Các bài toán về khoảng cách và góc hình học không gian trọng tâm trong đề thi đh

Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng A’B’C’ trùng với trung điểm của cạnh B’C’.. Dạng 3: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Phươ

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Chủ đề 13: CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Dạng 1: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P là góc

giữa đường thẳng a và hình chiếu a của nó trên  P , kí hiệu

là a P,   hay   P ,a

Đặc biệt:

 Khi a thuộc  P hoặc a song song với  P thì     0

a P 

 Khi a vuông góc với  P thì     0

Như vậy, ta luôn có 0     0

0  a P, 90

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại A , BCa , 3

2

a

SASBSC

a) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABC

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC

Lời giải:

a) Gọi O là trung điểm của BC , suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC



Ngoài ra, theo giả thiết ta có SASBSC nên SO là trục đường tròn

của ABC, suy ra SOABC và SOd S ,ABC 

Trong SAO vuông tại O , ta có: 1

a

OA BC (trung tuyến thuộc cạnh huyền)

2

SO SA OA     

2 2

a SO

b) Vì SOABC nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên ABC, do đó SA ABC,  SAO

a'

a

O P

B

A C

S

O

Trong SAO vuông tại O , ta có:  2 3

cos

3 3 2

a OA SAO

SA a

Vậy ta được cos ,   3

3

SA ABC 

Dạng 2: Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp: Để tính góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q , ta lựa chọn

một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa, ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Chọn điểm O , từ đó hạ OE , OF theo thứ tự vuông góc

với  P và  Q

+ Bước 2: Tính số đo góc  EOF

+ Bước 3: Khi đó,     P , Q EOF nếu  0

90

EOF  và

   

P Q  EOF nếu  EOF 900

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Tìm giao tuyến  d của  P và  Q

+ Bước 2: Chọn điểm O trên  d , từ đó dựng Ox d trong  P , và

 

Oy d trong  Q

+ Bước 3: Tính số đo của góc xOy

+ Bước 4: Khi đó,     P , Q xOy nếu  0

90

   

P Q  xOy nếu  0

90

xOy 

P

F

E

Q

d

P

O

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là

600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’

a Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy

b Tính góc giữa BC và AC’

c Tính góc giữa (ABB’A’) và mặt đáy

Lời giải:

a) Ta có d[(ABC), (A’B’C’)] = d[A, (A’B’C’)] = AH

(AA', ( ' ' '))A B C (AA AH', )AA H' 60

Xét tam giác vuông AA’H vuông tại H, ta có

tan 600 ' tan 600 3 3 3

AH A H

b) Ta có BC AC, 'B C AC' ', 'AC H' .

tan' 3.

'

AH

AC H

C H

a) Từ H dựng HK A B' ' (KA B' ') khi đó ta có A B' 'AK (Định lý 3 đường vuông góc)

Vậy [(ABB A' '), ( ' ' ')]A B C AKH.

sin '

Xét tam giác vuông AHK, ta có tan AH 2 3.

AKH

HK

A

A'

K

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 2

AB a , SAa 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SCD

Lời giải:

a) Ta có thể lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Dựng góc dựa trên giao tuyến Giả sử ADBC E

SAD SBC SE

Nhận xét rằng: ADBD vì ABCD là nửa lục giác đều, SABD

Suy ra BDSADBDSE Hạ DF SEF, suy ra

BDFSE

Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng SAD và

SBC là BFD

Vì ABE đều nên AEAB2a và vì CDE đều nên DECDa

Trong SAE vuông tại A, ta có: 2 2 2  2  2 2

SE SA AE  a  a  a SEa 7

Hai tam giác vuông SAE và DEF có chung góc E nên chúng đồng dạng, suy ra:

DF DE

SA  SE

7 7

SA DE a a a DF

SE a

Trong ABD vuông tại A, ta có:  0

Trong BDF vuông tại D, ta có:  3

21 7

BD a BFD

DE a

   BFD nhọn

B

E A

S

O

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Vậy ta được tan SAD , SBC  7

