giải nhanh trắc nghiệm SỐ PHỨC

Các khái niệm thường gặp Đơn vị ảo là một đại lượng được kí hiệu i và có tính chất i2 = -1 Số phức là một biểu thưc có dạng a + bi trong đó a,b là các số thực... Khi nảo máy tính hiển th

SÔ PHỨC

T CASIO TÌM NHANH PHẦN THỰC – PHẦN ẢO – MÔĐUN – ACGMENT CỦA SỐ PHỨCI) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1 Các khái niệm thường gặp

Đơn vị ảo là một đại lượng được kí hiệu i và có tính chất i2 = -1

Số phức là một biểu thưc có dạng a + bi trong đó a,b là các số thực Trong đó a được gọi là phần thực

và b được gọi là số ảo

Số phức liên hợp của sô phức z = a + bi là số phức z a bi 

Số phức nghịch đảo của sô phức z = a + bi là số phức

Lệnh tính Acgument của số phức là SHIFT 2 1

II) VÍ DỤ MINH HỌA

VD1 [Đề minh họa THPT Quốc gia lần 1 năm 2017]

Cho hai số phức z1  và 1 i z2   Tính Môđun của số phức 2 3i z1z2

A z1z2  13 B. z1z2  5 C z1z2 1 D z1z2 5

Giải

Đăng nhập lệnh số phức w2

(Khi nảo máy tính hiển thị chữ CMPLX thì bắt đầu tính toán số phức được)

Để tính Môđun của số phức ta nhập biểu thức vào máy tính rồi sử dụng lệnh SHIFT HYP1+b+2p3b=qcM=

Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi  :

Vậy z 9 10i� Đáp án B là chính xác

VD3 [Thi thử trung tâm Diệu HIền – Cần Thơ lần 1 năm 2017]

Cho số phức z = a + bi Số phức z2 có phần ảo là:

C

01

a a

Với a = 1 sử dụng máy tính Casio tính z

1+(1p1)b=qcM=

Vậy z 1 � Đáp an đúng chỉ có thể là C hoặc D

Thử với a = 0 Sử dụng máy tính Casio tính z:

0+(0p1)b=qcM=

VD6 [Thi thử chuyên KHTN lần 1 năm 2017]

Nếu số phức z thoản mãn z 1 thì phần thực của 1 z bằng:1

Vậy phần thực của z là 1/2 � Đáp án chính xác là A

VD7 [Thi thử nhóm toán Đoàn Trí DŨng lần 3 năm 2017]

Tìm số phức z biết rằng: 1i z 2z  5 1li

A z = 5 – 7i B 2 + 3i C z = 1 + 3i D z = 2 - 4iGiải

Với z = 5 – 7i thì số phức liên hợp z  Nếu đáp án A đúng thì phương trình 5 7i

1i 5 7 i 2 5 7 i  5 1li (1)

Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái của (1)

(1+b)(5p7b)p2(5+7b)=

Vì 2 – 16i � -5 +1 li nên đáp án A sai

Tương tự như vậy với đáp án B

� Đáp số chính xác là B

VD9 Số phức 5 3 3

1 2 3

i z

i





 có môth Acgument là:

 Tuy nhiên khi so sánh kết quả ta lại không thấy có giá trị nào là

23

 Khi

đó ta nhớ đến tính chất “ Nếu góc  là một Acgument thì góc  + 2 cũng là một Acgument”

Bài 5 [Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017]

Cho số phức z = 2 – 3i Phần ảo của số phức w 1 i z  2 i z là:

Bài 6 [Đề thi Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009]

Cho số phức z = a + bi thoản mãn điều kiện      2

2 3 i z 4 i z  1 3i Tìm P = 2a + b

Bài 7 [ Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2]

Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện      2

Vậy

35

Dãy số trên là một cấp số nhân với U1 = (1 + i)2, số hạng là 21 và công bột là 1 + i

