Bai giang toan roi rac

– Dùng n bit để biểu diễn nhị phân cho các số nguyên không âm, số số nguyên có thể được biểu diễn?. – Có bao nhiêu số thập phân có 6 chữ số?. Bao nhiêu số thập phân có số chữ số nhỏ hơn

TOÁN HỌC RỜI RẠC

PHẦN 2 DISCRETE MATHEMATICS

PART TWO

!

n n m

m n

PHÉP ĐẾM (2)

• CÁC VÍ VỤ

– Trong một phòng họp có n người, mỗi người bắt tay với mỗi người khác đúng một lần Số bắt tay?

– Dùng n bit để biểu diễn nhị phân cho các số nguyên

không âm, số số nguyên có thể được biểu diễn?

– Có bao nhiêu số thập phân có 6 chữ số? Bao nhiêu số thập phân có số chữ số nhỏ hơn sáu?

– Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho n người xung quanh một chiếc bàn họp tròn?

Bây giờ giả sử ông chủ tịch cuộc họp được sắp ngồi ở

một ghế xác định, có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các người còn lại?

– Có bao nhiêu dãy số nguyên dương, có tổng bằng n?

– Có bao nhiêu dãy k số nguyên dương có tổng bằng n?

– Có bao nhiêu cách phân phát n món quà (khác nhau đô một) cho k đứa trẻ?

4

– Trong mặt phẳng, cho n đường thẳng đôi một cắt nhau

và không có ba đường thẳng nào đồng quy n đường

thẳng này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền?

– Cho n giác lồi, không có ba đường chéo nào đồng quy, các đường chéo của đa giác chia da giác thành bao

nhiêu miền?

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (1)

• CÁC ĐỊNH NGHĨA, KHÁI NIỆM

Đồ thị (vô hướng)

• G=(V, E), V = tập các đỉnh, E=tập các cạnh v 1 v 2 , v 1 , v 2  E

• Đỉnh cô lập: đỉnh không có cạnh đi qua

• Đỉnh treo: chỉ thuộc một cạnh duy nhất (cạnh treo)

• Đa đồ thị: tồn tại nhiều hơn 1 cạnh nối hai đỉnh

• đồ thị đơn: tồn tại nhiều nhất một cạnh nối hai đỉnh

• Đỉnh kề: chung cạnh

• Cạnh kề: chung đỉnh

• Đồ thị đầy đủ: mọi cặp đỉnh (phân biệt) đều có cạnh nối

• Đồ thị con: AV, E A ={(v 1 , v 2 )  E | v 1 , v 2 A}, G A =(A, E A )

• Đồ thị bộ phận: C  E, G C =(E, C)

• Đồ thị bộ phận con

6

– ĐƯỜNG ĐI & CHU TRÌNH

• Đường đi: u, v  V, u=v 0 , v 1 , …, v n =v sao cho v i v i+1  E

• Đường đi sơ cấp: tập i=0, …, n-1: v i  v i+1

• Đỉnh treo, cung treo: mút cuối của chỉ một cung

• Nửa bậc trong (vào): d - (x)

• Nửa bậc ngoài (ra): d + (x)

• Bậc của đỉnh: d(x) = d - (x) + d + (x)

• + (A) = { (i, j)| iA, j A }

• - (A) = { (i, j)| jA, i A }

• (A) =  + (A)   - (A)

• Đa đồ thị, đồ thị đơn

• Đỉnh kề, cung kề

• Đồ thị có hướng đối xứng, phi đối xứng

8

– ĐƯỜNG ĐI & CHU TRÌNH

• Đường đi: u, v  V, u=v 0 , v 1 , …, v n =v sao cho (v i , v i+1 )  C

• Đường đi sơ cấp: tập i=0, …, n-1: v i  v i+1

• Thành phần liên thông: quan hệ R={(u, u)| u E} {(u, v) |

đường đi từ u đến v và đường đi từ v đến u}

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (7)

• ĐỒ THỊ EULER

– G=(V, E) hữu hạn, liên thông

– Đường đi Euler, chu trình Euler

– Đồ thị Euler, nửa Euler

– Định lý Euler

• Bậc mỗi đỉnh  2, đồ thị có chu trình

• G là đồ thị Euler khi và chỉ khi bậc mỗi đỉnh là chẵn

• G là đồ thị nửa Euler khi và chỉ khi G có không quá hai đỉnh bậc lẻ

• G có hướng, liên thông mạnh là Euler khi và chỉ khi

xE: d- (x)=d + (x)

