luận văn thạc sĩ TIÊU CHUẨN về ĐAN r¨i CHO hệ BA MODE

Hai ông xây dựng hệ thức bất định từ việc định nghĩa các toán tử, sau đó sử dụng phép chuyển vị từng phần để đưa về các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để dò tìm đanrối trong các hệ hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-LÊ THANH TUẤN

TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như đã trình bày, các trạng thái bị rối là nguồn có giá trị đối với tínhtoán lượng tử và thông tin lượng tử Tuy nhiên, giới hạn giữa các trạng thái bịrối và các trạng thái chia tách được vẫn chưa thực sự rõ ràng, các đặc trưngcủa trạng thái bị rối vẫn chưa được tìm ra một cách đầy đủ và chính xác Cóthể nói những tiêu chuẩn của Horodecki và Peres đã làm tiền đề cho việc tìmkiếm các tiêu chuẩn phát hiện rối trong các hệ sau này, trong đó có tiêu chuẩnđan rối cho hệ hai mode của Agarwal G S và Asoka Biswas Hai ông xây dựng

hệ thức bất định từ việc định nghĩa các toán tử, sau đó sử dụng phép chuyển

vị từng phần để đưa về các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn để dò tìm đanrối trong các hệ hai mode Về nguyên tắc, các đại lượng có mặt trong bất đẳngthức và độ bất định của chúng là có thể đo lường được, do đó các điều kiện màhai ông đưa ra có thể được sử dụng để phát hiện rối trong phòng thí nghiệm

Ở đây các điều kiện được biểu diễn trong các số hạng của biến liên tục dẫnđến một họ các điều kiện khác cho việc phát hiện rối

Vấn đề về rối lượng tử đang là một vấn đề thú vị và thu hút được sự chú

ý hiện nay bởi còn nhiều điều chưa được khám phá và những ứng dụng cực

kỳ to lớn của nó Được sự hướng dẫn của TS Trương Minh Đức, tôi đã tìmhiểu những vấn đề liên quan về rối và thấy đây là một đề tài thực sự hấp dẫn.Trên cơ sở những tài liệu đã tìm hiểu, tôi chọn đề tài "TIÊU CHUẨN MỚI

VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ BA MODE", với mong muốn tìm ra những tiêu chuẩnmới để phát hiện rối trong các hệ ba mode và áp dụng những tiêu chuẩn đónghiên cứu tính chất rối của một số trạng thái phi cổ điển

2 Mục tiêu nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu tiêu chuẩn mới vềđan rối cho hệ ba mode, sau đó áp dụng tiêu chuẩn mới tìm được để nghiêncứu tính chất rối của một số trạng thái ba mode phi cổ điển như trạng thái

|GHZi, trạng thái chân không bị nén ba mode, trạng thái kết hợp bộ ba.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Từ nhũng mục tiêu cần đạt được của luận văn thì nhiệm vụ nghiên cứu

cụ thể như sau:

• Trình bày những vấn đề chung liên quan đến rối lượng tử.

• Giới thiệu về tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G S và

Asoka Biswas

• Đưa ra được tiêu chuẩn đan rối mới cho hệ ba mode.

• Áp dụng các tiêu chuẩn tìm được để dò tìm đan rối đối với một số trạng

thái phi cổ điển

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu và đưa ra tiêu chuẩnmới về đan rối cho hệ ba mode, trên cơ sở đó áp dụng để nghiên cứu tính chấtđan rối của một số trạng thái phi cổ điển

5 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu

lý thuyết, cụ thể sử dụng kiến thức các môn học như cơ lượng tử, lý thuyết

trường lượng tử, vật lý thống kê để xây dựng các bất đẳng thức và tính cáctrị trung bình.

Để thực hiện tính toán, đề tài sử dụng phần mềm tính toán và vẽ đồ thịMathematica

6 Bố cục luận văn

Sau phần mở đầu, luận văn được tiếp tục bằng Chương 1 Chương nàytrình bày một số vấn đề tổng quan như ma trận mật độ, trạng thái thuần vàtrạng thái hỗn hợp, tiêu chuẩn chia tách được của trạng thái hỗn hợp, chuyển

vị từng phần, một số trạng thái phi cổ điển Trong Chương 2 trình bày về tiêuchuẩn đan rối trong các hệ hai mode của Agarwal G S và Asoka Biswas, quátrình xây dựng và đưa ra tiêu chuẩn đan rối mới trong các hệ ba mode TrongChương 3 chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn tìm được để nghiên cứu tính chất rốitrong một số trạng thái phi cổ điển Phần kết luận tóm tắt các kết quả chínhcủa luận văn, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo Cuối cùng là phần Tài liệutham khảo và Phụ lục

