HE TRUC TOA DOCO LOI GIAI CHI TIET

Định nghĩa: Trục tọa độ Trục , hay trục số là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và một vectơ đơn vị ir tức là i = 1r Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ ir được gọi

Trang 1

VECTO 1

Chương

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ 5 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

I.TRỤC TỌA ĐỘ:

1 Định nghĩa: Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm O và

một vectơ đơn vị ir( tức là i = 1r

)

Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ ir được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ Kí hiệu (O ; ir) hay

'

x Ox hoặc đơn giản là Ox

2 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:

+ Cho vec tơ uru nằm trên trục (O ; ir) thì có số thực a sao cho ur =a iur với a RÎ Số a như thế được gọi là tọa độ của vectơuuru đối với trục (O ; ir)

+ Cho điểm M nằm trên (O ; ir) thì có số m sao cho OMuuur =miur Số m như thế được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục (O ; ir)

Như vậy tọa độ điểm M là trọa độ vectơ OMuuur

3 Độ dài đại số của vec tơ trên trục :

Cho hai điểm A, B nằm trên trục Ox thì tọa độ của vectơ ABuuur kí hiệu là AB và gọi là độ dài đại số của vectơ ABuuur trên trục Ox

Như vậy ABuuur=AB i.r

Tính chất :

+ AB = - BA

+ ABuuur =CDuuurÛ AB =CD

+ "A B C; ; Î ( ; ) :O iur AB +BC =AC

II HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1 Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai

vectơ đơn vị lần lượt là ,i jr r Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi là trục

hoành và Oy gọi là trục tung.

Kí hiệu Oxy hay (O i j; ,r r)

2 Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ

+ Trong hệ trục tọa độ (O i j; ,r r) nếu ur =xir+yjr thì cặp số (x y được gọi ; )

là tọa độ của vectơ ur, kí hiệu là ur =(x y; ) hay u x yr( ; )

x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ ur

+ Trong hệ trục tọa độ (O i j; ,r r), tọa độ của vectơ OMuuur gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là M =(x y; ) hay M x y x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.( ; )

Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì

( ; )

M x y Û OMuuur =xir+yjr=OHuuur+OKuuur

Như vậy OHuuur=xi OKr uuur, =yjr hay x OH y OK= , =

3 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác.

Hình 1.30

x

y

H O

M K

Hình 1.31

Trang 3

+ Cho A x y( ; ), ( ; ) và M là trung điểm AB Tọa độ trung điểm (A A B x y B B M x y M; M ) của đoạn thẳng

+ Cho tam giác ABC có A x y( ; ), ( ; ),A A B x y B B C x y( C; C) Tọa độ trọng tâm (G x y của tam giác G; G)

ABC là A B C

G

3 và

A B C G

2

4 Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.

Cho ur = ( ; )x y ;uur'=( '; ')x y và số thực k Khi đó ta có :

ì = ïï

= Û íï =

ïî

' '

'

r ur

2) u vr ± =r (x±x y'; ±y')

3) ku.r =( ; )kx ky

4) u'ur cùng phương ur(u ¹ 0r r) khi và chỉ khi có số k sao cho x kx

ì = ïï

íï = ïî

' ' 5) Cho A x y( ; ), ( ; ) thì A A B x y B B ABuuur=(x B - x y A; B - y A)

đoạn thẳng AB là:

A B A B

;

A B A B

;

A A B B

Lời giải Chọn B

Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng

2 2

A B I

I A B I

I

x

y









  



 

A B A B

1 2

u u

v v









2 2

u v









2 2

u v









2 1

u v









Lời giải Chọn C

Trang 4

Ta có: 1 1

2 2

u v





  





 

A ABy A x y A; B  x B

B ABx Ax y B; Ay B



C ABx A x y B; A y B



D ABx B x y A; B y A



Lời giải Chọn D

Theo công thức tọa độ vectơ ABx B  x y A; B y A



G của tam giác ABC là:

A B C A B C

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC OA OB OC     3OG

với O là điểm

bất kì

Chọn O chính là gốc tọa độ O Khi đó, ta có:

3

A B C G

G

x

y

 







   

;

