Sách Luyện Thi Đại Học Đầy Đủ 2009 mới

Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A... Tí

Trang 1

Ths Nguyễn Minh Tuấn Mobile 0.984.489.357

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG BAO GIỜ QUÊN

1 Hai cung đối nhau: -x và x

2 Hai cung bù nhau:  x và x

4 Hai cung hơn kém nhau Pi:   x và x

6 Công thức cộng lượng giác

cos( ) cos cos sin sin ; cos( ) cos cos sin sin

sin( ) sin cos sin cos ; sin( ) sin cos sin cos

Trang 2

cos cos 2cos cos ; cos cos 2sin sin

k v u

( k  Z ) cos u = cos v  u =  v + k2 ( k  Z ) tanu = tanv  u = v + k ( k  Z ) cotu = cotv  u = v + k ( k  Z )

2/ Phương trình đặc biệt :

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2  0

Chú í : + PT (1) có nghiệm  a2 + b2  c2

+ Nếu c=0 ta chia hai vế PT(1) cho cosx: a tanx + b =0 dễ hơn

+ Nếu a=b ta sử dụng cơng thức sinx cos 2 sin

Bài tập : A Giải các phương trình sau:

1) 3 cos x  sin x  2 , 2 cos x  3 sin x   1

3) 3 sin 3 x  3 cos 9 x  1  4 sin33 x, 4

4

1)4(cossin4  4  

x x

5)cos7xsin5x 3(cos5xsin7x), 6.tanx3cotx4(sinx 3 cos )x

7) 3(1 cos 2 ) cos

2sin

x

x x

Trang 3

B Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0

3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1

5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6 x cos2 x

3

4cos 

3 2 tancosx   x 8 5tan x -2cotx - 3 = 0

9 6sin 3 2 x cos12x 4 10 4sin4 x  12cos2 x  7

C Phương trình lượng giác cơ bản:

1.Tìm x0;14nghiệm đúng phương trình cos3x4cos 2x3cosx 4 0

2 2cosx1 2sin xcosxsin 2xsinx

3 cosxcos 2xcos3xcos 4x0

sin x sin 3x cos 2x cos 4x

5 Cho sin cos 4 sin 22 4sin2 7

sin xcos3x+cos xsin 3x sin 4x 7 2 2 2 2

sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x

8 sinxsin 3xsin 2xcosxcos3xcos 2x

x x

Trang 4

25 cos 3 tan 5x xsin 7x 26 sin4 cos4 1 

D Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

1 Tìm nghiệm trên 0; 2của phương trình sau: 5 sin cos 3 sin 3 3 cos 2

   24 1 tan x1 sin 2 x 1 tanx

E Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx:

1.Tìm 2 ;6

x    

  thoả cos7 x  3sin7x =  2

2 3sin 3 x  3 cos9 x   1 4sin 33 x 3 tan sin 2 cos 2 2 2 cos 1 0

Trang 5

cos sin

x

6 sin 2x2cos 2x 1 sinx4cosx 7 2sin 2xcos 2x7sinx2cosx4

8 sin 2xcos 2x3sinxcosx2 9  2

sin 2 3 cos 2 5 cos 2

x



4 sin x cos x  3 sin 4x 2 13 3 3 1

1 sin 2 cos 2 sin 4

2

14 tanx 3cotx 4 sin x 3 cosx 15 3 3

sin x cos x sinx cosx

4sin x cos x  4cos x sin 3 x  3 3 cos 4 x  3

TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Trang 6

x k2 4

Trang 7

25 Để phương trình: sin x 2 cos x 2

2  2  m có nghiệm, thì các giá trị cần tìm của tham số m là:

Trang 8

28 Phương trình sin x  cos x  2 sin 5x có nghiệm là:

Trang 9

x k 4

8

x k 4

Trang 10

x k 2

x k 4

53 Phương trình sin 3x cos 3x 2

cos 2x  sin 2x  sin 3x có nghiệm là:

Trang 11

56 Phương trình 2 2 sin x  cos x cos x   3 cos 2xcó nghiệm là:

x k2 6

x k2 3

x k2 3 2

x k 3

Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là:

Trang 12

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Hai quy tắc đếm

1 Qui tắc cộng: KHƠNG LIÊN TỤC, KHƠNG ĐẦY ĐỦ

2 Qui tắc nhân: LIÊN TỤC, ĐẦY ĐỦ

Bài 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:

a) gồm 6 chữ số b) gồm 6 chữ số khác nhau c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2

Bài 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về) Hỏi có bao nhiêu

Bài 3: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự

ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi) ĐS: Số cần tìm có dạng:  có 9.10.10 = 900 (số)

Bài 4: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng Hỏi có mấy cách

chọn lấy 1 bông hoa?

b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?

ĐS: a/ 18 b/ 15

Bài 5: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?

d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?