Các kết quả chính của Luận văn được thể hiện trong bài báo đã đượcnhận đăng trong tạp chí Khoa học và Giáo dục của trường Đại học Sư phạm

- Đại học Huế

Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không thể biết được trạng thái Ψ

mà chỉ biết được xác suất PΨ để hệ ở trạng thái Ψ Trong trường hợp đó, takhông chỉ cần tính trung bình lượng tử mà còn tính trung bình theo tập hợpthống kê Thay vì phương trình (1.1), bây giờ ta có

1.2 Trạng thái thuần và trạng thái hỗn hợp

1.2.1 Trạng thái thuần (pure state)

Nếu một hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tácgiữa hệ với trường ngoài đã biết chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử đượcgọi là trạng thái pure, còn gọi là trạng thái thuần, trạng thái sạch hoặc trạngthái tinh khiết Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng tháithuần" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này Lúc đó giá trị trungbình của một đại lượng được tính theo công thức (1.1)

Trong trường hợp này, tất cả PΨ = 0 ngoại trừ trạng thái Ψ0, do đó matrận mật độ có dạng

Đối với trạng thái này, ma trận mật độ có những tính chất sau

Tính chất 1: hAi = T r(ρA), với T rX = Pl hl|X|li.

Tính chất 2: T r(ρ) = 1.

Tính chất 3: ρ2 = ρ, T r(ρ2) = 1.

Tính chất 4: ρ = ρ+.

1.2.2 Trạng thái hỗn hợp (mixed state)

Nếu hệ lượng tử không cô lập và tương tác với các hệ xung quanh khôngxác định được một cách chính xác, khi đó chúng ta không thể giải phương trìnhSchrodinger để xác định hàm sóng của hệ, do đó trạng thái của hệ được gọi làtrạng thái mixed Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng cụm từ "trạng tháihỗn hợp" để đặc trưng cho trạng thái của hệ lượng tử này Để mô tả hệ lượng

tử trong khuôn khổ cơ học lượng tử, ta xét cả hệ đang xét (gọi là hệ con) vàcác hệ xung quanh tương tác với nó (gọi là hệ lớn) Khi đó ta có thể dùng kháiniệm hàm sóng để mô tả trạng thái của hệ kín Giá trị trung bình của một đạilượng của hệ con được tính theo công thức (1.2).

Đối với trạng thái này, ma trận mật độ có những tính chất sau

1.3 Tiêu chuẩn chia tách được của ma trận mật độ

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một điều kiện cần cho sự chia táchđược đó là ma trận mật độ thu được từ phép chuyển vị từng phần với các giátrị riêng không âm Điều kiện này thu được từ phép kiểm tra đại số đơn giảnnhư sau:

Một hệ lượng tử bao gồm hai hệ con trong không gian Hilbert H = H1⊗H2

là chia tách được nếu ma trận mật độ ρ của nó được viết dưới dạng

với ρ 0 A và ρ 00 A lần lượt là ma trận mật độ của hai hệ con trong không gian H1,

H2 và p A thỏa mãn điều kiện P∞ A=1 p A = 1 Như vậy, một hệ lượng tử được cho

là bị rối nếu toán tử ma trận mật độ của chúng không chia tách được, tức là

không thể biểu diễn dưới dạng tổng lồi của các toán tử ma trận mật độ ρ 0 A và

ρ A của hai hệ lượng tử như trên (1.13).

Một hệ chia tách được thì luôn luôn thỏa mãn bất đẳng thức Bell, nhưngđiều ngược lại thì không nhất thiết lúc nào cũng đúng Thật vậy, để tồn tại cho

sự phân tích (1.13), chúng tôi sẽ sử dụng cách kiểm tra đại số như sau Viết lạiđiều kiện tách (1.13) dưới dạng các yếu tố của ma trận một cách tường minhvới tất cả các chỉ số của chúng Phương trình (1.13) trở thành

với các chỉ số m, n quy ước gán cho hệ con thứ nhất, các chỉ số µ, ν quy ước

gán cho hệ con thứ hai, hai hệ này có thể khác nhau về số chiều Chú ý rằngphương trình này có thể thỏa mãn nếu ta thay các ma trận mật độ lượng tửbằng các hàm Lioville cổ điển (còn các chỉ số gián đoạn được thay bằng các

