Chú ý: Bài toán tìm tương giao, giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của hai đường thẳng là mấu chốt cơ bản
Trang 1HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài toán 1: “Tìm tương giao”
Bài toán 2: “Quan hệ song song”
Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc”
Bài toán 4: “Bài toán về góc”
Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách”
Bài toán 1: “Tìm tương giao”, bao gồm: Giao điểm của hai đường thẳng, giao
điểm của đường với mặt và giao tuyến của hai mặt phẳng
Chú ý:
Bài toán tìm tương giao, giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường với
mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của hai đường thẳng là
mấu chốt cơ bản
Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng và có một điểm chung
duy nhất Các tương giao khác đều có thể đưa được về tương giao cơ bản này
Trang 2DẠNG BÀI TẬP 3
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
Để tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng, chúng ta cần trang bị cho bản thân những kiến thức sau đây:
1 Thiết diện là gì?
Mặt phẳng (P) cắt một mặt vào đó của hình chóp thì (P) sẽ cắt mặt này theo một
đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến của (P) với mặt phẳng đó Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau tạo thành một đa giác phẳng được gọi là thiết diện ( mặt cắt) của
hình chóp với mặt phẳng đó
2 Các định lý thường dùng: ( vẽ hình và nhớ nhé các em)
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ / ’
’
d d
( )
/ /
Phương pháp:
Cách 1:
( sử dụng dạng bài tập 1: tìm giao tuyến của 2 mặt)
Trang 3+) Lấy các mặt của khối đa diện để vẽ giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt
đó. (sao cho dễ xác định giao tuyến nhất)
+) Nối các giao tuyến lại, ta được thiết diện
Cách 2:
(sử dụng dạng bài tập 2: tìm giao điểm của đường và mặt) +) Xác định giao điểm của các cạnh trong khối đa diện với mặt (P)
+) Nối các giao điểm lại, ta được thiết diện
Cách 3 (kết hợp dạng 1 và 2)
Bước 1:
+) Chọn một mặt của khối đa diện để vẽ giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt đó (sao cho dễ xác định giao tuyến nhất) Giao tuyến này còn gọi là giao tuyến gốc (giao tuyến này thường dễ dàng tìm được từ giả thiết)
Bước 2:
+) Xác định giao điểm của giao tuyến đã dựng với các cạnh còn lại của khối đa diện trong các mặt phẳng vừa chọn
Bước 3:
Từ các giao điểm trên, dựa vào tính chất của mặt phẳng (P) để vẽ các giao tuyến với các mặt còn lại
Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD) Gọi
I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC Hãy xác định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng (AIJ)
I
J
K
A
B S
Trang 4Cách 3 (kết hợp dạng 1 và 2)
Bước 1:
+) Chọn một mặt của khối đa diện để vẽ giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt đó (sao cho dễ xác định giao tuyến nhất) Giao tuyến này còn gọi là giao tuyến gốc (giao tuyến này thường dễ dàng tìm được từ giả thiết)
HD:
+) Chọn mặt (SAB) của chóp để vẽ giao tuyến của mặt phẳng (AIJ) với mặt đó (sao cho dễ xác định giao tuyến nhất) chính là giao tuyến IA
Giao tuyến này còn gọi là giao tuyến gốc (giao tuyến này thường dễ dàng tìm được
từ giả thiết)
Ngoài ra ta có thể chọn mặt (SBC) giao với AIJ theo giao tuyến IJ
VẬY Có 2 giao tuyến gốc là AI, IJ
Bước 2:
+) Xác định giao điểm của giao tuyến đã dựng với các CẠNH còn lại của khối đa diện trong các mặt phẳng vừa chọn
HD:
Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài IJ cắt SK tại E ta có E là điểm chung của (AIJ)
và (SAD).Nối AE cắt SD tại F
Bước 3:
Từ các giao điểm trên, dựa vào tính chất của mặt phẳng (P) để vẽ các giao tuyến với các mặt còn lại
HD:
Ta có AF, FJ là các đoạn giao tuyến tiếp theo Thiết diện là tứ giác AIJF
VÍ DỤ 2: : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc cạnh SC Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD
Trang 5Chọn mp (SBD) chứa BD
Gọi O là giao điểm AC và BD Đường thẳng AH cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH và SO
Trong mp (SBD) kẻ qua I đường thẳng song song với BD, gọi M, N là giao điểm
của đường thẳng đó và SB SD Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa AH và MN
Thiết diện là tứ giác AMHN
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh CD
không trùng với C và D Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC
a Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P)
b Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành
Giải:
a Chọn mặt phẳng (ABC) BC ta có M là giao điểm của MN và (ABC)
Qua M kẻ ME // BC (E thuộc AC) thì (P) xác định bởi MN, ME
H
O
I N
B
S
A
Trang 6(P) và (BCD) có N chung và chứa
hai đường thẳng song song nên (P)
(BCD) theo giao tuyến NF // BC (F
BD), nối MF, EN
Thiết diện là tứ giác MENF
b Theo cách dựng thiết diện ở phần
a) thiết diện là hình thang MENF (ME
// NF) ta có 1
2
ME BCnên để MENF là hình bình hành thì
1
2
NF BChay N là trung điểm CD
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD) Điểm M thuộc
cạnh BC không trùng với B và C Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện là hình gì?
Giải:
Ta có (ABCD) chứa M, (ABCD) (SAB) = AB nên (P) cắt (ABCD) theo giao tuyến
MN // AB (NAD)
Mặt phẳng (SAD) chứa N, (SAD) (SAB) = SA nên (P) cắt (SAD) theo giao tuyến
NE // SA (ESD)
N
E B
C
D
A
M
F
Trang 7Mặt phẳng (SCB) chứa M và (SCB) (SAB) = SB
Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến MF // SB (F SC)
Nối EF, ta được thiết diện là tứ giác MNEF
Ta có (P) và (SCD) có MN // CD (CD // AB)
mà (P) (SCD) = EF
Suy ra EF // MN
Thiết diện MNEF là hình thang
Bài tập đề nghị.
Bài 1 Cho tứ diện ABCD Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lượt lấy các điểm M,
N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD Gọi (a) là
mp xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên Tìm thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện ABCD
Hướng dẫn
Trong mp(ABC), đường thẳng MN cắt AB tại I
Trong mp(ABD), đường thẳng IP cắt AD tại Q
Ta có: MN =(a)Ç(ABC)
NP =(a)Ç(BCD)
PQ =(a)Ç(ABD)
QM =(a)Ç(ACD)
Ta được thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mp(a) là tứ giác
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N,
E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, SO Tìm thiết diện của hình chóp với mp (MNE)
F
M
E
A
S
B
N
Trang 8Hướng dẫn
Gọi I = MNÇBD
Trong mp(SBD): IE cắt SB tại Q
MN cắt BC tại H và MN cắt AB tại K
Ta có: HQ = (SBC)Ç(EMN)
Các đoạn MN, NP, PQ, QR, RM là các đoạn giao tuyến của mp(MNE) với đáy và các mặt bên của hình chóp
Thiết diện là ngũ giác MNPQR
Bài 3 Cho hình chóp S.ABC M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung
điểm của
AB và AD Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)
HD: Thiết diện là 1 ngũ giác
Bài 4.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên
cạnh SD
a Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC)
b DM cắt AC tại K Chứng minh S, K, J thẳng hàng
c Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN)
HD:
a Gọi O=ACÇBD thì I=SOÇBN, J=AIÇMN
b J là điểm chung của (SAC) và (SDM)
c Nối CI cắt SA tại P Thiết diện là tứ giác BCNP