sách công phá toán 2

Đây là cuốn thứ hai trong bộ sách gồm ba tập do I.ovebook phát hành nhằm giúp các em học sinh chinh phục toàn bộ kiến thức Toán học từ lớp 10 đến lớp 12, từ đó "công phá” thành công kì

công pha toan 2

DANG VIET DONG - NGOC HUVEN LB — BO THI THUY NGOC — PHAM TUAN NGHI

NGUVEN TRUONG SON — NGUVEN TIEN TIEN — CHAU UĂN ĐIỆP

CONG PHA TOAN 2

CUON SACH GIÚP EM TỰ TIN HON TRONG KY THI THPT QUOC GIA

NHÀ HUẤT BAN DAI HOG QUOC GIA Ha NOI

HHA KUGH BAH BG! HOG Quéc Gia HA NaI

16 Hàng Chuối ~ Hai Ba Trưng ~ Hà Nội Điện thoại: Biên tập - Chế bản; (04) 39714896:

Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tâp: (04) 397 15011

Fax: (04) 39729436

Chịu trách nhiệm xuất ban:

Giám đốc — Tổng biên tập: TS PHAM THỊ TRÂM

Biên tập xuất bản: ĐINH QUỐC THẮNG

Biên tập chuyên ngành: NGUYÊN TH] HUB

Ché ban: CONG TY CO PHAN GIAO DUC TRUC TUYEN VIET NAM — VEDU CORP | Trinh bay bia: NGUYEN SON TUNG

Sửa ban in: LUONG VAN THUY - NGUYEN THI CHIEN — TANG HAL TUAN

Đối tác liên kết:

CONG TY CO PHAN GIÁO DUC TRUC TUYEN VIET NAM — VEDU CORP

Dia chi: 101 Nguyén Ngoc Nai, phường Khương Mai, quận Thanh Xuân, Hà Nội

In 2000 cuốn, khổ 19 x 27cm tại Công ty TNHH Trần Công

Địa chỉ: Số 12, ngách 155/176 đường Trường Chinh, Phương Liệt, Thanh Xuân, Hà Nội

Số xác nhận ĐKXB: 2825 — 201 7/CXB,IPH/9- 289/DHQGHN, ngay 25/08/2017

Quyết đỉnh xuất bản số: LK-TN/.QĐ.~ NXBDHQGHN;ngay-25/08/2017-

In xong và nộp lưu chiểu năm 2017,

`

uý thầy cô, quý phụ huynh và các em học sinh đang cầm trên tay cuốn CÔNG PHÁ TOÁN

2 Đây là cuốn thứ hai trong bộ sách gồm ba tập do I.ovebook phát hành nhằm giúp các

em học sinh chinh phục toàn bộ kiến thức Toán học từ lớp 10 đến lớp 12, từ đó "công phá” thành công kì thi THPT Quốc gia

Kì thi THPT Quốc gia đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo đổi mới cách thức tổ chức từ năm

2017, và sẽ được duy trì ổn định trong nhiều năm tiếp theo Với cách thức tổ chức mới này, học sinh sẽ làm bài thi môn Toán theo hình thức trắc nghiệm khách quan, đề thi gồm 50 câu hỏi với thời gian làm bài 90 phút Năm 2017, nội dung thi nằm trong Chương trình lớp 12 THPT; năm

2018, nội dung thi nằm trong Chương trình lớp 11 và lớp 12 THPT; từ năm 2019 tré di, nội dung thi nằm trong Chương trình cấp THPT

Nhằm đáp ứng nhu cầu của đông đảo các em học sinh, các thầy cô giáo và các bậc phụ huynh về một bộ sách hệ thống toàn bộ kiến thức và phương pháp giải toán THPT, đặc biệt theo hình thức trắc nghiệm khách quan, Lovebook đã cho ra đời bộ sách Công phá Toán gồm

ba tập: Tập 1 viết cho chương trình lớp 10, tập 2 viết cho chương trình lớp 11 và tập 3 viết cho chương trình lớp 12 (tập 3 đã xuất bản)

Tiếp theo tập 3, ở tập 2 này, các chủ đề được chúng tôi viết theo một cách thức nhất quán,

đó là: Từ hệ thống lí thuyết đến ví dụ minh họa, cuối cùng là hệ thống bài tập vận dụng Hệ thống lí thuyết được trình bày đầy đủ nhưng cô đọng và đặc biệt là hệ thống ví dụ minh họa và bài tập vận dụng được thiết kế theo hình thức trắc nghiệm khách quan với lời giải chỉ tiết, dễ

hiểu Ở mỗi ví dụ, bài tập, chúng tôi đều cố gắng trình bày lời giải theo hai hướng: tự luận và

trắc nghiệm Lời giải theo hướng tự luận giúp các em hiểu sâu sắc bản chất vấn đề, lời giải theo hướng trắc nghiệm đưa ra các làm nhanh nhất, giúp các em có thể tiết kiệm được thời gian làm bài, đặc biệt với sự trợ giúp của máy tính câm tay Những sai tầm thường gặp, những cách làm hay, những mở rộng, bổ sung, nhận xét, lưu ý đều được chúng tôi trình bày trong từng nội dung lí thuyết cũng như bài tập

Công phá toám giúp học sinh được những gì?

Cũng giống như Công Phá Toán 3 (lớp 12), cuốn sách Công Phá Toán 2 này cũng sẽ giúp các em học sinh giải quyết được những vẫn đề sau:

Thứ nhất, cuốn sách giúp các em học sinh hệ thống lại toàn bộ phương pháp, tư duy giải toán cần thiết trong chương trình lớp 11 Đặc biệt, chúng tôi rất chú trọng tới những vấn đề mà

học sinh thường hay nhầm lẫn.

