Cấu trúc môđun trên vành giao hoán

Khâa luªncõa em tr¼nh b y nhúng cì sð v· c§u tróc cõa mët sè lîp mæun quantrång trong ¤i sè nh÷ mæun Noether, mæun Artin, mæun tü do,mæun nëi x¤ v mæun x¤ £nh... Do thíi gian câ h¤n v n«

KHOA TON

***************

NGÆ THÀ NHUNG

C‡U TRÓC MÆUN TR–N V€NH GIAO HON

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

Chuy¶n ng nh: ¤i sè

H  Nëi  N«m 2018

KHOA TON

***************

NGÆ THÀ NHUNG

C‡U TRÓC MÆUN TR–N V€NH GIAO HON

KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P „I HÅC

Chuy¶n ng nh: ¤i sè

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:

T.S NGUY™N THÀ KI—U NGA

H  Nëi  N«m 2018

1 Ki¸n thùc chu©n bà 5

1.1 Mæun, mæun con, mæun th÷ìng 5

1.1.1 Mæun 5

1.1.2 Mæun con 7

1.1.3 Mæun th÷ìng 9

1.2 Têng trüc ti¸p, t½ch trüc ti¸p c¡c mæun 10

1.2.1 T½ch trüc ti¸p 10

1.2.2 Têng trüc ti¸p 10

1.3 çng c§u mæun 12

1.3.1 ành ngh¾a v  v½ dö 12

1.3.2 T½nh ch§t 14

1.4 D¢y khîp 17

1.4.1 D¢y khîp, d¢y khîp ng­n 17

1.4.2 D¢y khîp ch´ ra 19

1.5 H m tû, h m tû Hom, h m tû khîp 21

1.5.1 H m tû 21

1.5.2 H m tû Hom 22

1.5.3 H m tû khîp 23

2 C§u tróc mæun tr¶n v nh giao ho¡n 24

2.1 Mæun Noether 24

2.1.1 inh ngh¾a v  i·u ki»n t÷ìng ÷ìng 24

2.1.2 ành lþ cì sð Hilbert 27

2.1.3 T½nh ch§t 30

2.2 Mæun Artin 34

2.2.1 ành ngh¾a v  i·u ki»n t÷ìng ÷ìng 34

2.2.2 T½nh ch§t 36

2.3 Mæun tü do 41

2.3.1 ành ngh¾a v  v½ dö 41

2.3.2 T½nh ch§t 42

2.4 Mæun nëi x¤ 46

2.4.1 ành ngh¾a v  v½ dö 46

2.4.2 i·u ki»n t÷ìng ÷ìng 47

2.4.3 T½nh ch§t 49

2.5 Mæun x¤ £nh 53

2.5.1 ành ngh¾a v  v½ dö 54

2.5.2 T½nh ch§t 55

2.6 B i tªp 60

Em xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn cõa m¼nh vîi cæ gi¡o, T.S Nguy¹nThà Ki·u Nga - ng÷íi ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n em nghi¶n cùu · t i

n y Cæ ¢ ch¿ d¤y em r§t nhi·u ki¸n thùc v  kinh nghi»m quþ b¡ukhi nghi¶n cùu khoa håc Em công xin c£m ìn c¡c th¦y cæ v  c¡c b¤nsinh vi¶n khoa To¡n tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2

Do nhúng h¤n ch¸ v· thíi gian v  n«ng lüc cõa b£n th¥n n¶n khâaluªn v¨n cán nhi·u thi¸u sât Em k½nh mong nhªn ÷ñc sü quan t¥m,gâp þ cõa th¦y cæ v  c¡c b¤n º khâa luªn cõa em ÷ñc ho n thi»nhìn Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Ngæ Thà Nhung

Líi cam oan

Em xin cam oan khâa luªn: " C§u tróc mæun tr¶n v nh giaoho¡n" l  k¸t qu£ em tü nghi¶n cùu v  ho n th nh vîi sü h÷îng d¨ncõa cæ gi¡o, T.S Nguy¹n Thà Ki·u Nga, câ tham kh£o mët sè t i li»u

