bai giang toan roi rac

Một biến được gọi là biến Boole nếu giá trị của nó hoặc đúng hoặc sai do đó cũng có thể dùng bit để biểu diễn một biến Boole Các phép toán trên bit trong máy tính tương ứng với các liên

Trang 1

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

Mục lục 2

Chương I: Các kiến thức cơ sở 1.1 Mệnh đề 4

1.2 Các phép toán logic và phép toán trên bit 8

1.3 Sự tương đương của các mệnh đề 9

1.4 Lượng từ và vị từ 10

1.5 Các phương pháp chứng minh 13

Bài tập Chương I 18

Chương II: Bài toán và thuật toán 2.1 Khái niện bài toán 20

2.2 Khái niệm thuật toán 22

2.3 Thuật toán tìm kiếm 24

2.4 Độ phức tạp của thuật toán 25

2.5 Số nguyên và thuật toán 31

2.6 Thuật toán đệ quy 35

Bài tập Chương II 40

Chương III: Bài toán đếm 3.1 Cơ sở của phép đếm 42

3.2 Nguyên lí Dirichlet 46

3.3 Chỉnh hợp và tổ hợp suy rộng 50

3.4 Sinh các hoán vị và tổ hợp 53

3.5 Hệ thức truy hồi 56

3.6 Quan hệ chia để trị 59

Bài tập Chương III 62

Chương IV: Đồ thị 4.1 Các loại đồ thị 64

4.2 Các mô hình đồ thị 66

4.3 Các khái niệm cơ bản 67

4.4 Những đơn đồ thị đặc biệt 69

Trang 2

4.5 Biểu diễn đồ thị trên máy tính 71

4.6 Thuật toán tìm kiếm trên đồ thị 73

4.7 Đường đi Euler và đồ thị Euler 76

4.8 Đường đi Hamilton và đồ thị Hamilton 82

4.9 Bài toán đường đi ngắn nhất 88

4.10.Đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị 94

Bài tập Chương IV 101

Chương V: Cây 5.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 104

5.2 Cây khung và bài toán tìm cây khung nhỏ nhất 106

5.3 Cây có gốc 112

5.4 Duyệt cây nhị phân 114

5.5 Cây tìm kiếm nhị phân 119

5.6 Cây cân bằng AVL 122

5.7 Cây đỏ đen 125

5.8 Cây 2-3-4 127

5.9 Cây biểu dễn tập hợp 131

Bài tập Chương V 134

Chương VI: Đại số boole 6.1 Khái niệm đại số boole 137

6.2.Mạch logic 142

6.3 Cực tiểu hóa các mạch logic 149

Bài tập Chương VI 158

Tài liệu tham khảo 160

Trang 3

Các kiến thức cơ sở Nguyễn Thế Vinh- ĐHKH

CHƯƠNG I

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 MỆNH ĐỀ

1.1.1 Định nghĩa mệnh đề

Một mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, chứ không

thể vừa đúng vừa sai

Ví dụ: Tất cả các câu sau đều là các mệnh đề

(1) 2 + 3 = 5

(2) 3 x 4 = 10

(3) Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau

(4) Thái Nguyên là thủ đô Kháng chiến

(5) Washington D.C là thủ đô của Canada

Câu xác định "2 + 3 = 5", "Tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau" và "Thái Nguyên là thủ đô Kháng chiến" là các mệnh đề đúng Các câu xác định "3 x 4

= 10" và "Washington D.C là thủ đô của Canada" là các mệnh đề sai

Như vậy, một mệnh đề có thể là mệnh đề đúng hoặc mệnh đề sai Hay nói cách khác, một mệnh đề chỉ có thể lựa chọn 1 trong 2 giá trị là đúng hoặc

là sai

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Ví dụ: Xét các câu sau

(1) Hôm nay là thứ mấy ?

(2) Hãy đọc kỹ đọan văn này

Giá trị đúng, sai của một mệnh đề được gọi là giá trị chân lí của mệnh

đề đó Giá trị chân lí của mệnh đề đúng ký hiệu là T (true), giá trị chân lí của

Trang 4

mệnh đề sai ký hiệu là F (false) Bảng giá trị chân lí gọi tắt là bảng chân trị (truth table) của mệnh đề bao gồm các trường hợp đúng, sai có thể xảy ra của mệnh đề đó

Mục đích của các họat động khoa học là phân biệt các mệnh đề để xác định chân trị của nó Sự xác định chân trị này dựa vào thực nghiệm và lý luận