ĐS: a/ 3125 b/ 168 c/ 20 d/ 900 e/ 180000

Bài 6: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được

trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?

ĐS: 36

Bài 7: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng Hỏi

người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:

a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?

ĐS: a/ 35 b/ 29

Bài 8: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng:

ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ 5 cặp

Bài 9: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1 Có bao nhiêu cặp sắp thứ

tự (x, y), biết rằng: ĐS:

Bài 10: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:

a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số?

d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?

f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?

Trang 13

ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ 15 d/ 8 e/ 120 f/ 24

Bài 11: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:

a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?

c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? ĐS: a/ 100 b/ 60 c/ 36 d/ 52 e/ 48

Bài 12: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?

b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 ,

Bài 13: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán Thành lập một đoàn

gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?

Bài 14: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2

người cùng phái phải ngồi gần nhau

Bài 15: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng

màu không được ở gần nhau

II Hoán vị

1 Giai thừa:

= (p+1).(p+2)…n(với n>p) = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)

2 Hoán vị (không lặp):

Một tập hợp gồm n phần tử (n  1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử

Số các hoán vị của n phần tử là: P n = n!

P n (n 1 , n 2 , …, n k ) =

3 Hoán vị vòng quanh:

Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử

Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là:Q n = (n – 1)!

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

P  n P  n P   P P 

Trang 14

Bài 5: Giải các phương trình:

a) P2.x2 – P3.x = 8 b) ĐS:a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3

Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong các số đó có bao

nhiêu số:

a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?

c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?

Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9 Hỏi trong các số đó có

bao nhiêu số:

a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?

c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135? ĐS: a/ 24 b/ 96 c/ 6 d/ 118

Bài 8: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6

ĐS: 279999720

Bài 9: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn Các quyển sách đều

khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:

a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

Bài 10: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một

bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?

ĐS: a) Q 8 = 7! b) Q 7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách sắp xếp

Bài 11: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3

lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? ĐS:

Bài 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9

ĐS: 18

Bài 13: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong các số đã thiết

lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: 480

Bài 14: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:

a/ Bạn C ngồi chính giữa? b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? ĐS: a/ 24 b/ 12

Bài 15: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6

người, Đức 4 người Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi

1 6

Trang 15

a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?

ĐS: a/ 86400 b/ 2903040

Bài 17: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a/ 34560 b/ 120960

Bài 18: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó

phải có 5 em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400

Bài 19: Trên giá sách có 30 tập sách Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:

a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: a/ 2.29! b/ 28.29!

Bài 20: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3

lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 3360

Bài 21: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3

lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần ĐS: 5880

Bài 22: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu

số như thế nếu:

a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau? b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý? ĐS: a/ 120 b/ 3024

III Chỉnh hợp

1 Chỉnh hợp (không lặp):

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1  k  n) theo một thứ tự nào đóđược gọi

là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

 Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n

 Khi k = n thì = P n = n!

2 Chỉnh hợp lặp:

Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

A

k k n

Trang 16

Bài 8: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp

Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: Có cách

Bài 9: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không Hỏi

có thể có được bao nhiêu vectơ? ĐS: = 12 vectơ

Bài 10: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ có thể

sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh)

ĐS: = 132  n = 12

Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:

a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu:

a) Số gồm 5 chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?

Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)?

Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với:

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?

c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau? ĐS: a) 9 = 9.10 4 số

72

y

x x y x

143 04

143 ( 1, 2, 3, )4

n n

9.A

4 6

A

Trang 17

b) Có tất cả: = 9.10 5 số gồm 6 chữ số  Có 9.10 5 – 9.10 4 số c) Có 9.10.10.10 = 9000 số

Bài 15: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau?

Bài 16: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái

A, B, C, …, Z Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9 Hỏi:

a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đôi một khác nhau?

b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau?

ĐS: a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26  26 – 1 = 675 cách

Số cách chọn 4 chữ số: = 5040 cách

 Số biển số xe: 675  5040 = 3.402.000 số

b)  Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn

Chữ cái thứ hai: có 25 cách chọn

 Các cặp số lẻ giống nhau có thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9)

 Có 5 cách chọn 1 cặp số lẻ

Xếp một cặp số lẻ vào 4 vị trí  có cách

 Có 5 cách sắp xếp cặp số lẻ

 Còn lại 2 vị trí là các chữ số chẵn:

Chữ số chẵn thứ nhất: có 5 cách chọn

Chữ số chẵn thứ hai: có 5 cách chọn

 Có 26  25  5   5  5 = 487500 cách

Bài 17: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đó bằng 18?

b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó?