ð möc "T i li»u tham kh£o" Khâa luªn cõa em khæng tròng vîi k¸tqu£ nghi¶n cùu cõa b§t k¼ t¡c gi£ n o Em xin ho n to n chàu tr¡chnhi»m

H  Nëi, th¡ng 5 n«m 2018

Sinh vi¶n

Ngæ Thà Nhung

Líi mð ¦u

¤i sè l  mët ng nh âng vai trá quan trång trong to¡n håc Ng ynay, nhu c¦u nghi¶n cùu ¤i sè cõa con ng÷íi ng y c ng t«ng v  º

i s¥u v o nghi¶n cùu mæn ¤i sè th¼ chóng ta c¦n trang bà cho m¼nh

sü hiºu bi¸t mët c¡ch s¥u s­c v· c§u tróc ¤i sè.Mæun l  mët trongnhúng èi t÷ñng chõ y¸u cõa c§u tróc ¤i sè v  l  èi t÷ñng quantrång nh§t cõa ¤i sè hi»n ¤i

V¼ l½ do â, còng vîi vi»c mong muèn ÷ñc i s¥u t¼m hiºu rã hìnnhúng ng nh hi»n ¤i cõa ¤i sè nh÷ ¤i sè çng ·u, ¤i sè giaoho¡n n¶n em m¤nh d¤n chån · t i: "C§u tróc mæun tr¶n v nhgiao ho¡n" l m · t i nghi¶n cùu khâa luªn cõa m¼nh Khâa luªncõa em tr¼nh b y nhúng cì sð v· c§u tróc cõa mët sè lîp mæun quantrång trong ¤i sè nh÷ mæun Noether, mæun Artin, mæun tü do,mæun nëi x¤ v  mæun x¤ £nh

Nëi dung khâa luªn gçm hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh v y nhúng kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n c¦nchu©n bà v· mæun nh÷: mæun con, mæun th÷ìng, têng trüc ti¸p,t½ch trüc ti¸p cõa c¡c mæun, çng c§u mæun; v· d¢y khîp nh÷: d¢ykhîp, d¢y khîp ng­n, d¢y khîp ch´ ra; v· h m tû nh÷: h m tû, h m

tû Hom, h m tû khîp

Ch÷ìng 2: C§u tróc mæun tr¶n v nh giao ho¡n

Nëi dung ch÷ìng n y nâi v· nhúng kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£ncõa mæun Noether, mæun Artin, mæun tü do, mæun nëi x¤ v mæun x¤ £nh v  mët sè b i tªp ùng döng

Do thíi gian câ h¤n v  n«ng lüc nghi¶n cùu cõa b£n th¥n cán h¤nch¸ n¶n khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât em k½nh mong

÷ñc sü gâp þ cõa th¦y cæ v  c¡c b¤n º khâa luªn cõa em ÷ñc ho nthi»n hìn Em xin ch¥n th nh c£m ìn!

Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Mæun, mæun con, mæun th÷ìng

1.1.1 Mæun

a) ành ngh¾a

Cho R l  v nh câ ìn và 1 Mët mæun tr¡i tr¶n R (R-mæun tr¡i)

l  mët nhâm cëng Abel M còng vîi ¡nh x¤:

R × M → M(α, x) 7→ αx

(÷ñc gåi l  t½ch væ h÷îng) sao cho c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n

T÷ìng tü, ta ành ngh¾a R-mæun ph£i l  mët nhâm cëng Abel Mcòng vîi ¡nh x¤:

M × R → M(x, α) 7→ xα

thäa m¢n c¡c i·u ki»n t÷ìng tü nh÷ tr¶n nh÷ng c¡c ph¦n tû cõa Rvi¸t ð b¶n ph£i

N¸u R l  v nh giao ho¡n th¼ mæun tr¡i v  mæun ph£i l  nh÷ nhau.Sau ¥y, ch¿ x²t c¡c R-mæun tr¡i, v  gåi chóng l  c¡c R-mæun.b) V½ dö

