luận văn thạc sĩ TIÊU CHUẨN ĐAN rối HUYNCHUL NHA JAEWAN KIM

Ý niệm về đan rối xuất hiện đầu tiênvào năm 1935 trong tài liệu của Einstein, Podolsky, Rosen, [16] trong đó cáctrạng thái bị rối là các trạng thái hai hạt lượng tử có liên quan đặc biệt

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

NGUYỄN THANH CƯ

TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HUYNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG CHO CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HAI MODE

CHUYÊN NGÀNH:VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Huế, năm 2010

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

NGUYỄN THANH CƯ

ĐỀ TÀI

TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HUYNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG CHO CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HAI MODE

CHUYÊN NGÀNH:VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quảnghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép

sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứunào khác

Tác giả

Nguyễn Thanh Cư

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở khoa Vật lý và phòng Sau Đạihọc - Trường Đại học Sư phạm Huế đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôitrong quá trình học tập

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thầy giáo - TS TrươngMinh Đức đã hướng dẫn tôi tận tình trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Trung học phổ thông Gia Hội đãtạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

Xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị học viên cao học chuyên ngành Vật

lý lý thuyết và Vật lý toán khóa 17, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Huế, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thanh Cư

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ĐAN RỐI 10 1.1 Ma trận mật độ 10

1.2 Hệ thức bất định cho hai toán tử 11

1.2.1 Phương sai của phép đo dại lượng vật lý 11

1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 12

1.3 Mối quan hệ giữa bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và một trạng thái bất kỳ 13

1.4 Một số trạng thái lượng tử 14

1.4.1 Trạng thái thuần 14

1.4.2 Trạng thái hỗn hợp 15

1.4.3 Trạng thái chân không bị nén hai mode (The two-mode squeezed vacuum state) 16

1.4.4 Trạng thái hai photon hai mode 16

1.5 Chuyển vị từng phần 16

Chương 2 : TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI MARK HILLERY - M.SUHAIL

VÀ GS AGRWAL - ASOKA BISWAS, VÀ ÁP DỤNG 182.1 Tiêu chuẩn đan rối GS Agrwal - Asoka Biswas và áp dụng 182.1.1 Tiêu chuẩn đan rối GS Agrwal - Asoka Biswas 182.1.2 Áp dụng 212.2 Tiêu chuẩn đan rối Mark Hillery - M.Suhail Zubairy và áp dụng 252.2.1 Tiêu chuẩn đan rối Mark Hillery - M.Suhail Zubairy 252.2.2 Áp dụng 26

Chương 3: TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JACWAN

3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha - Jacwan Kim 323.1.1 Điều kiện tách mức cho nhóm đại số SU(2) 323.1.2 Tiêu chuẩn đan rối của Hyunchul Nha và Jaewan Kim 353.2 Áp dụng tiêu chuẩn đan rối của Hyunchul Nha và Jaewan Kim 383.2.1 Trạng thái hỗn hợp 383.2.2 Trạng thái chân không bị nén 2 mode 393.2.3 Trạng thái hai photon hai mode 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thông tin lượng tử và máy tính lượng tử đang là các lĩnh vực nóngbỏng, thu hút sự chú ý của nhiều nhà khoa học trên toàn thế giới Trongnhững năm trở lại đây, việc nghiên cứu rối lượng tử trong các lĩnh vực tínhtoán để cho ra đời thế hệ máy tính với tốc độ xử lý nhanh hơn máy tính cổđiển [35] đang được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Vấn đề thenchốt trong hai lĩnh vực này trong lý thuyết cũng như trong thực nghiệm làviệc tìm ra các trạng thái với tính chất lượng tử đặc biệt gọi là trạng tháiđan rối