Cách 2: Nhận xét rằng: ADBD vì ABCD là nửa lục giác đều,

SABD

Trong SAC, hạ AJ SC tại J , ta có: BC AC vì ABCD là nửa

lục giác đều, BCSA

Suy ra BCSACBC AJ  AJ SBC

Trong SAC hạ OK SC tại K, suy ra OKAJ

Do đó  SAD , SBC BD AJ,   BD OK, KOB

Trong nửa lục giác đều ABCD , ta có: 2 3 3

Trong SAC vuông tại A, ta có: 2 2 2 2  2 2  2  2 2 2

SC SA AC SA  AB BC  a  a a  a

6

SC a

Hai tam giác vuông SAC và OKC có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng, suy ra: OK OC

SA  SC

3 3

6 6

a a

OK

Trong KOB vuông tại K, ta có: 

6 2 6

cos

4

3

a OK KOB

Vậy ta được cos   ,   2

4

SAD SBC 

B A

S

K O J

B A

S

O J

H I

b) Trong SAC, hạ AJ SC tại J , ta có: BCAC vì ABCD là nửa lục giác đều, BCSA

Suy ra BCSACBC AJ  AJ SBC

Hạ AH CD tại H, suy ra: CD AH

CD SA









 CDSAHSCD  SAH và SCD  SAHSH

Hạ AI SH tại I , suy ra AI SCD

Do đó  SCD , SBC IAJ

Trong SAH vuông tại A, ta có: 3

2

a

AH  và

3 3 3

2

AI  SA  AH  a a   a

15 5

a AI

Trong SAC vuông tại A, ta có: ACSAa 3 1 2 6

SA a

AJ SC

Trong AIJ vuông tại I , ta có: 

15

10 5

cos

5 6 2

a AI IAJ

AJ a

Vậy ta được cos   ,   10

5

SCD SBC 

Dạng 3: khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng d , ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Trong mặt phẳng O d,  hạ OH d với H  d

Bước 2: Thực hiện việc xác định độ dài OH dựa trên hệ thức lượng

trong tam giác, tứ giác và đường tròn H

O

d

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

Chú ý: + Nếu tồn tại đường thẳng a qua O và song song với d thì

 ,   , 

d O d d A d , với A  a

+ Nếu AOd  thì I  

 

, ,

d O d OI

d A d  AI

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

tâm O , SA  và vuông góc với mặt phẳng a ABCD Gọi I , M theo thứ tự là trung điểm của SC , AB

a) Chứng minh rằng OI ABCD

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM , từ đó suy ra khoảng cách từ S đến CM

Lời giải:

a) Trong SAC, ta có: OI là đường trung bình OISA

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên CM , ta có:

CM HI

CM OI









 CM IOHCM OH

Trong ABC có K là trọng tâm, ta có: 1 2

a

OB AC ,

a

OK  OB

Trong OCK vuông tại O , ta có: 1 2 12 1 2 1 2 1 2 202

OH OK OC  a  a   a

20

a OH

K

A

d

O

a

K

A

d

O H I

D

C A

B

S

O

I

M

H

Trong OIH vuông tại O , ta có:

2

IH OI OH     

30

10

a

IH

Vậy khoảng cách từ I tới CM bằng 30

10

a

Vì SICM C nên

,

2 ,

5

a

d S CM d I CM IH

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng  P , ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Để dựng OH với H là hình chiếu vuông góc của O

lên  P ,ta thực hiện:

 Lấy đường thẳng a nằm trong  P

 Dựng mặt phẳng  Q qua O vuông góc với a cắt  P

theo giao tuyến b (cần chọn a sao cho mặt phẳng  Q

dễ dựng)

 Trong  Q , hạ OH  tại b H

Bước 2: OH là khoảng cách từ O đến  P Tính độ dài của đoạn OH là khoảng cách từ O đến  P

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Phương pháp:

1 Cho đường thẳng d  , để tính khoảng cách giữa d và   ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn một điểm A trên d , sao cho khoảng cách từ A đến   có thể được xác định dễ nhất

Bước 2: Kết luận d d ,  d A ,  

H K

P

Q

H

O

a b

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

2 Cho hai mặt phẳng song song  P và  Q , để tính khoảng cách giữa  P và  Q ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chọn một điểm A trên  P , sao cho khoảng cách từ A đến  Q có thể được xác định dễ nhất