Vì thế, chúng ta cần nói đến "Đại số mệnh đề"

Bây giờ chúng ta xét các phương pháp tạo ra các mệnh đề mới từ các mệnh đề đã có Các phương pháp này được nghiên cứu bởi nhà toán học người Anh Geogre Boole Rất nhiều mệnh đề toán học được xây dựng bằng cách tổ hợp một hoặc nhiều mệnh đề, khi đó các mệnh đề mới được gọi là mệnh đề phức hợp

1.1.2 Mệnh đề phủ định

Giả sử P là một mệnh đề Câu "không phải là P" là một mệnh đề khác được gọi là phủ định của mệnh đề P, nhận giá trị sai khi P đúng và giá trị đúng khi P sai Kí hiệu : ¬P (hay P )

1.1.3 Hội của hai mệnh đề

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề "P và Q", được kí hiệu bởi P∧Q, là đúng khi cả P và Q đều đúng, là sai trong các trường hợp còn lại Mệnh đề P∧Q được gọi là hội của P và Q

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề P và Q như sau

P = " 2 > 0 " là mệnh đề đúng

Q = " 2 = 0 " là mệnh đề sai

P ∧ Q = " 2> 0 và 2 = 0 " là mệnh đề sai

Trang 5

1.1.4 Tuyển của hai mệnh đề

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề "P hoặc Q" được kí hiệu P∨Q,

là sai khi cả P và Q đều sai, là đúng trong các trường hợp còn lại Mệnh đề P∨Q được gọi là tuyển của P và Q

Ví dụ : Cho 2 mệnh đề P và Q như sau

1.1.5 Tuyển loại của hai mệnh đề

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề tuyển loại của P và Q được kí hiệu là P ⊕⊕ Q, là đúng khi một trong hai mệnh đề P và Q là đúng, là sai trong các trường hợp còn lại

Trang 6

1.1.6 Mệnh đề kéo theo

Giả sử P và Q là hai mệnh đề Mệnh đề kéo theo, được kí hiệu P → Q,

là sai khi P đúng và Q sai, là đúng trong các trường hợp còn lại Trong phép

kéo theo này P được gọi là giả thiết còn Q được gọi là kết luận

Trong các suy luận toán học phép kéo theo P → Q được dùng để diễn đạt “Nếu P thì Q”

Ví dụ: Cho hai mệnh đề P và Q như sau

P = " tam giác T là đều "

Trong các suy luận toán học phép tương đương P ⇔ Q được dùng để

diễn đạt “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P là cần và đủ đối với Q”

Trang 7

1.2 CÁC PHÉP TOÁN LOGIC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN BÍT

Các máy tính dùng các bit để biểu diễn thông tin Một bit có 2 giá trị khả dĩ là 0 và 1 Bit cũng có thể được dùng để biểu diễn chân trị, vì giá trị chân lí của một mệnh đề cũng chỉ có hai giá trị đúng hoặc sai Thường người

ta dùng bit 1 để biểu diễn chân trị đúng (True) và bit 0 để biểu diễn chân trị sai (False)

Một biến được gọi là biến Boole nếu giá trị của nó hoặc đúng hoặc sai

do đó cũng có thể dùng bit để biểu diễn một biến Boole

Các phép toán trên bit trong máy tính tương ứng với các liên từ logic Bằng cách thay đúng bằng 1 và sai bằng 0 trong bảng chân trị đối với các toán

tử phủ định, tuyển, hội, tuyển loại ta sẽ nhận được bảng các phép toán bit tương ứng Chúng ta sẽ dùng các kí hiêu NOT, OR, AND và XOR thay cho các toán tử trên

Thông tin thường được biển diễn bằng cách dùng các xâu bit, đó là các dãy số 0 và 1 Khi đó các phép toán trên xâu bit cũng có thể được dùng để thao tác thông tin trên đó

Định nghĩa: Một xâu bit (hoặc xâu nhị phân) là dẫy không hoặc nhiều bit Độ dài của xâu là số các bit trong xâu đó

Ví dụ: 101011 là một xâu bit có độ dài là 6

Có thể mở rộng các phép toán trên bit tới các xâu bit Ta định nghĩa các

OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu bit có cùng độ dài là các xâu

có các bít của chúng là các OR, AND, XOR của các bit tương ứng trong 2 xâu tương ứng (đảo bit được thực hiện bởi NOT bit)