Tuy nghiên, giới hạn giữa các trạng thái bị rối và các trạng thái chiatách được [14], [22], [24] vẫn chưa thực sự rõ ràng, các đặc trưng của trạngthái bị rối vẫn chưa được tìm ra một cách đầy đủ và chính xác Phát hiệnrối đang là vấn đề thách thức đối với các nhà khoa học Có thể nói nhữngtiêu chuẩn của Horodecki và Peres [17], [18] đã làm tiền đề cho sự phát triểncủa các tiêu chuẩn đan rối sau này, trong đó có tiêu chuẩn đan rối cho hệ haimode của Mark Hillery và M Suhail Zubairy [23] Hai ông đã bắt đầu khảosát các đại lượng quan sát được vuông góc trong các toán tử sinh và huỷmode của trường điện từ, các đại lượng quan sát được này trước đó được sửdụng để định nghĩa về nén tổng và nén hiệu, các dạng của nén bậc cao Vềnguyên tắc, các đại lượng này và sự bất định của chúng là đo được, do đó cácđiều kiện mà hai ông đưa ra có thể được sử dụng để phát hiện ra rối trongphòng thí nghiệm Hai ông cũng thấy rằng các điều kiện được biểu diễn trong

các số hạng của biến liên tục dẫn đến một họ các điều kiện khác cho việcphát hiện rối, sau đó mở rộng các điều kiện này cho việc phát hiện rối trongmột hệ có nhiều hơn hai mode Tuy nhiên, từ khi được ghi nhận lần đầu tiêncho đến nay, tiêu chuẩn vẫn là vấn đề hấp dẫn trong cả lý thuyết lẫn thựcnghiệm Một loạt các tiêu chuẩn không thể tách ra đời áp dụng cho các hệbiến từ rời rạc đến liên tục Các tiêu chuẩn đáng chú ý đánh dấu sự phát triểncủa vấn đề này phải kể đến đó là tiêu chuẩn Peres [17], tiêu chuẩn Horodecki[18], [19] tiêu chuẩn Simon (hay còn gọi là tiêu chuẩn Peres-Horodecki) [25],tiêu chuẩn Hillery-Zubairy [24], tiêu chuẩn Shchukin-Vogel [25], tiêu chuẩn

GS Agarwal - Asoka Biswas [13], trong đó phải kể đến một tiêu chuẩn rấtmạnh mang tính tổng quát đó là tiêu chuẩn đan rối do hai nhà khoa họcHYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM [8] được đưa ra vào năm 2006

Vì vậy, tôi nhận thấy việc tìm hiểu và áp dụng tiêu chuẩn do hai nhàkhoa học này cho các trạng thái đan rối hai mode là một vấn đề đáng đểquan tâm Đó chính là lý do tôi chọn "Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha -Jaewan Kim và áp dụng cho các trạng thái đan rối hai mode" làm đề tàinghiên cứu

1 Lịch sử vấn đề

Đan rối, là một phần quan trọng to lớn trong lý thuyết thông tin lượng

tử, đó là nguồn có giá trị, là chìa khoá cho sự phát triển nhanh chóng củatiến trình xử lý thông tin lượng tử Ý niệm về đan rối xuất hiện đầu tiênvào năm 1935 trong tài liệu của Einstein, Podolsky, Rosen, [16] trong đó cáctrạng thái bị rối là các trạng thái hai hạt lượng tử có liên quan đặc biệt vớitoạ độ và xung lượng Sau đó, cũng trong năm 1935, Erwin Schrodinger [25]

đã đề cập đến vấn đề rối lượng tử, và ông đã gọi đan rối là điểm nổi bật đặctrưng của cơ học lượng tử Vào lúc đó, đan rối là điều đáng ngạc nhiên nhấtcủa hình thức luận lượng tử Sau 70 năm nó vẫn còn là một đề tài hấp dẫntrên cả lý thuyết lẫn thực nghiệm Sự phát triển của các phương pháp thựcnghiệm đã tạo ra một số ứng dụng có thể có của các trạng thái không thểchia tách được lượng tử như sự tính toán lượng tử và chuyển vị lượng tử.Tính chất không thể chia tách được lượng tử ngụ ý rằng có sự tồn tại củacác trạng thái bị rối tinh khiết, các trạng thái này tạo ra các hiện tượng phi