Thu gọn z ta được:  2    21

1

1 11

�

1) Các khái niệm thường gặp

Hệ trục thực ảo gồm có 2 trục vuông góc với nhau: Trục nằm ngang là trục thực, trục đứng dọc là trục ảo

Số phức z = a + bi khi biểu diễn trên hệ trục thực ảo là điểm M(a;b)

Môđun của số phức z = a + bi là độ lớn của vecto OMuuuur

2 Lệnh Casio

Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE 2

Lệnh giải phương trình bậc haI MODE 5 3

Lệnh giải phương trình bậc ba MODE 5 4

II) VÍ DỤ MINH HỌA

VD1 [Câu 31 Đề minh họa THPT Quốc gia lần 1 năm 2017]

Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z =3 – i Hỏi điểm biểu diễn số phức z là điểm

nào tring các điểm M, N, P, Q

VD2 - [Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần Thơ lân 1 năm 2017]

Điểm biểu diễn số phức z = 7 + bi với b R� , nằm trên đương thẳng có phương trình là:

Giải

Điểm biểu diễn số phức z = 7 + bi là điểm M có tọa độ M (7;b)

Ta biết điểm M thuộc đường thẳng d nếu tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đương thẳng d

Thử đáp án A ta có x = 7 �1.x0.y 7 0 Thế tọa độ điểm M vào ta được:

1.7+0.b-7=0 (đúng)

Vậy điểm M thuộc đường thẳng x = 7 � Đáp án A là chính xác

VD3-[Thi thử Group Nhóm toán – Facebook lần 5 năm 2017]

Các điểm M, N, P lần lượt là điểm biễu diễn cho các số phức 1 2    

Để phát hiện tính chất của tam giác MNP ta nên biểu diễn 3 điểm M, N, P trên hệ trục tọa độ

Dễ thấy tam giác MNP vuông cân tại P � Đáp án chính xác là C

VD4 –[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1  1 ;i z2   Gọi 3 2i

G là trọng tâm tam giác OMN, với O là gốc tọa độ Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây

2i



Giải

Điểm M biểu diễn số phức z1 = 1 – i � tọa độ M (1;-1)

Điểm N biểu diễn số phức z2 = 3 + 2i � tọa độ N (3;2)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức z = 3 – 4i, điểm M’ là điểm biểu diễn số

OMM

S �

C

154

OMM

S �

D

152

OMM

S �

Giải

Điểm M biểu diễn số phức z1 = 3 – 4i � tọa độ M (3;-4)

Điểm M’ biểu diễn số phức

12

VD6 – [Đề thi minh họa Bộ GD và ĐT lần 2 năm 2017]

Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 4z216z 17 0  Trên mặt phẳng tọa

độ , điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = iz0

M �� ��

1

;14

M �� ��

1

;14

z  i

và

122

z  i

Để z0 có phần ảo dương

122

z  i

�

Tính w = z0iw2(2+aqR2$b)b=

M �� ��

�B là đáp án chính xác

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 – [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 2 năm 2017]

Cho số phức z = 2 + i Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức w = (1 – i)z

Bài 2 – [Thi thử facebook nhóm toán lần 5 năm 2017]

Cho số phức z thỏa mãn ((2 – i)z = 4z + 5 Hỏi điểm biểu diễn của z là

điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên

A Điểm N B Điểm P

Bài 3 –[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017]

Trên mặt phẳng tọa độ các điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức

, 1i 1 2 , 2 i  i Khi đó tam giác ABC

A vuông tại C B vuông tại A C vuông cân tại B D Tam giác đều

Bài 4 – Các điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số:

1 , 2 3 ,3i  i  và 3 ,3 2 ,3 2i i  i  có G, G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ Khẳng địnhi

nào sau đây đúng

A G trùng G’ B Vecto GG�uuuur 1; 1

C GA3GA�uuur D Tứ giác GAG’B lập thành một hình bình hành

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Vậy tọa độ của điểm thỏa mãn số phức z là (-2;1) Đây là tọa độ điểm M

