BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp a1

- Nếu A là ma trận vuông tức số phương trình bằng số ẩn thì hệ I và II gọi là hệ vuông.. Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình : 1 Nếu đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau t

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

MỤC LỤC 114

Chương 1: Ma trận - Định thức – Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Ma trận

Cho ma trận A vuông cấp n Khi đó các phần tử a11, a22,…, ann nằm trên một đường thẳng

gọi là đường chéo chính của A, các phần tử a11, a22,…, ann gọi là các phần tử chéo.

Ma trận tam giác Cho ma trận A = ( ) aij n

- Ma trận tam giác trên: Nếu A có các phần tử phía dưới đường chéo chính đều bằng 0

là ma trận tam giác trên

- Ma trận tam giác dưới: Nếu A có các phần tử phía trên đường chéo chính đều bằng

1 0 0

0 1 0

0 0 1

n

n I

Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu: O hoặc θ

Như vậy, cỡ hay cấp của ma trận không tuỳ thuộc vào các phép toán cụ thể

Ví dụ 7 : Các ma trận sau đều là ma trận không:

Cho hai ma trậnA=( )a¹i m×p, B=( )b¹i p×n( số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận

B) Khi đó, tích của hai ma trận A và B là ma trận C=( )c ¹i m n× trong đó:

k

pj

b b

Định nghĩa Giả sử A là ma trận vuông cấp n Khi đó, định thức cấp n của ma trận A,

kí hiệu là: det(A) hay A , là một số thực được định nghĩa một cách qui nạp sau:

a) Định thức cấp 1 Giả sử A = (a11) ⇒ det (A) = a11 (1)

b) Định thức cấp 2

Trong đó M Mi1, i2 , M1j, M2j là ma trận con của A ứng với các phần tử a ai1, i2 , a a1j, 2j .

Công thức (2) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2

Công thức (3) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2

Công thức (4) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, 3

Công thức (5) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, 3

d) Định thức cấp n.

Giả sử ta đã định n ghĩa được định thức cấp (n - 1) Khi đó, định thức cấp n của ma trận A

= ( ) aij n x nđược xác định như sau:

- Giả sử A vuông , khi đó det(A) = det(AT)

Nhận xét : Do vậy, mọi tính chất nếu đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngược lại.

- Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu

- Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng một số k thì định thức được nhân lên k lần

Nhận xét : Nếu các phần tử của một hàng (một cột ) có thừa số chung thì có thể đưa thừa số

chung đó ra ngoài dấu định thức

Ví dụ : Chứng minh D chia hết cho 13, với

Các phần tử trong cột cuối lớn nên ta không tính giá trị d mà nhận xét rằng 156 = 12.13,

286 = 22.13, 416 = 32.13 nên ta rút thừa số chung 13 ra ngoài được

2282

1251

= A ,

do các phần tử ma trận chỉ toàn các số nguyên nên A phải là số nguyên => D chia hết cho 13 ⇒

Đpcm

- Khi tất cả các phần tử của một hàng (một cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức

có thể phân tích thành tổng của hai định thức:

b 2 a b a

b 2 a b a

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

= +

- Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo

- Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det(AB) = det(A) det(B)

Công thức (6) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2,…, n

Công thức (7) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, ….,n

- Cộng dòng thứ nhất vào dòng thứ hai và dòng thứ ba ;

- Nhân dòng thứ nhất với 3 rồi cộng vào dòng thứ t, ta đợc :

5360

11500

5241

−

−

= (-1) (-1) 1 + 1

161012

536

1150

381

00

223

10

9561

F =

3214

2143

1432

4321

4

214214

3

143143

2

432432

1

++

+

++

+

++

+

++

+

= 10

3211

2141

1431

4321

= 10

1110

2220

3110

4321

222

311

111

311

−

−

= 20

400

220

311

−

−

F = 20

40

2

2 −

= 20.8 = 160

1.3.Ma trận nghịch đảo

1.3.1 Ma trận nghịch đảo và ma trận không suy biến

Định nghĩa 1 Ma trận vuông A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông

Mệnh đề : Nếu ma trận A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của nó là duy nhất.

