bai giang toan cao cap a1

Tuy nhiên qua đây ta thấy rằng có những hệ phương trình tuyến mà số phương trình và số ẩn ở trong hệ là không bằng nhau... - Nếu A là ma trận vuông tức số phương trình bằng số ẩn thì hệ

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1 144

Cho ma trận A vuông cấp n Khi đó các phần tử a11, a22,…, ann nằm trên

một đường thẳng gọi là đường chéo chính của A, các phần tử a11, a22,…, ann gọi

là các phần tử chéo

Ma trận tam giác Cho ma trận A=( )a ij n

- Ma trận tam giác trên: Nếu A có các phần tử phía dưới đường chéo

chính đều bằng 0 (Tức là: aij = 0 với mọi i > j)

là ma trận tam giác trên

- Ma trận tam giác dưới: Nếu A có các phần tử phía trên đường chéo

chính đều bằng 0( tức là: aij =0 với mọi i < j)

11

21 22

1 2

0 0 0

Ma trận chéo.

Ma trận A vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử nằm trên đường chéo chính không đồng thời bằng 0 gọi là ma trận chéo

11 22

Ma trận đơn vị là ma trận vuông có tất cả các phần tử trên đường chéo

chính đều bằng 1,các phần tử còn lại đều bằng 0

Ký hiệu là In (hoặc En) là ma trận đơn vị cấp n

1 0 0

0 1 0

Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu: O hoặc θ.

Như vậy, cỡ hay cấp của ma trận không tuỳ thuộc vào các phép toán cụ thể

Ví dụ 7 : Các ma trận sau đều là ma trận không:

Cho hai ma trậnA=( )a¹i m×p, B=( )b¹i p×n( số cột của ma trận A bằng số hàng

của ma trận B) Khi đó, tích của hai ma trận A và B là ma trận C =( )c ¹i m n× trong

k

pj

b b

Định nghĩa Giả sử A là ma trận vuông cấp n Khi đó, định thức cấp n

Trong đó M M i1, i2 ,M i3, M1j, M2j ,M là ma trận con của A ứng với các phần3j

Nhận xét : Do vậy, mọi tính chất nếu đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và

ngược lại

- Đổi chỗ hai hàng (hai cột ) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu

- Khi nhân các phần tử của một hàng (một cột ) với cùng một số k thì định thức được nhân lên k lần

Nhận xét : Nếu các phần tử của một hàng (một cột ) có thừa số chung thì có

thể đưa thừa số chung đó ra ngoài dấu định thức

Ví dụ : Chứng minh D chia hết cho 13, với

22 8 2

12 5 1

- Định thức của ma trận sẽ bằng khụng nếu thoả món một trong cỏc điều kiện sau:

b2aba

b2aba

3 3 3 3

2 2 2 2

1 1 1 1

=+

- Định thức của ma trận tam giỏc bằng tớch cỏc phần tử chộo

- Nếu A, B là hai ma trận vuụng cấp n thỡ det(AB) = det(A) det(B)

1.2.3 Một số phương phỏp tớnh định thức

a) Khai triển định thức theo các phần tử của một dòng hoặc một cột

Nhắc lại : Cho ma trận vuụng A=( )a ij n Khi đú ta cú định thức cấp n của A xỏc

- Cộng dòng thứ nhất vào dòng thứ hai và dòng thứ ba ;

- Nhân dòng thứ nhất với 3 rồi cộng vào dòng thứ t, ta đợc :

5 3 6 0

11 5 0 0

5 2 4 1

−

−

= (-1) (-1) 1 + 1

16 10 12

5 3 6

11 5 0

0 0

38 1

0 0

22 3

1 0

9 5 6 1

Ví dụ 5 Tính định thức sau

F =

3 2 1 4

2 1 4 3

1 4 3 2

4 3 2 1

1

4

2 1 4 2 1

4

3

1 4 3 1 4 3

2

4 3 2 4 3

2

1

+ +

+

+ +

+

+ +

+

+ +

+

= 10

3 2 1 1

2 1 4 1

1 4 3 1

4 3 2 1

= 10

1 1 1 0

2 2 2 0

3 1 1 0

4 3 2 1

F = 10

1 1 1

2 2 2

3 1 1

1 1 1

1 1 1

3 1 1

−

− = 20

4 0 0

2 2 0

3 1 1

−

−

F = 20

4 0

2

2 −

= 20.8 = 160

1.3.Ma trận khả nghịch

1.3.1 Ma trận nghịch đảo và ma trận khụng suy biến

Định nghĩa 1 Ma trận vuụng A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại một

ma trận vuụng B sao cho

Mệnh đề : Nếu ma trận A khả nghịch thỡ ma trận nghịch đảo của nú là duy nhất.