Ví dụ: Tìm OR bit, AND bit và XOR bit đối với 2 xâu sau đây

Trang 8

1.3 SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA CÁC MỆNH ĐỀ

Định nghĩa: Các mệnh đề P và Q được gọi là tương đương logic nếu P↔Q là hằng đúng Kí hiệu P≡Q để chỉ P và Q là tương đương logic

Một các để xác định hai mệnh đề có tương đương logic không là lập bảng chân trị Dựa vào bảng nếu các cột cho giá trị của chúng phù hợp với nhau, từ đó kết luận rằng các mệnh đề đó là tương đương logic Sau đây là ví

Các tương đương logic

Trang 9

Luật phủ định(luật xóa)

Ví dụ: Chứng minh rằng ¬(p˅(¬p∧q)) và ¬p∧¬q là tương đương logic

Giải: Áp dụng các luật ta có các tương đương logic sau

¬(p˅(¬p∧q)) ≡ ¬p∧¬(¬p∧q) theo luật De Morgan

≡ ¬p∧ (¬(¬p)˅¬ q) theo luật De Morgan

1.4 LƯỢNG TỪ VÀ VỊ TỪ

1.4.1 Hàm mệnh đề: Trong thực tế ta thường gặp các câu liên quan

đến các biến như “ x+y= 5”; “x lớn hơn 5”; “x-y<5” Các câu này không đúng cũng không sai chừng nào các biến còn chưa nhận những giá trị cụ thể

Câu “ x lớn hơn 5” có hai bộ phận Bộ phận thứ nhất biến x là chủ ngữ

của câu Bộ phận thứ hai “lớn hơn 5” là vị từ nó cho biết một tính chất mà chủ

ngữ có thể có Chúng ta gọi P(x) là câu “ x lớn hơn 5” với P là kí hiệu vị từ, x

Trang 10

là biến Ta nói P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x Biến x được gán cho

một giá trị cụ thể nào đó thì câu P(x) trở thành một mệnh đề và có một giá trị chân lí Ví dụ với x=3 thì giá trị chân lí của P(3) là sai (F)

Như vậy hàm mệnh đề là một câu có chứa biến (xét trong tập hợp D) và trở thành mệnh đề khi thay biến đó bằng một hằng trong D Tập hợp D gọi là miền xác định (hay không gian thực) của hàm mệnh đề

Ví dụ: Xét câu If (x>10) then x:=x-1;

Khi gặp câu này trong chương trình giá trị biến x tại thời điểm đó sẽ được đặt vào P(x)=” x lớn hơn 10”, nếu P(x) là đúng với giá trị của x thì máy tính sẽ thực hiện lệnh gán x:=x-1 tức là giá trị của x tại thời điểm đó sẽ giảm

đi 1 Còn P(x) là sai thì lệnh gán sẽ không thực hiện khi đó giá trị của x không thay đổi

1.4.2 Lượng từ

Khi tất cả các biến của một hàm mệnh đề được gán cho giá trị xác định thì mệnh đề tạo thành có giá trị chân lí Tuy nhiên có một cách quan trọng

khác để biến các hàm mệnh đề thành các mệnh đề người ta gọi là sự lượng từ

hóa (hay còn gọi là lượng từ), bao gồm hai loại đó là lượng từ hóa phổ quát

(với mọi) và lượng từ hóa tồn tại Mối liên hệ giữa vị từ và lượng từ gọi là

phép tính vị từ

Định nghĩa: Lượng từ hóa phổ quát (với mọi) của P(x) là mệnh đề

“P(x) đúng, với mọi giá trị của x trong không gian thực”

Lượng từ hóa “với mọi” của P(x) được kí hiệu ∀x P(x), trong đó ∀ được gọi là lượng từ hóa phổ quát (với mọi)

Ví dụ: Giả sử P(x) là câu “x+2>x” Ta thấy P(x) là đúng mới mọi số

thực x, nên lượng từ hóa ∀x P(x) là đúng

Ví dụ: Cho P(x) là câu “x>5” Xác định giá trị chân lí của lượng từ hóa

∀x P(x), với không gian là tập hợp các số thực

Ta thấy P(x) không đúng với x=3 do đó ∀x P(x) là sai

Định nghĩa: Lượng từ hóa tồn tại của P(x) là mệnh đề “Tồn tại một phần tử x trong không gian thực sao cho P(x) đúng ”