ĐS:Chú ý: 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8

18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7

18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6

Bài 18: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký Hỏi có

Bài 19: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét Có bao nhiêu cách

chọn nếu:

a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn)

b/ Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4

ĐS: a/ 55440 b/ 120

Bài 20: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí Có bao

nhiêu cách sắp xếp nếu:

a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau? b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?

c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau? ĐS: a/ 6! b/ 360 c/ 20160

Bài 21: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:

a/ Số chẵn b/ Bắt đầu bằng số 24 c/ Bắt đầu bằng số 345

A

2 4

C

2 4

C

2 4

C

Trang 18

d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1? ĐS: a/ 312 b/ 24.c/ 6 d/ 120 ; 480

Bài 22: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi

một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:

a/ n là số chẵn? b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1 ĐS: a/ 3000 b/ 2280

Bài 23: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3

b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1

c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4 ĐS: a/ 18 b/ 42000 c/ 13320

Bài 24: a/ Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số

1, 3, 4, 5, 7, 8

b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Tính tổng của các số này ĐS: a/ 37332960 b/ 96 ; 259980

Bài 25: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)

b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , 9 Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10

IV Tổ hợp

1 Tổ hợp (không lặp):

Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (1  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n

phần tử

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:  Qui ước: = 1

Tính chất:

2 Tổ hợp lặp:

Cho tập A = và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

3 Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:

 Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:

 Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: không có thứ tự

 Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp

Ngược lại, là tổ hợp

 Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k  n):

+ Không thứ tự, không hoàn lại: + Có thứ tự, không hoàn lại:

+ Có thứ tự, có hoàn lại:

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp

k n

A

Trang 19

HD: Biến đổi vế trái:

Vậy ta phải chứng minh:

Ta có:

Cho k lần lượt từ 1, 2, …, n Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm

HD:  Đặt u k = (k = 0;1;…;n)

Ta chứng minh: u k > u k+1 (*)

Điều này luôn luôn đúng  đpcm

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp Bài 1: a) Chứng minh: với n = 2m, k  m Từ đó suy ra là lớn nhất

2

n k

( 1)2

2

n n

n C

n



2



  k k 1

C C 

Trang 20

Vì nên lớn nhất b) Tương tự

Bài 2: Cho n > 2, p  [1; n] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

HD: Vì nên ta chi cần xét 1  p 

Vậy nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với = n

lớn nhất khi p = (nếu n lẻ) hoặc p = (nếu n chẵn)

Bài 3: Với giá trị nào của p thì lớn nhất

HD: Ta có: Tỉ số này giảm khi p tăng

 Nếu m chẵn: m = 2k  p  k +

Để ta phải có: p  k + , vì p, k  N nên chọn p = k

 Nếu m lẻ: m = 2k + 1  p  k + 1, ta sẽ có:

khi p = k + 1 

* Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác Ví dụ:

Có 25 học sinh Muốn lập thành những nhóm gồm p học sinh Tìm giá trị của p để được số cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó

* Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm có thể lập là

Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 do đó lớn nhất khi p = k + 1 = 13

Vậy p = 13, khi đó: số nhóm tối đa có thể lập: = 5200300

Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp Bài 1: Giải các phương trình sau:

C

1

p m p m

Trang 21

ĐS: a) x = 14 b) x = 3 c) x = 10 d) x = 17 e) x = 7

Bài 3: Giải các bất phương trình:

ĐS: a) đk: n  3, n 2 + n – 42 > 0  n  6 b)

 Xét với n  4: bpt vô nghiệm

 Xét n  {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)

114

336

x x x

3 1

114

n n n

C

P A

x

y y x

y x

x

A

C P

x y

 

 



178

x y

31:

Trang 22

ĐS:  Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:

 Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:

Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi

Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban

cán sự lớp gồm 4 em Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:

a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý b) Có 1 nam và 3 nữ c) Có 2 nam và 2 nữ

Bài 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo thành từ

5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy? ĐS: 20 ; 10

Bài 4: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và

dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn Một bì thư chỉ dán 1 tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?

ĐS: 1200

Bài 5: Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được:

a/ 4 viên bi cùng màu? b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh? ĐS: a/ 20 b/ 150

Bài 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên Hỏi có

Bài 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác

nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó:

a/ Có đúng 1 bông hồng đỏ? b/ Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?

ĐS: a/ 112 b/ 150

Bài 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên,

trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần ĐS: 544320

Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số:

a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?

b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?

a/ Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?

b/ Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ?

