Đề số 4 chọn đội tuyển

Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.. Các điểm M, N tương ứng thuộc các cạnh AD và AB sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2.. Chứng minh MN là tiếp tuýen của đường tròn tâ

BÀI KIỂM TRA SỐ 4 (Kiểm tra đội tuyển HSG)

Môn: Toán - Lớp 9

(Thời gian: 150 phút, không kể giao đề)

Bài 1:

a

b     Chứng minh rằng a chia hết cho 149

Bài 2:

Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.

Bài 3: Tìm giá trị của t để phương trình 4 2

1

t x

 

 có nghiệm dương:

Bài 4: Tìm các giá trị của k để cho nghiệm của hệ: 2 (1)

3 8 (2)

x y





 

 thoả mãn điều kiện: x > 0 ; y > 0

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh tỉ lệ thức:

3 3

=

Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1 Các điểm M, N tương ứng thuộc các

cạnh AD và AB sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2 Chứng minh MN là tiếp tuýen của đường tròn tâm C bán kính bằng 1

HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 4 (Đội tuyển HSG 08-09)

Môn: Toán - Lớp 9

(Thời gian: 150 phút, không kể giao đề)

Bài 1: (1,0 đ)

a

b     Chứng minh rằng a chia hết cho 149

Giải:

Ta thấy 149 = 50 + 99 nên ta cộng 50 phân số trên theo từng cặp, mỗi cặp gồm phân

số đầu và phân số cuối, ta có:

a

b

Chọn MSC là: 50.51.52 98.99 và gọi các thừa số phụ là k1, k2, , k25 Khi đó:

50.51.52 98.99

a

b

Tử chia hết cho 149 (số nguyên tố), còn mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 149 nên khi rút gọn phân số đến tối giản ta có a chia hết cho 149 (0,25 đ)

Bài 2: (2,25 đ)

Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.

Giải:

Gọi số phải tìm là ab, ta có (10a + b)  a.b (1) Suy ra b  a (0,25 đ)

* Nếu k = 1 thì b = a Thay vào (1) ta được: 11a  a2 (0,25 đ)

* Nếu k = 2 thì b = 2a Xét các số 12, 24, 36, 48 thì có 12, 24, 36 thoả mãn (0,25 đ)

* Nếu k = 5 thì b = 5a => ab =15 thoả mãn đề bài. (0,25 đ)

Bài 3: (1,75đ) Tìm giá trị của t để phương trình 4 2

1

t x

 

 có nghiệm dương:

Giải:

Với x 1 phương trình có dạng: (4 – t)x = t - 2 (0,375đ) Phương trình này chỉ có nghiệm 2

4

t x

t





 khi t 4 (0,375 đ) Nghiệm này luôn thoả mãn ĐK trên vì 2 1 2 1

t x



Theo ĐK của đề bài thì 2 0

4

t t





 hay t 2 4   t 0 (0,375 đ)

2 t 4

Bài 4: (1,5 đ) Tìm các giá trị của k để cho nghiệm của hệ: 2 (1)

3 8 (2)

x y





 

 thoả mãn điều kiện: x > 0 ; y > 0

Giải:

2 (1) 2

3 8 (2) 6 2 16



16

7

x



(0,50 đ)

Giải các BPT:

* 16 0 k + 16 > 0 k > -16

7

k 

* 8 - 3k 0 8 - 3k > 0 k < 2 2

Vậy với - 16 < k < 22

3 thì các nghiệm của hệ 2 (1)

3 8 (2)

x y





 

0

x y









 (0,25 đ)

Bài 5: (1,0 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH Gọi I và K lần

lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh tỉ lệ thức:

3 3

=

Giải:

=>

2 2

=

=>

2

= (1)

Mặt khác trong các tam giác vuông AHB và AHC có:

BH2 = BI.AB ; CH2 = CK.AC (0,125 đ)

=>

2 2

= (2)

Từ (1) và (2) 

3 3

=

Bài 6: (2,5 đ) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1 Các điểm M, N tương ứng thuộc

các cạnh AD và AB sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2 Chứng minh MN là tiếp tuýen của đường tròn tâm C bán kính bằng 1

Giải:

Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho:

Từ giả thiết ta có:

AM + MN + NA = 2 = AD + AB (0,25đ)

=> MN = MD + NB (2) (0,25 đ)

Từ (1) và (2) suy ra MN = NK (3) (0,25 đ)

K I

C B

A

H

D

M

C

B A

H

Từ cách vẽ ta có CBK = CDM   (0,25đ)

Từ (3) và (4) kết hợp với có CN chung nên => CMN = CKN  (0,25 đ)

=> Các đường cao tương ứng CH = CB = 1 Điều đó có nghĩa MN là tiếp tuyến của