Rút gọn 2i3  2 i i2  vậy tọa độ điểm C(0;2)2i

Để phát hiện tính chất của tam giác ABC ta chỉ cần biểu diễn trên hệ trục tọa độ là thấy ngay

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại C � Đáp số chính xác là A

Bài 4

Ta có tọa độ các đỉnh A1; 1 ,     B 2;3 ,C 3;1 � Tọa độ trọng tâm G(2;1)

23

13

13

1 Mẹo giải nhanh

Bài toán quỹ tích luôn đi lên từ định nghĩa Ta luôn đặt z = x + yi, biểu diễn số phức theo yêu cầu đề bài, từ đó khử i và thu về một hệ thức mới:

Nếu hệ thức có dạng Ax + By + C = 0 thì tập hợp điểm là đường thẳng

VD1 – [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 3 năm 2017]

Tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z   2 i z 2i

qc1+1.5bp2pb$pqc1p1.5b+2b=

Ta thấy kết quả ra 0 vậy z   2 i z 2i 0

là đúng và đáp án chính xác là BCách mẹo

Đặt z = x + yi ( ta luôn đi lên từ định nghĩa)

Trong dạng toán này ta nên ưu tiên dùng mẹo vì tính nhanh gọn của nó

Nhắc lại một lần nữa, luôn đặt z = x + yi rồi biến đổi theo đề bài

VD2 – [Thi thử sở GD và ĐT Hà Tĩnh lần 1 năm 2017]

Cho số phức z thoả mãn 2  z 1 i Chọn phát biểu đúng

A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng

B Tâp hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol

C Tâp hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn

D Tâp hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Elip

VD3 – [Đề thi minh họa của bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]

Cho các số phức z thỏa mãn z 4 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

w = (3 + 4i) z + i là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó

Ta có điểm biễu diễn của z1 là M (12;17)

Chọn z = 4i (thỏa mãn z 4) Tính w2 = (3 + 4i) (4i) + i

(3+4b)O4b+b=

Ta có điểm biểu diễn của z2 là N (-16;13)

Chọn z = -4i (thỏa mãn z 4) Tính w3 = (3 + 4i)(-4i) + i

(3+4b)(p4b)+b=

Ta có điểm biểu diễn của z3 là P(16;-11)

Vậy ta có 3 điểm M, N, P thuộc đường tròn biểu diễn số phức w

Đường tròn này sẽ có dạng tổng quát x2y2    Để tìm a, b, c ta sử dụng máy tính ax by c 0Casio với chức năng MODE 5 3

w5212=17=1=p12dp17d=p16=13=1=p16dp13d=16=p11=1=p16dp11d=

Vậy phương trình đường tròn có dạng 2 2 2  2 2

Với M thuộc đường tròn thì 12a 17 b c  122172

Với N thuộc đường tròn thì 16a 13 b c  162132

Với P thuộc đường tròn thì 16a 11 b c  162112

Vậy ta lập được hệ phương trình 3 ẩn bậc nhất

Và ta sử dụng chức năng giải hệ phương trình 2 ẩn bậc nhất MODE 5 2 để xử lý

Hai cách đều hay và có ưu điểm riêng, tự luận sẽ tiết kiệm thời gian một chút nhưng việc tính toán rút gọn dẽ nhầm lẫn, còn casio có vẻ bấm máy nhiều hơn nhưng tuyệt đối không sai

VD4 – [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 3 năm 2017]

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn phần thực của

Vậy tâp hợp điểm cần tìm là đường tròn tâm

R �

đáp án B là chính xácBÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 – [Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 2 năm 2017]

Cho các số phức z thỏa mãn z    1 i z 1 2i Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng Viết phương trình đường thẳng đó

A 4x 6 y 3 0 B 4x 6 y 3 0 C 4x 6 y 3 0 D 4x 6 y 3 0

Bài 2 – [Thi thử THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z: z   z 3 4i

là phương trình có dạng

A 6x 8 y25 0 B 3x 4 y 3 0 C x2 y 25 D   2 2

Bài 3 – [Thi thử THPT Nguyễn Đình Chiểu – BÌnh Định lần 1 năm 2017]

Cho các số phức z thỏa mãn z 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

w 3 2   i 2 i z là một đường tròn Tính bán kính r của đường tròn đó.