V½ dö 1.1 Méi nhâm Abel cëng M l  mët Z mæun

V½ dö 1.2 Cho R-v nh câ ìn và 1 th¼ R l  R-mæun

V½ dö 1.3 R-v nh câ ìn và 1, Rn = {(a1; ; an)|ai ∈ R ∀i = 1, n}tr¶n Rn x¡c ành hai ph²p to¡n:

b) i·u ki»n t÷ìng t÷ìng

Cho M l  R-mæun, N 6= ∅, N ⊂ M C¡c kh¯ng ành sau t÷ìng

֓ng:

1 N l  mæun con cõa M

Cho M l  R-mæun Khi â:

+ Giao cõa mët hå tòy þ c¡c mæun con cõa M l  mët mæun concõa M

Nhªn x²t: i·u n y ch÷a ch­c óng vîi hñp Tuy nhi¶n n¸u ∀i, j ∈ I,

i 6= j tçn t¤i k ∈ I sao cho Mi, Mj ⊂ Mk th¼ [

i∈I

Mi l  mët mæun concõa M, vîi Mi l  c¡c mæun con cõa M, i ∈ I

+ Cho S ⊂ M, giao cõa t§t c£ c¡c mæun con cõa M chùa S l  mëtmæun con cõa M chùa S v  ÷ñc gåi l  mæun con cõa M sinh bði

i∈J

xi | xi ∈ Mi, i ∈ J ⊂ I

)

vîi J húu h¤n

R-mæun M Khi â, mæun con sinh bði tªp S = [

i∈I

Mi ÷ñc gåi l têng cõa c¡c mæun con Mi v  ÷ñc k½ hi»u l  X

(x + N ) + (y + N ) = x + y + NTr¶n M/N x¡c ành mët ph²p nh¥n væ h÷îng nh÷ sau:

∀α ∈ R, ∀x + N ∈ M/N : α(x + N ) = αx + NKhi â M/N còng vîi hai ph²p to¡n x¡c ành ð tr¶n l  mët R-mæun

A l  i¶an cõa R th¼ A l  R-mæun con cõa R Suy ra tçn t¤i mæun

1) Têng trüc ti¸p ngo i

Cho {Mi|i ∈ I} l  mët hå tòy þ c¡c R-mæun

M = {(x ) |x = 0 h¦u h¸t ∀i ∈ I}

Vîi hai ph²p to¡n cëng v  nh¥n væ h÷îng x¡c ành nh÷ tr¶n th¼M

i∈I

Mi

÷ñc gåi l  têng trüc ti¸p (hay têng trüc ti¸p ngo i) cõa hå c¡c mæun{Mi}i∈I

2) Têng trüc ti¸p trong

Cho {Mi|i ∈ I} l  mët hå tòy þ c¡c mæun con cõa R-mæun M thäam¢n t½nh ch§t:

Khi â M ÷ñc gåi l  têng trüc ti¸p trong cõa hå {Mi}i∈I

Trong mët sè tr÷íng hñp, khi khæng c¦n ph¥n bi»t giúa têng trücti¸p trong v  têng trüc ti¸p ngo i ng÷íi ta dòng chung mët thuªt ngúchung cho c£ hai èi t÷ñng tr¶n l  têng trüc ti¸p

Bê · 1.1 Mæun M ÷ñc gåi l  têng trüc ti¸p trong cõa hå c¡cmæun {Mi}i∈I khi v  ch¿ khi måi ph¦n tû x ∈ M ÷ñc biºu di¹n duynh§t d÷îi d¤ng:

x = ai1 + ai2 + + ain, aij ∈ Mij, i, j ∈ I

H» qu£ 1.1 Gi£ sû M l  têng cõa c¡c mæun con Mi, M = X

i∈J

Mi.Khi â M l  têng trüc ti¸p trong cõa hå {Mi}i∈J khi v  ch¿ khi n¸u tø

ai1 + ai2 + + ain = 0, aij ∈ Mij

suy ra ai j = 0, 1 6 j 6 n

Cho M, N l  c¡c R-mæun nh x¤ f : M −→ N ÷ñc gåi l  R

çng c§u mæun (çng c§u mæ un) n¸u: ∀x, y ∈ M; ∀α ∈ R th¼

• f (x + y) = f (x) + f (y)