Chứng minh Giả sử A' và A'' là hai nghịch đảo của A

Khi đú : A' = A'I = A'(AA'') = (A'A)A'' = IA'' = A''

Vớ dụ : Với

A =  0 1 

2 1

ta cú A− 1 =  0 −1 

2 1

Thật vậy

 0 1 

2 1

2 1

=  0 − 1+ 

2 2 1

=  0 1 

0 1

= I

 0 −1 

2 1

2 1

=  0 −1 

2 2 1

=  0 1 

0 1

= I

Bổ đề Định thức của ma trận tớch AB bằng tớch của cỏc định thưc của A và của

B

AB = A B .

Chứng minh giả sử A = (aij)n , B =(bij)n là những ma trận vuông cấp n Xét định thức cấp 2n :

D =





























































−

−

−

1

0 0 nn b

n2 b n1 b

0

1 0 2n b

22 b 21 b 0

0 1 1n b

21 b 11 b nn a

n2 a n1 a 0

0 0

2n a

22 a 21 a 0

0 0 1n a

12 a 11 a 0

0 0 áp dụng định lí Laplaxơ, khai triển định thức theo n dòng đầu ta được : D = (-1)n+1n+2+ +2n+1+2+ +n A B = (-1) 2 A . B Nhân lần lượt các dòng thứ n+1, n+2, , 2n với rồi cộng vào các dòng thứ i ta được : D =                               − − − 1

0 0 nn b

n2 b n1 b

0

1 0 2n b

22 b 21 b 0

0 1 1n b

21 b 11 b 0

0 0 nn c

n2 c n1 c

0

0 0 2n c

22 c 21 c 0

0 0 1n c

12 c 11 c Trong đó cik = ∑=n 1 j aijbjk Đặt C là ma trận ta có C = AB áp dụng định lí laplaxơ, khai triển định thức D theo n dòng đầu ta được : D = (-1) 2(1+2+ +n) C 1

0 0

0

1 0 0

0 1

−

−

−

= (-1)n(n+1) . C (-1) n

= (-1) 2+ 2n C = (-1) 2 C

2 2 0

0 2 1

là ma trận không suy biến vì A = 6

3 1 0

2 2 1

2n

a 1n a

22

a 12 a

m1 a

21

a 11 a

Là một ma trận vuông không suy biến

Aij = (-1) i + j Mij

Đặt bjk =

A kj

k i nÕu 1 A A 1

A 1n A

22

A 12 A

m1 A

21

A 11 A

Ngược lại, cũng dễ thấy rằng một ma trận khả nghịch thì không suy biến

*)Mệnh đề Một ma trận là khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy biến.

2 1 0

3 2 1

Giải :

A =

5 2 3

2 1 0

3 2 1

5 2

2 1

−

+ 3

2 1

3 2

2 4 6

7 4 9 12

1 4

1 3

1 2

7 3

1 4 3

n2

a n1 a

22

a 21

a

12

a 11 a

0 0

1 0

0

0 1

Dùng hai phép biến đổi :

