Chương 1 Giải tích 12 bài tập

Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.. Viết phương trình tiếp tuyến  của H tại giao điểm với trục tung.. c Viết phương t

CHƯƠNG 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 y = 1 + 4x –x2

2 y = 2x2 -3x -1

3 y = x2(4 – x2)

4 y = x4 – 2x3 + 2x +1

5 y =

3 2

1

6

2

2

x

y

x







7

2

y

x

 





x

y

x





1

y



10

2

2

3 2

y

 



 

11 y 2x4 x2 1

13 y = 3x2 – 8x3

14 y = x3 – 6x2 + 9x

15 y =16x + 2x2 –

16

3 x3-x4

16 y = x4 + 8x2 + 5

2 1

x y





 

18 y  x x(  1),(x0)

19

3 2 7

x y

x







2 9

x y

x





21

2 2 3 1

y

x

 





22

2 5 3 2

y

x

 





x y

x





25

4 3

1

5 2

y x x  x

26

4 3 2

y x  x  x  x

27

3 4 5

8 5

y x  x 

28

6

y x  x  x 

29

y

x

 



30

1 3

x y

x





3 1

x y

x





32 y x2 2x3

2 Tìm m trong các trường hợp sau:

c y = (m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x – 6 đơn điệu trên R

e y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 luôn đồng biến

f y =

1

3 x3 – 2x2 + 3x, hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)

g y =

1 3

m 

h y =

-1

3 x3 + (m – 1)x2 + (m + 3)x đồng biến trong (0; 3)

2

y

x m



5 3 2

m  

2

1

y

x

 



5 Cho hs

x y

x m



a Luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó Đs: m < 0

b Luôn đồng biến trên (-1; +  ) Đs: m < -1

6 Cho hs

4

mx y

x m





a Đồng biến trên (3; +  ) Đs: m > 2

b nghịch biến trên ( ;1) Đs: 2 m 1

CỰC TRỊ

1 Chứng minh rằng hàm số y =

x m

Tìm m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.

2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a y = sinx+cox

b y = sin2x-x

3 Cho hàm số 1 3 2  

3

y  x  mx  m x

Định m để:

a Hàm số luôn có cực trị

4 Định m để hàm số y x 3  3mx2 m2  1x2 b2  4ac đạt cực đại tại x = 2.

5 Cho hàm số y = x33x2+3mx+3m+4.

a Khảo sát hàm số khi m = 0.

b Định m để hàm số không có cực trị.

c Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.

6 Cho hàm số y x 3  3mx2 9x3m 5 Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu,

viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy

7 Cho hàm số

y

x m



cực tiểu với mọi m Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.

8 Cho hàm số y x 3  3x2 mx  Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời : 1

a x12+ x22=3

b x1 và x2 cùng dương

9 Định m để hàm số y x 4  (2m1)x2 m2  có ba điểm cực trị.1

y  x  mx  m x m  C

Định m để hàm số có hai điểm

cực trị cùng dương

11.Cho hàm số y  x3  3x2 3m2  1x 3m2  (1), m là tham số.1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số

(1) cách đều gốc tọa độ

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

1 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x   x4 6x2  trên đoạn 4 1;3 

2 Tìm GTLN và GTNN của hàm số   2 3

1

x

f x

x





 trên đoạn 0;2 

3 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x   x 2 sinx trên đoạn

0;

2



4 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x  x2  4x3 trên đoạn 1;4

5 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x   x 4 x2

6 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x  cos2 x cosx 3

7 Tìm GTLN và GTNN của hàm số f x  x3 5x2 7x 2 trên khoảng 2;1

TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Cho hàm số

 

2 3 2 2 2

1 3

y



a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =1.

2 Cho hàm số

1 1

x y x





a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai đường tiệm

cận nhỏ nhất

3 Cho hàm số

2

x y

x





a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.

b Viết phương trình tiếp tuyến  của (H) tại giao điểm với trục tung.

ngắn nhất

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Hàm số bậc ba:y ax 3bx2 cx d a 0

Bài 1.1 Cho hàm số y x 3  3x2 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương

x  x  m

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M2;4.