biến p và q) Nguyên nhân chỉ là do sự ràng buộc rằng một hàm Lioville phải

thỏa mãn điều kiện không âm Điều chúng ta muốn là ma trận mật độ lượng

tử có giá trị riêng không âm, và điều kiện này sẽ khó thỏa mãn hơn

Bây giờ ta định nghĩa một ma trận mới

Vì ma trận chuyển vị (ρ 0 A)T ≡ (ρ 0 A)∗ là các ma trận không âm với vết bằng đơn

vị nên chúng cũng có thể là ma trận mật độ hợp quy luật, tức là không có trị

riêng nào của σ là âm Đây là điều kiện cần để phương trình (1.13) đúng.

Chú ý rằng, các trị riêng của σ là bất biến dưới phép biến đổi Unita với

U 0 và U 00 là các cơ sở Ta có

ρ −→ (U 0 T ⊗ U 00 )ρ(U 0 T ⊗ U 00)+, (1.9)

thế thì

σ −→ (U 0 T ⊗ U 00 )σ(U 0 T ⊗ U 00)+, (1.10)

cũng là phép biến đổi Unita, chuyển dời các trị riêng bất biến của σ.

Tiêu chuẩn này mạnh hơn bất đẳng thức Bell hay mạnh hơn bất đẳng

thức entropy − α, nó được chứng minh qua hai ví dụ trong [?].

trong đó ˆx|xi = x|xi.

Toán tử toạ độ ˆx và toán tử mômen xung lượng được định nghĩa qua hệ

thức a = x+iˆˆ√ p

2 và a+ = x−iˆˆ√ p

2

Hàm C ρ T (λ) ≡ T r{ρ T D(λ)} là hàm đặc trưng cho toán tử mật độ ρ Còn

hàm đặc trưng cho toán tử mật độ chuyển vị ρ T =R dxdx 0 ρ xx 0 |x 0 ihx| được đưa

toán tử dịch chuyển Vì vậy ρ T có mối quan hệ với ρ là:

Mở rộng kết quả phép chuyển vị từng từng phần cho trạng thái đa mode Ví

dụ trong trường hợp chuyển vị từng phần cho mode b, ta có

ha +m a n b +p b q i ρ P T = ha +m a n b +q b p i ρ (1.15)

1.5.1 Trạng thái |GHZi

Trạng thái |GHZi, được nghiên cứu lần đầu tiên bởi D Greenberger, MA

Horne và Anton Zeilinger năm 1989 Đây là một trạng thái phi cổ điển, bị rối

1.5.2 Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock

Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock, được địnhnghĩa như sau:

|ψi = (1 − x2)1/2

∞

X

n=0

x n |ni a |ni b |ni c , (1.24)

trong đó 0 ≤ x ≤ 1, |ni a , |ni b và |ni c là các trạng thái Fock

1.5.3 Trạng thái kết hợp bộ ba

Trạng thái kết hợp bộ ba được đưa ra bởi TS Trương Minh Đức năm

2005 Từ trạng thái kết hợp cặp |ξ, qi, với hai toán tử hủy boson a và b tương

ứng với hai mode độc lập nhau, ta có

ab|ξ, qi = ξ|ξ, qi, (a+a − b+b)|ξ, qi = q|ξ, qi, (1.25)

trong đó ξ = r.e iφ với r và φ là thực, q là một số nguyên không âm.

Bây giờ đối với ba toán tử hủy boson a, b, c tương ứng với ba mode độc lập với nhau, một trạng thái mới gọi là trạng thái kết hợp bộ ba |ξ, p, qi được

định nghĩa như sau:

abc|ξ, p, qi = ξ|ξ, p, qi,

(N a − N b )|ξ, p, qi = p|ξ, p, qi, (N b − N c )|ξ, p, qi = q|ξ, p, qi, trong đó ξ = r.e iφ với r, φ là thực và q, p là một số nguyên không âm và toán

tử số hạt N x = x+x Khi khai triển thông qua trạng thái Fock |ni thì trạng

thái kết hợp bộ ba được biểu diễn dưới dạng

Chương 2

TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI

CHO HỆ BA MODE

Agarwal G S và Asoka Biswas

Xuất phát từ các toán tử được định nghĩa như sau:

Sử dụng hệ thức bất định cho các toán tử trên và phép chuyển vị từng phần

cho hệ con thứ hai b ↔ b+, ta được

h

ha+abb+i + haa+b+bi + ha+2b+2i + ha2b2i − ha+b++ abi2i

×hha+abb+i + haa+b+bi − ha+2b+2i − ha2b2i + ha+b+− abi2i (2.2)