Chứng minh Giả sử A' và A'' là hai nghịch đảo của A

Khi đó : A' = A'I = A'(AA'') = (A'A)A'' = IA'' = A''

Ví dụ : Với

A =  0 1 

21

ta có A−1 =  0 −1 

21

Thật vậy

 0 1 

21

21

=  0 − 1+ 

221

=  0 1 

01

= I

 0 −1 

21

21

=  0 −1 

221

=  0 1 

01

D =





























































−

−

−

1

0 0 nn b

n2 b n1 b

0

1 0 2n b

22 b 21 b 0

0 1 1n b

21 b 11 b nn a

n2 a n1 a 0

0 0

2n a

22 a 21 a 0

0 0 1n a

12 a 11 a 0

0 0 áp dụng định lí Laplaxơ, khai triển định thức theo n dòng đầu ta được : D = (-1)n+1n+2+ +2n+1+2+ +n A B = (-1) n2 A B Nhân lần lượt các dòng thứ n+1, n+2, , 2n với rồi cộng vào các dòng thứ i ta được : D =                               − − − 1

0 0 nn b

n2 b n1 b

0

1 0 2n b

22 b 21 b 0

0 1 1n b

21 b 11 b 0

0 0 nn c

n2 c n1 c

0

0 0 2n c

22 c 21 c 0

0 0 1n c

12 c 11 c Trong đó cik = ∑ = n 1 j aijbjk Đặt C là ma trận ta có C = AB áp dụng định lí laplaxơ, khai triển định thức D theo n dòng đầu ta được : D = (-1) 2(1+2+ +n) C 1

0 0

0

1 0 0

0 1

−

−

−

= (-1)n(n+1).C (-1) n

= (-1) n2+2nC = (-1) n2 C

Vậy C = A B

Hay AB = A B

Định nghĩa 2 Ma trận vuông A được gọi là ma trận không suy biến nếu A ≠ 0 Trái lại, ta nói

A suy biến

Ví dụ : 1) Ma trận

021

là ma trận không suy biến vì A = 6.

310

221

2n

a 1n a

22

a 12 a

m1 a

21

a 11 a

Là một ma trận vuông không suy biến

Nhớ lại rằng định thức con bù Mij của phần tử aij là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách xoá đi dòng thứ i và cột thứ j, phần bù đại số của aij là : Aij = (-1) i+j Mij

Đặt bjk =

Akj

A k,j = 1, 2, , n

j aij bjk = ∑

=

n1

j aij Akj

A = A1 j∑=n1aijAkj

0.A1

k i nÕu1

AA1

A 1n A

22

A 12 A

m1 A

21

A 11 A

Ngược lại, cũng dễ thấy rằng một ma trận khả nghịch thì không suy biến

*)Mệnh đề Một ma trận là khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy biến.

210

321

Giải :

A =

523

210

321

52

21

−

+ 3

21

32

246

74912

14

13

12

73

143

n2

a n1 a

22

a 21

a

12

a 11 a

00

10

0

01

Dùng hai phép biến đổi :

1 Nhân một dòng với k ∈ K,

2 Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính các dòng còn lại, ta biến được ma trận trên thành

ma trận

B' =













1

0 0

0

1 0 0

0 1        nn b

n2 b n1 b

2n b

22 b 21 b 1n b

12 b 11 b thì ma trận B =               nn b

n2 b n1 b

2n b

22 b 21 b 1n b

12 b 11 b là ma trận nghịch đảo của A Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A =           − 5 2 3 2 1 0 3 2 1 Giải :                 − − − − − →                 − − − − − →             − − − →           − − − − →           − − − − →           − 12 1 3 1 4 1 6 1 3 1 2 1 12 7 3 1 4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 12 1 3 1 4 1 6 1 3 1 2 1 4 1 1 4 3 1 0 0 0 1 0 0 2 1 12 1 3 1 4 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 3 2 1 1 4 3 0 1 0 0 0 1 12 0 0 2 1 0 3 2 1 1 0 3 0 1 0 0 0 1 4 4 0 2 1 0 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 2 3 2 1 0 3 2 1 Vậy A-1 =                 − − − − − 12 1 3 1 4 1 6 1 3 1 2 1 12 7 3 1 4 3 1 4 Hệ phương trình tuyến tính 1.4.1 Hệ phương trình tuyến tính a)Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ gồm m phương trình bậc nhất đối với n ẩn số có dạng:       = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