Bài 4 – [Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]

Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  1 1 i z

A Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I2; 1 , bán kính R 2

B Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 1;0 , bán kính R 3

C Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I0; 1 , bán kính R 3

D Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I0; 1 , bán kính R 2

Bài 5 – [Thi thử THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa lần 1 năm 2017]

Tập hợp điểm biễu diễn số phức z thỏa mãn

2 2

z z là:

A Cả mặt phẳng B Đường thẳng C Một điểm D, Hai đường thẳng

Bài 6 – Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z   1 z z 2i

là một Parabol có dạng:

A y3x26x 2 B

22

x

y x

C

243

y 

và số phức

116

y

và số phức

116

x  i

Xét hiệu:

qc1+a1R6$b+1pb$pqc1+a1R6$bp1+2b=

Nếu đáp số A đúng thì đúng với với mọi z = x + yi thỏa mãn y3x26x 2

Chọn một cặp (x;y) bất kỳ thỏa y3x26x 2 ví dụ A(0;2) �z2i

Xét hiệu 2 z   1 z z 2i

z  i

Xét hiệu 2 z   1 z z 2i2qc1pabR2$p1$pqc1pabR2$p(1+abR2$)+2b=

2 Phương pháp mẹo sử dụng sử tiếp xúc

Dạng 1: Cho số phức z có tập hợp các điểm bbiểu diễn số phức z là đường tròn (C) bán kính R Với mỗi điểm M thuộc đường tròn (C) thì cũng thuộc đường tròn (C’) tâm gốc tọa

+) Để z nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất khi đó OM vuông góc với (d) và OM = d(O;(d))

Dạng 3: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là Elip có đỉnh thuộc trục lớn A(a;0)

và đỉnh thuộc trục nhỏ B(0;b) Với mỗi điểm M thuộc (d) thì cũng thuộc đường tròn (E)

+) Để z lớn hất thì OM lớn nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục lớn và max z OM OA

+) Để z lớn hất thì OM nhỏ nhất khi đó M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ và max z OM OB

Dạng 4: Cho số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là Hyperbol

2 2( ) :H x y 1

a b 

có hai đỉnh thuộc trục thực A�a;0 ,  A a;0 thì số phức z có môđun nhỏ nhất nếu điểm biểu diễn số phức z này trùng với các đỉnh trên (môđun lớn nhất không tồn tại)

II) VÍ DỤ MINH HỌA

VD1 –[Thi thử THPT Vĩnh Chân – Phú Thọ lần 1 năm 2017]

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Ra một giá trị khác 0 vậy z = -1 + i không thỏa mãn hệ thức � Đáp án A saiTương tự như vậy với z = 2 + 2i

Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn z 2 4i  z 2i

a b Ta gọi đây là đường tròn (C’), Môđun của z cũng là bán kính đường tròn (C’)

Để bán kính (C’) lớn nhất thì O, I, M thẳng hàng (như hình) và (C’) tiếp xúc trong với (C)

Khi đó OM = OI + R = 5 + 1 = 6

�Đáp số chính xác là D

Cách tự luận

Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn 1i z  1 7i  2

VD3 – [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 5 năm 2017]

Cho số phức z thỏa mãn z   4 z 4 10, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là:

Gọi số phức z có dạng z = x + yi z thỏa mãn z   2 z 2 2

A� B

Số phức z = x + yi có điểm biểu diễn M (x;y) và có môđun là OM a2b2 Để OM đạt giá trị nhỏ nhất thì M trùng với hai đỉnh của (H)



C 2 1 D 2 1

Bài 2 – Trong các số phức z thỏa mãn z   3i iz 3 10

Hai số phức z1 và z2 có môđun nhỏ nhất Hỏi tích z1z2 là bao nhiêu

2 2

R  z x y Vì vậy đểR z nhỏ nhất thì đường tròn (C’) phải tiếp xúc ngoài với đường (C’)

