bài tập trắc nghiệm số phức

Số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau quatrục Ox... D¹ng to¸n 3: Chứng minh tich chất của số phức Phương pháp Sử dụng các phép toán trên tập số phức

“Trên b ướ c đ ườ ng thành công

không có d u chân c a s l ấ ủ ự ườ i

bi ng!” ế

Không gian học tập

StartUp TÀI LIỆU TỰ HỌC

Chủ đề:

SỐ PHỨC

thỏa mãn i2 = −1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của

Khi đó, nếu uuur1, uuur2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1, z2 thì:

 uuur1 + uuur2 biểu diễn số phức z1 + z2

 uuur1 −uuur2 biểu diễn số phức z1 − z2

1 Số phức liên hợp của z lại là z, tức là z = z Vì thế người ta còn nói z và z là hai

số phức liên hợp với nhau

2 Số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau quatrục Ox

Nhận xét: Như vậy, nếu z ≠ 0 thì z'

II CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC − PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

7 Căn bậc hai của số phức

Chú ý 1: Để tìm căn bậc hai của số phức w, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu w là số thực (tức là w = a):

 Với a > 0 thì w có hai căn bậc hai là ± a.

 Với a < 0 thì w có hai căn bậc hai là ±i −a

Trường hợp 2: Nếu w = a + bi (a, b∈¡ và b ≠ 0) thì z = x + yi (x, y∈¡ ) là căn bậc

hai của w khi và chỉ khi:

Số thực dương a có hai căn bậc hai là ± a.

Số thực âm a có hai căn bậc hai là ±i −a

8 Phương trình bậc hai

Cho phương trình:

Ax2 + Bx + C = 0, với A, B, C là những số phức và A ≠ 0

Xét biệt thức ∆ = B2 − 4AC, ta có các trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu ∆ ≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm:

Chú ý: 1 Mọi phương trình bậc hai (với hệ số phức) có hai nghiệm phức (có thểtrùng nhau).

2 Mọi phương trình bậc n:

A0zn + A1zn − 1 + + An − 1z + An = 0trong đó A0, A1, , An là n + 1 số phức cho trước, A0 ≠ 0 và n là một số nguyêndương luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt)

III DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC − ỨNG DỤNG

9 Số phức dưới dạng lượng giác

Đị

(Acgumen của số phức z ≠ 0): Cho số phức z ≠ 0 Gọi M là điểm trong mặt

phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.

Chú ý:

1 Nếu ϕ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng ϕ + 2kπ, k∈Z

2 Hai số phức z và lz (với z ≠ 0 và l là số thực dương) có cùng acgumen

Đị

(Dạng lượng giác của số phức): Dạng z = r(cosϕ + i.sinϕ), trong đó r > 0 được

gọi là dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 Còn dạng z = a + bi (a, b∈¡ ) được

gọi là dạng đại số của số phức z.

Nhận xét: Để tìm dạng lượng giác r(cosϕ + i.sinϕ) của số phức z = a + bi (a, b∈¡ ) khác

0 cho trước, ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm r: đó là môdun của z, r = a2+b2; số r đó cũng là khoảng cách từgốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức

Bước 2: Tìm ϕ: đó là acgumen của z, ϕ là số thực sao cho cosϕ = a

r và sinϕ =b

r; số ϕ đó cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM

Chúng ta tổng kết hai bước thực hiện trên bằng phép biến đổi:

1 |z| = 1 khi và chỉ khi z = cosϕ + i.sinϕ (ϕ∈¡ )

2 Khi z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định (đôi khi coi acgumencủa 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0 = 0(cosϕ + i.sinϕ))

3 Cần để ý đòi hỏi r > 0 trong dạng lượng giác r(cosϕ + i.sinϕ) của số phức z ≠ 0

Định lí: Nếu z = r(cosϕ + i.sinϕ) và z' = r'(cosϕ' + i.sinϕ') với r, r' ≥ 0 thì :

zz' = rr'[cos(ϕ + ϕ') + i.sin(ϕ + ϕ')]

zz' =

rr'[cos(ϕ − ϕ') + i.sin(ϕ − ϕ')] khi r' > 0

Chú ý: Nếu các điểm M, M' biểu diễn theo thứ tự các số phức z, z' khác 0 thì acgumen

của z

z' là số đo góc lượng giác tia đầu OM', tia cuối OM.