cổ điển Tuy vậy, trong thực nghiệm người ta thường nghiên cứu các trạngthái hỗn hợp hơn là các trạng thái tinh khiết vì các trạng thái tinh khiếtkhông điều khiển được sự tương tác với môi trường, còn các trạng thái hỗnhợp có thể tạo ra các hiệu ứng lượng tử quan trọng, và tất nhiên là làm việcvới các trạng thái hỗn hợp phức tạp hơn nhiều so với trường hợp các trạngthái tinh khiết Các trạng thái bị rối là nguồn có giá trị đối với tính toánlượng tử và thông tin lượng tử, do đó việc phát hiện ra các trạng thái rối làmột trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết thông tin lượng tử, và muốnphát hiện một trạng thái nào đó có bị rối hay không thì cần phải dựa vàonhững tiêu chuẩn cụ thể Hiện nay người ta xác minh rối mới chỉ dựa trênmột vài tính chất thống kê đặc trưng Một tính chất thống kê đã biết củarối là sự vi phạm bất đẳng thức Bell, và thực nghiệm trước đây thường dựavào tính chất này như một bằng chứng của rối Ban đầu người ta nghiên cứucho trạng thái hai hạt, về sau, Jos Uffirik đã sử dụng bất đẳng thức này đểnghiên cứu cho hệ n>2 Tuy nhiên những yêu cầu đối với việc vi phạm bấtđẳng thức Bell thường thu hẹp hơn so với những điều kiện về rối, nghĩa làviệc vi phạm bất đẳng thức Bell này còn là một điều kiện yếu đối với việc

kiểm tra một trạng thái có bị rối hay không Năm 1996, Michal Horodecki,Pawel Horodecki, Pyszard Horodecki [18] đã đưa ra các điều kiện cần và đủcho sự chia tách được của trạng thái hỗn hợp, từ đó suy ngược cho trườnghợp không chia tách được của trạng thái hỗn hợp, tuy nhiên điều kiện nàychỉ đúng cho hệ 2×2, 2×3 Cũng trong năm 1996, Peres [17] đưa ra tiêuchuẩn chia tách được đối với ma trận mật độ Tiêu chuẩn này mạnh hơn sovới việc sử dụng bất đẳng thức Bell cho việc phát hiện tính không chia táchđược lượng tử Sau đó năm 1997, Pawel Horodecki [19] tiếp tục đưa ra tiêuchuẩn chia tách được và các trạng thái không chia tách được với chuyển vịtừng phần dương, nhưng tiêu chuẩn này cùng chỉ đúng cho trường hợp hệ3×3, 2×4 Sau đó người ta đã sử dụng những tiêu chuẩn này để tìm ra cáctrạng thái bị rối Năm 2001, Giedke, Kraus, Lewenstein và Cirac , [18], [19],[20] nghiên cứu các tính chất chia tách được của các trạng thái Gaussian bamode Năm 2002, HongyiFan và Guichuan Yu đã chứng minh trạng thái chânkhông bị nén ba mode trong không gian Fock cũng là một trạng thái bị rối.Những nghiên cứu của EPR (1935), Reid (1989) và Duan, Gied, Cirac, Zoller(2000) là cơ sở để Hofmann và Takeuchi tiếp tục nghiên cứu về đan rối, dựavào điều kiện là không có bất kỳ trạng thái lượng tử chia tách được nào cóthể vượt qua giới hạn của hệ thức bất định cục bộ, do đó sự vi phạm các hệthức bất định này cũng là một bằng chứng về rối Từ việc nghiên cứu các tiêuchuẩn về đan rối cho trạng thái chia đôi, năm 2003, Peter van Loock và S L.Braustein đã mở rộng cho trạng thái đa thành phần thực cũng dựa trên các

hệ thức bất định Năm 2005, Samuel L Braunstein và Peter van Loock [34]