C C C125 15. 3 C C25 152 . 2 C C125 15. 3 C C25 152 . 2 C C25 153 . 1 C254 C404 C254 C154

Trang 23

toa có ít nhất 4 chỗ trống Hỏi:

a/ Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa

b/ Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên

ĐS: a/ 99 b/ 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999)

Bài 14: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh

Bài 15: Một bình đựng 5 bi xanh và ba bi đỏ Lấy một viên khơng hồn lại, lấy tiếp viên nữa Tính xác suất:

a Lần thứ nhất lấy được bi xanh, lần thứ hai lấy được bi đỏ

Bài 16: Bình đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ Lấy hai bi đồng thời Tính xác suất để:

Bài 17: Bình đựng 5 bi đen và 7 bi trắng Lấy 3 viên bi

a Tính xác suất chọn được hai bi trắng

b Lấy khơng hoan lại hai lần, mỗi lần một bi Tính xác suất để bi 1 trắng và bi 2 đen

II cho vào thùng III, sau đĩ lấy một quả ở thùng III cho vào thùng I

a Tính xác suất để thùng I cĩ 3 quả trắng và 3 quả đen

b Với xác suất lớn nhẩt thì thùng một cĩ mấy quả trắng, đen? ĐS: 92/270 b 136/220

Bài 21: Cĩ 25 quả cầu đen và trắng để trong 2 thùng Thùng nào cĩ nhiều quả cầu hơn thì cĩ nhiều quả trắng hơn Lấy từ mỗi thùng một quả Biết xác suất được hai quả trắng là 0,48 Tính xác suất để được một đen và

Bài 22: Một nhĩm cĩ 9 nam và 3 nữ

a Cĩ mấy cách chọn 4 người

b Tính xác suất để chọn được một nhĩm thì được nhĩm cĩ một nữ

c Cĩ mấy cách chia thành ba nhĩm, mỗi nhĩm cĩ 4 người Tính xác suất để mỗi nhĩm cĩ đúng một nữ

Bài 23: Cĩ 20.000 vé số Trong đĩ cĩ 1 giải nhất, 100 giải nhì, 200 giải ba, 1000 giải tư và 5000 giải khuyến khích Một người mua ba vé Tính xác suất để trúng một giải nhì và hai giải khyến khích

Bài 24 Cĩ 10 thăm trong đĩ cĩ một thăm cĩ thưởng Mỗi người rút một thăm Tính xác suất để người thứ hai

Trang 24

Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường nào đồng quy

Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

ĐS:  Số giao điểm:  Số tam giác:

Bài 2: Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng

a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm? b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?

c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?

d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?

ĐS: a) b) c) d)

Bài 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n  4)

a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?

b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy? ĐS: a)  n = 5

b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác:

Bài 4: Cho một đa giác lồi có n-cạnh

a/ Tìm số đường chéo của đa giác Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?

b/ Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?

c/ Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?

Bài 5: Tìm số giao điểm tối đa của:

a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên?

ĐS: a/ 45 b/ 90 c/ 335

Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân

biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2)

Bài 7: Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H

a/ Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H?

b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H?

ĐS: a/ 1140; 20 b/ 320 ; 80 (HVNH, 2000, khối D)

Bài 8: Có 10 điểm A, B, C, trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng

a/ Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua A hay B? b/ Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ĐS: a/ 45; 28 b/ 120 ; 36 ; 8

Bài 9: Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng

2 ( 1)2

Trang 25

hàng Nối p điểm đó lại với nhau Hỏi:

a/ Có bao nhiêu đường thẳng? b/ Chúng tạo ra bao nhiêu tam giác?

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T k+1 = ( k =0, 1, 2, …, n)

4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:

Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:

ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15

Bài 2: a/ Tìm hệ số của trong khai triển

b/ Tìm các số hạng giữa của khai triển

Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m <n)

ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa x k

4

1

x x

2

1

x x

Trang 26

Ta có: (x + y + z) n =

mà (y + z) n–k =  số hạng chứa xkym là:

Bài 4: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng đa thức:

ta sẽ được đa thức: Hãy xác định hệ số a9? ĐS:

Bài 5: Cho đa thức

Bài 7: Khai triển

a/ Tính hệ số a46? b/ Tính tổng ĐS: a/ a46 = 18654300 b/

Bài 8: a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức:

b) Tìm số mũ n của biểu thức Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và thứ 3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2 Tìm số hạng thứ 6?

Bài 9: Trong khai triển của nhị thức: , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau?

  k = 9 Vậy số hạng cần tìm là: T 10 =

Bài 10: a/ Tìm số hạng thứ 6 của khai triển

b/ Tìm số hạng chứa a7 trong khai triển

c/ Tìm số hạng giữa của khai triển

Trang 27

d/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:

e/ Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển

Bài 11: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau:

Bài 12: a/ Tìm số hạng của khai triển là một số nguyên

b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển

c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển

d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển

Bài 13: a/ Tìm số hạng thứ ba của khai triển nếu

b/ Trong khai triển theo lũy thừa tăng của x, cho biết : Tìm n và x?