Trang 11

Lượng từ hóa tồn tại của P(x) được kí hiệu ∃xP(x), trong đó ∃ được gọi

là lượng từ tồn tại

Ví dụ: Cho P(x) là câu “x>5” Xác định giá trị chân lí của lượng từ hóa

∃xP(x), với không gian là tập hợp các số thực

Ta thấy P(x) đúng với x=6 do đó ∃xP(x) là đúng

1.4.3 Các biến bị ràng buộc

Khi một lượng từ được dùng với biến x hoặc khi gán giá trị cho biến đó

Ta nói rằng thâm nhập của biến là bị ràng buộc Thâm nhập của biến không bị ràng buộc gọi là biến tự do

Ví dụ: Trong câu ∃xP(x,y), biến x là bị ràng buộc bởi lượng từ ∃x, còn

biến y là tự do

1.4.4 Phủ định

Chúng ta lần lượt xét phép phủ định của một biểu thức chứa lượng từ

Phủ định của lượng từ phổ quát

Ví dụ: Hãy xét phủ định của câu sau

“Tất cả các sinh viên đã học môn toán rời rạc”

Đây là một lượng từ hóa phổ quát ∀x P(x), trong đó P(x) là câu “ x đã học môn toán rời rạc” Phủ định của câu này là “ Không phải tất cả các sinh viên đã học môn toán rời rạc” Điều này tương đương với “ Có một sinh viên

ở lớp này chưa học môn toán rời rạc”

Đây là lượng từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu P(x)

∃x¬P(x) điều này minh họa cho tương đương logic sau:

¬∀x P(x)≡ ∃x¬P(x)

Phủ định của lượng từ tồn tại

Ví dụ: Hãy xét phủ định của câu sau

“Có một sinh viên đã học môn toán rời rạc”

Đây là lượng từ tồn tại ∃x P(x), trong đó P(x) là câu “ x đã học môn toán rời rạc” Phủ định của câu này là “ Không có sinh viên nào đã học môn toán rời rạc” Điều này tương đương với “ Tất cả các sinh viên chưa học môn

Trang 12

toán rời rạc” Đây là lượng từ hóa phổ quát của phủ định hàm mệnh đề ban đầu P(x) ∀x¬P(x) điều này minh họa cho tương đương logic sau :

¬∃xP(x) ≡∀x ¬P(x)

1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

Mỗi bài toán chứng minh thông thường đều có hai phần chính là giả thiết và kết luận do vậy các phương pháp chứng minh dựa trên bảng chân trị của mệnh đề kéo theo P→Q (chỉ sai khi P đúng Q sai)

Các qui tắc suy luận là các cách rút ra các kết luận từ những điều khảng định khác Một số dạng suy luận sai thường gặp được gọi là các ngụy

biện Mệnh đề được suy ra trực tiếp từ định lí đã được chứng minh gọi là hệ quả Mệnh đề mà giá trị chân lí của nó chưa biết gọi là phỏng đoán Khi tìm

ra chứng minh của một phỏng đoán thì phỏng đoán đó trở thành định lí

1.5.2 Các qui tắc suy luận

Trang 13

Các qui tắc suy luận

Trang 14

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên chẵn thì n2 cũng là số nguyên chẵn

Giải: Thật vậy vì n là số nguyên chẵn nên tồn tại số nguyên k sao cho n=2.k Từ đó suy ra n2= (2.k)2 = 2 (2.k2) =2 K (với số nguyên K=2.k2)

Vậy n2 là số nguyên chẵn

1.5.4 Chứng minh gián tiếp

Để chứng minh mệnh đề Q ta chứng minh mệnh đề phản đảo của Q hoặc bác bỏ phủ định của Q

Ví dụ: Chứng minh rằng “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường

thẳng thứ ba thì song song với nhau”

Mệnh đề phải chứng minh có dạng P∧Q→R là đúng Ta đi chứng minh phủ định của mệnh đề này có dạng P∧Q→¬R là sai

Giải: Thật vậy giả sử a và b cắt nhau tại điểm I Qua I chỉ có thể dựng được một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước nên a và b trùng nhau mâu thuẫn với giả thiết vậy P∧Q→¬R là sai do đó P∧Q→R là đúng

Tương tự vì P→Q chỉ sai khi P đúng Q sai Vậy để chứng minh mệnh

đề này là đúng ta chứng minh Q đúng Phương pháp này gọi là chứng minh tầm thường

Trang 15

1.5.7 Chứng minh bằng phản chứng

Để chứng minh mệnh đề Q là đúng Trước hết ta giả sử ngược lại rằng

Q là sai hay ¬Q là đúng Từ đó dẫn đến một kết luận ¬Q→R mà R mâu thuẫn với P

Ví dụ: Chứng minh rằng “ 2là số vô tỉ ”

