 2( )
c) x x
x3 x3 x2 x3 x2 x
2
xy x a y a x b y b
( )( ) ( )( )
e) x x
1− 1− 1+ 1
x
3 2 2
4
−
2 2
2 2
2
− + + + + ÷
+
( )( ) (+ )( ) (+ )( )
i) a b c a b c
a b c a c ac b
:
+
Bài 2 Rút gọn các phân thức:
a) x x
x
2
2
25 20 4
25 4
5 10 5
3 3
x
2
3 2
1 1
−
− − +
d) x x x
x
3 2
4
4 4 16
x
2 2
4 20 13 30 9
(4 1)
−
Bài 3 Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức:
a) a b c ab
2 2 2
2 2 2
2 2
− + + với a=4,b= −5,c=6 b)
2 2
16 40
8 24
−
− với
x y
10 3
=
c)
x xy y x xy y
x
x y
x y
2
− −
+
với x=9,y=10
Trang 8Bài 4 Biểu diễn các phân thức sau dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với bậc của
tử thức nhỏ hơn bậc chủa mẫu thức:
a) x
x
2
2
3
1
+
x x
2 2
1 1
−
x
2
1
x x x
5 2 4 3
1
+
Bài 5 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau cũng có giá trị nguyên:
a)
x
1
2
1
2 3
−
x x
3 2 2 1
− +
x x
3 2 2 4 2
−
2
3 3 ( 1)(2 6)
+
=
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Tìm giá trị của x để P 1=
Bài 7 Cho biểu thức: P x
+
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm x để P 3
4
−
=
d) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P cũng có giá trị nguyên.
e) Tính giá trị của biểu thức P khi x2– 9 0=
2
( 3) 1 6 18
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Với giá trị nào của a thì P = 0; P = 1.
2 2
1
2 2 2 2
+
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị của x để P 1
2
= −
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Tìm giá trị của x để P = 1; P = –3.
2 3 2 1 (2 3)(2 3)
+
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị của x để P = –1.
P
5 5 ( 5)( 5)
+
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
Trang 9Bài 13.Cho biểu thức: P
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị của x để P = 4.
2
2
2 10 50 5
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị của x để P = –4.
P
x
2 3
3 6 12
8
=
−
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị của P với x 4001
2000
2
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị của P khi x 1
2
=
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị của x để P = 0; P = 1
4.
d) Tìm giá trị của x để P > 0; P < 0.
2 2
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) CMR: khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x?
P
2
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị của P khi x = 20040.
P
2 2
10 25 5
=
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Tìm giá trị của x để P = 0; P 5
2
=
c) Tìm giá trị nguyên của x để P cũng có giá trị nguyên.