A B C A B C

A Hai vectơ u2; 1 và   v  1; 2đối nhau

B Hai vectơ u2; 1 và   v  2; 1 đối nhau

C Hai vectơ u2; 1 và   v  2;1đối nhau

D Hai vectơ u2; 1 và   v2;1đối nhau

Ta có: u2; 1    2;1 v  u và v đối nhau

A 1;1 B 1;0  C 0;1  D 1;1 

Ta có:  i j 1;0  0;1 1;1

Trang 5

A 2; 4  B 5;6  C 15;10  D 50;6 

Ta có: AB 10 5;8 2    5;6

2



  B 1;1

2



  C 1; 2

2



  D 1; 1 

Lời giải Chọn A

Ta có: Trung điểm của đoạn thẳng AB là:

1 0 0 ( 2) 1

A B A B

I          

là A  2; 2;B3;5 Tọa độ của đỉnh C là:

A 1;7  B 1; 7  C 3; 5  D 2; 2 

Ta có:

2 3

0

O

C

O

y

Ta có: a  4;0 a4i0j4i

Câu 11: Cho hai điểm A1;0 và B0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho AD 3AB

là:

A 4; 6  B 2;0  C 0; 4  D 4;6 

 

3

6

D

AD AB

y



Ta có: a và b cùng phương khi a k b  x0

A 6; 9  B 4; 5  C 6;9 D 5; 14 

Lời giải

Trang 6

Chọn C

Ta có: a b     1 5;2 7   6;9

là:

Ta có: AC AC  AB2BC2  3242 5

A 1; 2 B 1; 2  C 1; 2  D 1; 2 

Ta có vectơ đối của AB là BA     0 1; 2 0  1; 2 

Tọa độ của vec tơ a b  là:

Ta có: a b  3 ( 1);( 4) 2      2; 2 

A Hai vec tơ u  4; 2 và v  8;3 cùng phương

B Hai vec tơ a    5;0 và b    4;0 cùng hướng

C Hai vec tơ a  6;3 và b  2;1 ngượchướng

D Vec tơ c  7;3 là vec tơ đối của d    7;3

Ta có: 5

4

a b

 

suy ra a cùng hướng với b

Câu 18: Cho ax; 2 , b  5;1 , cx;7 Vec tơ c2a3b nếu:

Ta có: 2 3 5 

7 2.2 3.1

c a b      x

 



  

Câu 19: Choa  (0,1),b   ( 1; 2),c    ( 3; 2).Tọa độ củau3a2b 4c:

A 10; 15  B 15;10  C 10;15  D 10;15

Ta có: u3a2b 4c3.0 2.( 1) 4.( 3);3.1 2.2 4.( 2)        10;15

Câu 20: ChoA0;3 , B4;2 Điểm D thỏa OD  2DA  2 DB0

, tọa độ D là:

Trang 7

A 3;3 B 8; 2  C 8; 2 D 2;5

2

 

 

 

   

2

D

OD DA DB

y







   

2;0

M Tọa độ A và B là:

A A4;12 , B4;6 B A4; 12 ,  B6; 4

C A4;12 , B6; 4 D A4; 12 ,  B6;4

Ta có: M2;0là trung điểm BC nên  

( 2)

0

2

B

x

B

 







 



0; 4

6 ( 2)

4

3

A

x

A

  







 



A a 5



C a b  2; 3  D b  2

Ta có: a 3i 4j a3; 4 , b i j     b1; 1  b  2

hàng thì tọa độ điểm M là:

A 0;10  B 0; 10  C 10;0  D 10;0

Ta có: M trên trục Oy M0;y

Ba điểm A B M, , thẳng hàng khi AB cùng phương với AM

Ta có AB  3; 4 , AM   1;y 2

Do đó, AB cùng phương với

10

y



Vậy M0;10

cho là thẳng hàng?

A A B C, , B B C D, , C A B D, , D A C D, ,

Trang 8

Ta có: AD2;10 , AB1;5  AD2AB

3 điểm A B D, , thẳng hàng

với C qua B là

A E1;18 B E7;15 C E7; 1  D E7; 15 

Ta có: E đối xứng với C qua B  B là trung điểm đoạn thẳng EC

3

4 2

E

x

E









 



3AM AB 0

là

     

4

M M

y y







  

M thỏa mãn2MA BC   4CM

là:

6 6

M  

6 6

M   

  C 1; 5

6 6

M   

  D 5; 1

6 6

M   

 

     

1

6

M

x







  

3; 2 , 7;1 , 0;1 ,  8; 5

A  B C D   Khẳng định nào sau đây là đúng?