• f (αx) = αf (x)

- f ÷ñc gåi l  ìn (to n, ¯ng) c§u mæun n¸u f l  çng c§u mæun

v  ìn (to n, song) ¡nh

- N¸u tçn t¤i mët ¯ng c§u mæun f : M −→ N ta nâi c¡c mæun M

v  N ¯ng c§u vîi nhau K½ hi»u M ∼= N

b) V½ dö

V½ dö 1.11 Cho M l  R-mæun, N l  R-mæun con cõa M th¼

i :N → N

a 7→ a

V½ dö 1.12 M, N l  c¡c R-mæun nh x¤

θ :M → N

x 7→ 0

l  çng c§u mæun v  gåi l  çng c§u khæng

V½ dö 1.13 Cho M l  R-mæun, N l  R-mæun con cõa M Khi â

çng c§u mæun, A, B l¦n l÷ñt l  mæun con cõa M, N Khi â f(A),

f−1(B) l¦n l÷ñt l  c¡c mæun con cõa N v  M °c bi»t, f : M −→ N

1 f ìn c§u khi v  ch¿ khi Kerf = {0M}

2 f to n c§u khi v  ch¿ khi Imf = N

T½nh ch§t 1.4 (ành lþ têng qu¡t)

Cho f : M −→ N l  R-çng c§u mæun A v  B l¦n l÷ñt l  c¡c mæuncon cõa M v  N sao cho f(A) ⊂ B

Cho f : M −→ N l  R-çng c§u mæun, A = Kerf

PA : M → M/Kerf l  R-to n c§u ch½nh t­c

Khi â, tçn t¤i duy nh§t R-çng c§u f : M/Kerf −→ N sao cho

f PA = f, tùc l  biºu · sau giao ho¡n:

Cho f : M −→ N l  R-çng c§u mæun

Khi â M/Kerf ∼= Imf °c bi»t n¸u f : M −→ N l  to n c§u mæunth¼ M/Kerf ∼= N

1.4 D¢y khîp

1.4.1 D¢y khîp, d¢y khîp ng­n

a) ành ngh¾a

D¢y húu h¤n ho°c væ h¤n c¡c R-mæun v  c¡c R-çng c§u

−−→ Mfi−2 i−1 fi−1

−−→ Mi fi

−→ Mi+1 fi+1

−−→

÷ñc gåi l  d¢y khîp khi v  ch¿ khi Imfi = Kerfi+1, ∀i ∈ I

Mët d¢y khîp d¤ng 0 −→ M0 f−→ M −→ Mg 00 −→ 0 ÷ñc gåi l  d¢ykhîp ng­n

b) i·u ki»n t÷ìng ÷ìng (i·u ki»n t÷ìng ÷ìng cõa d¢y khîpng­n)

÷ñc gåi l  èi h¤ch cõa f.

T½nh ch§t 1.9 Cho biºu ç c¡c R-çng c§u mæun:

trong â c¡c dáng l  khîp v  c¡c h¼nh vuæng l  giao ho¡n.

Khi â, vîi méi ph¦n tû x ∈ Ker(γ) luæn tçn t¤i n ∈ N v  m0 ∈ M0vîi g(n) = x v  f0(m0) = β(n)

Ph¦n tû h(x) cõa Coker(α) x¡c ành bði m0 khæng phö thuëc v o sülüa chån cõa n v  m0 v  R-çng c§u h : Ker(γ) −→ Coker(α) ÷ñcx¡c ành bði sü t÷ìng ùng x −→ h(x)

Khi â, hai d¢y khîp

Ker(α) −→ Ker(β) −→ Ker(γ)

v 

Coker(α) −→ Coker(β) −→ Coker(γ)