Bài 14: a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba trong khai triển

b/ Cho biết tổng của 3 hệ số trên là 11 Tìm hệ số của x2

( x x )

13 3

x x

1 n.

x x



Trang 28

c/ Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển là 97 Tìm hạng tử của khai triển chứa x4 ĐS: a/ n = 11 b/ n = 9 ; 84 c/ n = 8; 1120x4

Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Tính các tổng sau:

Bài 3: Tính tổng sau:

ĐS : Ta có : (2x+1) 2n = Thay x = 1 ta được A + B = 3 2n = 9 n

Mặt khác, (2x–1) 2n = Thay x = 1 ta được A – B = 1

Từ đó suy ra: A = , B =

2 23

2

n k n

k n k

2

n

Trang 29

Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau:

ĐS: a) Khai triển (1+x) n = ; thay x = 6

b) Khai triển (3x+4) 17 ; thay x = 1

Dạng 3: Toán chia hết

Nếu a chia cho b có số dư là r thì a = bq + r

nên a n = (bq + r) n = b n q n + nb n–1 q n–1 r + … + nbqr n–1 + r n

Do đó a n và r n có cùng số dư khi chia cho b Tức là: a n r n (mod b)

Vậy nếu a r (mod b) thì a n r n (mod b)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n  Z+, ta có:

HD: a) Ta có 4 n = (3+1) n = 3 n + n.3 n–1 + … + 3n + 1  3n + 1 (mod 9) (vì 3 k 9 , k  2)

4 n + 15n – 1  3n + 1 + 15n – 1 (mod 9) = 18n (mod 9) Vậy 4 n + 15n – 1 9

b) 16 n = (1 + 15) n = 1 + n.15 + + … + n.15 n–1 + 15 n 1 + 15n (mod 15 2 )

Do đó: 16 n – 15n – 1  1 + 15n – 15n – 1  0 (mod 225) Vậy 16 n – 15n – 1 225

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n  Z+, ta có:26n+1 + 36n+1 + 56n + 1 7

HD: 2 6n+1 + 3 6n+1 + 5 6n+1 + 1 = 2(2 6 ) n + 3(3 6 ) n + (5 6 ) n + 1

= 2.64 n + 3.729 n + 15625 n + 1 = 2[(7.9 + 1) n – 1] + 3[(7.104 + 1) n – 1] + [(7.2232 + 1) n – 1] + 7

Do đó với mọi số tự nhiên p và q thì:

(7p+1) q – 1 = [(7p+1)–1].[(7p+1) q–1 + … + (7p+1) + 1]

nên biểu thức đã cho luôn chia hết cho 7

I Biến cố và xác suất

1 Biến cố

 Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử

 Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A A 

Biến cố chắc chắn: 

 Biến cố đối của A:

 Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)

 Hai biến cố xung khắc: A  B = 

 Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia

n n

\

A A

( )( )

n A

n 

B XÁC SUẤT ssSUẤT

Trang 30

Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

 P( ) = 1 – P(A)

 Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B)

Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8 b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ

c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn ĐS: a) P(A) = b) c)

Bài 2: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố:

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7 b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau

Bài 3: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi

lấy tiếp một viên nữa Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh ĐS:

Bài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính

xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh ĐS:

Bài 5: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là

, của người thứ hai là Tính xác suất để con thú bị bắn trúng ĐS:

Bài 6: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất của các biến cố sau:

a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm

c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm

Bài 7: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất của biến cố:

a) Cả 4 đồng xu đều ngửa b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa

c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa ĐS: a) b) c)

Bài 8: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy

được:

a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt

Bài 9: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi

cả 2 môn GVCN chọn ra 2 em Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi

Bài 10: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên 3 quả Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen

Bài 11: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ Tính xác suất để

2 em đó khác phái

Bài 12: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình Chọn ngẫu nhiên 3

em đi dự đại hội Tính xác suất để :

a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi

A

536

14

34

1

6

16

58

12

3

5

12

45

1

6

16

1136

2536

116

14

1116

Trang 31

c) Không có học sinh trung bình

Bài 13: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X Tính xác suất để:

a) Số đó là số lẻ b)Số đó chia hết cho 5 c)Số đó chia hết cho 9

BÀI TẬP XÁC SUẤT TỔNG HỢP Câu 1 Gieo hai con súc sắc

a) Mơ tả khơng gian mẫu;

b) Xây dựng các biến cố:

A: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”

B: “Cĩ ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

C: “Cĩ đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

c) Tính xác suất của các biến cố A, B, C

Câu 2 Gieo con xúc sắc cân đối 3 lần, tính xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện khơng quá hai lần

Câu 3.Một túi đựng 11 bi khác nhau gồm: 4 bi xanh, 7 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất để:

a/ Lấy được 2 bi cùng màu b/ Lấy được 2 bi khác màu

Câu 4 Một túi đựng 11 bi khác nhau gồm: 4 bi xanh, 7 bi đỏ Lấy lần lượt 2 bi, lấy xong viên 1 bỏ lại

túi, tính xác suất:

a/ Cả hai lần lấy, 2 viên bi đều đỏ b/ Trong hai lần lấy cĩ ít nhất 1viên bi xanh