A  AB CD,

đối nhau B  AB CD, cùng phương nhưng ngược hướng

C  AB CD, cùng phương cùng hướng D A, B, C, D thẳng hàng

Ta có: AB4;3 , CD  8; 6   CD 2AB

M thỏa mãn MA MB   3 MC0

là

A M1;18 B M  1;18 C M  18;1 D M1; 18 

Lời giải

Trang 9

Chọn D

     

18

M

MA MB MC

y







   

giác BCAD là hình bình hành là:

A D   8; 5 B D8;5 C D  8;5 D D8; 5 

Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi

BC DA

 

giác ABCD là hình bình hành là:

Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi

AB DC

 

 2;7

B  qua trục Ox , Oy và qua gốc tọa độ O Tọa độ của các điểm B B', '' và '''

B là:

A B' 2; 7 , B" 2;7 B"' 2; 7     và    B B' 7;2 , B" 2;7 B"' 2; 7    và   

C B' 2; 7 , B" 2;7 B"' 7; 2     và    D B' 2; 7 , B" 7; 2 B"' 2; 7     và   

Ta có: 'B đối xứng với B  2;7 qua trục Ox B' 2; 7  

''

B đối xứng với B  2;7 qua trục Oy B'' 2;7 

'''

B đối xứng với B  2;7 qua gốc tọa độ O B''' 2; 7  

thỏa mãnAM  2AB là:

A M   2; 2 B M1; 4  C M3;5 D M0; 2 

2

2 2 4 2

M M

y y

  







A c  1; 3  B c  2;5 C c     7; 1 D c    10; 3 

Trang 10

Ta có: c a  2b   4 2.( 3);1 2.( 2)     2;5

Ta có: ,a b  cùng phương  a k b  x0

2

A   B 

  Khi đó a 4AB?

A a  22; 32  B a  22;32 C a    22;32 D 11;8

2

a 



Ta có: 4 4 2 7;5 3 22; 32

2

a AB     



 

2

m n C m5,n2 D m5,n2

Ta có:

5

2 3

3

2 1 2

2

m m

a b





 

 

A qua trục hoành Tọa độ điểm B là:

A B(2;1) B B  ( 2; 1) C B(1; 2) D B (1; 2)

Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành  B2;1

Câu 39: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy choa (2;1), b (3;4), c(7;2)

Cho biết

c m a n b 

Khi đó

Ta có:

22

5

m

c m a n b

n







 



vectơ a và c, ta được:

Trang 11

A 1 1

8 4

b a c

8 4

b a c

2

b a c

8 4

b a c

Giả sử

1

4

m

b ma nc

n







  

  



Vậy 1 1

8 4

b a c

3

a x b   c x

Vectơ c 4a3b

nếu

Ta có:

4 3.( 5)

7 4.2 3

3

  





 





 

  

để A B C, , là ba điểm thẳng hàng?

Ta có: AB3 m;3 2 m

, AC 4;4

Ba điểm A B C, , thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC

0

m

điểm N thì P có tọa độ là:

A 2;5 B 13; 3  C 11; 1  D 11 1;

2 2

 

Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM

8

2

P

x

P









 



bình hành?

A D3;6 B D  3;6 C D3; 6  D D   3; 6

Trang 12

Ta có: ABDC là hình bình hành

 

3;6

 

điểm B là:

A 0;3  B 1;0

3

 

 

  C 0; 2  D 4; 2 

Ta có: A Ox B Oy ,   A x ;0 , B0;y

A là trung điểm

1 0

1

3

3 0

2

KB

y y





 



.Vậy B0;3

bình hành?

A D  3;4 B D   3; 4 C D3; 4  D D3; 4

Ta có: ABCD là hình bình hành

 

3; 4

 

ABC

 Tọa độ B là:

A 1;1  B 1; 1  C 1;1 D 1; 1 

B

A

Ta có: BPNM là hình bình hành nên

CA , AB của tam giác ABC Tọa độ đỉnh A của tam giác là:

A 1; 10  B 1;5  C 3; 1  D 2; 7 

Trang 13

P N

B

A

Ta có: APMN là hình bình hành nên

P thuộc trục Oy ,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox Toạ độ của điểm P là

A 0; 4  B 2;0  C 2; 4  D 0; 2 

Ta có: P thuộc trục Oy P0;y, G nằm trên trục Ox G x ;0

G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:

1 5 0

2 3

0

3

 









     

 

 Vậy P0; 4

CM  AC AB

     

5

3 3 3 1 2 0 1

M M

y y







  

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	3,75 MB