÷ñc nèi bði çng c§u h th nh mët d¢y khîp duy nh§t v  ÷ñc gåi l d¢y Ker − Coker:

÷ñc gåi l  ch´ ra t¤i mæun M n¸u tçn t¤i mët R-mæun con L cõa

Mët d¢y khîp ÷ñc gåi l  ch´ ra n¸u nâ ch´ ra t¤i måi mæun khængn¬m t¤i hai ¦u cõa nâ

T½nh ch§t 1.10 Cho d¢y khîp c¡c R-çng c§u mæun

i) D¢y khîp tr¶n l  d¢y khîp ch´ ra

ii) Tçn t¤i mët çng c§u f0 : M −→ M0 sao cho f0f = idM0

iii) Tçn t¤i mët çng c§u g0 : M00 −→ M sao cho gg0 = idM00

PQ : M or(M ) −→ M or(N )thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y:

i) ∀A, B ∈ Ob(M), ∀α ∈ Mor(A, B) ⇒ PQ(α) ∈ M or(PO(A), PO(B)),(t÷ìng ùng ∀α ∈ Mor(A, B) ⇒ PQ(α) ∈ M or(PO(B), PO(A))).ii) PQ(1A) = 1PO(A), ∀A ∈ Ob(M)

iii) ∀A, B, C ∈ Ob(M), ∀α ∈ Mor(A, B), β ∈ Mor(B, C)

Suy ra PQ(βα) = PQ(β)PQ(α),

(T÷ìng ùng ∀A, B, C ∈ Ob(M), ∀α ∈ Mor(A, B), β ∈ Mor(B, C),Suy ra PQ(βα) = PQ(α)PQ(β))

º thuªn ti»n, ta vi¸t P thay cho PO v  PQ

Gi£ sû P : M −→ N, F : N −→ R l  c¡c h m tû Khi â, hñp th nhF.P : M −→ R l  mët h m tû gåi l  h m tû hñp th nh cõa P v  F N¸u P v  F còng hi»p bi¸n (nghàch bi¸n )th¼ F.P l  hi»p bi¸n

Ta k½ hi»u MR l  ph¤m trò c¡c R-mæun Khi â, h m tû

F : MR −→ MR ÷ñc gåi l  h m tû khîp n¸u vîi måi d¢y khîp ng­n

0 −→ M0 f−→ M −→ Mg 00 −→ 0

th¼ d¢y sau l  khîp

0 −→ F (M0) −−→ F (M )F (f ) −−→ F (MF (g) 00) −→ 0

C§u tróc mæun tr¶n v nh giao

ho¡n

Nëi dung cõa ch÷ìng n y l  tr¼nh b y mët sè lîp mæun tr¶n v nhgiao ho¡n Tr÷îc h¸t ta nghi¶n cùu lîp mæun mang t¶n nh  nú to¡nhåc ùc nêi ti¸ng Emmy Noether l  Mæun Noether ¥y l  mëttrong nhúng lîp mæun quan trång nh§t cõa ¤i sè giao ho¡n

Trong to n bë ch÷ìng n y, v nh ¢ cho luæn l  v nh giao ho¡n câ

l  mæun Noether Mæun Noether cán ÷ñc gåi l  mæun thäa m¢n

i·u ki»n cüc ¤i.

b) i·u ki»n t÷ìng ÷ìng

Cho M l  mët R-mæun Khi â c¡c i·u ki»n sau t÷ìng ÷ìng:(i) M l  mæun Noether

(ii) Måi mæun con cõa M ·u húu h¤n sinh

(iii) Måi d¢y t«ng

â ta câ (iii)

(iii) =⇒ (ii)) Ta chùng minh b¬ng ph£n chùng Gi£ sû tçn t¤i mæuncon cõa mæun M l  N khæng húu h¤n sinh Khi â, tçn t¤i mëtd¢y væ h¤n c¡c ph¦n tû trong N l  x1, x2, , xn, sao cho n¸u ta °t