Công thức moa−vrơ: Với mọi số nguyên dương n, ta có:

[r(cosϕ + i.sinϕ)]n = rn(cosnϕ + i.sinnϕ)

Khi r = 1, ta được:

(cosϕ + i.sinϕ)n = cosnϕ + i.sinnϕ.

Ứng dụng vào lượng giác: Ta có:

(cosϕ + i.sinϕ)3 = cos3ϕ + i.sin3ϕ

Mặt khác, sử dụng khai triển lũy thừa bậc ba ta được:

(cosϕ + i.sinϕ)3 = cos3ϕ + 3cos2ϕ.(i.sinϕ) + 3cosϕ.(i.sinϕ)2 + sin3ϕ

Từ đó, suy ra:

cos3ϕ = cos3ϕ − 3cosϕ.sin2ϕ = 4cos3ϕ − 3cosϕ,

sin3ϕ = 3cos2ϕ.sinϕ − sin3ϕ = 3sinϕ − 4sin3ϕ

Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: Số phức z = r(cosϕ + i.sinϕ), r > 0 cóhai căn bậc hai là:

Với số phức z = a + bi, các dạng câu hỏi thường được đặt ra là:

Dạng 1:Xác định phần thực và phần ảo của số phức z Khi đó, ta có ngay:

 Phần thực bằng a

 Phần ảo bằng b

Chú ý: Một câu hỏi ngược là "Khi nào số phức a + bi là số thực, số ảo hoặc bằng 0",

khi đó ta sử dụng kết quả trong phần chú ý sau định nghĩa 1

Dạng 2:Hãy biểu diễn hình học số phức z

Khi đó, ta sử dụng điểm M(a; b) để biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọađộ

Chú ý: Một câu hỏi ngược là "Xác định số phức được biểu diễn bới điểm M(a; b)", khi

đó ta có ngay số z = a + bi

Dạng 3:Tính môđun của số phức z, khi đó, ta có ngay z= a2+b2

Dạng 4:Tìm số đối của số phức z, khi đó, ta có ngay −z = −a − bi

Dạng 5:Tìm số phức liên hợp của z, khi đó, ta có ngay z = a − bi

Dạng 6:Tìm số phức nghịch đảo của z, khi đó, ta có ngay z− 1 = 12

|z| z

Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một tam giác đều có tâm là gốc toạ độ

O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số −i

Giả sử tam giác đều ABC (như trong hình vẽ) thỏa mãn điều kiện đầu bài, khi đó giả

sử đỉnh A(0; −1) biểu diễn số phức −i

Gọi a là độ dài cạnh ∆ABC, ta có 2 a 3 AO 1

Sử dụng định nghĩa cùng với tính chất của các phép toán (cộng, trừ nhân, chia) trêntập số phức.

(a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi; (a − bi)2 = a2 − b2 − 2abi

(a + bi)3= a3 − 3a + (3a2b − b3)i; (a − bi)3= a3 + 3a − (3a2b + b3)i

Tìm phần thực phần ảo của số phức z = (x + iy)2 – 2(x + iy) + 5 (với x, y ∈ ¡ ).Với x, y

nào thì số phức đó là số thực ?

a Ta biến đổi:

z = (x2 + 2xyi − y2) – (2x + 2yi) + 5 = x2 − y2 − 2x + 5 + 2y(x − 1)i

Vậy nó có phần thực bằng x2 − y2 − 2x + 5 và phần ảo bằng 2y(x − 1)

b Số phức đã cho là số thực điều kiện là:

− +

= 261(23 63i)+ = 23 63i

26 26+ .Vậy nó có phần thực bằng 2623, phần ảo bằng 2663 và môđun bằng 4498

Vậy, điểm M(2; 0) biểu diễn số phức z

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Vậy, điểm N(0; 10) biểu diễn số phức z.