Thứ hai, cuốn sách giúp các em học sinh nắm được toàn bộ những vấn đề hay nhất, cần thiết nhất trong chương trình Toán lớp 11, hướng tới kì thi THPT quốc gia Chúng tôi chủ động

đề xuất rất nhiều dạng toán Trắc Nghiệm lớp 11 mới

Thứ ba, cuỗn sách giúp các em học sinh nắm được những kĩ năng xử lý casio cần thiết trong việc học toán lớp 11 Tuy nhiên ở cuốn Công phá toán này, tất cả kĩ năng MTCT đều gắn chặt với tư duy giải Toán, không chỉ đơn thuần là các thao tác bấm máy thông thường

Thứ tư, cuốn sách tích hợp hệ thống gửi tài liệu qua Mail, để học sinh có thể khai thác triệt

để cuốn sách Ngoài gửi qua Mail đáp án chỉ tiết 10 đề tự luyện theo trình tự thời gian, chúng tôi còn gửi thêm 1 số tài liệu hay, liên quan tới nội dung cuốn sách khi sưu tâm được để các em học sinh thêm một lần nữa khai thác triệt để giá trị của sách Đây cũng là một cách để đảm bảo quyền lợi cho các em, quý độc giả sử dụng sách chính hãng

Chính vì những đặc điểm trên, chúng tôi rất mong các em học sinh, quý độc giả hãy thường xuyên trao đổi, liên hệ với chúng tôi để chúng tôi có cơ hội được phục vụ quý vị tốt nhất Mặc dù đã có nhiều nỗ lực, cùng với một mong muốn thiết tha mang đến cho quý độc giả một tài liệu tham khảo bổ ích, song đây là lần đầu tiên nhóm chúng tôi cùng nhau làm dự án sách nên không thể tránh khỏi những sự thiếu sót, những sự thiếu đồng nhất trong văn phong viết của sách cũng như hình thức của sách Vì vậy, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý từ các em học sinh và quý độc giả trên toàn quốc thông qua các kênh liên lạc sau:

- Email: lovebook.vn@gmail.com

- Facebook: facebook.com/lovebookcaretoan

- Group: facebook.com/groups/nhasachlovebook (hoặc facebook.com/groups/ngochuyenfamily/) Chúng tôi vô cùng cảm tạ! Chúc quý độc giả sẽ có những giây phút thật sự thú vị, bổ ích khi đọc cuốn sách này! Chúc các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 12 năm học 2017-

2018, đạt được kết quả thi THPT Quốc gia cao nhất, đỗ vào ngôi trường Đại học, Cao đẳng mà mình hằng mơ ước!

Trân trọng Nhóm Toán Lovebook 2018

thầy Nguyễn Văn Luân, thầy Nguyễn Trần Thắng, cô Nguyễn Thị Bích Thuỷ, cô Tô Thị Uyên, cô

Trần Thị Hưng, cô Mai Thị Doan Sau khi chúng tôi hoàn thiện bản thảo và kiểm soát nội bộ xong, chúng tôi đã gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm một đội ngũ tin tưởng và sẵn lòng đọc

lại toàn bộ bản thảo Thật may mắn thay, thầy Hiển cùng các thầy cô trong tổ Toán — Tin THPT Nho Quan A đã đồng ý giúp đỡ Không chỉ dừng lại ở mức rà soát lỗi của bản thảo, thầy cô cũng

đã giúp chúng tôi rất nhiều ý tưởng mới để hoàn thiện cuốn sách hơn, Chúng tôi tin tưởng chắc chắn rằng với sự lãnh đạo tài tình của thầy Hiển, cùng với sự tâm huyết, hết lòng vì trường, quê hương của các thầy cô tổ Toán — Tin, trường THPT Nho Quan A sẽ còn phát triển nhiều hơn nữa

Lời cảm ơn tiếp theo, chúng tôi muốn được gửi tới thầy Hà Ngọc Dương — Giáo viên Toán, phó Hiệu trưởng THPT Yên Mô A, Ninh Bình, cô Nguyễn Thị Nhung — Giáo viên Toán, trường THPT Tạ Uyên, Ninh Bình, Mặc dù vào đầu năm học bận trăm công nghìn việc nhưng hai thây

cô cũng đã rất nhiệt tình đọc soát giúp chúng tôi trong giai đoạn cuối trước khi bàn giao bản thảo cho NXB Chúng tôi mong thầy cô luôn khoẻ mạnh và có những sự thăng tiến cao hơn trong công việc

Tiếp theo, chúng tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới em Bùi Thị Hạnh, Phạm Thị Hương Thảo, Nguyễn Trung Hiếu cùng tập thể lớp 12A, khoá 2015 — 2018 đã giúp chúng tôi có cái nhìn

thực tế hơn vệ mức độ khó dễ của các bài toán và sự tối ưu ỡ mỗi lời giải đưa r: ra Những thắc phương pháp hơn Hãy luôn nỗ lực, luôn tìm tòi học hỏi như vậy các em ì nhé

Cuối cùng, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn tới toàn thể các thành viên thường trực trong nhà sách Lovebook Họ đã rất nhiệt tình biên tập lại toàn bộ nội dung bản thảo một cách

cẩn thận và đẹp nhất Đặc biệt chúng tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới bạn Lương

Văn Thùy (Giám đốc) và bạn Nguyễn Thị Thu Hương (phòng biên tập) Hai bạn là những thành viên mà chúng tôi làm việc cùng thường xuyên nhất trong nhà sách Hai bạn đã hướng dẫn

chúng tôi từng chỉ tiết nhỏ nhất trong việc soạn thảo và trình bày Tận đáy lòng, chúng tôi rất

mong Lovebook có thể triển khai chương trình hỗ trợ thêm nhiều giáo viên, sinh viên sư phạm trong việc biên soạn tài liệu và các kĩ năng trình bày hơn nữa, qua đó có thêm nhiều những cuốn sách hay cho học sinh tham khảo Và chúng tôi cũng luôn tin tưởng chắc chắn rằng nếu duy trì được sự nhiệt huyết, tận tâm như bây giờ, nhà sách Lovebook sẽ còn phát triển mạnh

mẽ hơn rất nhiều

LỮI TRÍ ÂN BẶP BIỆT

Chúng tôi muốn dành riêng mục này để gửi lời cảm ơn chân thành và yêu thương nhất tới toàn thể các em học sinh đã và đang đành tình cảm cho bộ sách Công Phá Toán THPT, khởi điểm là cuốn Công Phá Toán 3 Sự tin tưởng và quan tâm của các em dành cho cuốn Công Phá Toán đầu tiên phát hành năm vừa rồi chính là một iiều thuốc bổ, một động lực to lớn cho chúng tôi hoàn thiện được cuốn Công Phá Toán 2 này Và xa hơn, sự quan tâm, tình cảm của các em dành cho Công Phá Toán 3 vừa rồi còn giúp chúng tôi tự tin hơn rất nhiều khi bắt tay triển khai cuốn Công Phá Toán 1 (lớp 1) (ra mắt tháng 12 tới)

Tận đáy lòng, chúng tôi mong các em học sinh - độc giả Công Phá Toán luôn tràn đầy

năng lượng để vượt qua mọi gian nan, thử thách của cuộc sống Đối với các em 99ers, chúng

tôi mong các em hãy tiếp tục phát huy tinh than BON (The Best or Nothing) trên quãng đường

ở giảng đường đại học sắp tới Không quan trọng các em học trường gì, ngành gì, chỉ cần luôn

nỗ lực, cố gắng mỗi ngày trôi qua, chúng tôi tin một ngày không xa, các em sẽ trở thành những người thành công và cống hiến nhiều cho xã hội Còn đối với các em học sinh ít tuổi hơn, chúng

tôi hy vọng các em sẽ luôn ghì chặt mục tiêu, ước mơ chinh phục ngôi trường Đại học của mình Bất luận, đang học lớp 10 hay 11 hay 12 thì chúng tôi luôn mong các em hãy tập trung học tập một cách nghiêm túc nhất, kỉ luật nhất Sắp tới, hãy bước chân vào giảng đường Đại học một cách tự hào nhất và hãnh diện nhất các em nhé!