Cách làm tương tự như trên, ta có

h

ha+ab+bi + haa+bb+i + ha+2b2i + ha2b+2i − ha+b + ab+i2i

×hha+ab+bi + haa+bb+i − ha+2b2i − ha2b+2i + ha+b − ab+i2i

Bất đẳng thức (2.2) và (2.4) được gọi là tiêu chuẩn đan rối của Agarwal G

S và Asoka Biswas Nếu một trạng thái hai mode bị rối khi nó vi phạm mộttrong hai bất đẳng thức trên

Xuất phát từ tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Agarwal G S vàAsoka Biswas, ở phần này tôi đưa ra các bất đẳng thức mới làm tiêu chuẩn

để phát hiện rối trong các hệ ba mode Xét ba mode của trường điện từ, với

(a, a+), (b, b+), (c, c+) lần lượt là các toán tử hủy và toán tử sinh của mode thứnhất, mode thứ hai và mode thứ ba Ta định nghĩa các toán tử sau:

Bất đẳng thức này xuất phát từ hệ thức bất định nên nó luôn luôn thỏa mãnđối với mọi trạng thái Để nghiên cứu tính chất rối của một trạng thái nào đó

ta sử dụng phép chuyển vị từng phần Thực hiện phép chuyển vị từng phần

đối với hệ con thứ nhất (a ↔ a+), hệ con thứ hai (b ↔ b+) và hệ con thứ ba

(c ↔ c+) ta có một lớp các bất đẳng thức sau:

h

ha+abb+cc+i + haa+b+bc+ci + ha2b2c2i + ha+2b+2c+2i − habc + a+b+c+i2i

×hha+abb+cc+i + haa+b+bc+ci − ha2b2c2i − ha+2b+2c+2i + habc − a+b+c+i2i

≥ |ha+a + a+ab+b + a+ac+c − b+bc+ci|2,

(2.7)

h

ha+abb+cc+i + haa+b+bc+ci + ha+2b+2c2i + ha2b2c+2i − ha+b+c + abc+i2i

×hha+abb+cc+i + haa+b+bc+ci − ha+2b+2c2i − ha2b2c+2i + ha+b+c − abc+i2i

Tiếp theo, ta xét các toán tử trong biểu diễn đại số SU(1, 1) Ta định

nghĩa các toán tử như sau:

Cách làm tương tự như trên, ta có được các bất đẳng thức sau:

h

ha+ab+bc+ci + haa+bb+cc+i + ha2b+2c+2i + ha+2b2c2i − hab+c++ a+bci2i

×hha+ab+bc+ci + haa+bb+cc+i − ha2b+2c+2i − ha+2b2c2i + hab+c+− a+bci2i

sẽ bị rối giữa phần A với phần còn lại BC, nếu vi phạm bất đẳng thức (2.8) hoặc (2.12) thì trạng thái đó sẽ bị rối giữa phần B với phần còn lại AC, tương

tự với bất đẳng thức (2.9) hoặc (2.13) thì sẽ bị rối giữa phần C với phần AB.

Nếu một trạng thái vi phạm đồng thời ba bất đẳng thức (2.7), (2.8) và (2.9)hoặc (2.11), (2.12) và (2.13) trên thì trạng thái đó sẽ bị rối hoàn toàn Vì vậy,các lớp bất đẳng thức mà chúng tôi đã đưa ra ở trên được gọi là tiêu chuẩn để

dò tìm đan rối trong các hệ ba thành phần

Chương 3

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT RỐI CỦA MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN

Trong chương này, chúng tôi sẽ sử dụng các tiêu chuẩn đã được đưa ra

ở Chương 2 cho trường hợp hệ là một trạng thái ba thành phần A, B và C của hệ lần lượt tương ứng với ba mode a, b và c của trạng thái đó để kiểm tra

tính chất rối của hệ Các trạng thái mà chúng tôi nghiên cứu trong chương này

đó là trạng thái |GHZi, trạng thái chân không bị nén ba mode trong không

gian Fock và trạng thái kết hợp bộ ba Dựa vào các tiêu chuẩn phát hiện rối ởChương hai, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng các trạng thái trên là bị rối (có thể là bịrối một phần hoặc rối hoàn toàn)