10

• Đồ thị có hướng, đầy đủ là đồ thị nửa Hamilton

• Đồ thị có hướng, đầy đủ bậc > 2 là đồ thị Hamilton

– Đồ thị đấu loại

• Đồ thị đấu loại là nửa Hamilton

• Đồ thị đấu loại liên thông là Hamilton

• w(i) = min{ w(i), w(k)+l(k, i) }

• Nếu t > w(i): p(i)=k

• DAG

– Đỉnh gốc

– Hạng của một đỉnh = đường đi dài nhất từ gốc

12

CÂY & CÂY CÓ HƯỚNG

– Giải thuật Kruskal

– Giải thuật Prim

• Ánh xạ f: A  R + được gọi là một luồng trong mạng G khi

• Giới hạn của luồng: a  A: f(a)  c(a) (luồng của cung không vượt quá băng thông của cung)

• Điều kiện cân bằng luồng: v  V, v  s, v  t, tổng các luồng trên các cung vào v bằng các luồng trên các cung ra khỏi v

x v f v

u

f

) ,

) , ( )

, (

LUỒNG CỰC ĐẠI (2)

• Giá trị của luồng: Tổng luồng trên các cung xuất ra từ s bằng với tổng luồng trên các cung thu vào tại t

Được gọi là giá trị của luồng trên mạng

– Bài toán luồng cực đại trong mạng:

• Xác định luồng cực đại f (luồng có giá trị lớn nhất)

• Nếu điểm phát và điểm thu thuộc hai phần khác nhau của lát cắt, lát cắt được gọi là lát cắt tách

) ( )

, ( )

,

( )

,

f val t

x f v

s

f A v

t x f v

s f

val(f)

) ,

) , ( )

, ( max

LUỒNG CỰC ĐẠI (3)

• Khả năng thông của lát cắt là tổng các băng thông của các cung (u, v) với u  X0, v  Y0

Lát cắt với khả năng thông nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất

– Sự tăng luồng trong mạng:

Đồ thị tăng luồng Gf = (V, Af) được xây dựng như sau:

– (u, v)  A: f(u, v)=0 thì (u, v)  A f với trọng số p(u, v) = c(u, v) – (u, v)  A: f(u, v)=c(u, v) thì (u, v)  A f với trọng số p(u, v)=f(u, v) – (u, v)  A: 0 <f(u, v)<c(u, v) thi

(u, v)  A f với trọng số p(u, v)=c(u, v) – f(u, v) (v, u)  A f với trọng số p(u, v)=f(u, v)

v u c Y

X c

LUỒNG CỰC ĐẠI (4)

• Cung thuận: (u, v)  Af, (u, v)  A

• Cung nghịch: (u, v)  Af, (u, v)  A

• Đường tăng luồng: đường đi trong Gf từ s đến t

• Sự tăng luồng: P = { s=v 0 , v 1 , …, v k =t } là đường tăng luồng

>0 là giá trị nhỏ nhất trong các trọng số của các cung trên

P Xây dựng ánh xạ g: A f  R + như sau:

– g(u, v) = f(u, v) +  nếu (u, v) là cung thuộc P và là cung thuận – g(u, v) = f(u, v) -  nếu (u, v) là cung thuộc P và là cung nghịch – G(u, v) = f(u, v) nếu (u, v) không thuộc P

• f là luồng trong G = (V, A)

Các mệnh đề sau là tương đương:

– f là luồng cực đại – Không tìm được đường tăng luồng P – Tồn tại lát cắt (X 0 , Y 0 ): Val(f) = c(X 0 , Y 0 )

• TÌM LUỒNG CỰC ĐẠI

– Định lý Ford-Fulkerson: Giá trị của luồng cực đại bằng khả năng thông của lát cắt hẹp nhất

LUỒNG CỰC ĐẠI (4)

– Thuật toán Ford-Fulkerson:

• Gán nhãn: Mỗi đỉnh trong mạng thuộc vào một trong ba trạng thái:

– Chưa được gán nhãn

– Đã được gán nhãn nhưng chưa được duyệt

– Đã được gán nhãn và đã được duyệt

Nhãn của một đỉnh y có dạng:

y : [ x, (y) ] +x có nghĩa cần tăng luồng theo cung (x, y)

-x có nghĩa cần giảm luồng theo cung (x, y)

• Khởi đầu tất cả các đỉnh đều chưa được gán nhãn

– Gãn nhãn cho mỗi ảnh u của x chưa được gán nhãn mà f(x, u)<c(x, u):

u : [+x, (u) ] / (u) = min{ (x), c(x, u) – f(x, u) } – Gán nhãn cho mỗi tạo ảnh v của x chưa được gán nhãn mà f(v, x) > 0

v : [-x, (v) ] / (v) = min{ (x), f(v, x) }

x được duyệt

18

LUỒNG CỰC ĐẠI (4)

• B3:

Lặp lại B2 cho đến khi

– Hoặc đỉnh thu được gán nhãn t : [ y, (t) ]: chuyển sang B4 – Hoặc không thể gán nhãn cho đỉnh thu t: thuật toán kết thúc Đặt X0 tập các đỉnh được gán nhãn, Y0 tập các đỉnh không được gán nhãn, khi đó (X 0 , Y 0 ) là lát cắt hẹp nhất

Nếu x  s, đặt x = u quay lại B5.

khác đi xóa tất cả các nhãn, quay lại B1

SỐ HỌC (1)

• CHIA HẾT & CHIA CÓ DƯ

• m nguyên dương: (ma 1 , ma 2 , …, ma n ) =m (a 1 , a 2 , …, a n )

• d>0 là ước chung của a 1 , a 2 , …, a n thì

a d

a d

a d

a1 2 n ( 1 , 2 , , n)

) , , ,

1 ) , , ,

d

a d

a d

SỐ HỌC (2)

• Nếu (a, b)=1, (a, c)=1 thì (a, bc)=1

• Nếu a=pb + r (0  r < b) thì (a, b) = (b, r)

,

b a

ab b

1 , ,

, 2 1

M a

M a

M

d

a a

a d

a d

a d

p p

p

2 1 2 1



k k

p p

p

2 1 2 1

k

p p

p

2 1 2 1



SỐ HỌC (4)

– ax + by =c

• d=(a, b)

• Nếu d không là ước của c thì phương trình vô nghiệm

• Nếu d | c thì nghiệm của phương trình có dạng:

a y

y

t d

b x

• a = b (mod m) thì (a+c) = (b+c) (mod m)

• a = b (mod m) thì a = (b +km) (mod m), (a+km) = b (mod m)

• a = b (mod m) thì a n = b n (mod m)

• a = b (mod m) thì ac = bc (mod m)

• (c, m)=1, a = b (mod m) iif ac = bc (mod m)

• d = (a, b, m) thì (a/d) = (b/d) (mod (m/d))

• d=(a, b), (d, m)=1 thì (a/d) = (b/d) (mod m)

• a = b (mod m i ) i=1, 2, …, n thì a = b (mod [m 1 , m 2 , …, m n ])

24

• Nếu d không là ước của b, phương trình vô nghiệm

• Nếu d | b phương trình có đúng d nghiệm

1 (

) (mod 0

0

0

m d

m d

x x

m d

m x

x

x0 là một giá trị thỏa mãn phương trình

• x=M 1 N 1 + … + M n N n (mod M) là nghiệm của hệ

) (mod

) (mod

2 2

1 1

n

a x

m a

x

m a

x

SỐ HỌC (8)

– f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0 (mod m)

– Phương trình tương đương với hệ:

– Giải phương trình f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0 (mod p  ) (*)  Giải phương trỉnh f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + … + a n = 0 (mod p -1 ) (**)

- Giả sử phương trình có nghiệm x = x 0 (mod p -1 )

- Giải phương trình: f’(x0) t + f(x0)/p -1 = 0 (mod p -1 )

- Gọi t = t 0 (mod p -1 ) là nghiệm của phương trình

Khi đó nghiệm của phương trình (*) là: x=x 0 + t 0 p -1 (mod p  )

k

k

p p

p

m 1 2 

2 1

f(x)

) p (

f(x)

k

α k

α

mod 0

mod

1

28