Một lần nữa, nhóm Toán Lovebook xin cảm on tat ca!

HUGS DAH GACH SU UNG SAGH

Trước khi đưa ra các hướng sử dụng sách Công Phá Toán 2 hiệu quả, chúng tôi xin được nhắc lại tổng thể nội dung cuốn sách Cuốn sách chúng tôi viết được chia thành 3 phần chính như sau;

o_ Hệ thống lý thuyết, kiến thức cần thiết ở mỗi chủ đề

o_ Hệ thống tư duy, phương pháp giải các dạng toán thông qua các ví dụ cụ thể o_ Hệ thống các bài tập rèn luyện theo từng dạng bài, từng chuyên đề

Cách học như thế nào cho hiệu quả?

Để sử dụng cuốn sách hiệu quả, các em nên có một kế hoạch cụ thể Khi có kế hoạch

cụ thể thì chúng ta mới đo lường được hiệu quả sử dụng sách Ngoài ra, các em cũng nên chuẩn bị một bộ sách giáo khoa Toán bên cạnh để tra cứu khi cần thiết Ở đây, chúng tôi xin phép được chia học sinh thành 3 đối tượng sử dụng sách:

Đối tượng 1: Mới bắt đâu học chương trình lớp 11 (các em chuẩn bị lên lớp 11) Trong trường hợp này, cách duy nhất chúng tôi khuyên là các em nên học theo trình tự

đã được sắp xếp ở trong sách, cứ lần lượt học: Đầu tiên đọc kĩ lý thuyết, phương pháp, tiếp theo đọc vào ví dụ minh họa và cuối cùng là luyện tập các bài tập rèn luyện Tuy nhiên khi đọc lý thuyết hay phương pháp mà vẫn mơ màng, các em có thể bỏ qua, đọc tiếp vào phần

Ví dụ minh họa Trong một số trường hợp, thông qua lời giải và phân tích ở phần Ví dụ minh họa sẽ giúp các em hiểu ra và nắm vững phần lý thuyết, phương pháp hơn Sau khi kết thúc mỗi chủ đề, các em bấm thời gian 90 phút để hoàn thiện các bài kiểm tra

Đối tượng 2: Học xong chương trình lớp 11 (hoặc chuẩn bị thi THPT quốc gia) Các em xem phần nào còn yếu, chưa chắc chắn thì đánh dấu lại, xem kĩ phần ví dụ minh họa Sau khi xem xong các em luyện hết mọi bài trong phần Bài tập rèn luyện Trong quá trình làm bài tập rèn luyện, nhớ đối chiếu ngược trở lại phần lý thuyết và ví dụ minh họa để khắc sâu kiến thức Ngoài ra, các em cũng có thể làm ngay phần bài tập rèn luyện ở cuối mỗi chủ đề trước khi đọc kĩ nội dung Việc nắm bắt xem mình đang ở mức độ nào trong các chủ

đề trước khi đọc sẽ giúp các em có những định hướng, điều chỉnh tốc độc đọc sách hợp lí

hơn Sau khi nghiền ngẫm thật kĩ các chủ đề và làm nhuần nhuyễn 11 bài kiểm tra chủ đề,

nhớ luyện kĩ thêm 25 đề trong "Bộ đề tinh tuý 2018” để vận dụng kiến thức trong đề thi thực

tế hiệu quả hơn, tối ưu hơn

Đối tượng 3: Các em xuất sắc hẳn

Đối với các em có mức học giỏi trở lên thì chỉ cần tập trung 2 việc chính Thứ nhất, các

em chỉ cần lưu ý đặc biệt tới các phần STUDY TIP và hệ thống bài tập rèn luyện Những bài

đã quá quen thuộc rồi thì có thể bỏ qua Ngoài ra, riêng đối với các em học sinh thuộc đối tượng 2 và đối tượng 3, các em nên tham khảo thêm các bài toán lớp 11 trong 25 đề trong

"Bộ đề tinh tuý 2018” để củng cố thật chắc kiến thức lớp 11 Các bài tập lớp 11 trong "Bộ đề tỉnh tuý 2018” được chọn lọc rất kĩ nên việc luyện tập trong cuốn sách này sẽ giúp các em củng cố chắc chắn hơn những gì đã học ở Công Phá Toán 2

Không quan trọng điểm xuất phát của các em như thế nào, chỉ cần các em thực sự tập trung đọc một cách nghiêm túc cuốn sách này và các cuốn sách Giáo Khoa bổ trợ cùng nữa, chúng tôi tin tưởng chắc chắn rằng, các em sẽ phá vỡ giới hạn của bản thân và dành kết quả ,cao trong kì thi THPT Quốc gia.

TÀI LIÊU THAM KHẢO

1 Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết

Yên, Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007

2 Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Bài tập Đại số và Giải tích

71, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2011

3 Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, Đại số và Giải tích nâng cao 11, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007

4 Đoàn Quỳnh, Phạm Khắc Ban, Văn Như Cương, Nguyễn Đăng Phất, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chuyên toán hình học T1, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam 2011

5, Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, Bài tập Đại số và Giải tích nâng cao T1, Nhà

9 V.A.KRETSMAR, Bai tập Đại số sơ cấp tập !I (Người dịch: Vũ Dương Thụy, Nguyễn Duy

Thuận), Nhà xuất bản Giáo dục, 1976

10 Trần Đức Huyên, Trần Lưu Thịnh, Đặng Phương Thảo, Giải bài tập và câu hỏi trắc nghiệm Đại số và Giải tích ††, Nhà xuất bản Giáo dục, 2008

11 Nguyễn Hải Châu (Chủ biên), Nguyễn Thế Thạch, Phạm Đức Quang, Câu hỏi và bài tập

trắc nghiệm Toán T1, Nhà xuất bản Hà Nội, 2007

12 Bộ Giáo dục và Đào tạo, Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học phổ thông `

môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007

13 Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán (Phương trình lượng

giác, Nhà xuất bản ĐHQGHN

14 Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam, Phan Doãn Thoại, Bài tập chọn lọc hinh hoc 11