(I)

Trong đó

x1, x2, …, xn là các ẩn số cần tìm

aij là hệ số của phương trình thứ i gắn với ẩn xj( i = 1, , m j = 1, n )

, 1,

i

b i = m, vế phải của phương trình thứ i

Ta có thể viết hệ phương trình (I) dưới dạng 1

1, 2, ,

n ij j i j a x b i m =  =    =  ∑ (Dạng viết thu gọn ) Ví dụ 1 : 1) 1 2 1 2 2 3 4 3 1 x x x x − =   + =  là hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình đối với hai ẩn (m=n=2) 2)     − = + + − = − + = + − 1 0 2 4 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x là hệ phương trình tuyến tính gồm ba phương trình đối với ba ẩn(m=n=3) 3) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 2 0 4 2 5 0 2 8 0 x x x x x x x x x x x x − + − =   − + + =   − + + =  là hệ phương trình tuyến tính gồm ba phương trình đối với bốn ẩn.(m=3,n=4) 4)       = − + = − + − = + − = + + 7 4 11 3 3 2 2 7 2 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x là hệ phương trình tuyến tính gồm bốn phương trình đối với ba ẩn (m=4,n=3) Nhận xét : Như vậy ta thấy rằng ở bậc học phổ thông ta chi thường gặp những hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau Tuy nhiên qua đây ta thấy rằng có những hệ phương trình tuyến mà số phương trình và số ẩn ở trong hệ là không bằng nhau b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính : Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát:       = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (I) Đặt 11 12 1 21 22 2 1 2

n

n

A

- A gọi là ma trận hệ số của hệ (I)

























=

n

x

x

x

X



2

1

- gọi là ma trận ẩn ( cột ẩn)

Dạng (II) gọi là dạng ma trận của hệ (I).

- Nếu B = θ (tức là: bi= 0, i = 1, m ) thì hệ (II) gọi là hệ thuần nhất Ngược lại thì hệ (II) gọi là

hệ không thuần nhất.

- Nếu A là ma trận vuông (tức số phương trình bằng số ẩn) thì hệ (I) và (II) gọi là hệ vuông.

- Nghiệm của hệ (I) là một bộ gồm n số thực (x1, x2, …,xn) sao cho thoả mãn tất cả các phương trình của hệ

Nhận xét:

Hệ thuần nhất AX = θ luôn có nghiệm không: (x1, x2, …,xn) = (0, 0, …, 0) Nghiệm này gọi

là nghiệm tầm thường của hệ Các nghiệm khác nghiệm tầm thường gọi là nghiệm không tầm thường.

Ví dụ 2 : Viết dạng ma trận của các hệ phương trình tuyến tính trong ví dụ 1

x x x

b b B b

n

x x X x

Một hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer nếu thỏa mãn hai điều kiện:

- Ma trận hệ số A là ma trận vuông (số phương trình trong hệ bằng số ẩn ở trong hệ )

−

−

= +

−

=

− +

4 x 4 x 3 x 2

3 x x x 2

2 x x 2 x

3 2

1

3 2 1

3 2 1

Phương pháp giải hệ Cramer

Định lí: (Cramer) Hệ Cramer AX = B có nghiệm:

)Adet(

−

−

= +

−

=

− +

4 x 4 x 3 x 2

3 x x x 2

2 x x 2 x

3 2

1

3 2 1

3 2 1

−

=

− +

= +

−

1

0 2

4 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

1 1

2 2

3 3

4 4

A A x

A A x

A A x

1.4.3 Phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss

a) Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình :

1) Nếu đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau thì được hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho

2) Nếu nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số thực k ≠0 thì được một hệ tương đương với hệ đã cho

3) Nếu nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số thực k ≠0 rồi cộng vào một phương trình của hệ (vế với vế) thì được một hệ tương đương với hệ đã cho

Nhận xét: Việc thực hiện các phép biến đổi tương đương hệ phương trình , thực chất là làm trên

các hệ số Do đó tương ứng với các phép biến đổi tương đương hệ phương trình chúng ta có ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận hệ số mở rộng A như sau :

Chú ý Trong quá trình bến đổi ma trận A ta chỉ dùng các phép biến đổi trên hàng

b) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B.

Để giải một hệ phương trình tuyến tính chúng ta sẽ sử dụng các phép biến đổi tương đương hệ phương trình để đưa hệ ban đầu về hệ phương trình có dạng tam giác hoặc dạng hình thang ( hay

ma trận hệ số A có dạng tam giác hoặc dạng hình thang ) Cụ thể xét hệ phương trình sau :

Ở đây ta đã khử ẩn x1, tiếp theo bằng cách tượng ta khử ẩn x2 từ phương trình thứ 3 trở đi của

hệ mới Sau đó lại khư ẩn x từ phương trình tư trở đi ( nếu có) Qúa trình khử ẩn như cách

nêu trên là quá trình lặp , sau hữu hạn bước biến đổi quá trình sẽ dừng lại Thực chất của quá trinh này là ta đi khử dần các ẩn trong hệ Phương pháp làm như vậy gọi là phương pháp Gauss.Phương pháp Gauss thực hiện như sau;

Bước 1: Viết ma trận bổ sung A =  A B  

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa A về dạng ma trận hình thang

hoặc ma trận tam giác

Đến đây ta dễ dàng biết được r A v r A ( ) µ ( )

Khi đó xảy ra 3 trường hợp:

- Nếu r A ( ) ≠ r A ( ) thì kết luận hệ AX = B vô nghiệm

- Nếu r A ( ) = r A ( ) = n (n là số ẩn ) thì hệ đã cho tương đương với hệ tam giác: A X B ' = '

- Nếu r A( ) =r A( )= <k n ( n là số ẩn) thì hệ đã cho tương đương với hệ hình thang:

=

−+

−

=+

−

=+

+

74

113

32

2

72

4

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

xx

x

xx

x

xx

x

xx

Bước 2: Biến đổi để đưa A về dạng tam giỏc.

295

x x x

114

332

111

124

114

332

124

111

550

550

360

111

000

550

210

111

+

=

−

=+

−

=+

−

00

00

1515

02

2

3 2

1

3

3 2

3 2

1

x x

x

x

x x

x x

x

Phơng trình cuối cùng nghiệm đúng với mọi giá trị của các ẩn nên chỉ cần giải hệ gồm ba phơng trình đầu

Hệ có nghiệm duy nhất : (1, 2, -1)

1.4.4 Điều kiện cú nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt

Suy ra: r(A) = 2 và r A ( ) = 3 Theo định lí trên, hệ đã cho vô nghiệm

b) Biện luận hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B

- Nếu r A( )≠ r A( ) thì hệ vô nghiệm

- Nếu r A( ) = r A( ) thì hệ ∃ nghiệm:

+ Nếu r A( ) = r A( ) = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất.

+ Nếu r A( ) = r A( ) < n (số ẩn) thì hệ có vô số nghiệm.