Mn = Pn

i=1αixi (αi ∈ R; i = 1, n) th¼ Mi Mi+1, ∀i ≥ 1 Khi â tas³ nhªn ÷ñc mët d¢y t«ng væ h¤n v  khæng døng c¡c mæun con cõaM

M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆

i·u n y m¥u thu¨n vîi (iii)

Vªy måi mæun con cõa M ·u húu h¤n sinh Do â ta câ (ii)

(ii) =⇒ (i)) Gi£ sû ∅ 6= A l  tªp c¡c R-mæun con cõa M Khi â

tçn t¤i R-mæun con M1 ∈ A N¸u M1 khæng ph£i l  ph¦n tû cüc ¤i(theo quan h» bao h m) trong A th¼ tçn t¤i M2 ∈ A, M2 ! M1.

N¸u M2 khæng ph£i l  ph¦n tû cüc ¤i trong A th¼ tçn t¤i M3 ∈

A, M3 ! M2 Cù nh÷ vªy, l°p l¤i lªp luªn â suy ra n¸u A khæng câph¦n tû cüc ¤i th¼ s³ tçn t¤i mët d¢y t«ng væ h¤n khæng døng c¡cmæun con cõa M

i≥1

Mi l  mët R-mæun con cõa M

Do (ii) n¶n N l  mët mæun húu h¤n sinh Gi£ sû h» {x1, , xn}l  mëth» sinh cõa N V¼ d¢y c¡c mæun nhªn ÷ñc l  mët d¢y t«ng n¶n tçnt¤i k, x1, , xm ∈ Mk Khi â, N = Pm

i=1αixi ⊆ Mk, (αi ∈ R, i = 1, m)L¤i câ N = Si≥1Mi ⇒ N ⊃ Mk Suy ra, N = Mk Nh÷ th¸ th¼ d¢y(2.1) døng b­t ¦u t¤i Mk (m¥u thu¨n vîi (2.1) l  d¢y khæng døng).Suy ra måi tªp hñp kh¡c réng c¡c R-mæun con cõa M ·u câ ph¦n

tû cüc ¤i.Vªy M l  R-mæun Noether

c) V½ dö

V½ dö 2.1 Måi v nh ch½nh ·u l  v nh Noether

V½ dö 2.2 Mët khæng gian vectì l  mët mæun Noether, n¸u v  ch¿n¸u nâ câ húu h¤n chi·u

V½ dö 2.3 V nh c¡c sè nguy¶n Z l  v nh Noether v¼ t§t c£ c¡c i¶ancõa nâ ·u l  i¶an ch½nh

V½ dö 2.4 Måi R-mæun M 6= {0} gåi l  mæun ìn n¸u nâ ch¿ câ

hai mæun con l  M v  {0} Do vªy måi mæun ìn ·u l  R-mæunNoether.

V½ dö 2.5 Tr÷íng K l  mët v nh Noether v¼ tr÷íng ch¿ câ 2 i¶an

I0 = {a ∈ R|∃f ∈ I : f = axm + a1xm−1 + + am}

Nâi c¡ch kh¡c I0 l  tªp t§t c£ c¡c h» sè cao nh§t cõa c¡c a thùc

thuëc I D¹ kiºm tra I0 l  mët i¶an cõa R V¼ R l  v nh Noethern¶n I0 húu h¤n sinh Gi£ sû

I0 =< a1, , an >, ai ∈ R, i = 1, n

Khi â tçn t¤i nhúng a thùc fi(x) ∈ I, i = 1, n câ h» sè cao nh§t

l  ai °t deg(fi(x)) = ri v  r = max{r1, r2, , rn} Nh¥n th¶m xr−r i

v o fi(x) th¼ xr−r ifi(x) ∈ I Khæng l m m§t têng qu¡t ta gi£ thi¸t

r = r1 = = rn °t J = (f1(x), fn(x))R[x] l  i¶an chùa trong I,

M = R + xR + + xrR v  N = I ∩ M N¸u coi M l  R-mæun th¼

M l  tªp t§t c£ c¡c a thùc f(x) ∈ R[x] câ degf(x) ≤ r, n¶n M câh» sinh húu h¤n tr¶n R l  {1, x, , xr} V¼ R l  v nh Noether n¶n MNoether Suy ra R-mæun con N cõa M l  húu h¤n sinh Ta chùngminh I húu h¤n sinh b¬ng c¡ch ch¿ ra