15 Nguyễn Anh Trường, Nguyễn Tấn Siêng, Chuyên đề giải toán hình học không gian, Nhà

xuất bản Tổng hợp TP Hỗ Chí Minh

16 Nhóm Cự Môn, Bài giảng chuyên sâu toán THIPT Đại số và Giải tích 11, Nhà xuất bản Hà

Nội 2011

17 Nhóm Cự Môn, Bài giẳng chuyên sâu toán THPT Hình học T1, Nhà xuất bản Hà Nội 2011

18 Trần Anh Dũng, Nguyễn Thành Dũng, Bài tập trắc nghiệm Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007

19 Nguyễn Tất Thu, Giải toán theo chuyên đề trọng điểm Hình Học 1ï, Nhà xuất bản

Công Phá Toán 2 More than a book

MUG LUC

CHU DE 1: HAM SO LUQNG GIAC VA PHUONG TRINH LUONG GIAC viessccssccssseccssesescsseveccsseeess 15

Góc lượng giác và công thức lượng giác - Ăn 211112 tre 15

EU “ ố 17

A, Lý thUYẾT LH, H1” 0111211 11 TT TT 011g 17

B Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác nhe 22

€ Bài tập rèn luyện kỹ năng

Phương trình lượng giắc - c2 L 222 ng H110 1T HH de

Bài tập rèn luyện kỹ năng

CHU DE 2: TO HOP — XAC SUAT -oescesesssssssssesssessssecevecscossecsesesssvecessersssecescenssarsecsssrateseccerssavecsssenss 107

B Các dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Newton 125

C Bài tập rèn luyện kỹ năng cu Sàn Hà Hà Hà Hi, 135

Wap nẽnốốẽố.ố.ốẽ.ẽ.ẽẻ 142

B Các dạng toán về xác suất - ch HH HH 0111110111121 ke 144

C Bai tập rèn luyện kỹ năng cu nh ro 152

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG ~ CẤP SỐ NHÂN .2.22c- 2222 vEtE12111111122121111e 1e 159

Phương pháp quy nạp toán học HH, HH TT TT HH TH nhàn 159

Á, Lý thUYẾT LH HH HH 111411811 111111 re 159

¡e0 000i 0n ố.ố ốốốố dd 159

Mục lục The best or nothing

C Bài tập rèn luyện kỹ năng L2 c1 S9 4 22212 12T kg H3 HH di nâu 173

B, Các dạng toán về cấp số nhân nọ 02 re, 194

C Bai tập rèn luyện kỹ năng cá nh HH HH Hàn HH1 0 1H cv 199

Giới hạn dãy số

[Nhu sẽ 204

B Các dạng toán về giới hạn dãy số vàn 221112 102 xe 206

€ Bài tập rèn luyện kỹ năng L2 L2 HH HH ng Hàn HH HH H0 k6 222

GiGi Man cla HAM 0 a.4 231

A Lý thUYẾT HH HH HH Hà KH TH TH HH TH H014 1111011101011 10 231

B Các dạng toán về giới hạn hàm số - Là HH.HHH,.20001 0121k e 234

€ Bài tập rèn luyện kỹ năng HH HH Hà 40201111211 111 258

B, Cac dang toán tính đạo hàm bằng dinh nghia occ teseseenereseeereeserneneee 280

C Bài tập rèn luyện kỹ năng

Các quy tắc tính đạo hàm cành TH HT TH 12001111 He 289

N ch h ‹4<‹{1.BHHHHHHA 289

B Các dạng toán về quy tắc tính đạo hầm che 289

C Bài tập rèn luyện kỹ năng ch n2 H221 1H01 11114 299

Vi phân: Đạö hầñï cấp caö

-Céng Pha Toan 2 More than a book

B., Các dạng toán về vi phân và đạo hàm cấp cao

C Bài tập rèn luyện kỹ năng HH Hà HH HH HH te 316

B Các dạng toán về tiếp tuyến với đổ thị hàm số -.- series 321

€C Bài tập rèn luyện kỹ năng 7-2 <1 kg HH HH TH Hưng 325

CHỦ ĐỀ 6: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 329

009801100 329

Phép tịnh tiến Ánh HH HH HH TL TH TH TT g0 1 HT Hy 329

B Các dạng toán về phép tịnh tiến Làn HH H011 114111112kerrer 330

C Bai tập rèn luyện kỹ năng HH HH H1 HH HH HH1 rrưy 337 Đọc thêm: Phép đối xứng trục - Phép đối xứng tâm «Sen 343

Mục lục The best or nothing’

CHU DE 7; DUONG THANG SONG SONG VỚI MẶT PHANG QUAN HE SONG SONG 384 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng c2 812122 xe 384

B Các dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng .- sen 387

€ Bài tập rèn luyện kỹ năng Ăn, HH Hà HH Ha Họ Hot Ho Hàn 391

Đường thẳng song song với đường thẳng cọ HH He 403

A LY thuy€t n6 ố 403

B Các đạng toán về đường thẳng song song với đường thẳng

€ Bài tập rèn luyện kỹ năng, HH HH Hưng tieu 409

Đường thẳng song song với mặt phẳng, HH 10110 1112 sec 417 lu) 7 417

B Cac dang toán về đường thẳng song song với mặt phẳng 418

€ Bài tập rèn luyện kỹ năng

Mặt phẳng song song với mặt phẳng

B Các dạng toán về mặt phẳng song song với mặt phẳng

C Bai tập rèn luyện kỹ năng .- Tàn HH HH Hà Han tá Hà 438

CHỦ ĐỀ 8: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC .-.c+65<26622ccsccre 446

Vectơ trong không gÌani cành HH HH HH HH HH TH HH HH kh 446

na 446

B Các bài toán về vectơ trong không gian

C Bai tap 0) 6v sẽ 451 Góc giữa hai đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc .tnneiehieec 455

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Hai mặt phẳng vuông góc Góc giữa hai mặt phẳng LH Ha He, 462

Bài tập rèn luyện kỹ năng tính góc trong không gian c.eoHehe 467 Khoảng Cách Ặ LH HH Hàn Hà HH KH LH Là HH KH HC LH g0 11L 474 ALLY thuyét a3 474

B Các bài toán về khoảng cách

€ Bài tập rèn luyện kỹ năng uc 2 HH HH Hà HH HH HH Hư 487

TRA CÚU THUẬT NGỮ

Công Phá Toán - Lớp 11 More than a book

CHU DE 1:

HAM SO LUGNG GIAG UA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG BIÁ0

M B 1 Giá trị lượng giác của cũng œ

1 Các giá trị sinœ; cosœ xác định với mọi œ e lR Và ta có:

sin (a + k2n) =sina, Vk eZ;

cos(œ+ k2n) =cosa, Vk eZ

2 —1<sing <1; —1<cosơ <1

3 tanœ xác định với mọi ant +kn (kez)

4 cota xác định với moi a #kn,(k eZ)

Il I cung AM =a trén duwong tron lugng gidc (hình 1.2)

sina: + sina:+ Ta có bảng xác định đấu của các giá trị lượng giác như sau:

tanœ:+ tanœ:— cotœ + _ —

Hình 1.3 Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác

sin(x+y) =sinxcosytcosxsiny sin x =sin(n-x) cos(xty)=cosxcosy¥sinxsiny cos+x =~cos(x — %)

Từ bảng giá trị lượng giác các

cung đặc biệt ở bên ta thấy

một quy luật như sau để độc

V0 dén V4 Ngược lại đối

với giá trị cos, tử số giảm

1z tanz tan Công thúc đặc biệt

sin x+cosx = Bsin{ 1+) = Picos{ «-)

2

Góc chia ba

sin? x= 4(3sinx—sin3x) cos? x= : (3cos x +cos3x)

cosx—cosy =—2sin

sinxcosy = =[sin(x-y)+sin(x+y)] sinx+siny =2sin—* cos—=

sinx—sin y = 2cos Xe sin 2

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực z với côsin (cos) cua góc lượng giác

có số do radian bằng x duoc gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y =cosx

Khi z tăng từ 5 đến ỹ thì điểm A⁄ chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B“ đến B và điểm N chạy đọc trục sin từ B' đến B, ta thấy ON =sinx tăng đần từ ~1 đến 1

Khi x tăng từ 5 đến œ thì điểm M chay trén diving trdn

lượng giác theo chiều đương từ B đến A' và điểm N chạy

đọc trục sin từ B đến O, ta thấy ON =sinx giảm đần từ 1

trên mỗi khoảng

© pom oT 4 kom ,keZ

Nhận xét: Do hàm số =sinx là hàm số lẻ trên R và tuần hoàn với chu kì 2m

nên khi vẽ đồ thị hàm số =sinx trên R ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn

[0;x ],sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số

1 =sinz trên đoạn [— x] , cudi cling, tinh tiến đồ thị vừa thu được sang trái

và sang phải theo trục hoành ta được các đoạn có độ đài 2z; 4mr,

~ Tuần hoàn với chu kỳ 2m

- Đồng biến trên mỗi khoảng (-z + k2 + kan), keZ

- Nghịch biến trên mỗi khoảng ( © + 42m) = \ 3 +k2n|,k eZ TH.

trái một đoạn có độ dài Z ta được đồ thị hàm số y=cosz

Bảng biến thiên của ham sO y=cosx trén [=n:; r| :

~ Là một đường hình sin - Tuần hoàn với chu kỳ 2,

- Đồng biến trên mỗi khoảng (—x +k2m k2n),k eZ

- Nghịch biến trên mỗi khoảng (k2m T+ k2n), keZ,

Va đồ thị của nó cũng là một đường hình sin

Tương tự hàm số = acos(ax+b)+c,(a, b,c, aE R, awe 0) cũng là một hàm

tuần hoàn với chủ kì cơ sở a và đồ thị của nó cũng là một đường hình sin li

Ứng dụng thực tiễn: Dao động điều hòa trong môn Vật lý chương trình 12

ELOVEBOOK.VNL19

Chỉ fe để 1: Hàm sế lượng giác và phương trình lượng giác the best or nothing

2 Hàm số =tanx và hàm 86 y =cotx

trục côlang — |B s⁄ Với D,= m5+ knlke 2}, quy tắc đặt tương ứng mỗi số xe D,

M T 'với số thực tanx= oak được gọi là ham s6 tang ki hiéu Ja y = tanx

+ 5 = - Hàm số = tanx có tập xác định là D,

Ÿ Voi D, =R \ flere € a, quy tắc đặt tương ứng mỗi số xe D, với số

B = thực cotx= Ta được gọi là hàm số côtang kí hiệu là =cotx Hàm

Nhận xét:- Hai ham sé y =tanx va =cotx là hai hàm số lẻ

~ Hai hàm số này là hai hàm số tuần hoàn với chu kì 1

a) Hàm số 1 =tanz

Sự biến thiên: Khi cho z=(O4,OM) tăng từ =2 đến 7 thì điểm M chạy trên

đường tròn lượng giác theo chiêu dương từ B“ đến B (không kể B và B) Khi đó

điểm 7 thuộc trục tang 4£ sao cho AT =tanx chạy doc theo At, nén tanx tang

tlr -co d&n +co (qua giá trị 0 khi x=0)

Nhận xét:

Hàm số y = tan + đồng biến trên mỗi khoảng [-Z+4 $+ keZ

D6 thi cia ham sé y = tan x nhận mỗi đường thẳng x= 5 + kn,(k € Z) làm một

đường tiệm cận

Đồ thị hàm số

Nhận xét:Do hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R và tuần hoàn với chu kì œ

nên khi vẽ đồ thị hàm số = tanzx trén R ta chi cần vẽ đồ thị hàm số trên đoạn

[oz] sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số

ÿ =tan+ trên đoạn E iE] „ cuối cùng, tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái

và sang phải theo trục hoành

Công Phá Toán - Lớp 11 More than a book

- La ham số tuần hoàn với chu kì 2 - Có tập giá trị là IR

- Đồng biến trên mỗi khoảng | —~+ kn;~ + kx |,keZ 8 8-5 thus

- Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x= 5 + kn,(k c2) làm một đường tiệm cận

~ Là hàm số tuần hoàn với chu ki 2 - Có tập giá trị là 1

- Nghịch biến trên mỗi khoảng (kn;x+ kn),k e/Z

- Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x= kn(K eZ) làm một đường tiệm cận

EfOWVEPnOEV VNII 21

Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

B Các dạng toán liên quan đến hàm số Lượng giác me: toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Đối với hàm côsin, trong

một chu kỳ tuần hoàn của

hàm số [0,2m] tồn tại hai

góc có số đo là ; va =

cùng thoả mãn

cost = cos = =5 chinh vi

thế ta kết luận được điều

kiện như vậy Từ đây bạn

đọc có thể đưa ra lập luận

cho sin, tan, cot, tr dé dua ra

tổng kết ban đầu cho giải

phương trình lượng giác cơ

B Hàm số y =sinx;y=cosx xdc định trên R, như vậy

)| xác định khi và chỉ khi u(x) xác định

3 F(x}=

y= sin| (x)|: y= cos|x (x

* y=tan [x (z)| có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xac dinh va