= 8i3 + 6i(2 − i2) = −8i + 18i = 10i

Vậy, điểm N(0; 10) biểu diễn số phức z

D¹ng to¸n 3: Chứng minh tich chất của số phức

Phương pháp

Sử dụng các phép toán trên tập số phức cùng những tính chất của chúng

Chứng minh rằng phần thực của số phức z bằng 12(z + z ), phần ảo của số phức z bằng

Câu hỏi thường được đặt ra là "Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu

diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện K"

Chú ý: Để tăng độ khó cho yêu cầu về tập hợp điểm, bài toán thường được cho dưới

c Để z2 là số thực âm điều kiện là:

d Để z2 có môđun bằng 1 điều kiện là:

( 2 2)2 2

x −y +(2xy) =1 ⇔ ( 2 2)2

x +y =1 ⇔ x2 + y2 = 1

Vậy, tập hợp điểm M thuộc đường tròn đơn vị

Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn (1 + i 3 )z + 2, trong đó z – 1 ≤ 2

z – 1 = x 2 yi 1

1 i 3− + −+ =

x 3 i(y 3)

1 i 3

− + ++

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

C¸ch 1:Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức

C¸ch 2:Thực hiện theo các bước:

Bíc 1: Giả sử số phức cần tìm là z = a + bi (x, y∈¡ )

Bíc 2: Thay z vào phương trình và sử dụng sử dụng bằng nhau của hai số

a Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

22 4i25+ .

Vậy, phương trình có nghiệm z = 22

1(1 i)

1 1

− −+ = −

1 1i

2 2+

Cách 2: Giả sử z = a + bi (a, b∈¡ ), ta có:

(3) ⇔ (2 + i)(a + bi) − (a + bi) + 1 = 0

⇔ 2a − b + (a + 2b)i − (a + bi) + 1 = 0 ⇔ a − b + 1 + (a + b)i = 0

2 2+ Vậy, phương trình có ba nghiệm z = i, z = 2 + i và z = −1 1i

2 2+

Đ2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

D¹ng to¸n 1: Căn bậc hai của số phức

Nhận xét: Như vậy, để tìm căn bậc hai của các số phức trên:

 Câu a) chúng ta sử dụng ngay kết quả của trường hợp 1 trong chú ý của phầncăn bậc hai

 Câu b) chúng ta sử dụng thuật toán đã được trình bày trong trường hợp 2 củachú ý của phần căn bậc hai

Với số ảo dạng z = bi nếu chúng ta sử dụng đánh giá về dấu của x và y thì sẽnhanh chóng tìm được nghiệm của hệ phương trình Cụ thể hệ trong câu b) sẽđược thực hiện như sau:

x y 02xy 1

 − =

 =

 ⇔

x y2xy 1vµx,ycï ngdÊu

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Giả sử số z = x + yi (x, y∈¡ ) là căn bậc hai của 3 + 4i, tức là ta có:

Vậy, số 3 + 4i có hai căn bậc hai là ±(2 + i)

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Giả sử số z = x + yi (x, y∈¡ ) là căn bậc hai của 4 6i 5+ , tức là ta có:

Vậy, số 4 6i 5+ có hai căn bậc hai là ± +(3 i 5).

Nhận xét: Ý tưởng cho cách giải 2 trong thí dụ trên với mỗi số phức dạng a + bi (a, b

thực khác 0) có thể được giải thích như sau:

Ta viết bi 2 ib

2

= , tới đây cần một phép phân tích số bi

2 thành hai số b1 và b2i saocho 2 ( )2

Sử dụng kiến thức trong phần phương trình bậc hai

Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:

a. z2 − 2z + 2 = 0 b z2 − 2iz + 1 = 0

a. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Phương trình có ∆' = 12 − 2 = –1 nên nó có hai nghiệm phân biệt là:

z1, 2 = 1 ±i

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

(z − 1)2 = −1 = i2 ⇔ z − 1 = ±i ⇔ z1, 2 = 1 ±i

Vậy, phương trình có hai nghiệm z1, 2 = 1 ± i

b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Phương trình có ∆ = (–2i)2 − 4 = –8 ⇒ ∆ có hai căn bậc hai là 2i 2±

Nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy, phương trình có hai nghiệm z1, 2 = (1 ± 2 )i

= − − + + =

Vậy, phương trình có hai nghiệm z1 = −2 và z2 = i.

x(x 4)(x 3) 0

1

z 1 i 34

= − + và 2 ( )

1

z 3 i 34

= +

Nhận xét: Như vậy, để giải các phương trình trên:

 Ở câu a) bằng việc nhận xét được ngay rằng 3 + 4i = (2 + i)2 chúng ta đã giảmthiểu được các bước tìm căn bâc hai của ∆

 Câu b) chúng ta cần sử dụng thuật toán để tìm căn bậc hai của ∆' Tuy nhiên,với những người có kinh nghiệm họ có thể nhẩm được

Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i).

Giả sử số δ = x + yi (x, y∈¡ ) là căn bậc hai của ∆ = −5 + 12i, tức là ta có:

−5 + 12i = (x + yi)2 = x2 − y2 + 2xyi

Tức là, biệt số ∆ có hai căn bậc hai là ±(2 + 3i)

Nên phương trình đó có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy, hai số cần tìm là 3 + i và 1 − 2i

D¹ng to¸n 3: Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình bậc cao

Phương pháp

a Đối với phương trình bậc ba thì chúng ta cần thực hiện phép nhẩm nghiệm để

phân tích đa thức thành nhân tử (tức nhận được một phương trình tích)

b Đối với phương trình bậc bốn dạng đặc biệt chúng ta sử dụng phương pháp

đặt ẩn phụ

Giải các phương trình sau và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

a Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu a) do thói quen tìm nghiệm thực nên đã chỉ

ra nghiệm duy nhất x = 1 Các em học sinh cần ghi nhớ nội dung chú ý 2 trong phần líthuyết, nên sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi phương trình ban đầu về dạng tích

b Ở câu b) chúng ta sử dụng kết quả a + b + c + d = 0 thì phương trình az3 + bz2

+ cz + d = 0 (với a, b, c, d là những số thực) có nghiệm bằng 1, do đó nó được phântích thành:(z − 1)(Az2 + Bz + C) = 0

Tương tự, nếu phương trình az3 + bz2 + cz + d = 0 có: a − b + c − d = 0

thì nó có nghiệm bằng −1, do đó nó được phân tích thành: (z + 1)(Az2 + Bz + C)

± ±

Nhận xét: 1 Như vậy, qua ví dụ trên:

a. Ở câu a) chúng ta sử dụng hằng đẳng thức để chuyển phương trìnhban đầu về tích của hai phương trình bậc hai

b. Ở câu b) chúng ta sử dụng tính chất i2 = −1 để làm xuất hiện dạng

A2 − B2 = (A − B)(A + B)

2 Chúng ta đều biết rằng các phương trình trùng phương dạng:

az4 + bz2 + c = 0được giải bằng việc sử dụng ẩn phụ t = z2

Đ3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

D¹ng to¸n 1: Dạng lượng giác của của số phức

Phương pháp

Sử dụng kiến thức được trình bày trong nhận xét của phần 1

Tìm dạng lượng giác của các số phức z, –z, 1

1.2 cos i.sin

kz = kr(cos i.sin ) nÕuk 0

kr[cos( ) i.sin( )] nÕuk 0

2 3 1 2 3 12

D¹ng to¸n 2: Các ứng dụng

Phương pháp

Sử dụng dạng lượng giác của số phức để thực hiện các phép toán

Sử dụng công thức moa−vrơ (moivre) và ứng dụng

Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của số phức: z = cosϕ − i.sinϕ

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta lần lượt có dạng lượng giác của các số phức:

− = 1 i2

+ = 2 2 i 2

z = ( )2

2 i+ + ( )2

2 i− = ( 2 + i − 2 + i)2 + 2( 2 + i)( 2 – i)