Câu 5 Trên một kệ sách cĩ 12 cuốn sách khác nhau gồm cĩ 4 quyển tiểu thuyết, 6 quyển truyện

tranh và 2 quyển cổ tích Lấy 3 quyển từ kệ sách

a Tính xác suất để lấy được 3 quyển đơi một khác loại

b Tính xác suất để lấy được 3 quyển trong đĩ cĩ 2 đúng hai quyển cùng một loại

Câu 6 Một tổ cĩ 9 học sinh gồm 5 nam và 4 nữ

a/ Cĩ bao nhiêu cách xếp 9 học sinh đĩ vào một dãy bàn cĩ 9 ghế sao cho các học sinh nữ luơn ngồi gần nhau

b/ Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh Tính xác suất để:

+ Trong hai học sinh được chọn cĩ một nam và một nữ

+ Một trong hai học sinh được chọn là An hoặc Bình

Câu 7 Trên một kệ sách cĩ 8 quyển sách Anh và 5 quyển sách Tốn Lấy ngẫu nhiên 5 quyển Tính

xác suất để trong 5 quyển lấy ra cĩ:

a/ Ít nhất 3 quyển sách Tốn

b/ Ít nhất 1 quyển sách Anh

Câu 8 Cĩ 3 bình chứa 3 quả cầu trắng, 3 quả cầu xanh và 3 quả cầu đỏ Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên

ra một quả cầu Tính xác suất để:

Trang 32

a) Ba quả cầu có màu đôi một khác nhau; b) Ba quả cầu có màu giống nhau;

c) Hai quả có cùng màu còn quả kia khác màu

Câu 9 Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ

a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để:

i) Lấy được cả 3 viên bi đỏ ii) Lấy được cả 3 viên bi không đỏ

iii) Lấy được một viên bi trắng, 1 viên bi đen, 1 viên bi đỏ

b) Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi Tính xác suất để:

i) Lấy đúng một viên bi trắng ii) Lấy đúng 2 viên bi trắng

c) Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi Tính xác suất rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ

Câu 10: Có 10 nười gồm 6 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 6 người Tính xác suất để có 4 nam và 2

nữ được chọn

Câu 11: Tính xác suất để 12 người chọn ngẫu nhiên có ngày sinh rơi vào 12 tháng khác nhau

Câu 12: Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiờn 8 học sinh Tính

xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp

Câu 13 Có hai hộp Hộp thứ nhất đựng 1 bi đỏ, 2 bi vàng, 3 bi xanh Hộp thứ hai đựng 2 bi đỏ 3 bi

vàng, 4 bi xanh Lấy lần lượt từ hộp thứ 1 bi và từ hộp thứ hai lấy ra 2 bi Tính xác suất để

a Có đúng 3 bi đỏ b Có đúng 1 bi đỏ c Có 2 bi xanh và 1 bi vàng

d 3 viên bi phải cùng màu e 3 viên bi khác màu f Có ít nhất một bi vàng

Câu 14: Gieo đồng thời hai con xúc sắc Tính xác suất để :

a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 7 b) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 8

c) Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 2

Câu 15: Gieo đồng thời ba con xúc sắc Tính xác suất để :

a) Tổng số chấm xuất hiện của ba con là 8 b) Tổng số chấm xuất hiện của ba con là 11

Câu 16: Một khách sạn có 6 phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6 nam và 4 nữ

Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người Tính xác suất để :

a) Cả 6 người đều là nam b) Có 4 nam và 2 nữ c) Có ít nhất hai nữ

Câu 17: Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu đen Chọn ngẫu nhiên 6 quả

cầu Tìm xác suất để chọn được 3 quả trắng, 2 quả đỏ và 1 quả đen

Câu 18: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 tới 30 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tính xác suất để :

a) Tất cả 10 tấm thẻ đều mang số chẵn b) Có đúng 5 số chia hết cho 3

c) Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 số chia hết cho 10

Câu 19: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên Có 6 người nạp đơn trong đó có 4 nữ và 2 nam Khả

năng được tuyển của mỗi người là như nhau

a) Tính xác suất để cả hai nữ được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn

b) Giả sử Hoa là một trong 4 nữ Tính xác suất để Hoa được chọn Tính xác suất để Hoa được chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đã được chọn

Trang 33

Cõu 20: Một hũm cú 9 tấm thẻ đỏnh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiờn ra hai tấm thẻ Tớnh xỏc suất để

tớch của hai số trờn hai tấm thể là một số chẵn

Cõu 21: ở một nước cú 50 tỉnh, mỗi tỉnh cú hai đại biểu Quốc hội Người ta chọn ra ngẫu nhiờn 50

đại biểu trong số 100 đại biểu để thành lập một uỷ ban Tớnh xỏc suất để :

a) Trong uỷ ban cú ớt nhất một đại biểu của thủ đụ b) Mỗi tỉnh cú đỳng 1 đại biểu trong uỷ ban

Cõu 22: Tớnh xỏc suất để 12 người chọn ngẫu nhiờn cú ngày sinh rơi vào 12 thỏng khỏc nhau