Chú ý:

Trường hợp nếu r A( ) = r A( ) = n (số ẩn) thì hệ đưa được về dạng hệ vuông AX = B với A là

ma trận vuông cấp n và det(A) ≠ 0 Hệ có tên là hệ Cramer, có duy nhất nghiệm

Hệ vuông thuần nhất AX = θcó nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức ma trận hệ

+

= +

−

= + +

b x 2 x x 3

1 x x x 2

2 ax x 2 x

3 2

1

3 2 1

3 2 1

1) Hãy xác định a , b để hệ có nghiệm duy nhất

2) Hãy xácđịnh a , b để hệ có vô số nghiệm

3) Hãy xác định a , b để hệ vô nghiệm

a3250

a2150

a2

1

b12

21

3

11

2

a2

a100

a2150

a21

Thấy rằng r(A ) = 3 hoặc r(A) =2 :

- Nếu r( A) = 3 thì r( A) = 3 => hệ có nghiệm duy nhất  a ≠ 1

- Nếu r(A) = 2  a = 1khi đó

+ nếu b = 3 thì r( A) = r( A )= 2 < 3 là số ẩn => hệ vô số nghiệm

+ nếu b ≠ 3 thì r( A )≠ r( A )=> hệ vô nghiệm

++

=+

++

=+

++

0

0

0

2 2 1 1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

(1)

Dạng ma trận AX = 0

Hệ thuần nhất (1) luôn có nghiệm x1 = x2 = = xn = 0 gọi là nghiệm tầm thường

Định lý: Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n

Hệ quả 1: Nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường.

Hệ quả 2: Nếu số phương trình bằng số ẩn (m = n) thì hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường

khi và chỉ khi |A| = 0

Tính chất: Nếu X1, X2 là nghiệm của hệ thuần nhất (1), λlà số thực bất kỳ thì:

- Mỗi nghiệm X của hệ (1) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm { X X1, 2, , Xk}

Định lý: Nếu r(A) = r < n thì hệ thuần nhất (1) có vô số hệ nghiệm cơ bản và mỗi hệ nghiệm

cơ bản đều chứa n – r nghiệm

Chú ý: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn (m = n) khi đó,nếu |A| ≠0 nó là hệ Crame Nghiệm duy nhất của nó là nghiệm tầm thường

2753

2442

Chia hàng một cho 2, sau đó lần lợt nhân nó với -3, -4 rồi cộng vào hàng hai,hàng ba ta đợc:

1110

122

1110

1221

Vậy nghiệm của hệ là:

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12

11

Gọi k là số nguyờn dương khụng lớn hơn min (m,n)

a) Định nghĩa 1: Ma trận con cấp k của ma trận A là ma trận vuụng cấp k cú được từ ma

b)Định nghĩa 2: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không có mặt

trong A Ký hiệu hạng của A là rank (A) hoặc r(A).

302

423,0123

302

421,0113

322

431,02

2 3 , 8 2 2

3 1

Thấy rằng có một định thức con cấp 2 của ma trận B là -8 ( khác không), do đó r(B) = 2

Ví dụ 3: Biện luận theo tham số ma hạng của ma trận

1.5.2 Phương pháp tìm hạng của ma trận.

a) Ma trận bậc thang

Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác không luôn ở trên các hàng không Phần tử

khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên

ở hàng trên

(Hàng không là hàng có tất cả các phần tử đều bằng không)

Ma trận hình thang có dạng :

110

0

211

0

753

1030

7521

0

121

0

752

1

C không là ma trận có dạng bậc thang

Ví dụ 5 : Tìm hạng của ma trận A , B trong ví dụ trên.

Nhận xét : Hạng của ma trận có dạng bậc thang bằng số hàng khác không của nó

b)Phương pháp biến đổi sơ cấp

-Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

- Đổi chỗ 2 hàng ( 2 cột ) của ma trận

- Nhân 1 hàng ( 1 cột ) với một số khác 0

- Cộng vào 1 hàng ( 1 cột ) 1 hàng ( 1 cột ) khác đã nhân với một số

Ví dụ 6:Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận B về dạng ma trận dạng bậc thang

- Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi tính bằng không hay khác không của định thức do

đó không làm thay đổi hạng của ma trận.Vì vậy để tìm hạng của ma trận A ta làm như sau:

- Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về dạng ma trận hình thang

- Khi đó hạng của ma trận A sẽ bằng hạng ma trận hình thang và bằng số hàng khác không của

ma trận hình thang

8501

8723

3

022

4

850

1

730

20

281020

1800

7301

00

281020

292

20

7301

0

0

18

0

0

292

2

0

73

1800

29220

7301

1x2x

13x

x

6xx

x

3 1

3 2

3 2

Chương 2 Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến số 2.1 Định nghĩa giới hạn

2.2.1 Các định nghĩa về giới hạn của hàm số

a) Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → a

Định nghĩa 1 : Giả sử hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không

xác định tại a ) Giá trị L được gọi là giới hạn của f(x) khi x dần tới a ( ký hiệu lim ( )x a→ f x =L )

=

01

0

13

x khi

x khi x

x x

∀x 0: x a thì có được f (x) − 3 < ε (1) Để thực hiện được điều này ta xuất

phát từ điều kiện phải thỏa mãn (1) tức là f (x) − 3 < ε <=> | 3 +

ta lấy δ = ε Như vậy

ε > 0 cho trước , luôn ∃ δ = ε > 0 để cho ∀x 0: < x−a < δ khi đó sẽ thỏa mãn (2) vì vậy

sẽ thỏa mãn (1) Do vậy theo định nghĩa 3

lim f x x

b) Giới hạn vô cực của hàm số khi x → a

Định nghĩa 2 : Giả sử hàm số y = f (x) xác định trong lân cận của điểm a (có thể không

xác định tại a )

Hàm f(x) được gọi là giới hạn +∞ khi x dần tới a ( ký hiệu = +∞

lim f x a

Hàm f(x) được gọi là giới hạn ∞ khi x dần tới a ( ký hiệu = −∞

lim f x a

x a f x g x L L

1 2lim( ( ) ( ))

x a f x g x L L

1 2

L

L = hoặc 1

2

L L

(2) Giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất

(3) Nếu f(x) ≥ 0 trong lân cận điểm a và lim ( )x a→ f x =L thì L ≥ 0.

(4) Giả sử: lim ( )x a→ f x =L Khi đó:

- f(x) bị chặn trong một lân cận của a

- Nếu L > 0 thì f(x) > 0 trong một lân cận đủ nhỏ của a

- Nếu L < 0 thì f(x) < 0 trong một lân cận đủ nhỏ của a

(5) lim ( )x a→ f x =L ⇔ Mọi dãy {xn} n →→∞ a thì lim f(xn) L

n → ∞ ≠ → ∞ (hoặc không tồn tại chỉ

một trong hai giới hạn trên) thì lim f(x)

Ký hiệu: lim ( )x a→ − f x = f(a - 0) hay x alim→ −0 f x( ) = f(a - 0)

Ví dụ 2: Tìm giới hạn một phía của hàm số ( ) f x x

→ +

0

x x

x(lim

0 x 0

2.3.2 Hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

a) Tiêu chuẩn 1: (Nguyên lý kẹp giới hạn)

Định lí 3: Giả sử 3 hàm số: f(x), g(x), h(x) xác định tại lân cận của điểm x = a ( không cần xác định tại a ) và thoả mãn: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀ x thuộc lân cận của a

khi đó nếu lim ( ) lim ( )x a→ f x = x a→ h x =L thì lim ( )

Nếu f(x) đơn điệu tăng và bị chặn trên thì tồn tại lim ( )x→+∞ f x

Nếu f(x) đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì tồn tại lim ( )f x

2.3.3 Một số công thức giới hạn cơ bản

2

x

x x

1

x

e x

→ − = ;

x 0

1lim ln

x

a

a x

αα

α β

→ = thì ( )α x là VCB bậc cao hơn ( )β x khi x→a*

αβ

→ = thì ( )α x là VCB tương đương với ( )β x khi *

αβ

αβ

αβ

→ không tồn tại thì 2 VCB không so sánh được khi x→a*VD: Cho hai VCB Hãy so sánh bậc của hai VCB α ( ); (x) x β :