Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: a... Tuy nhiên ở nhiều bài toán giới hạn loại này ta chỉ cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn thức, quy đồng mẫu số,.... ta có thể
Trang 1DẠNG 4: Các giới hạn đặc biệt
Nhắc lại:
n
1 1 1 1 n
3 so hang
n so hang
Tìm
n
x 0
1 ax 1
x
LỜI GIẢI
Cách giải: Đặt
n n
a
Ta có khi x 0 thì t1
n
x 1
a t 1
n
Vậy
n
x 0
x 0
x
LỜI GIẢI
kết quả bài kế trên)
n
m
x 0
1 ax 1
1 bx 1
LỜI GIẢI
n
m
x 0
x 0
1 x 1
LỜI GIẢI
Trang 22 a b
m
n
x 1
x 1
x 1
LỜI GIẢI
xt , xt
m
x 1
LỜI GIẢI
Ta có: x x 2x3 xn nx 1 x21 x3 1 xn1
x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x n 1 xn 1 1
x 1 1 x 1 x2 x 1 xn 1 xn 1 1
Tương tự: : x x 2x3 xm mx 1 x21 x31 xm1
x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x m 1 xm 1 1
x 1 1 x 1 x2 x 1 xm 1 xm 1 1
x 1
x 1
lim
n(n 1)
m(m 1)
2
100
50
x 1
LỜI GIẢI
100
Trang 349 48 2
x 1
lim
n 1
2
x 1
x 1
LỜI GIẢI
Ta có xn 1 n 1 x n xn 1 x nx n x x n 1 n x 1
x 1xn 1 xn 1 1 x2 1 x 1
n
n
n 2
x 1
x 1
x 1
n
2
x 1
LỜI GIẢI
Trang 4 2 m 1
1 x
m
x 1
lim
1 x
x 1
lim
x 1
lim
lim
1 x
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a)
3
x 1
3x 1 2 x 2
lim
x 1
b)
3 2
x 0
4 x 8 3x 4 lim
c)
x 0
1.2x 1 2.3x 1 3.4x 1 1
lim
x
LỜI GIẢI
Tính
3
2
x 1
lim
3
Tính
Vậy
3
x 1
lim
3
3
2
2
Trang 5 Tính
2 lim
2
Vậy
3 2
x 0
c)
x 0
1.2x 1 2.3x 1 3.4x 1 1
x
x 0
lim
x
4
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x
DẠNG 1: Tính giới hạn trực tiếp
Ví dụ: Tính giới các giới hạn sau:
a) xlim (2x 33x) b) 2
LỜI GIẢI
a) xlim (2x3 3x) xlim x3 2 32 xlim 2x3
x
2
x 2
x
lim x 1
2
1
x
DẠNG 2:
tử và mẩu (hoặc đặt x làm nhân tử chung).k
Ví dụ 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau:
Trang 6a)
2 2 x
lim
3
x
lim
x
x x 1 lim
d)
2 x 3
L lim
x x 5
e)
3
x
2x x lim x
x
lim
1 2x
LỜI GIẢI
2
2
2
5.1 5
b)
x
lim
5
c)
2 2
2 2
x x 1
x
d)
vì x x0 x x Vậy L xlim 22x 3
2
2
x
e)
3
Trang 72 x
1 2
lim
1
2 x
1 2 x
1
x
lim
1 2x
4
x
1 1
x 2
lim
1 2x
2
2
1
2 x
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
a) xlim x 1 4 x2
b)
2 x
lim
x 10
c)
2 x
lim
3x 1
d)
2
lim
e)
2
lim
f)
3
3
2 x
(x 2x ) x x 2x x
lim
3x 2x
LỜI GIẢI
2
x x 1
(Chú thích:
Vì x nên x0 (x 1) 0 do đó ta được được vào trong dấu căn
b)
2 2
1
x x 1
x lim
x 10
x
1
x
10
1
x
(Chú giải: Vì x nên x0 do đó x x)
Trang 8c)
2 2
x
3
x lim
3x 1
x
3
x
lim
1
3
x
(Chú giải: Vì x nên x0 do đó x x)
d)
2
2
2 2
1 3
2 1
1
x x x
x
e)
2
2
2 2
1
x x x
x
f)
2
3
3
3
2
2
3 3
2
x x
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
Trang 9a) 2 3
x
lim x
x
lim
x
x 2x
LỜI GIẢI
a) Đặt x 1
y
khi x thì y 0
2
lim
y 3 1
lim
1
2
b)
2
2
4
x
x
2
4
DẠNG 3:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Nhân lượng liên hợp sau đó làm như dạng 1
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a) xlim ( x 2x x) b) 2
c) xlim ( x 2x x)
f) lim x2 4x 3 x23x 2 g) lim x2 4x 3 x2 3x 2
Trang 10LỜI GIẢI
Chú giải: Vì x nên x0 do
đó x x
b)
2
2
2
2 3
2
Chú thích: Do x nên x0 do đó x x
2 2
1
x x
2
Chú giải: Vì x nên x0 do đó x x
x
Do x nên x0 do đó x x Có 2
2 x
và xlim x Từ đó suy ra L
Trang 11c) x x x
x 4x 3 (x 3x 2) lim x 4x 3 x 3x 2 lim
x 4x 3 x 3x 2
1
x 1 x
2
x 4x 3 (x 3x 2) lim x 4x 3 x 3x 2 lim
x 4x 3 x 3x 2
1
x 1 x
2
xlim (ax) bx c ax
k
2k
xlim (ax) bx c ax
liên hợp
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:
xlim 4x 3x 1 2x
LỜI GIẢI
a)
4x 3x 1 4x lim 4x 3x 1 2x lim
4x 3x 1 2x
2 4
2 4
1 3
4
.
b)
3 3
2
Trang 12x 2 x 2
2
2
x
1
12x
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH 0.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Giả sử cần tìm giới hạn của hàm số h x f x g x khi x x0 hoặc x
trong đó f x 0 và g x Ta thường biến đổi theo các hướng sau:
Nếu x x0 thì ta thường viết
f x
f x g x
1
g x
sẽ đưa về dạng vô định 0
0.
Nếu x thì ta thường viết
g x
f x g x
1
f x
sẽ đưa về về dạng
Tuy nhiên ở nhiều bài toán giới hạn loại này ta chỉ cần thực hiện một số biến đổi
như đưa thừa số vào trong dấu căn thức, quy đồng mẫu số, ta có thể đưa về giới
hạn quen thuộc
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
a)
x 3
lim
LỜI GIẢI
a)
Trang 13a)
2
x 1 x 1
2
x 1
x 1 x 1
x
x