Cõu 23 Trong một tuần lễ vừa qua ở thành phố cú 7 tai nạn giao thụng Tớnh xỏc suất để mỗi ngày cú

đỳng một tai nạn

Cõu 24: Trong lớp học cú 6 búng đốn, mỗi búng cú xỏc suất bị chỏy là 0,25 Lớp học đủ ỏnh sỏng

nếu cú ớt nhất 4 búng hỏng Tớnh xỏc suất dể lớp học khụng đủ ỏnh sỏng

Cõu 25: Xạ thủ A bắn 2 viờn đạn vào mục tiờu, xỏc suất bắn trỳng của A trong một lần bắn là Xạ

thủ B bắn 3 viờn đạn vào mục tiờu, xỏc suất bắn trỳng của B trong một lần bắn là Tớnh xỏc suất

ĐS: k=15, ĐS bài 30: 4/9 30/ Gieo một con sỳc sắc 3 lần Tớnh xỏc suất để ớt nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện như nhau

Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1 : Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh giỏi Văn và Toán của tr-ờng Gọi A là

biến cố : “Học sinh đó là học sinh giỏi Toán” , B là biến cố :“Học sinh đó là học sinh giỏi Văn ” Khi

đó biến cố A hợp B là :

a/ “ Học sinh đó là học sinh giỏi Toán và Văn ’’b/ “ Học sinh đó là học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn ’’ c/ “ Học sinh đó là học sinh giỏi Toán ’’ d/ “ Học sinh đó là học sinh giỏi Văn ’’

Câu 2 : Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh giỏi Lý và Hoá của tr-ờng Gọi A là

biến cố : “Học sinh đó là học sinh giỏi Lý ” , B là biến cố :“Học sinh đó là học sinh giỏi Hoá ” Khi đó biến cố A giao B là :

a/ “ Học sinh đó là học sinh giỏi Lý và Hoá’’ b/ “ Học sinh đó là học sinh giỏi Lý hoặc giỏi Hoá ’’ c/ “ Học sinh đó là học sinh giỏi Lý ’’ d/ “ Học sinh đó là học sinh giỏi Hoá ”

Câu 3 : Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh giỏi Văn và Toán của tr-ờng Gọi A là

biến cố : “Học sinh đó là học sinh giỏi Toán” , B là biến cố :“Học sinh đó là học sinh giỏi Văn ”

Mệnh đề nào sau đây đúng :

7109

Trang 34

a/ A và B là hai biến cố xung khắc

b/ A và B là hai biến cố xung khắc nếu có ít nhất một học sinh vừa giỏi Toán, vừa giỏi Văn

c/ A và B là hai biến cố xung khắc nếu có học sinh giỏi Toán và Văn

d/ A và B là hai biến cố xung khắc nếu không có học sinh nào vừa giỏi Toán, vừa giỏi Văn

Câu 4: Mệnh đề nào sau đây đúng :

a) Tập hợp mô tả biến cố A B là c) Tập hợp mô tả biến cố A B là

b) Tập hợp mô tả biến cố A B là d) a và b là đúng

Câu 5 : Mệnh đề nào sau đây đúng

a) Hai biến cố A và B là hai biến có xung khắc nếu và chỉ nếu

b) Hai biến cố A và B là hai biến có xung khắc nếu và chỉ nếu

c) Hai biến cố A và B là hai biến có xung khắc nếu và chỉ nếu

d) Hai biến cố A và B là hai biến có xung khắc nếu và chỉ nếu

Câu 6 :Mệnh đề nào sau đây đúng:

a) Nếu là biến cố đối của biến cố A thì A và là hai biến cố xung khắc

b) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì B là biến cố đối của biến cố A

c) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì A là biến cố đối của biến cố B

d) A và B là hai biến cố xung khắc khi và chỉ khi A là biến cố đối của biến cố B

Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng: Nếu thì ta có:

Câu 8: Cho không gian mẫu và các biến cố A và B Mệnh đề nào sau đây sai:

a) 0 b) c) P( ) = 0 d) P( ) = 1

Câu 9: Một hộp đựng bút bi chỉ khác nhau về màu: 6 bút màu đỏ, 4 bút màu xanhvà 3 bút màu tím

Gọi D là biến cố “ Chọn đ-ợc 3 bút màu đỏ “, X là biến cố “ Chọn đ-ợc 3 bút màu xanh”, T là biến cố

“ Chọn đ-ợc 3 bút màu tím “ và C là biến cố “ Chọn đ-ợc 3 bút cùng màu “ Mệnh đề nào sau đây

đúng:

a) C = DX b) C = D c) D = DXT d) C = DT

Câu 10: Một hộp đựng bút bi chỉ khác nhau về màu: 6 bút màu đỏ, 4 bút màu xanh và 3 bút màu tím

