GIỚI HẠN - Giới hạn hàm số (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I.. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.. Định nghĩa:  Dãy số u được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số n dư

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐ

1 Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1 Định nghĩa:

 Dãy số ( )u được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số n

dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều

có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó Kí hiệu: limx u n 0

   Hay là: lim0 n 0

  khi và chỉ khi với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho: 0 u n    , n n0

3 Tổng của CSN lùi vô hạn

Cho CSN ( )u có công bội q thỏa n q  Khi đó tổng1

 lim n

    với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một

số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó

        

4.2 Một số kết quả đặc biệt

 limn  với mọi k k 0

 limq  với mọi n q  1

4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC.

Quy tắc 1: Nếu limu  , lim n v  thì lim( ) n u v được cho như sau; n n

limu n limv n lim(u v n n) 

Quy tắc 2: Nếu limu  , lim n v n thì lim( )l u v được cho như sau; n n

limu n Dấu của l lim(u v n n)

v được coi như sau;

Dấu của l Dấu của v n

lim n n

u v

 Để chứng minh limu  ta chứng minh với mọi số n 0 a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một

số n sao cho a u n a  n n a

 Để chứng minh limu n  ta chứng minh lim(l u n l) 0

 Để chứng minh limu  ta chứng minh với mọi số n M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại

số tự nhiên n sao cho M u n M  n n M

 Để chứng minh limu   ta chứng minh lim( n u n)

 Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

1 1lim

2

n n

a

a n

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn

Ví dụ 3 Chứng minh các giới hạn sau:

Ta chọn

2 0

42

82

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của lim 1

n 

Bài 3 Giá trị của

2

sinlim

Bài 5 Giá trị của

2

1lim n

n

 bằng:





2

42

3lim n n

n

 bằng:

Lời giải :

Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta chọn 1

sin 3limn n n

n  .

Bài 19 Giá trị của limn a với a 0 bằng:

Tóm lại ta luôn có: limn a  với 1 a 0.

Vấn đề 2 Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Phương pháp:

Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản

n A

77

n

n B

n



CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giá trị của

2 2

3

n n A

B

n n

1 3lim

2

66

a n a n a D

1 11

lim(3 1)

1lim

(2 1)

n C

n

n K

2 sin 2 1lim

n n A

2

n B



 bằng:

Lời giải :

Ta có:

n n

Bài 41 Tính giới hạn của dãy số 1 1 1

n

k

k u

1 2

q q

1

n n n

n u

Ta chia làm các trường hợp sau

TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho k

1lim



Lời giải :

Ta có 1, ,a a2, ,a là một cấp số nhân công bội n a

lim

11

I

a b

Từ công thức truy hồi ta có: x n1 x n,  n 1, 2,

Nên dãy ( )x là dãy số tăng n

Giả sử dãy ( )x là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim n x n x

Với x là nghiệm của phương trình : xx2 x x 0 x1 vô lí

Do đó dãy ( )x không bị chặn, hay lim n x  n

k

Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

Bài 60 Tìm limu biết n 1 3 5 (22 1)

  nên suy ra limu  n 1

Bài 69 Tìm limu biết n

dau can

2 2 2

n n

Bài 72 Cho a b, å,( , ) 1;a b  nab1,ab2,  Kí hiệu r là số cặp số ( , ) n u v ååsao cho n au bv  Tìm lim n 1

1.1 Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x Ta nói rằng hàm số ( )0 f x xác định

trên K (có thể trừ điểm x ) có giới hạn là 0 L khi x dần tới x nếu với dãy số ( )0 x bất kì, n

* Ta nói hàm số yf x( ) xác định trên ( ;a  có giới hạn là ) L khi x   nếu với mọi dãy số ( ) :x n x n  và a x   thì ( ) n f x n  L Kí hiệu: lim ( )x f x  L