Giải : Giả sử 2không là số vô tỉ Vậy 2là số hữu tỉ Khi đó

∃a,b∈N ; (a,b)=1 sao cho 2=

b

a Bình phương 2 vế ta được 2b2=a2 điều này chứng tỏ rằng a là số chẵn đặt a=2d suy ra b2=2d2 vậy b chẵn có nghĩa là (a,b)=2 mâu thuẫn (a,b)=1 Vậy 2 phải là số vô tỉ

1.5.8 Chứng minh tồn tại

Trong thực tế nhiều định lí được phát biểu như các mệnh đề có chứa lượng từ Một định lí loại này là mệnh đề có dạng ∃xP(x),với P là vị từ Chứng minh mệnh đề ∃xP(x) gọi là chứng minh tồn tại Đôi khi chứng minh tồn tại được thực hiện bằng cách chỉ ra một phần tử a sao cho P(a) đúng Nhưng đôi khi không thể chỉ ra dược phần tử a như vậy người ta thường sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng để từ đó chỉ ra điều mâu thuẫn

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x2= y2+ z2 có nghiệm nguyên

Giải: Sau khi tính toán ta được 52=42+32 vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên (đpcm)

1.5.9 Chứng minh tính duy nhất

Một định lí khảng định sự tồn tại duy nhất của một phần tử có tính chất

cụ thể nào đó Như vậy chứng minh tính duy nhất có hai phần

Tồn tại: Chỉ ra rằng tồn tại phần tử a có tính mong muốn

Duy nhất: chứng minh rằng nếu b≠ a thì b không có tính mong muốn

Ví dụ: Chứng minh rằng mọi số nguyên dương P đều tồn tại duy nhất

Trang 16

1.5.10 Những sai lầm trong chứng minh

Những sai lầm trong chứng minh thường gặp biểu hiện ở các khía cạnh sau đây:

a Suy luận không hợp logic thường theo các sơ đồ sau

((P→Q)∧¬P)→¬Q

((P→Q)∧P)→P

((P˅Q)∧P)→¬Q

Ví dụ: Các câu có dạng “bao giờ có P thì có Q”, ngầm hiểu “không bao

giờ có Q vậy thì không bao giờ có P”

b Dựa vào tiên đề sai hoặc tiên đề chưa được chứng minh hoặc dựa vào một điều không đúng với giả thiết

Ví dụ: Tìm chỗ sai trong chứng minh sau: "Nếu x không dương thì x2không dương"

Chứng minh: Giả sử x là không dương Vì mệnh đề kéo theo "Nếu x dương thì x2 cũng dương" là đúng nên ta kết luận rằng x2 là không dương

Giải: Gọi P(x) là câu " x là dương" và Q(x) là câu "x2 là dương"

mệnh đề "Nếu x dương thì x2 cũng dương" chính là mệnh đề

∀x(P(x)→ Q(x)) Từ giả thiết "x là không dương" tức là ¬P(x) đúng

Từ hai điều này ta không thể kết luận "x2 là không dương" hay ¬Q(x) là đúng Đây là một sai lầm trong suy luận không hợp thức

Trong quá trình học tập việc mắc sai lầm trong chứng minh là không thể tránh khỏi Song khi mắc phải một sai lầm mà có ai đó chỉ ra thì bạn hãy nên phân tích kĩ lưỡng mình đã sai ở điểm nào để đảm bảo chắc chắn rằng lần sau

sẽ không mắc phải chính sai lầm đó nữa có như vậy bạn mới thành công

Trang 17

BÀI TẬP CHƯƠNG I Bài tập tính toán

1.1.1 Lập bảng chân trị của mệnh đề (P˅Q)→(Q˅¬R)

1.1.2 Chứng minh các mệnh đề sau đây là hằng đúng

a)(¬Q∧ ((P→Q))→(¬Q∧¬P )

b) ((P˅Q)∧¬P)→Q

1.1.3 Gọi P(x) là hàm mệnh đề “ x là số chẵn” với không gian là tập các số tự

nhiên Hãy phát biểu các mệnh đề sau đây thành lời và xét giá trị chân lí của chúng : P(2) ; P(7) ; P(20) ; P(125) ; ∃xP(x) ; ∀x P(x)

1.1.4 Gọi Q(x) là hàm mệnh đề “10+ x=2” Hãy dùng kí hiệu đó để chỉ các mệnh

đề sau : “ 10+5=2”; “10-7=2 ”; “Có một x sao cho 10+x=2 ”; “Với mọi x, 10+x=2” ;“Không có x nào sao cho 10+x không bằng 2 ”