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

1 2

x 

e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ y  0

Bài 1.2 Cho hàm số y x3 3x2  4 (C)

x  x m

1 2

x 

9 4

k 

thẳng  d :y 3x2012

Bài 1.3 Cho hàm số y4x3  3x (C)1

3 3

0 4

x  x m 

thẳng 1

15

9

d y x

72

x

Bài 1.4 Cho hàm số y2x3 3x2 (C)1

thẳng. 1

2

3

d y  x

(C)

Bài 1.5 Cho hàm số y x33m1x2  3x 2

Bài 1.6 Cho hàm số y4x3  3m1x 1 C m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi m  0

b) Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình:

3

4x  3x k 0

c) Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị

d) Tìm m để họ đồ thị (Cm) đạt cực tiểu tại x 1

e) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (Cm)

Bài 1.7 Cho hàm số y x 3 –mx m  có đồ thị là 2 C m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.

b) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 – 3 –x k  1 0

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y  3

d) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x  2

Bài 1.8 Xác định tham số m để hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có

hàm số

Chứng minh rằng :

1 2

1 2 1 2

x x x x



quả : m < 1

Bài 1.9 Tìm tham số m để hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1

số m

Bài 1.10 Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):

3 2

2

3 2

y m x

KQ: 1 giao điểm ( m 

27 12

 ), 3 giao điểm ( m >

27 12

 )

2 Hàm số trùng phương : y ax 4 bx2  , c a 0

Bài 2.1 Cho hàm số y x 4  2x2 (C)

24

Bài 2.2 Cho hàm số y x4 2x2  (C)1

bằng 24

Bài 2.3 Cho hàm số y x 4 x2  (C)1

21 16

y 

đường thẳng  d1 :y6x2012

1

6

d y  x

Bài 2.4 Cho hàm số

1

4

y x  x 

(C)

đường thẳng d :8x 231y  1 0

thẳng x1; x  1

Bài 2.5 Cho hàm số y x 4  2x2  (C)3

tung

Bài 2.6 Cho hàm số

4

2 5 3

x

y  mx  m

(1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  1

b) Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình x4  6x2   k 0

c) Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình

4 2

2

x x

d) Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x  3.

e) Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị

Bài 2.7 Cho hàm số y mx 4 m2  9x2 10 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m  1

b) Tìm k để phương trình x4  8x2 10k  có hai nghiệm thực phân biệt 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng  d : 2x45y 1 0

d) Tìm m để hàm số có một điểm cực trị

e) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị

3 Hàm số hữu tỉ :

ax b y

cx d







Bài 3.1 Cho hàm số

1

x y x





a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ

1 2

x 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ

1 2

y 

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k  3

e) Tìm m để đường thẳng  : 5 2

3

d y mx   m

cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

Bài 3.2 Cho hàm số

1 1

x y x





a) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ

1 2

y 

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng 1

9

2

d y x

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng 2

1

8

d y x

e) Tìm m để đường thẳng 3

1

3

d y mx  m

cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm

Bài 3.3 Cho hàm số

1 1

x y x





 (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng 1

:

d y x

e) Tìm m để đường thẳng 2

1

3

d y mx  m

cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 3.4 Cho hàm số

2 2

x y

x





a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường

c) Tìm m để đường thẳng d1 :y mx  3 m đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt

d) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số

nguyên

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành Bài 3.5 Cho hàm số

2 1

x y x





a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y x  1

c)Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độx  2

d) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2;3]

e)Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên Bài 3.6 Cho hàm số

3

x y x



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung.

c) CMR đường thẳng d:y x m  luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt

d) Tìm giao điểm của (C) và đường thẳng (d) có phương trình y 2x 1

Bài 3.7 Cho hàm số

y

x m



 (m  ) và có đồ thị là (Cm )0

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C2)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C2), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x3,x 4

c) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG CONG

1 Cho hàm số y x1 2 x 12 có đồ thị là (C).

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x2  12  2m 1 0

2 Cho hàm số y x 3 kx2  4

a Khảo sát hàm số trên khi k = 3.

3 Cho hàm số y x 3  3x 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng

d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

ĐS: b

15

4

4 Cho hàm số y =  x3 + 3mx2 + 3(1  m2)x + m3  m2 (1) (m là tham số)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.

b Tìm k để phương trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) ĐS: b

k

  





5 Cho hàm số 2x 1, 

1

x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm m để phương trình

4x 2

2 0

x



d) Tìm m để phương trình

1 0 1

x

m x



6 Cho hàm số 1 4 2  

4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b) Tìm m để phương trình x4  8x2 4 m 2 0 có 8 nghiệm phân biệt.

7 Tìm m để hàm số y y x  4  m1x2 m cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành 3 đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.ĐS:

1 9;

9

m m