đã hệ thống các vấn đề về rối lượng tử và sự liên quan của nó với thông tinlượng tử qua bài viết về thông tin lượng tử với các biến liên tục Năm 2006,

Mark Hillery và M Suhail Zubairy [24] đã đưa ra một lớp các hệ thức bấtđịnh cho việc phát hiện đan rối đối với trạng một hệ hai mode E Shchukin

và W Vogel [25] đã tổng quát hóa những điều kiện mà Hillery và Zubairyđưa ra bằng việc nghiên cứu các tiêu chuẩn không chia tách được của cáctrạng thái lượng tử chia đôi biến liên tục Cũng trong năm 2006, Nha và Kim[8] đã đưa ra tiêu chuẩn về rối thông qua hệ thức bất định trong đại số SU(2)

và SU(1,1), qua đó phát hiện ra các trạng thái rối phi Gaussian Năm 2007tiếp tục có những nghiên cứu về các điều kiện đan rối cho các trạng thái đamode của Zong-Guo Li, Shao-Ming Fei, Zhi-Xi Wang, Ke Wu; rối ba thànhphần thật trong khí Fermi không tương tác của T Vertesi

Hiện nay, các tiêu chuẩn đan rối vẫn đang được các nhà khoa học nổlực tìm kiếm với mục đích mở rộng tiêu chuẩn tổng quát để áp dụng cho mọitrạng thái, hướng đến mục tiêu tìm ra một tiêu chuẩn rối hoàn hảo tức làđiều kiện cần và đủ cho đan rối lượng tử để có thể ứng dụng cho thông tinlượng tử và máy tính lượng tử

3 Mục tiêu nghiên cứu

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu tiêu chuẩn đan rối HyunchulNha và Jaewan Kim sau đó áp dụng tiêu đan rối này cho hệ đan rối hai mode

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trong giới hạn của luận văn, chúng tôi thực hiện các nhiệm vụ nghiêncứu sau:

- Tìm hiểu tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim Chứngminh tiêu chuẩn này là tiêu chuẩn tổng quát cho tiêu chuẩn Hillery và Zubairy

và tiêu chuẩn GS Agarwal - Asoka Biswas.

- Áp dụng tiêu chuẩn này để tìm điều kiện đan rối cho trạng thái haimode

- So sánh tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim với tiêuchuẩn Hillery-Zubairy, tiêu chuẩn GS Agarwal - Asoka Biswas

5 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng một số phương pháp cơbản như phân tích và xử lý tài liệu, các phương pháp của cơ học lượng tử,quang lượng tử, lý thuyết nhóm, lý thuyết thông tin lượng tử để tính toántìm tiêu chuẩn mới và áp dụng tiêu chuẩn mới đó tính toán cho trạng tháihỗn hợp và một số trạng thái phi cổ điển

6 Phạm vi nghiên cứu

Do thời gian có hạn, luận văn sẽ tập trung nghiên cứu và đề xuất tiêuchuẩn mới về đan rối cho hệ hai mode, trên cơ sở đó áp dụng để nghiên cứutính chất rối của một trạng thái hỗn hợp và một vài trạng thái phi cổ điểnhai mode

7 Cấu trúc luận văn

Luận văn được trình bày gồm ba phần chính:

Phần mở đầu trình bày về lý do chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục đíchnghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giới hạn nghiêncứu của đề tài

Phần nội dung được thể hiện thành ba chương, trong đó: chương một

trình bày tổng quang về rối lượng tử, chương hai đưa ra Tiêu chuẩn đan rốicho hệ 2 mode của Mark Hillery - M Suhail Zubairy, GS Agarwal - AsokaBiswas và áp dụng cho các trạng thái đan rối hai mode, chương ba xây dựngTiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim tổng quát và áp dụng chocác trạng thái đan rối hai mode.