1.1.5 Tìm chỗ sai trong chứng minh sau

Chứng minh rằng nếu 2 số a và b nguyên tố cùng nhau thì a+b và a.b cũng là nguyên tố cùng nhau

Chứng minh: Giả sử a+b và a.b không nguyên tố cùng nhau, tức là (a+b,a.b)=d với d≠1 Vì d là ước của a.b nên d phải là ước của a hoặc của b Nếu d là ước của a thì do d là ước a+b nên d cũng là ước của b Cũng vì lí do đó nếu d là ước của b thì d cũng là ước của

a Như vậy (a, b)=d mà d≠1 Điều này trái với giả thiết là a, b nguyên tố cùng nhau

1.1.6 Cho vị từ P(x,y) = {x đã học môn y} với không gian của x là tập hợp tất cả

các sinh viên lớp bạn và không gian của y là tập hợp tất cả các môn tin học của học kỳmà bạn đang học

Hãy diễn đạt các lượng từ sau thành các câu thông thường:

a) ∃x ∃y P(x,y) b) ∃x ∀y P(x,y) c) ∀x ∃y P(x,y)

d) ∃y ∀x P(x,y) e) ∀y ∃x P(x,y) f) ∀x ∀y P(x,y)

1.1.7 Cho vị từ:

P(x) = {x nói được tiếng Anh}

Q(x) = {x biết ngôn ngữ C++}

Cho không gian là tập hợp các sinh viên lớp bạn Hãy diễn đạt các câu sau

bằng cách dùng P(x), Q(x), các lượng từ và các phép toán logic

a) Có một sinh viên ở lớp bạn nói được tiếng Anh và biết C++

b) Có một sinh viên ở lớp bạn nói được tiếng Anh nhưng không biết C++

c) Mọi sinh viên ở lớp bạn đều nói được tiếng Anh hoặc biết C++

d) Không có một sinh viên nào ở lớp bạn nói được tiếng Anh hoặc biết C++

Trang 18

1.1.8 Một giải bóng đá có n đội tham dự Các đội thi đấu vòng tròn một lượt Trong

mỗi trận đội thắng được 2 điểm hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó Khi kết thúc giải đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội xếp thứ ba được 5 điểm Các đội còn lại có số điểm khác nhau Hãy cho biết số đội đã tham dự giải và điểm của các đội còn lại

1.1.9 Một vận động viên thi bắn súng Vận động viên đã bắn hơn 11 viên và đều

bắn trúng vào các vòng 8,9,10 điểm Kết quả tổng số điểm là 100 Hỏi vận động viên đó bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?

1.1.10 Cho a và b là hai số nguyên dương Biết rằng, trong 4 mệnh đề sau đây có 3

mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai Hãy tìm mọi cặp số (a, b) có thể có

1/ a+1 chia hết cho b

2/ a = 2b + 5

3/ a+b chia hết cho 3

4/ a+7b là số nguyên tố

Bài tập trên máy tính

1.2.1 Cho n bit dữ liệu Hãy lập trình cho biết cần bao nhiêu byte để mã hóa n bit

dữ liệu trên

1.2.2 Chỉ sử dụng các câu trả lời có hoặc không Lập trình đoán số tuổi của một

người với số lần trả lời là ít nhất (quy định tuổi tối đa là 120)

1.2.3 Cho hai xâu bít có độ dài n Lập trình tìm AND bit, OR bít và XOR của hai

xâu bít đó (mở rông bài toán cho k xâu bit cùng độ dài n)

1.2.4 Liệt kê tất cả các xâu bít với độ dài n

1.2.5 Biết rằng trong 25 ngày được chọn thì ít nhất có 3 ngày cùng rơi vào một

tháng trong năm Lập trình chỉ ra đó là những ngày nào?

Viết tiểu luận

1.3.1 Logic mờ là gì ? Hãy tham khảo logic mờ được áp dụng như thế nào trong

những ứng dụng thực tế

1.3.2 Khái niệm hàm lần đầu tiên xuất hiện ở đâu và mô tả xem khái niệm này lần

đầu tiên được dùng như thế nào ?

