Công thức cộng.. Công thức nhân đôi.. Công thức hạ bậc.. Công thức nhân ba... Giải phương trình: a.sin x b.cos x c.sin x.cosx d.sinx.cos x e.sinx f.cosx 0, Chia hai vế phương trình cho c
Trang 1CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1)Hệ thức cơ bản:
x =1;
1+tan
=
2
2 2
2
sin x cos x 1;
tanx.cot
1
cos x
1
1 cot x
sin x
2.Cung liên kết
a) Hai cung đối nhau: -x và x
( )
( )
( )
( )
x inx
- =
=
=
-cos x cos
cot x cot x
b) Hai cung bù nhau: p - x;x
x x
p - =
-p - =
-p - =
c) Hai cung hơn kém pi:
+ p
x x
p + =
-p + =
d) Hai cung phụ nhau:
p- x;x 2 x
inx
æp ö÷
ç - ÷=
æp ö÷
ç - ÷=
æp ö÷
ç - ÷=
æp ö÷
ç - ÷=
2
2
2
2
e) Hơn kém pi/2:
p +
2 x
inx
æp ö÷
ç + ÷=
æp ö÷
ç + ÷=
æp ö÷
ç + ÷=
æp ö÷
ç + ÷=
2
2
2
2
3 Công thức cộng.
x x x x
-cos x y cos cosy sinx.siny cos x y cos cosy sinx.siny sin x y sin cosy cosx.siny sin x y sin cosy cosx.siny
+
+
tanx tany tan x y
1 tanx.tany tanx tany tan x y
1 tanx.tany
4 Công thức nhân đôi.
x
=
sin2 2sinx.cos cos2 cos x sin x 2cos x 1 1 2sin x
=
2tanx tan2x
1 tan x
5 Công thức hạ bậc.
1 cos2 1 cos2 sin x ;cos x
1 cos2 2sin x;1 c 2cos x
6 Công thức nhân ba.
-3 3
cos3 4cos x 3cos
7.Công thức thu gọn.
inx- x
æ p÷ö
æ p÷ö
÷
4
4
8 Công thức tổng thành tích
x
x
x
æ+ ö÷ æ- ö÷
+ = ççç ÷÷ ççç ÷÷
æ+ ö÷ æ- ö÷
- = - ççç ÷÷ ççç ÷÷
æ+ ö÷ æ- ö÷
+ = ççç ÷÷ ççç ÷÷
æ+ ö÷ æ- ö
- = ççç ÷÷ ççç
cos cosy 2.cos cos
cos cosy 2.sin sin
sin siny 2.sin cos
sinx siny 2.cos sin
÷
÷ ø
9 Công thức tích thành tổng
1 cos cosy cos x y cos x y
2 1 sinx.siny cos x y cos x y
2 1 sinx.cosy sin x y sin x y
2 1 cosx.siny sin x y sin x y
2
10)Công thức khác có ứng dụng nhiều
-=
-2 2
1 sin2 sinx cos
*)sin4 2sin2 cos2
*)cos4 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2
*)sin x cos x 1 sin 2x
2
*)sin x cos x 1 sin 2x
4
11)Công thức nghiệm của PTLG cơ bản
( )
1)m 1;1 ;sinx m sin
hoÆc
x arcsin m 2k
é =a + p ê
ê =p- a + p ë
ê
ë
( )
2)m 1;1 ;cosx m cos
hoÆc
x arccos m 2k
é =a + p ê
ê =- a + p ë
ê
ê =- a°+ ° ë
Trang 2Î = = a Û = a + p
ç ¹ + p÷
2
x arctanm k
R
ar
¹ p
R
12) PTLG
thường gặp.
a) Phương
trình bậc
hai, bậc 3
đối với một
hàm số
lượng giác.
2
a.sin x b.sinx c 0,(a 0)
a.tan x b.tan x ctanx d 0,(a 0)
Bấm máy ra
nghiệm lưu
ý:
Î -êë úû Î ¡
sinx,cosx 1;1 ;tanx,cot x
b) Phương
trình bậc
nhất sin,
cos
Là phương
trình có
dạng:
a.sinx b.cosx c
(1) ;
với
Î ¡ 2+ 2¹
Hoặc
a.sinx b.cosx c
;
a.cosx b.sinx c
Cách 1:
* Điều kiện
để phương
trình có
nghiệm:
* Chia hai
vế phương
trình (1) cho +
(*)
* Đặt
+
a
cos
+
b
với
)
é
a Î êë0,2p (*)
+
c sinx.cos cosx.sin
+
c sin x
(PTLG cơ bản)
Hoặc
+
;
+
với
)
é
a Î êë0,2p
Thì (*)
( - a =)
+
c cos x
Cách 2:
( Thường dùng để biện luận)
* Đặt
t tan
2 ;t hay
2
Ta được
phương trình bậc hai theo t
* Giải phương trình tìm t Suy
ra nghiệm x
c) Phương trình đẳng cấp
*) Phương trình đẳng cấp bậc hai
có dạng :
a.sin x b.sinx.cosx c.cos x d, a c 0
*) Phương trình đẳng cấp bậc ba
có dạng :
a.sin x b.cos x c.sin x.cosx d.sinx.cos x e.sinx f.cosx 0,
B ậ
c 2 Cách 1:
p
2
có là nghiệm của phương trình hay không
p
2 Chia hai vế
phương trình
2
cos x , ta được
phương trình
atan x btanx c d(1 tan x)
Cách 2:
Sử dụng công thức hạ bậc:
(1)
Û bsin2x (c a)cos2x+ - =2d a c- -: phương
trình bậc nhât đối với sinx và cosx
B ậ
c 3
Giải phương trình:
a.sin x b.cos x c.sin x.cosx d.sinx.cos x e.sinx f.cosx 0, Chia hai vế
phương trình
cho cos x3 ,
ta được phương trình bậc ba theo tanx