2 f(x)=ff,(x).(meZ), didu kién:* f(x) cd nghia va ƒ (x)>0

i(meZ), điều kiện: ƒ (x) có nghĩa và ƒ (x}>0

cosx # cos— kart kan

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số y= —L— tại

2cosx—1

VÀ x= = ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chon A

chút thi sé thay ham cosx

xac dinh véi moi xeR

Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây

An (ag gan X =5 thi máy báo lỗi, tương tự với trường hợp X= = Từ đây

suy ra hàm số không xác định tại z= 3 x= =

x# km

keZ

sinx #0 sinx-1#0 xe 2 +k2n’

sinxz0©a| xem sinx # sina x#ntk2n “` sxưzkn,ke7

Trong vi dy trén ta có thể gộp hai họ nghiệm k2n uà n+k2n thành kn dựa theo lú thuyết sau:

Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng

giác

* x=œ+ k2n,keZ được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác

* x=a+kn, keZ duoc biéu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua O trên đường tròn

lượng giác

k2n

* x=œ+ 3 ke? được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh của

một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác

*x=ự+ kan ,keZ,neN* duoc biéu dién boi n điểm cách đều nhau, tạo thành ø đỉnh

2017 là một số nguyên đương, do vậy hàm số đã cho xác định khi tan2x xác

định =2xv 5 +kn, keZ core tthe, keZ

Tương tự ta có thé chon ngay dap dn cho vi du 6

Mặt khác ta có -1<cos2017x <1 nén 1—cos2017x>0, VxeER

Tương tự ta có bài toán sau:

Vi du 9: Dé tim tap xac dinh cia ham sé y=tanx+cosx, mot hoc sinh da giai

theo các bước sau:

Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D2 =lR\ l +kn; kn|k € z}

Bài giải của bạn đó đã đúng chưa? Nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào?

A Bài giải đúng B Sai từ bước 1

C Sai từ bước 2 D Sai từ bước 3

(do sinx>-1,VxR)œx# =2 +k2n,k €7,

LOVEEBOOK.VNL 25

đấu tam thức bậc hai

“trong trái ngoài cùng”

Tức là trong khoảng hai

nghiệm thì cùng dấu với

Với ScD, (la tập xác định của hàm số f (x)) thi

* f(x)smVvxe5 <> max f(x)<m * f(x)2m,vxeS min f(x)2m

* Bx, €5, f(x) )<m <= min f(x)<m * ax, eS, f(x.) 2m <= max f(x)2m

Ví dụ 1: Cho hàm số h(x) =sin' x+cos` x— 22m sin xcosx Tất cả các giá trị cua cha m

để hàm số trên xác định với mọi số thực z (trên toàn trục số) là

g(x) =(sin’ x) +(cos” xy —m.sin 2x

=(sin’? x+cos* xy —2sin? x cos? x-msin 2x

=1-sin? 2x—msin 2x Dat t=sin2x = te[-1;1]

Ham sé h(x) xác định với mọi xe R = g(x)20,vxeR

oie ~m‡+1>0,Vte[~1;1]

<P +2mt-2<0,vte[-1,1]

Dat f(t)=0? +2mt~2 trén [-1;1]

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị ở bên

Ta thấy max ƒ)= (1) hoặc max f@)=/(-9

ycht © f(t)=2? +2mt-2<0, vt e[-1)1] > max f(t) <0 [a]

Công Phá Toán - Lớp 11 More than a book

nghiệm phân biệt f;£, (!, <,)

THä: A >0 © mẺ -s»ee] khi đó tam thức ƒ (£)= 2£? ~ mf+1 có hai

i>

2

1964 — 1e mề ~8 <m~4(VN) + |ưệ ~8

4

Để f(t) >Ũ;Vie [-1: 1] thi

t,<-le <-1e> vin? -8 <-m-4(VN)

Vậy me(-2V2;2V2) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Định nghĩa

Cho hàm số y= f(x) xac

dinh trén tap D

a Ham số y=ƒ(x) được

gọi là hàm số chẵn nếu với

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

* Nếu D là tập đối xứng (tức Vxe D=>~x s D), thì ta thực hiện tiếp

2 Hàm số y=cosx la ham sé chan trén D=R

3 Hàm số y =tanx là hàm số lẻ trên D -R\(Es knlk é 2}

4 Hàm số =cotz là hàm số lẻ trên D=}#\{kn|k eZ}

Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A.y=-2cosx BĐ.=-2sinzx C, y =2sin(-x) D y=sinx—cosx

Ví dụ 2: Xét tinh chẵn lẻ của ham 86 y= 2% thi y= f(x) là 2cosx—3

Ví dụ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số 1= ƒ() = coo 3) sn( 2x -§) ta được y= f(x) la:

see

STUDY TIP

Khi xét tính chẵn lẻ của

hàm số ta cần chú ý xét tập

xác định đầu tiên để giải

quyết bài toán một cách

a Xé am sO f(x) zag * sin’ x C6 tap xéc dinh la \{3}

Ta có x=-3eD nhưng -x=3+ D nên D không có tính đối xứng Do đó ta kết luận hàm số f(x) không chẵn không lẻ

Ta có ƒ(—x)=sin”” (—x)+ cos(~nx)= ~sin?” x + cosntx # + ƒ (*)

Vậy hàm số đã cho là hàm không chẵn không lẻ

6 Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ

Số phát biểu đúng trong sáu phát biểu trên là

Hàm số da cho xac dinh khi cosx #0 @x¥# a tkn, keZ Vay phat biéu 1 sai

0 đây ta chú ý: các phát biểu 2; 3; 4; 5; 6 để xác định tính đúng sai ta chỉ cần đi

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn Suy ra đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua

trục Ởy Vậy chỉ có phát biểu 2 và 3 là phát biểu đứng Từ đây ta chọn B

Hàm số đã cho xác định trên tập D=R nên ta loại A

Tiếp theo để xét tính đối xứng của đồ thị hàm số thì ta xét tính chẵn lẻ của hàm

Vi dụ 7: Xác định tất cả các giá trị của tham số r để hàm số

y=f (x) =3msin4x+cos2x 14 ham sé chan

Cach 1: TXD: D=R Suy ra Vx e D=>-x ED

Ta có f(-x) =3msin (-4x) +cos (-2x) =—3msin 4x + cos2x

Để hàm số đã cho là hàm số chẵn thì

f(-x) = Ff (x),vx eD&3msin4x + cos2x =—3msin4x + cos2x, Vx e D

© 6msin4x =0,Vxe Dom=0

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Với bài toán này ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để thử các giá trị

Với A và C, ta thử một trường hợp sẽ loại được trường hợp còn lại, tường tự với B và D Ở đây ta sử dụng CALC để thử tại giá trị x và —z

Vi dụ: Nhập vào màn hình như hình bên Ấn CALC để gắn các giá tri cho m Ta thử với m=0 thì ấn @) &)

Chon x bat ki, sau đó làm lại lần nữa và gán x cho -x ban đầu và so sánh (ở đây ta thử với x=5 và tai ~5.)