1 0

0

0 1

22

b 21

b

12

b 11 b

thì ma trận

B =





























nn b

n2 b n1 b

2n b

22 b 21 b 1n b

12 b 11 b là ma trận nghịch đảo của A Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của A =           − 5 2 3 2 1 0 3 2 1 Giải :                 − − − − − →                 − − − − − →             − − − →           − − − − →           − − − − →           − 12 1 3 1 4 1 6 1 3 1 2 1 12 7 3 1 4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 12 1 3 1 4 1 6 1 3 1 2 1 4 1 1 4 3 1 0 0 0 1 0 0 2 1 12 1 3 1 4 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 2 1 0 3 2 1 1 4 3 0 1 0 0 0 1 12 0 0 2 1 0 3 2 1 1 0 3 0 1 0 0 0 1 4 4 0 2 1 0 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 2 3 2 1 0 3 2 1 Vậy A-1 =                 − − − − − 12 1 3 1 4 1 6 1 3 1 2 1 12 7 3 1 4 3 1 4 Hệ phương trình tuyến tính 1.4.1Hệ phương trình tuyến tính a)Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ gồm m phương trình bậc nhất đối với n ẩn số có dạng:       = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (I) Trong đó x1, x2, …, xn là các ẩn số cần tìm aij là hệ số của phương trình thứ i gắn với ẩn x j (i=1, ,m j=1,n) , 1, i b i= m, vế phải của phương trình thứ i Ta có thể viết hệ phương trình (I) dưới dạng 1 1, 2, ,

n

ij j i j

a x b

=





 =



Ví dụ 1 :

1 2

x x

x x

− =



 là hệ phương trình tuyến tính gồm hai phương trình đối với hai ẩn (m=n=2)

2)









−

= + +

−

=

− +

= +

−

1

0 2

4 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

là hệ phương trình tuyến tính gồm ba phương trình đối với ba ẩn(m=n=3)

3)







là hệ phương trình tuyến tính gồm ba phương trình đối với bốn ẩn.(m=3,n=4)

4)













=

− +

=

− +

−

= +

−

= +

+

7 4

11 3

3 2

2

7 2

4

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

là hệ phương trình tuyến tính gồm bốn

phương trình đối với ba ẩn (m=4,n=3)

Nhận xét : Như vậy ta thấy rằng ở bậc học phổ thông ta chi thường gặp

những hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau Tuy nhiên qua đây ta thấy rằng có những hệ phương trình tuyến mà số

phương trình và số ẩn ở trong hệ là không bằng nhau

b) Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính :

Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát:













= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (I) Đặt 11 12 1 21 22 2 1 2

n

n

A

- A gọi là ma trận hệ số của hệ (I)

























=

n

x

x

x

X



2

1

- gọi là ma trận ẩn ( cột ẩn)

Dạng (II) gọi là dạng ma trận của hệ (I).

- Nếu B = θ (tức là: b i=0,i=1,m ) thì hệ (II) gọi là hệ thuần nhất Ngược lại thì hệ (II) gọi là hệ không thuần nhất.

- Nếu A là ma trận vuông (tức số phương trình bằng số ẩn) thì hệ (I) và (II) gọi

là hệ vuông.

- Nghiệm của hệ (I) là một bộ gồm n số thực (x1, x2, …,xn) sao cho thoả mãn tất

cả các phương trình của hệ

Nhận xét:

Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường của hệ Các nghiệm khác nghiệm tầm thường gọi là nghiệm không tầm thường.

Ví dụ 2 : Viết dạng ma trận của các hệ phương trình tuyến tính trong ví dụ 1

x x x

(III )được gọi là hệ phương trình

dạng tam giác (với a a11, 22, ,a nn ≠0)

Để giải hệ hình thang ta giữ lại vế trái các ẩn x x1, , ,2 x (gọi là ẩn chính ) r

chuyển sang vế phải các ẩn còn lại là x r+1, x r+2, ,x n( gọi là ẩn tự do ) Khi đó

Một hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer nếu thỏa mãn hai điều kiện:

- Ma trận hệ số A là ma trận vuông (số phương trình trong hệ bằng số

−

=+

−

=

−+

4x4x3x2

3xxx2

2xx2x

3 2

1

3 2 1

3 2 1

Hệ số 1 và hệ số 3 là hệ Cramer Hai hệ còn lại không phải là hệ Cramer

Phương pháp giải hệ Cramer

Định lí: (Cramer) Hệ Cramer AX = B có nghiệm:

) A det(

−

−

=+

−

=

−+

4x4x3x2

3xxx2

2xx2x

3 2

1

3 2 1

3 2 1

=

−+

=+

−

1

02

42

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

1( 2) 2 3

2 2

3 3

4 4

A A x

A A x

A A x

1.4.3 Phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss

a) Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình :

1) Nếu đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau thì được hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho

được một hệ tương đương với hệ đã cho

cộng vào một phương trình của hệ (vế với vế) thì được một hệ tương đương với

hệ đã cho

Nhận xét: Việc thực hiện các phép biến đổi tương đương hệ phương trình , thực

chất là làm trên các hệ số Do đó tương ứng với các phép biến đổi tương đương

hệ phương trình chúng ta có ba phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận

b) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B.