Khi đó, xác suất để chọn đ-ợc 3 bút cùng màu là:

a) P( C ) = b) P( C ) = c) P( C ) = d) P( C ) =

Câu 11: Một hộp đựng bút bi chỉ khác nhau về màu: 6 bút màu đỏ, 4 bút màu xanh và 3 bút màu tím

Khi đó, xác suất để chọn đ-ợc 3 bút khác màu là:

Câu 12: Cho P(A) = 0,4; P(B) = 0,3 và P(AB) = 0,5 Khi đó, ta có:

a) Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc

b) Hai biến cố A và B là hai biến cố không xung khắc

c) Hai biến cố A và B là hai biến cố không độc lập

0)(

B P

A P

B A B

A    



1 )

Trang 35

Câu 20: Bạn Xuân là một trong nhóm 15 ng-ời Chọn 3 ng-ời trong đó để lập một ban đại diện Xác

suất đúng đến phần m-ời nghìn để Xuân là một trong ba ng-ời đ-ợc chọn là:

A 0,2000 B 0,00667 C 0,0022 D 0,0004

Câu 23 : Lớp 12 có chín học sinh giỏi, lớp 11 có m-ời học sinh giỏi, lớp 10 có ba học sinh giỏi Chọn

ngẫu nhiên hai trong các học sinh đó Xác suất để cả hai học sinh đ-ợc chọn từ cùng một lớp là:

Trang 36

Câu 29 : Một hộp chứa 6 bi đỏ và 7 bi xanh Nếu chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp này, thì xác suất để

Câu 31 : Trong nhóm 60 học sinh, có 30 học sinh thích học Toán, 25 học sinh thích học Lí và 10 học

sinh thích học cả Toán và Lí Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ nhóm này Xác suất để đ-ợc học sinh này thích học Toán hay Lí là :

Câu 32 : Chiếc hộp : Hộp A chứa ba bi đỏ, 5 bi trắng ; hộp B chứa 2 bi đỏ, 2 bi vàng ; hộp C chứa 2 bi

đỏ, 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi lấy một bi từ hộp đó Xác suất đê lấy đ-ợc một bi đỏ là :

Câu 33 : Hộp A chứa ba bi đỏ và năm bi vàng, hộp B chứa năm bi đỏ và ba bi trắng, tám bi xanh

Thảy một con súc sắc Nừu đ-ợc số 3 hay 6 thì lấy một bi từ hộp A Nếu đ-ợc số khác thì lấy một bi

từ hộp B Xác suất để đ-ợc một bi đỏ là:

Câu 34 : Trên một kệ sách có 10 sách Toán và 5 sách Lí Lần l-ợt lấy 3 cuốn sách mà không để laị

trên kệ Tnhs xác suất để đ-ợc hai cuốn sách đầu là Toán và cuốn sách thứ 3 là Lí:

A Sơ đẳng B Chắc chắn C Không xảy ra Có xác suất là

Câu 37 : A, B là hai biến cố độc lập sao cho : P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,2 Xét các câu sâu đây:

Trong ba câu trên, câu nào đúng?

A Không có B Chỉ (I) C Chỉ (II) D Chỉ (II) và (III)

Câu 38 : A, B là hai biến cố độc lập Biết P = Tính P(B)

4

3 ) ( , 2



8 1

1 P AB 

Trang 37

Câu 45 : Có hai chiếc hộp : Hộp thứ nhất chứa một bi xanh, ba bi vàng Hộp thứ nhì chứa hai bi xanh,

một bi đỏ Lấy từ mỗi hộp một bi Xác suất để đ-ợc ha bi xanh là :

Trang 38

Câu 4: Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?

Câu 10: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi Hỏi

có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho bạn An và bạn Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế?

Câu 11: Cho các phát biểu sau:

a) Số phần tử của tập hợp hữu hạn được ký hiệu là hoặc

b) Nếu và là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của tập bằng số phần tử của cộng với số phần tử của

c) Chỉ có một quy tắc đếm cơ bản à quy tắc cộng

49

59

Trang 39

Câu 17: Quy tắc cộng còn có thể được phát biểu dưới dạng:

A Nếu và là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của tập bằng số phần tử của cộng với số phần tử của

B Nếu và là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của tập bằng số phần tử của cộng với số phần tử của

C Nếu và là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của tập bằng số phần tử của cộng với số phần tử của

D Nếu và là hai tập hợp hữu hạn không hợp nhau thì số phần tử của tập bằng số phần

tử của cộng với số phần tử của

Câu 18: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau?

0;1;2; 3; 4;5;6;7; 8;9

A A

Trang 40

Câu 24: Cho tập Từ tập có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?

Câu 34: Cho các phát biểu sau:

b) Khi sắp xếp phần tử của tập hợp với theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập

n A

n k

Định dạng
Số trang	363
Dung lượng	9,22 MB