Ta thấy ƒ (x) =f (-x} Vậy C đúng Ta chọn luôn C và loại các phương án còn

lại

Công Phá Toán - Lớp 11 More than a book

<< tinh đơn điệu của hàm số lượng giác

A Hàm số đồng biến trên các khoảng [3] và (-z 2]

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3) ;nghịch biến trên khoảng (-j»)

C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng [-»-3] ; đồng biến trên

Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số

y=sinx nghịch biến trên (=3) và đồng biến trên (-z 2}

uf 20198 | faba TABLE dé giải bài toán

“1,570796saz| Ấn RØ[Z) Máy hiện ƒ(X)? thì ta nhập sinX

LOVEREROOK.VNI 3†

Chủ để 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing

hàm số không liên tục trên

(0:3) nam s6bigién doan

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-7:0) va (0; n)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (—n;0}và nghịch biến trên khoang (0;n)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (—n;0) và đồng biến trên khoảng (0;3)

D Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (-7:0) va (0;=)

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số =tan2x trên một chu kì tuần hoàn

Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên (0%) va (23)

B Hàm số đã cho đồng biến trên (03) va nghich bién trén khoang (§ 3]

C Hàm số đã cho luôn đồng biến trên (»‡]

D Hàm số đã cho nghịch biến trên (s‡] và đồng biến trên khoảng [z 3}

với hàm số y =tan2z đồng biến tên (0 ) #52) "

Đáp án A

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là D= RA +k5|ke 2}

Ham sé y=tan2x tuan hoan véi chu ky z dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên Is‡] \ ll'

Dựa theo kết quả khảo sát hàm số y = tanzx ở phần lý thuyết ta có thể suy ra

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng & 2Ì

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (»‡}

C Ham số đã cho đồng biến trên khoảng l§ in}

D Ham sé da cho nghich bién trén khoang ( 3)

Dap an D

Lời giải

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2r„ và kết hợp với các phương án đề bài

thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên [-#: =|

* Nghịch biến trên khoảng E

Từ đây ta suy ra hàm số =1-sinz:

* Nghịch biến trên khoảng (- 2i j}

* Đồng biến trên khoảng (§ 3m đây ta chọn D

Dưới đây ta có đồ thị của hàm số =1—sinx và đồ thị hàm số =sinx trên !R

nên ta có thể suy ra Step phù

ˆ hợp Trong bài gan Step = ;

LOVEBOOK.VN | 34

Chủ để 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing

Lời giải Cách 1:

Ta có v=sinx~cosx =8 x—

Từ đây ta có thể loại phương án C, do tập giá trị của hàm số là |-v2, v2

Hầm số tuần hoàn với chu kỳ 2œ, do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên

đoạn _1.7 :

4 4

Ta có: * Hàm số đồng biến trên khoảng (-z |

eT Ham sé nghich bién trén khoang 7 T Từ đây ta chọn A ok LẬP VÀ › đm 7m aA

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Tương tự như ở ví dụ 1 ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay chức năng MODE 7:

TABLE để giải bài toán 1

An §öB (7) Máy hiện ƒ(X)? thì ta nhập ƒ(x)=sin(X)—cos(X)

Chon START; END; STEP phù hợp ta sẽ có kết quả như hình dưới:

Từ bảng các giá trị của hàm số ƒ (x) trên ta thấy khi x chạy từ + ~-0,785 đến

= ~2,3561 thì giá trị của hàm số tăng dần, tức hàm số đã cho đồng biến trên

A Ham số =tan+x luôn luôn tăng

B Hàm số ÿ = tan+ luôn luôn tăng trong từng khoảng xác định

C, Hàm số ÿ = tanx tăng trong các khoảng (n+ k2n; 2n+ k2n), keZ

D Hàm số y = tanz tăng trong các khoảng (2m x+k2n), keZ

Đáp án B

Lời giải

Với A ta thấy phát hàm số 1= tanx không xác định với mọi xelR

nên tồn tại các điểm làm cho hàm số bị gián đoạn nên hàm số không

thể luôn tăng

Với B ta thấy B đúng vì hàm số tan+ đồng biến trên mỗi khoảng } (- + khổ + tr)* sZ Từ đây ta loại C; D

Công Phá Toán — Lớp 11 More than a book

truc Ox qua Ox

Hợp hai phần trên ta được

Như bài toán xét xem ham sé tang hay giam Ta lay x, <x, € («®)

Ta thay x, <x, €| — 5 thi sinx, >sinx, > sinx, -sinx, >0

SiN % —SIN% 9-5 ƒ(x,)< /(x,)-Vây y=—-L— là hàm tăng sinx

0>sinx, >sinx, > — 7

sin x, sin x, Tương tự ta có /= _— là hàm giảm Vậy I sai, II đúng

cosx

Cách 2:

Sử dụng lệnh TABLE để xét xem hàm số tăng hay giảm trên máy tính

Với hàm —_ ta nhập MODE 7: TABLE (f88(?))

sinx

Nhập hàm ƒ(x) như hình bên: @ bi} = START? x Nhap: Œ)

END? `”.( Nhập: ƒ#)(S]IEP] 0) [2)EE))

STEP? 0° (Nhập @ [1 [) E]) Ta thấy bảng liệt kê các giá trị cua ham sé y= a như hình bên Ta thấy gid tri cla ham s6 tang dan khi x

Ví dụ 8: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A y= [tana] đồng biến trong |-š ¡|

B.ự =|tana| là hàm số chẵn trên D= x {e +kn|k € Z|

C y=|tnal có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

D y= |tan3| luôn nghịch biến trong (-£: 3}

STUDY TIP

Với bài toán này ta có thể

không suy diễn đồ thị mà

làm theo hướng tư duy sau:

- Với À: = |anzl không xác

định tại x= + nên không

22

- Từ B suy ra C; Ð sai,

thể đồng biến trên [- ĐI

ROA CIS OE OH SORES AEE

Ta được đồ thị như hình trên Ta thấy hàm số y =|tanz| nghịch biến trên L i)

va déng bién trén (»‡} Nên ta loại A và D

Với B ta có f(-x)=|tan(—x)|=|tanz|= f(x)=> ham số y =|tana| là hàm số chẵn Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ, từ đây ta

chọn B

Khi bài toán không yêu cầu

tim min, max trén tap cụ thể

là Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số lượng giác

* Các kiến thức về giá trị lớn nhất, 7 Bia t tri nhé nhat

Cho ham sé y= = f(z xac dinh trén mién DCR

1 Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 1= ƒ (x) trên D nếu

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:

1 Tính bị chặn của hàm số lượng giác

2 Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa sỉn và cos

3 Bảng biến thiên của hàm số lượng giác

4 Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y=2017cos| 8x+-10 «2016, 2017

A miny =T;maxy = 4033 B miny =—I;maxy = 4033

C miny =1;maxy = 4022 D miny =-1;maxy =4022

Trong bốn phương án chỉ có hai giá trị max là 4022;4033

Chỉ có hai giá trị min 1a 1;-1

LOVEROOK VN/ 27

STUDY TIP

‘lrong bai todn ta chọn thử

hai giá trị trên vì 4033 là giá

trị lớn hơn và -1 là giá trị

nhỏ hơn nên ta thử trước

Nếu phương trình không

bài toán tổng quát phía bên

phải ta có thể nhớ theo điều

kiện có nghiệm của phương

trình bậc nhất theo sin và cos

như sau:

Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ

nhất của hàm số

y=asin[ f(x)]+bcos| ƒ(*)]+e

asin[ f(x)]+bcos[ f(x)]+e-y=0

Lúc này ta sử dụng chức năng (B)(GHIF I SOLVE) để thử giá trị:

Ví dụ ta nhập vào màn hình 2017cos| 8x + | +2016 = 4033 ta thấy phương

Để sử dụng tính bị chặn của hàm số ở trong STUDY TIP ta đưa ra ở trên, ta sẽ

đưa /=2cos? x—2V3sinxcosx+1 va theo sinu(x) hoặc cosu(x)

STUDY TIP

Nếu hàm số có dang

_ 8 SÌnzx + bị COSX + Cụ

7 4, Sinx +b, COSx + C, ta

tìm miền xác định của ham

số rồi quy đồng mẫu số, đưa

về dạng phương trình trong

STUDY TIP ở BTTQ phía

trên, và tiếp tục lời giải

| y=a.sin| ƒ(x) |+beos| ƒ(x) |+e- Ta có VP + tesysVe +h +0

Từ bài toán tổng quát trên ta có thể giải quyết nhanh bài toán ví dụ 2 từ đòng

(*) như sau: Ta có — 1+3+2<y<4+3+2e©0<y<4

Nhiều độc giả không lưu ý

đổi dấu của bpt thứ hai của

hệ khi nhân các vế với -1

Ta sử dụng điều kiện ở STUDY TIP trong bài tổng quát trên

Ta có 12+(2¬y) 2(3-2y) © 4y? ~12y+9—y?+4y~4—1<0

© 3y ~By+4<0 e2 <y<2

Cách 2: Sử đụng máy tính cầm tay

Tương tự như ở ví dụ J thi ta co thé str dung SHIFT SOLVE :

ng =2 thì phương trình có nghiệm Do 2 là số lớn nhất trong các

+COSZ

phương án A; B; C; D nên ta không cần thử trường hợp max =

Lúc này chỉ còn A và B Thử với miny= -ã thì không có nghiệm

Từ đây chọn B

Vi du 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số = Ysinx —Vcosx

A miny=—l;maxy=1 B miny =0;maxy =1

C miny =—1,maxy=0 Ð miny=0;max không tồn tại

Đáp án A

Lời giải 0<Â#sinx <1 ° 0<§sinz <1

0<\cosz <1 —1<~cosx <0 sinx=1 =x=5 +kÐn;ke7

STUDY TIP

Với các bài toán tìm GTLN-

GTNN cúa hàm lượng giác

ta có thể đưa về dạng

y=4?(x)+B>B

Nhưng cần lưu ý xem dấu

bằng có xảy ra hay không

STUDY TIP

Với các bài toán tìm min,

max cia ham số lượng giác

trên một đoạn ta thường

phải xét nhanh BBT để giải

quyết bài toán Ở chương

trình 11 ta chưa học đạo hàm

nên chưa giải quyết được

bài toán tìm GTLN, GENN

của hàm số sử dụng đạo

hàm Sau khi học xong đạo

hàm ta sẽ giải quyết bài toán

này nhanh chóng hơn

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=cot‘*a+cot*b+2tan’ a.tan?b+2

= (cot? a-cot? b) + 2.(cot a.cot? b + tan? a.tan? b— 2) +6

= (cot? a—cot 2pŸ + 2.(cot a.cot? b+ tan? a.tan? b—2.cota.cotb.tana.tan bì +6

=(cot? a- cot? b by +2(cota.cotb—tanatanb) +626

y 2a=cot? t? a =1

Dau bang xay ra khi S a=cot b o G 4

cota.cotb=tanatanb |cot?b=1 a= pat, (keZ)

Tiếp theo ta có uí dụ 6 la m6t cau héi khde cho vi du 2 nhw sau

Ví dụ 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

=2cos?x— 23 sinx.cosx +1 trén đoạn [oz] lần lượt là

A min y= 2;max= 3 5 min y= O;max y= 2

Từ đề bài ta xét xel| 0,22 |—„„e| 5,3m 12 32

Ta lập BBT của hàm số =2cosu+2 trên l3]

RNR A

STUDY TIP

Ta có thể sử dụng tính chất

của tam thức bậc hai để giải

các bài toán tìm min max

hàm lượng giác như sau:

bậc hai mà điều kiện không

phải Vxel thì ta phải lập

BBT dé tim min, max

Ví dụ 7: Tìm giá nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của ham s6 y=sin? x—sinx +2

A miny=";maxy=4 B miny = maxy=2

Cc miny=—L,maxy=1 DĐ mửn y =2 ,max =2

Đáp án A

Lời giải Đặt sinx=u,w e[T—1/1]

Xét hàm số =1ˆ —#+2 trên [-1:1]

Ngoài các phương pháp giải bài toán tìm GTLN - GTNN của hàm số lượng giác

ta rút ra được từ các uí dụ trên ta còn có phương pháp sử dụng bất đẳng thức cơ bản Phương pháp nàu được cơi là tmrột phương pháp khó vi doi hỏi tinh sang tao va kỹ thuật trong oiệc sử dụng bất đẳng thức

Dấu bã ấu bằng xảy ra khi „=7 ây ra khi —==

b Bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số