Để giải một hệ phương trình tuyến tính chúng ta sẽ sử dụng các phép biến đổi tương đương hệ phương trình để đưa hệ ban đầu về hệ phương trình có dạng tamgiác hoặc dạng hình thang ( hay ma trận hệ số A có dạng tam giác hoặc dạng hình thang ) Cụ thể xét hệ phương trình sau :

thứ 3 trở đi của hệ mới Sau đó lại khư ẩn x từ phương trình tư trở đi ( nếu 3

có) Qúa trình khử ẩn như cách nêu trên là quá trình lặp , sau hữu hạn bước biến đổi quá trình sẽ dừng lại Thực chất của quá trinh này là ta đi khử dần các

ẩn trong hệ Phương pháp làm như vậy gọi là phương pháp Gauss

Phương pháp Gauss thực hiện như sau;

Bước 1: Viết ma trận bổ sung A=A B

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa A về dạng ma

trận hình thang hoặc ma trận tam giác

Đến đây ta dễ dàng biết được r A v r A( ) µ ( ) .

Khi đó xảy ra 3 trường hợp:

− +

−

= +

−

= +

+

7 4

11 3

3 2

2

7 2

4

3 2

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

x

x x

29 5

x x x

x x x

1 1

4

3 3

2

1 1 1

1 2

1 1 4

3 3 2

1 2 4

1 1 1

5 5 0

5 5 0

3 6 0

1 1 1

0 0 0

5 5 0

2 1 0

1 1 1

+

=

−

= +

−

= +

−

0 0

0 0

15 15

0 2

2

3 2

1

3

3 2

3 2

1

x x

x

x

x x

x x

x

Phơng trình cuối cùng nghiệm đúng với mọi giá trị của các ẩn nên chỉ cần giải

hệ gồm ba phơng trình đầu

Hệ có nghiệm duy nhất : (1, 2, -1)

1.4.4 Điều kiện cú nghiệm của hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt

Suy ra: r(A) = 2 và r A( )=3 Theo định lớ trờn, hệ đó cho vụ nghiệm

b) Biện luận hệ phương trỡnh tuyến tớnh tổng quỏt AX = B

- Nếu r A( ) ≠ r A( ) thỡ hệ vụ nghiệm

- Nếu r A( ) = r A( ) thỡ hệ ∃ nghiệm:

+ Nếu r A( ) = r A( ) = n (số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất.

+ Nếu r A( ) = r A( ) < n (số ẩn) thì hệ có vô số nghiệm.

Chú ý:

+

=+

−

=++

bx2xx3

1xxx2

2axx2x

3 2

1

3 2 1

3 2 1

1) Hãy xác định a , b để hệ có nghiệm duy nhất

2) Hãy xácđịnh a , b để hệ có vô số nghiệm

3) Hãy xác định a , b để hệ vô nghiệm

a 2 1 5 0

a 2

1 b

1 2 2 1

3

1 1

2

a 2

a 2 1 5 0

a 2 1

Thấy rằng r(A ) = 3 hoặc r(A) =2 :

- Nếu r( A) = 3 thì r( A) = 3 => hệ có nghiệm duy nhất  a ≠ 1

- Nếu r(A) = 2  a = 1khi đó

+ nếu b = 3 thì r( A) = r( A )= 2 < 3 là số ẩn => hệ vô số nghiệm+ nếu b ≠ 3 thì r( A )≠ r( A )=> hệ vô nghiệm

+ +

= +

+ +

= +

+ +

0

0

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

n n

n n x a x

a x a

x a x

a x a

(1)