Bước 2: Kết luận d    P , Q d A Q ,  

Ví dụ 5: Hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc  BAD 600 Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng ABCD và 3

4

a

SO  Gọi E là trung điểm của BC , F là trung điểm của BE

a) Chứng minh SOF  SBC

b) Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng SBC

Lời giải:

a) Với giả thiết, ta có: OBE đều OF BC

Mặt khác, ta cũng có: SOABCDSOBC

Suy ra SOSOFSOF  SBC

b) Trong SOF hạ OH SF, suy ra OH SBC

 

Trong SOF vuông tại O , ta có: 1 2 12 12

OH OS OF

3 8

a OH

Vì AO  SBCC nên:    

 

2 ,

d O SBC OC

AC

d A SBC    ,   2  ,   2 3

4

a

d A SBC d O SBC OH

Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có SAa 6 và vuông góc với mặt phẳng ABCD, đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD2a

a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng SCD

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng SBC

D

C

A

B

S

O

H

c) Tính diện tích của thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng   song song với mặt phẳng

SAD và cách một khoảng bằng 3

4

a

Lời giải:

a) Nhận xét rằng:

CD AC

CD SA









 CDSACSCD  SAC

Hạ AH SC, ta có ngay AH SCD

Vậy AH là khoảng cách từ điểm A tới SCD

Trong SAB vuông tại A, ta có:

  2 2

2

AH  SA  AC  a  a  a  AH a 2

Gọi I là trung điểm của AD, suy ra: BI CD BI SCDd B SCD ,  d I SCD ,  

Mặt khác, ta lại có AISCDD nên:

 

 

2 ,

d I SCD ID

AD

d A SCD    ,   1  ,   1 2

a

d I SCD d A SCD AH

b) Nhận xét rằng: AD CB  ADSCBd AD SBC ,  d A SBC ,  

Hạ AK BC, ta được: BC AK

BC SA









  BCSAK SBC  SAK và SBC  SAKSK

Hạ AGSK, ta có ngay AGSBC

Vậy AG là khoảng cách từ điểm A đến SBC

Trong SAK vuông tại A, ta có:

2 3 6

2

AG  SA  AK  a a   a

6 3

a AG

N K

E

C A

S

B

H I

M

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

c) Nhận xét rằng: AK AD

AK SA









  AK SAD

Giả sử mặt phẳng   song song với SAD cắt AK tại E, khi đó:    ,   3 1

a

d  SAD  AE  AK E

 là trung điểm của AK

Ta đi xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng   qua E và song song với SAD như sau:

   

   

SAD



















Và Ex cắt AB, CD theo thứ tự tại M , N là trung điểm của mỗi đoạn

Trong SAB, dựng My SA và cắt SB tại Q là trung điểm của SB

Trong SCD, dựng Nz SD và cắt SC tại P là trung điểm của SC

Vậy thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng   là MNPQ , ngoài ra vì: MN CD PQ  MNPQlà hình thang

MQ SA MQABCDMQMN MNPQ là hình thang vuông

Từ đó, ta được 1 

2

MNPQ

S  MNPQ MQ

a

MN  ADBC  vì MN là đường trung bình của tứ giác ABCD ,

1

a

PQ BC vì PQ là đường trung bình của SBC ,

a

MQ SA vì MQ là đường trung bình của SAB

Suy ra

2

MNPQ

S     

Dạng 5: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp:

1 Để dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b , ta lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Dựng mặt phẳng  P chứa b song song với a

Bước 2: Chọn M trên a , dựng MH  P tại H

Bước 3: Từ H , dựng đường thẳng a1 và cắt b tại a B

Bước 4: Từ B , dựng đường thẳng song song với MH , cắt a tại A Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Dựng mặt phẳng  P vuông góc với a tại O

Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc b của b trên 1  P Dựng

hình chiếu vuông góc H của O trên b 1

Bước 3: Từ H , dựng đường thẳng song song với a , cắt b tại B

Bước 4: Từ B , dựng đường thẳng song song với OH , cắt a tại A Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 3: Áp dụng cho trường hợp a  Ta thực hiện theo các b

bước sau:

+ Bước 1: Dựng mặt phẳng  P chứa b , vuông góc với

a tại A

+ Bước 2: Dựng AB  tại b Đoạn b AB là đoạn vuông

góc chung của a và b

a'

a

B P

H A

b M

O P

H

b'

A P

B a

b

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

2 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Tính độ dài đoạn vuông góc chung (nếu có)

Cách 2: Tính d a ,   với   là mặt phẳng chứa b song song với a

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , góc  A 600 và có đường cao

SO  a

a) Tính khoảng cách từ O đến SBC

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

Lời giải:

a) Hạ OI BC và kéo dài OI cắt AD tại J

Ta có: BC OI

BC SO









  BCSOISBC  SOI và

SBC  SOISI

Hạ OH SI OH SBC Vậy OH là khoảng cách từ O

đến SBC

Với hình thoi ABCD , ta có: BDa vì ABD đều

2

a OB

2

a

AC AO a

Trong OBC vuông tại O , ta có:

 

3 3 2

OI OB OC  a  a  a

 

 

39 13

a OI

Trong SAE vuông tại A, ta có: 1 2 12 12 12 1 2 162

3 39 13

OH  SO OI a a   a

3 4

a OH

B

C

A

D

S

O J

I H

Vậy khoảng cách từ O đến SBC bằng 3

4

a

b) Nhận xét rằng:AD BC  ADSBC

 ,   ,    ,  

Mặt khác, ta lại có JOSBCI nên:

 

 

,

2 ,

d J SBC IJ

OI

d O SBC    ,   2  ,   2 3

2

a

d J SBC d O SBC OH

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB bằng 3

2

a

Ví dụ 8: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’

a) Chứng minh rằng BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’ Đs: 3

3

a

Lời giải

BC B C

BC A B CD

BC CD v CD BCC B









O

A' D'

B' C'

C D

O I

J

Bài giảng độc quyền bởi: http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – hotline: 0989189380

b) Theo câu a, ta có BC'( ' 'A B CD) tại O

Ta có AD'/ /BC'AD'( ' 'A B CD) tại I Vậy hình chiếu của AB’ lên (A’B’CD) là IB’

Vậy ta có d(BC’, AB’) = d(O, IB’) = OK (OK IB')

Xét tam giác vuông IOB’, ta có 12 12 1 2 12 1 2 32

2

a OK

OK OI OB a a   a  

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy và

3

SAa Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách giữa SI và AC

Lời giải

Gọi O là tâm của đáy ABCD, từ O dựng đường thẳng d song song với SA, khi đó mặt phẳng chứa BD và d vuông góc với AC tại O Từ I hạ IK BD tại K và từ S hạ SH dtại H thì suy ra KH là hình chiếu vuông góc của SI lên mặt phẳng (BD, d) Từ O hạ ON HK tại N, khi đó d(SI, AC) = ON

Xét tam giác vuông OKH, ta có

2

2 4

ON OK OH a  SA a  a  a

Suy ra 3

5

a

ON 

A

D S

O I

K

H

N

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA =

a Gọi E là trung điểm của CD Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE

Đs: ( , ) 3

5

a

d S BE 

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x, tất cả các cạnh còn lại bằng a

a) Chứng minh rằng tam giác SAC vuông;

b) Tính đường cao SH của hình chóp

ax SH





Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác cân và mặt phẳng

(SAB) vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy góc  Tính

a) Chiều cao hình chóp S.ABCD;

b) Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng (SCD);

c) Diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng trung trực cạnh BC

Ds: a) 5

tan 2

a

2

5 tan

a







c)

2

tan 16

a



Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi, góc A = 1200, BD = a, cạnh bên SA vuông với đáy, góc giữa mặt (SBC) và đáy là 600 Tính

a) Đường cao của hình chóp Ds: 3

2

a

b) Khoảng cách từ A đến (SBC) Ds: 3

4

a

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, CA = b, CB = a, cạnh SA = h vuông góc với

đáy Gọi D là trung điểm của AB Tính

a) Góc giữa AC và SD; Ds: tan(AC, SD)=

4

b



b) Khoảng cách giữa AC và SD; Ds: ah