TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM GIẢI TÍCH 20131.
Trang 1TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH GIỚI THIỆU ĐỀ THI GIẢI TÍCH - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 Dãy số thực (un ) có
+ +
− +
+
= +
+
=
=
−
1 0
) 3 )(
2 ( 4 )
3 )(
1 ( 4 ) 2 )(
1 (
4
; 3
n n
u n n
u u
n ≥ 2 Tìm u2013.
Câu 2 Dãy số thực (un ), có
+
−
−
=
=
−
− 13 5
24 9
2
1 1 1
n
n n
u
u u
u
Tìm nlim→+∞un
Câu 3 Tính tích phân In = dx
x
nx x
∫
π
π(1 2013 )sin sin
Câu 4 Cho f(x) = 2x(1 – x) Tìm fn (x) = f(f(…(x)…) ; n lần hàm f
Câu 5 Cho f là hàm khả vi trên R, f’ giảm ngặt, xlim→∞ f(x)= A Chứng minh rằng
0
)
(
'
lim =
∞
→ f x
Câu 6 a) Tìm hàm số thực f(x) khả vi 2 lần trên R thỏa mãn
∈
∀
=
=
−
=
R x x f x f
f f
f
), ( ) ( ''
) 1 ( ) 1 (
; 1 ) 0 (
Câu 6 b) Tìm hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trong R sao cho:
x
dt t f t f
0
2
2( ) ' ( )] 2013 [
Hết
Trang 2TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM GIẢI TÍCH 2013
1. un = (n + 3)(2 - n).2n-1 (quy nạp, hoặc tìm được)
⇒ u2013 = -2016.2011.22012
5,00 đ
2.
Chứng minh un =
10 3
11
24 3
22 1
1
−
+
−
−
−
n
n
bằng quy nạp (hoặc tìm được un)
+∞
→
nlim
10 3
11
24 3
22 1
1
−
+
−
−
−
n
n
=
1
1
3
10 11 3
24 22 lim
−
− +∞
→
−
+
−
n
n
5,00 đ
3.
x
nx x
∫
0
sin ) 2013 1
(
sin π
x
nx x
π
0 (1 2013 )sin
sin
= H + K
Trong H đặt x = - t ⇒ H = dt
t
nt t
π
0(1 2013 )sin
sin
x
nx x
x
π
0(1 2013 )sin
sin 2013
⇒ In = dx
x
nx
∫
π
0 sin sin
Ta thấy In – In-2 = ∫π − − = ∫π −
0 0
) 1 cos(
2 sin
) 2 sin(
sin
xdx n
dx x
x n nx
Nếu n = 2k thì In = I0 = 0 Nếu n = 2k + 1 thì In = I1 = π
5,00 đ
4
Ta chứng minh fn(x) =
2
1
- 22n−1(x - 12)2n(*) n = 1: f(x) = 12 - 2(x – 12)2 = -2x2 + 2x (đúng)
Giả sử (*) đúng ⇒ fn+1(x) = [1 - 2 (x - 2n 12)2n][12 + 22n−1(x - 21)2n]
=
2
1
- 22n−1(x - 21)2n+ 22n−1(x - 21)2n- 2 (x - 2n 21)2n+1= 21 - 2 (x - 2n 21)2n+1 ĐPCM
5,00 đ
5. Trước hết ta chứng minh f(x + 1) - f(x) < f’(x) < f(x) - f(x - 1)
Áp dụng định lý Lagrange trên các đoạn [x - 1;x] và [x;x + 1] ⇒∃c1 ∈(x - 1;x); c2 ∈(x;x + 1):
f’(c1) =
1
) 1 ( ) (x − f x−
f
; f’(c2) =
1
) ( ) 1 (x f x
Vì f’(x) giảm ngặt nên có ĐPCM Lại có xlim [ f(x + 1) - f(x)] = →∞ lim [ f(x) - f(x - 1)] = 0 x→∞ ⇒ limx→∞ f'(x)=0
5,00 đ
6.a) f(x) – f”(x) = 0 ⇔ f(x) – f’(x) + f’(x) - f”(x) = 0 ⇔ ex[f(x) – f’(x) + f’(x) - f”(x)] = 0
⇔ (ex[f(x) – f’(x)])’ = 0 ⇒ ex[f(x) – f’(x)] = C ⇒ f(x) – f’(x) = C.e-x
⇔ e-x[f(x) – f’(x)] = C.e-2x⇒ [e-x.f(x)]’ = C.e-2x⇒ e-x.f(x) = A e-2x + B
⇒ f(x) = A.e-x + B.ex⇒ f(x) =
2
x
x e
5,00 đ
6.b) Lấy đạo hàm hai vế: 2f’(x)f(x) = f2(x) + f’2(x)
5,00 đ