Dạng ma trận AX = 0

Hệ thuần nhất (1) luôn có nghiệm x1 = x2 = = xn = 0 gọi là nghiệm tầmthường

Định lý: Điều kiện tồn tại nghiệm không tầm thường

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi vàchỉ khi r(A) < n

Hệ quả 1: Nếu số phương trình nhỏ hơn số ẩn thì hệ thuần nhất có nghiệm không

tầm thường

Hệ quả 2: Nếu số phương trình bằng số ẩn (m = n) thì hệ thuần nhất có nghiệm

không tầm thường khi và chỉ khi |A| = 0

Tính chất: Nếu X1, X2 là nghiệm của hệ thuần nhất (1), λlà số thực bất kỳ thì:

- X1 +X1 cũng là nghiệm của hệ (1)

- λX1cũng là nghiệm của hệ (1)

Hệ nghiệm cơ bản

Định nghĩa: Một hệ gồm k nghiệm { X X1, 2, ,X của hệ phương trình tuyến k}

tính thuần nhất (1) được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó nếu:

- { X X1, 2, ,X là hệ độc lập tuyến tính k}

- Mỗi nghiệm X của hệ (1) đều là tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm

{X X1, 2, ,X k}

Định lý: Nếu r(A) = r < n thì hệ thuần nhất (1) có vô số hệ nghiệm cơ bản và

mỗi hệ nghiệm cơ bản đều chứa n – r nghiệm

Chú ý: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn

2 7 5 3

2 4 4 2

Chia hàng một cho 2, sau đó lần lợt nhân nó với -3, -4 rồi cộng vào hàng hai,hàng ba ta đợc:

1 1 1 0

1 2 2

1 1 1 0

1 2 2 1

Vậy nghiệm của hệ là:

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12

b)Định nghĩa 2: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con

khác không có mặt trong A Ký hiệu hạng của A là rank (A) hoặc r(A).

3 0 2

4 2 3 , 0 1 2 3

3 0 2

4 2 1 , 0 1 1 3

3 2 2

4 3 1 , 0 2

23,822

31

1.5.2 Phương pháp tìm hạng của ma trận.

a) Ma trận bậc thang

Ma trận bậc thang là ma trận mà các hàng khác không luôn ở trên các hàng

không Phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột

chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên

(Hàng không là hàng có tất cả các phần tử đều bằng không)

0

1 1 0

0

2 1 1

0

7 5 3

1 0 3 0

7 5 2 1

0

1 2 1

0

7 5 2

1

Ví dụ 5 : Tìm hạng của ma trận A , B trong ví dụ trên.

Nhận xét : Hạng của ma trận có dạng bậc thang bằng số hàng khác không của

nó

b)Phương pháp biến đổi sơ cấp

-Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

- Đổi chỗ 2 hàng ( 2 cột ) của ma trận

- Nhân 1 hàng ( 1 cột ) với một số khác 0

- Cộng vào 1 hàng ( 1 cột ) 1 hàng ( 1 cột ) khác đã nhân với một số

Ví dụ 6:Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận B về dạng ma trận

- Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về dạng ma trận hình thang.

- Khi đó hạng của ma trận A sẽ bằng hạng ma trận hình thang và bằng số hàng khác không của ma trận hình thang

0 2 2 4

8 5 0 1

8 7 2 3

3

0 2 2

4

8 5 0

1

7 3 0

2 0

28 10 2 0

1 8 0 0

7 3 0 1

0 0

28 10 2 0

29 2

2 0

7 3 0 1

0

0

1 8

0

0

29 2

2

0

7 3

1 8 0 0

29 2 2 0

7 3 0 1

Vậy r(B)=3

C) Bài tập thảo luận

Câu 1 Giải phương trình ma trận sau

a)

1 x 2 x

13 x

x 4

6 x x

x

3 1

3 2

3 2

5 4 0

3 1 1

5 4 13

3 1 6

* Dx2 =

2 1 3

5 13 0

3 6 1

13 4

0

6 1 1

29 D

Dx x

2 29

58 D

Dx x

1 29

29 D

Dx x

3 3

2 2

1 1