* Ta nói hàm số yf x( ) xác định trên ( ; )b có giới hạn là L khi x    nếu với mọi dãy số ( ) :x n x n  và b x    thì ( ) n f x n  L Kí hiệu: lim ( )x  f x  L

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x bởi 0   hoặc

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn Ta không

áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực

Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số

1

x

x B

2

x

x C

2

n n

Ta có: limx n limy n và lim ( ) 1; lim ( ) 00 f x n  f y n 

Nên hàm số không có giới hạn khi x  0

2 Tương tự ý 1 xét hai dãy: ;

2

x

x x

x

x x

2 1

x

x x

n

x x

2

x

x x

1

x

x x

Với mọi dãy ( ) :x n x n 1,  và limn x  ta có: n 1

n

x x

2

x

x x

n

x x

x

x x

2

x

x x

3lim

x

x x

4lim

Đáp số:

2

4 2

* Nếu ( )f x là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f x( )0

* Nếu ( )f x cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn

( Giới hạn trái bằng giới hạn phải)

3 2lim

3 1 khi 12

( )

3 2 khi 13

x x

1

5lim ( )

f x

x x

1

x

x x A

x

x x A

Bài 2 Tìm giới hạn hàm số

6

2 tan 1lim

sin 1

x

x B

2

x

x D

4

x

x A

tan

x

x B

3 1 2lim

3 1 2

x

x D

x x

f x A

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức ( )f x có nghiệm xx0 thì ta có :

( )lim( )

x x

f x A

g x



 , nếu giới hạn này có dạng 0

0 thì ta tiếp tục quá trình như trên

Chú ý :Nếu tam thức bậc hai 2

* Nếu ( )f x và ( ) g x là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về

các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên

Ví dụ 1 Tìm các giới hạn sau:

1.

1

1lim

1 Ta có:

2

1

2 1lim

3

t

t B

( 1)( (7 1) 2 7 1 4)

x

x I

( 1)( 2)( 2)lim

n

m x

ax A

Ta có: 1 x31 x41  x 1

 1 x31 x( 14   x 1) 1 x(( 13   x 1) ( 1   x 1)

3 4

3 2lim

1 1lim

2 1 1

x

x D

Bài 18 Tìm giới hạn    

2 0

2 3 3lim

4 3

x

x C

x C

2 1 1

x

x D

2 0

4 5 3lim

5 3 2

x

x B

2lim

tt

tt

tt A

tt t t

3

t

t t

Bài toán 03: Tìm lim ( )

( )

x

f x B

5 1

x

x C

x

x x D

x

x E

Bài 9 Tìm giới hạn

2 2

1 1

0 1

1 1

0 0 1

Bài 12 Tìm giới hạn

2

1 2 1lim

163

x

x x B

5 1

x

x C

x

x x D

x x D

1lim

x A

1 5 3lim

x B

1 1

0 1

1 1

0 0 1

x B

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm giới hạn lim 2 1 

n x

x

x A

cos coslim

x x

ax A

2 sin2

x

x A

tan 2lim

1 cos 2

x

x C

2 lim( ) ( ) (1 cos 2 cos 2 ).

1 sin 3 cos 2 1 sin 3 1 1 cos 2

sin( )

m

n x

x A

x x

Nên theo nguyên lí kẹp A39  0

Bài 11 Tìm giới hạn Dxlim(sin  x 1 sin x) :

sin 3

x

x B

x

x B

cos cos

x

x C

Bài 15 Tìm giới hạn

4 4 0

sin 2limsin 3

x

x D

sin(tan )

x

x E

x x

2 2sin

n

x

ax M

sin 3

x

x B

x

x B

cos cos

x

x C

sin 2limsin 3

x

x D

sin(tan )

x

x E

Ta có:

0

1 sin cos

2tanlim

sin(tan )tan

x

x

x E

x x

2 2

sin2

2 sin

2

1 sin cos 1 cos (1 cos )

2

sin2sin

2sin2

cos coslim

2 2sin

Ta có:

3

2 0

2

12lim

x

x M

x x