Khi â degG1(x) ≤ (m−1)ho°c G1(x) = 0 P1(x) =

Chùng minh ⇒) V¼ d¢y tr¶n l  d¢y khîp ng­n n¶n f l  ìn c§u, g

l  to n c§u v  Imf = Kerg Do â, khæng l m m§t t½nh têng qu¡t,

ta gi£ thi¸t M0 l  mët R-mæun con cõa M v  M00 = M/M0 Khi âmåi d¢y t«ng c¡c mæun con cõa M0 công l  d¢y t«ng c¡c mæun concõa M Gi£ sû M l  R-mæun Noether th¼ M ph£i døng suy ra M0

ph£i døng hay M0 l  R-mæun Noether

Ta câ c¡c mæun con cõa M00 = M/M0 l  Mi/M0 vîi Mi l  c¡c mæuncon cõa M v  Mi ⊃ M0 Gi£ sû

M1/M0 ⊆ M2/M0 ⊆ ⊆ Mn/M0 ⊆

l  mët d¢y t«ng c¡c mæun con cõa M00 Suy ra

M1 ⊆ M2 ⊆ ⊆ Mn ⊆

l  mët d¢y t«ng c¡c mæun con cõa M

Do M l  mæun Noether n¶n tçn t¤i n ∈ N º Mn = Mn+1 = Suy

ra Mn/M0 = Mn+1/M0 = Do â M00 l  mæun Noether

⇐) Gi£ sû M0 v  M00 l  c¡c mæun Noether Cho

Suy ra Mn = Mn+1 = Do â M l  mæun Noether

T½nh ch§t 2.2 Cho Mi, M1, , Mn, l  c¡c R-mæun v  M = Ln

i=1.Khi â, M l  R-mæun Noether n¸u v  ch¿ n¸u Mi l  c¡c R-mæunNoether vîi måi i = 1, n

Chùng minh + n = 1, ph¡t biºu hiºn nhi¶n óng

+ n = 2 Ta câ d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun

M1L M2 l  mæun Noether n¸u v  ch¿ n¸u M1 v  M2 l  c¡c mæunNoether (theo t½nh ch§t 2.1) Nh÷ vªy ph¡t biºu óng vîi n = 2.+ Gi£ sû ph¡t biºu óng vîi n = k (k ≥ 1) Ta chùng minh óng vîi

Mi l  mæun Noether vîi måi i = 1, k + 1 V¼ th¸ ph¡t biºu óng vîimåi n > 1 Vªy M =

M = Rx1M MRxn, xi ∈ M, ∀i = 1, n

V¼ R l  v nh giao ho¡n Noether n¶n c¡c Rxi, i = 1, n l  c¡c mæunNoether Theo t½nh ch§t 2.2 th¼ M l  mæun Noether.

T½nh ch§t 2.4 ƒnh çng c§u cõa mët R-mæun Noether l  mët

R-mæun Noether

Chùng minh Cho f : M −→ N l  çng c§u, M l  mët R-mæunNoether

°t I = Kerf Khi â M/Kerf ∼= Imf hay M/I ∼= f (M )

M°t kh¡c, I l  mæun con cõa M, do M l  R-mæun Noether suy raM/I công l  R-mæun Noether Suy ra f(M) Noether Vªy ta câ i·uph£i chùng minh

T½nh ch§t 2.5 Cho v nh câ ìn và R, f l  R-tü çng c§u cõa mæunNoether M Khi â n¸u f l  to n c§u th¼ f l  ¯ng c§u

Chùng minh Cho R-mæun Noether M v  f : M −→ M l  mët