1.3.3 Hãy sưu tầm các câu đố logic

1.3.4 Hãy sưu tầm các bài toán ngụy biện

1.3.5 Tìm các số nguyên dương không là tổng các lập phương của chín số nguyên

dương khác nhau

Trang 19

Bài toán và thuật toán Nguyễn Thế Vinh - ĐHKH

CHƯƠNG II

BÀI TOÁN VÀ THUẬT TOÁN

2.1 KHÁI NIỆM BÀI TOÁN

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhất ax+b=0

Input: Các giá trị thực a,b Output: Nghiệm là giá trị x hoặc thông báo không có nghiệm

Ví dụ 2: Quản lí điểm trong trường học

Input: Thông tin cá nhân của từng học sinh Output: Thông tin cần khai thác về một học sinh, một lớp học sinh, một khối hay toàn trường

2.1.2 Các bước giải bài toán bằng máy tính điện tử

Học sử dụng máy tính thực chất là học cách giao cho máy tính việc mà

ta muốn nó làm Khả năng khai thác máy tính phụ thuộc rất nhiều vào sự hiểu biết của người sử dụng.Việc giải bài toán trên máy tính được tiến hành qua các bước sau:

Bước 1: Xác định bài toán

Như đã trình bày, mỗi bài toán được đặc tả bởi hai thành phần: Input và Output Việc xác định bài toán chính là xác định rõ hai thành phần này Các thông tin đó cần được nghiên cứu cẩn thận để có thể lựa chọn thuật toán, cách thể hiện các đại lượng đã cho và các đại lượng phát sinh trong quá trình giải bài toán và ngôn ngữ lập trình thích hợp

Trang 20

Ví dụ, trong một bài toán Tin học khi đề cập đến một số nguyên dương

N ta phải biết rõ phạm vi giá trị của nó, để lựa chọn cách thể hiện N bằng kiểu

dữ liệu thích hợp

Bước 2: Lựa chọn hoặc thiết kế thuật toán

Bước lựa chọn và thiết kế thuật toán là bước quan trọng nhất để giải một bài toán

Mỗi thuật toán chỉ giải một bài toán nào đó, nhưng có thể có nhiều thuật toán khác nhau cùng giải một bài toán Cần chọn một thuật toán phù hợp để giải bài toán đã cho

Khi lựa chọn thuật toán người ta thường quan tâm đến các tài nguyên như giờ CPU, số lượng ô nhớ, Trong các loại tài nguyên, người ta quan tâm nhiều nhất đến thời gian vì đó là dạng tài nguyên không tái tạo được

Trong thực tế, khi lựa chọn thuật toán người ta còn quan tâm tới việc viết chương trình cho thuật toán đó được dễ dàng

Việc thiết kế và lựa chọn thuật toán để giải một bài toán cụ thể cần căn

cứ vào lượng tài nguyên mà thuật toán đòi hỏi và lượng tài nguyên thực tế cho phép

Bước 3: Viết chương trình

Việc viết chương trình là một tổng hợp hữu cơ giữa việc lựa chọn cấu trúc dữ liệu và ngôn ngữ lập trình để diễn đạt đúng thuật toán

Khi viết chương trình ta cần lựa chọn một ngôn ngữ bậc cao, hoặc hợp

ngữ, hoặc ngôn ngữ máy, hoặc một phần mềm chuyên dụng thích hợp cho thuật toán đã lựa chọn Viết chương trình trong ngôn ngữ nào ta cần phải tuân theo đúng quy định ngữ pháp của ngôn ngữ đó Chương trình dịch có thể giúp

ta phát hiện và thông báo đầy đủ các sai sót về mặt ngữ pháp

Bước 4: Hiệu chỉnh

Sau khi được viết xong, chương trình vẫn còn có thể có nhiều lỗi khác chưa phát hiện được nên chương trình có thể không cho kết quả đúng Vì vậy, cần phải thử chương trình bằng cách thực hiện nó với một số bộ Input tiêu biểu phụ thuộc vào đặc thù của bài toán Các bộ Input này gọi là các Test Nếu

Trang 21

có sai sót, ta phải sửa chương trình rồi thử lại Quá trình này được gọi là hiệu

chỉnh

Bước 5: Viết tài liệu

Tài liệu phải mô tả chi tiết bài toán, thuật toán, chương trình, kết quả thử nghiệm và hướng dẫn sử dụng Tài liệu này rất có ích cho người sử dụng chương trình và cho việc đề xuất những khả năng hoàn thiện thêm

Các bước trên có thể lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến khi mà ta cho là chương trình đã làm việc đúng đắn

2.2 KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN

2.2.1 Định nghĩa

Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác

đó, từ Input của bài toán, ta nhận được Output cần tìm

Có nhiều cách trình bày thuật toán: dùng ngôn ngữ tự nhiên; sơ đồ khối; ngôn ngữ lập trình(tựa Pascal)