Phần kết luận trình bày về các kết quả đạt được, so sánh Tiêu chuẩnđan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim và hai tiêu chuẩn của Mark Hillery -

M Suhail Zubairy, GS Agarwal - Asoka Biswas và các hướng mở của đề tài

8 Thời gian và kế hoạch nghiên cứu

Thời gian nghiên cứu dự kiến từ tháng 12-2009 đến tháng 9-2010 với kế hoạch

cụ thể như sau:

Từ 01-11-2009 đến 10-02-2010: hoàn thành nội dung phần mở đầu vàchương 1

Từ 15-01-2009 đến 28-04-2010: hoàn thành nội dung chương 2

Từ 01-04-2010 đến 30-08-2010: hoàn thành nội dung chương 3 và phầnkết luận

Tháng 9-2009: hoàn thiện luận văn và tiến hành bảo vệ

CHƯƠNG 1:

TỔNG QUAN VỀ ĐAN RỐI

Để thuận lợi trong việc nghiên cứu, trong chương một chúng tôi tậptrung giới thiệu tổng quan về đan rối Nội dung của chương gồm có năm phầnđược trình bày trình tự từ ma trận mật độ, hệ thức bất định cho hai toán tửbất kỳ, mối quan hệ giữa bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với một trạng tháibất kỳ, phép chuyển vị từng phần và đặc biệt là đưa ra một số trạng tháilượng tử để phục vụ cho việc nghiên cứu trong các phần tiếp theo

1.1 Ma trận mật độ

Đối với một hệ vật lý đã cho, tồn tại một vectơ trạng thái Ψ chứa cácthông tin có thể có về hệ Muốn biết được các thông tin về đại lượng độnglực A, ta phải tính toán giá trị trung bình của toán tử A tương ứng trongtrạng thái của hệ như sau

hAi = hΨ|A|Ψi (1.1)Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không thể biết được trạng thái Ψ

mà chỉ biết được xác suất PΨ để hệ ở trạng thái Ψ Trong trường hợp đó, takhông chỉ cần tính trung bình lượng tử mà còn tính trung bình theo tập hợpthống kê Thay vì phương trình (1.1), bây giờ ta có

Nếu ta định nghĩa toán tử ma trận mật độ như sau

1.2 Hệ thức bất định cho hai toán tử

1.2.1 Phương sai của phép đo dại lượng vật lý

Cho hai toán tử ˆA và ˆB theo thứ tự được biểu diễn bởi hai toán tửHermitic ˆA và ˆB Trong cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không

đo đồng thời thì về mặt toán học ˆA và ˆB không giao hoán được với nhau,nghĩa là giáo hoán tử

h ˆA, ˆBi

2

> 0, (1.5)trong đó đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được Y,gần giá trị trung bình lượng tử h ˆY i của đại lượng Y = A, B gọi là phươngsai và (∆Y )2 được định nghĩa như sau:

(∆Y )2 ≡ h( ˆY − hY i)2i = h ˆY2i − h ˆYi2, (1.6)với giá trị trung bình lượng tử của đại lượng Y ở trạng thái |Ψi

h ˆYi = hΨ|Y |Ψi =

Z

Ψ∗(y) ˆYΨ(y)dy (1.7)

Một cách khác, hai nhà khoa học Schr¨odinger-Robertson đưa ra hệthức (SRR) [10], [11] mạnh hơn bất đẳng thức (1.5) có dạng như sau:

h(∆A)2ih(∆B)2i ≥ 1

4

h ˆA, ˆBi

... thái đan rối sau

ra kết luận việc dị tìm đan rối hai tiêu chuẩn.

2.1 Tiêu chuẩn đan rối. .. thoả mãn chia tách nên không pháthiện đan rối.

2.2 Tiêu chuẩn đan rối Mark Hillery - M.Suhail Zubairy áp

dụng

2.2.1 Tiêu chuẩn đan rối Mark Hillery - M.Suhail Zubairy... GS Agrwal - Asoka Biswas áp dụng

2.1.1 Tiêu chuẩn đan rối GS Agrwal - Asoka Biswas

Để nghiên cứu tính chất đan rối trạng thái, hai nhà khoa học

GS Agarwal Asoka