Khi đó điểm M sẽ là tiếp điểm của đường tròn (C) và (C’) và

1 2 22

*Với mỗi điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x + yi sẽ thuộc đường tròn tâm O bán kính kính

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): x + 2y + 1 = 0

*Với mỗi điểm M (x;y) biểu diễn số phức z = x + yi thì z OM �OH với H là hình chiếu vuông góccủa O lên đường thẳng (d) và OH là khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng (d)

1.0 2.0 1 1( ;( ))

-I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG

1.Chuyển số phức về lượng giác

*Dạng lượng giác của số phức: Cho số phức z có dạng z r cos ( isin) thì ta luôn có :

z r nisinn

*Lệnh chuyển số phức z = a + bi về dạng lượng giác : Lệnh SHIFT 2 3

Bước 1: Nhập số phức z = a + bi vào màn hình rồi dùng lệnh SHIFT 2 3

II) VÍ DỤ MINH HỌA

VD1-[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 1 năm 2017]

Gọiz z là hai nghiệm phức của phương trình 1 2 z2  Giá trị củaz 1 z1  z2

VD2.[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 2 năm 2017]

Gọiz z là hai nghiệm phức của phương trình1, 2 z22z  Tính giá trị của biểu thức2 0

2016 2016 1008

Tương tựz22016 21008  T 21009

VD3-[ Đề minh họa bộ GD và ĐT lần 1 năm 2017]

Kí hiệuz z z và 1, ,2 3 z là bốn nghiệm phức của phương trình4 z4   z2 12 0 z4  z2 12 0 Tính tổng:

z t khi đó phương trình trở thànht2   t 12 0

w531=p1=p12==

Vậy

2 2

Tóm lại ta sẽ có 4 nghiệmz�1,z� 3i

Tính T ta lại sử dụng chức năng tính modun SHIFT HYP

w2qc2$+qcp2$+qcs3$b$+qcps3$b=

Đáp án chính xác là C

VD4.[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017]

Giải phương trình sau trên tập số phức:z3 ( 1)i z2 ( 1)i z i  0

nếu giá trị này là nghiệm thì cả đáp án A và B đều có nghĩa là đáp án

D chính xác Nếu giá trị này không là nghiệm thì chỉ có đáp án A đúng duy nhất

VD5-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017]

Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào có hai nghiệm z1 1 3;z2  1 3

A.z2 i 3z  B.1 0 z22z  4 0 C.z22z  4 0 D z22z  4 0

Giải

Ta hiểu phương trình bậc hai ax2  nếu có hai nghiệm thì sẽ tuân theo định lý Vi – et ( kể cả bx c

z z a

VD6.[Thi thử chuyên Khoa học Tự nhiên lần 1 năm 2017]

Phương trình z2   có bao nhiêu nghiệm trong tập số phức:iz 1 0

Giải

Ta phân biệt: Trên tập số thực phương trình bậc hai ax2bx c 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu0

  , có hai nghiệm kép nếu   , vô nghiệm nếu0   Tuy nhiên trên tập số phức phương trình 0

bậc hai ax2bx c 0 có 1 nghiệm duy nhất nếu  có hai nghiệm phân biệt nếu0

00

z z z

Bài 1.[ Thi thử chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa lần 2 năm 2017]

Cho phương trìnhz22z17 0 có hai nghiệm z và 1 z Gía trị của 2 z1  z2 là:

Bài 2.[ Đề thi toán Đại học –Cao đẳng khối A năm 2009]

Gọiz z là hai nghiệm của phương trình1 2 z22z10 0 Tính giá trị biểu thức A z12 z2 2

Bài 3.[Thi thử Group Nhóm toán lần 5 năm 2017]

Kí hiệuz z z là nghiệm của phương trình 1, ,2 3 z327 0 Tính tổngT  z1  z2  z3