= 4i2 + 2(2 − i2) = 2

Vậy, điểm M(2; 0) biểu diễn số phức z

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Ta biến đổi:

z = ( )3

2 i+ −( )3

2 i− = 2 2 + 6i + 3i 2 + i2 3 − ( 2 2 − 6i + 3i 2 2 − i3)

= 12i + 2i3 = 12i − 2i = 10i

Vậy, điểm N(0; 10) biểu diễn số phức z

= 8i3 + 6i(2 − i2) = −8i + 18i = 10i

Vậy, điểm N(0; 10) biểu diễn số phức z

Tìm môđun của các số phức sau:

a z = 3 i 2 i

1 i i

− − ++ . b z = 1 + (1 − i) + (1 − i)

2 + (1 − i)3 + + (1 −i)19

( 3 i)(1 i) ( 2 i)i2

− − + + = 3 3

2

− + 2 2 3 1

− −

− = [(−2i)10 − 1]i = (210 − 1)i

b Với hai số phức z = a + bi, z' = a' + b'i (a, b, a', b'∈¡ ), ta lần lượt có:

z z'+ = (a bi) (a' b'i)+ + + = (a a') (b b')i+ + + = (a + a') − (b + b’)i

= (a − bi) + (a' − b'i) z z'= + , đpcm

z.z' = (a bi)(a' b'i)+ + = (aa' bb') (ab' a'b)i− + +

= (aa’ − bb') − (ab' + a’b)i = (a − bi)(a' − b'i) = z.z', đpcm

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số thoả mãn mỗi điều kiện sau:

⇔ x = 1

2 hoặc x = −7

2.Vậy, tập hợp điểm M thuộc hai đường thẳng x = 1

2z – i = z – z + 2i ⇔ 2x + yi – i = x + yi – x + yi + 2i

⇔ 2x + (y – 1)i = 2(y + 1)i ⇔ 2 x2+ −(y 1)2 = 4(y 1)+ 2

⇔ 1 + (y − 1)2 = (y + 1)2 ⇔ y = x2

4 .Vậy, tập hợp điểm M thuộc parabol (P): y = x2

 Điều kiện z 3i

z i

−+ = 1 chứng tỏ z có phần ảo bằng 1 (tức là y = 1).

Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau:

y 0 vµ x x 01

x vµ 4y 32

Tìm các căn bậc hai của số phức 4 6i 5+

Vậy, số 1 + 4 3i có hai căn bậc hai là ± +(3 i 5)

Giải các phương trình sau:

( )

1

z =2i 2 (1 3i)− + = − +1 2 2 3 i− và z1=2i 2 (1 3i) 1 2 2 3 i+ + = +( + ) Vậy, phương trình có hai nghiệm z1 = −2 và z2 = i

b. Đặt t = z2 + z, phương trình được chuyển về dạng:

a. Giải phương trình với m 4i 2 =

b. Tìm m để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5.

Vậy, phương trình có hai nghiệm z1 = −2 và z2 = i

b. Giả sử hai nghiệm của phương trình là z1, z2, suy ra:

Vậy, với m = ±(3 − 2i) thỏa mãn điều kiện đầu bài

Tìm số thực a, b để có phân tích: 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = (2z – 1)(z2 + az + b) rồi giải

(z 1) 5(z 1) 3

 − =

+ = −

Cho phương trình z4 + pz2 + q = 0 với p, q là các số thực

Tìm điều kiện cần và đủ về các số p, q để phương trình:

a. Chỉ có nghiệm thực.

b. Không có nghiệm thực.

Đặt t = z2, phương trình được biến đổi về dạng t2 + pt + q = 0 (*)

a. Phương trình ban đầu chỉ có nghiệm thực khi và chỉ khi:

(*) có hai nghiệm không âm (0 ≤ t1 ≤ t2)

b. Phương trình ban đầu chỉ không có nghiệm thực khi và chỉ khi:

(*) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm (t1 ≤ t2 < 0)

⇔

00

a. Viết z1, z2, z3 dưới dạng lượng giác.

b. Từ câu a) hãy tính cos7

π + i.sin712π

π = cos3

4

π

Từ đó, suy ra z = 3cos34π+i.sin34π

1 i+ =

(a bi)(1 i)2