Trạng thái |GHZi gồm tám trạng thái đã được nêu ra ở Chương 1, ở

phần này chúng tôi chỉ nghiên cứu tính chất rối của trạng thái

|GHZi = √1

2(|0i|0i|1i + |1i|1i|0i). (3.1)Tính các số hạng có trong lớp các bất đẳng thức nhất và thứ hai, ta có

haa+b+bc+ci = 0, ha+abb+cc+i = 1, haa+bb+cc+i = 3, (3.2)

habc + a+b+c+i2 = 0, habc − a+b+c+i2 = 0, ha+b+c + abc+i2 = 1, (3.3)

ha+b+c − abc+i2 = 0, ha+bc++ ab+ci2 = 0, ha+bc+− ab+ci2 = 0, (3.4)

hab+c++ a+bci2 = 0, hab+c+− a+bci2 = 0. (3.5)

Thay các kết quả trên vào lớp bất đẳng thức thứ nhất, ta có

Từ kết quả trên, ta thấy bất đẳng thức (3.7) bị vi phạm Như vậy, trạng thái

|GHZi ở (3.1) bị rối giữa phần B với phần AC theo điều kiện (2.8).

Tương tự, đối với lớp bất đẳng thức thứ hai, ta có

Kết quả trên cho thấy trạng thái |GHZi ở (3.1) bị rối giữa phần C với phần

AB theo điều kiện (2.13).

Như vậy, bằng việc sử dụng các tiêu chuẩn tìm được ở Chương 2, chúng

ta đã xác định được trạng thái |GHZi ở (3.1) là một trạng thái bị rối giữa phần B với AC và rối giữa phần C với phần AB

3.2 Trạng thái chân không bị nén ba mode trong

không gian Fock

Trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock đã đượcđịnh nghĩa ở Chương 1 Trạng thái này có dạng:

ha+bc+− ab+ci2 = 0, ha+b+c + abc+i2 = 0, ha+b+c − abc+i2 = 0, (3.20)

Thay các kết quả trên vào các bất đẳng thức (2.8), (2.9), (2.11), (2.12) và(2.13), ta thấy các bất đẳng thức này không bị vi phạm Tuy nhiên, đối vớibất đẳng thức (2.7) lại cho ta kết quả sau

Từ đồ thị của hàm f (x) ta thấy, nếu 0 ≤ x ≤ 0, 7 thì f (x) = 0 còn

0, 7 < x ≤ 1 thì f (x) = 0 Như vậy bất đẳng thức (3.21) không bị vi phạm khi 0 ≤ x ≤ 0, 7 và bị vi phạm khi 0, 7 < x ≤ 1 Điều đó có nghĩa là trạng

thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock bị rối trong khoảng

0, 7 < x ≤ 1 theo điều kiện (2.7).

hab+ci = hab+c+i = ha+bci = 0. (3.36)

Từ các kết quả trên, ta tính được các số hạng có trong các lớp bất đẳng thứcthứ nhất và thứ hai như sau:

hab+c++ a+bci2 = hab+c+− a+bci2 = 0, (3.43)

ha+bc++ ab+ci2 = ha+bc+− ab+ci2 = 0, (3.44)

ha+b+c + abc+i2 = ha+b+c − abc+i2 = 0. (3.45)Thay các số hạng trên vào lớp các bất đẳng thức thứ nhất, ta có kết quả sau:

F + 2|ξ|2+ 2hN b ihN c i ≥ 0, (3.47)

F + 2|ξ|2+ 2hN b ihN c i ≥ 0. (3.48)Các bất đẳng thức này luôn thỏa mãn Vậy lớp các bất đẳng thức thứ nhấtkhông phù hợp để phát hiện rối đối với trạng thái kết hợp bộ ba

Tiếp theo, ta thay các số hạng trên vào lớp các bất đẳng thức thứ hai, ta

có cùng một kết quả sau:

2|ξ|2+ 3F ≥ 0 ⇔ 2r2 + 3F ≥ 0. (3.49)

Như vậy, trạng thái kết hợp bộ ba sẽ bị rối hoàn toàn nếu F < − 2r2

3 theo điềukiện (2.11), (2.12) và (2.13)

Bằng cách sử dụng các tiêu chuẩn đã đưa ra ở Chương 2, chúng tôi đãxác định được tính chất rối của một số trạng thái phi cổ điển đó là: trạng thái

|GHZi và trạng thái chân không bị nén ba mode trong không gian Fock là các

trạng thái bị rối một phần còn trạng thái kết hợp bộ ba thì bị rối hoàn toàn