2.2.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Mô tả thuật toán tìm phần tử lớn nhất trong một dãy hữu hạn

các số bất kì (nguyên hoặc thực)

a) Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước cần phải thực hiện:

1 Đặt giá trị cực đại tạm thời bằng số đầu tiên trong dãy

2 So sánh số tiếp sau với giá trị cực đại tạm thời, nếu nó lớn hơn giá trị cực đại tạm thời thì đặt cực đại tạm thời bằng số đó

3 Lặp lại bước 2 nếu còn các số trong dãy

4 Dừng khi không còn số nào nữa trong dãy Cực đại tạm thời ở điểm này chính là số lớn nhất của dãy

b) Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:

Procedure max (a1, a2, , an: Item);

Trang 22

{max là phần tử lớn nhất}

End;

{Item quy ước là một kiểu dữ liệu bất kì nào đó}

Ví dụ 2: Mô tả thuật toán tìm tổng các phần tử dương trong một dãy

hữu hạn các số bất kì

a) Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước cần phải thực hiện:

1 Đặt giá trị tổng ban đầu bằng 0

2 Đi từ đầu dãy tới cuối dãy, kiểm tra số hiện thời nếu dương thì cộng giá trị đó vào tổng S

3 Dừng khi không còn số nào nữa trong dãy Giá trị S chính là tổng cần tìm

b) Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:

Procedure max (a1, a2, , an: Item);

Begin

S:= 0;

for i:= 1 to n

if ai >0 then S:= S+ ai; {S là tổng các phần tử dương}

End;

2.2.3 Các đặc trưng của thuật toán

Tính hữu hạn: Sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác thuật toán phải kết thúc;

Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác, hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo;

Tính đúng đắn: Sau khi thuật toán kết thúc, ta phải nhận được Output cần tìm;

Tính chi tiết: Các thao tác trong thuật toán phải được xác định một cách chặt chẽ theo nghĩa đủ chi tiết để đối tượng thực hiện thuật toán có thể làm được;

Tính phổ dụng: Thuật toán không chỉ cho phép giải một bài toán đơn lẻ

Trang 23

2.3 THUẬT TOÁN TÌM KIẾM

2.3.1 Bài toán tìm kiếm: Bài toán xác định vị trí của một phần tử

trong một tập hữu hạn các phần tử Chẳng hạn chương trình kiểm tra chính tả của các từ; tìm kiếm các từ trong một cuốn từ điển; tra cứu điểm thi đại học v.v….Các bài toán thuộc loại này được gọi là các bài toán tìm kiếm

Bài toán tìm kiếm tổng quát được mô tả như sau: xác định vị trí của phần tử x trong một dãy các phần tử a1, a2, , an hoặc xác định rằng nó không

có mặt trong dãy

Input: dãy số a1, a2, , an và giá trị x

Output: Nghiệm là i nếu x=ai và là 0 nếu x không có mặt trong dãy

2.3.2 Thuật toán tìm kiếm tuyến tính: Tìm kiếm tuyến tính hay tìm

kiếm tuần tự Tư tưởng thuật toán là bắt đầu bằng việc so sánh x với a1; khi x=a1, nghiệm là vị trí a1, tức là 1; khi x≠a1, so sánh x với a2 Nếu x=a2, nghiệm

là vị trí của a2, tức là 2 Khi x≠a2, so sánh x với a3 Tiếp tục quá trình này bằng cách tuần tự so sánh x với mỗi số hạng của dãy cho tới khi tìm được số hạng bằng x hoặc là kết thúc dãy

Dùng ngôn ngữ tựa Pascal:

Procedure tìm kiếm tuyến tính (x: Item, a1,a2, ,an: Item);

{kq là vị trí của số hạng bằng x hoặc là 0 nếu không tìm được x}

2.3.3 Thuật toán tìm kiếm nhị phân: Thuật toán này có thể được

dùng khi dãy số được sắp xếp đơn điệu theo thứ tự tăng hoặc giảm dần.Tư tưởng thuật toán là chọn phần tử ở vị trí giữa làm chốt, chia dãy thành 2 phần

có kích thước nhỏ hơn Sau đó so sánh phần tử cần tìm x với chốt, nếu x lớn hơn chốt tìm ở nửa sau của dãy, nếu x nhỏ hơn chốt tìm ở nửa trước của dãy(áp dụng với dãy tăng), quá trình trên tiếp tục cho tới khi tìm được x hoặc dãy chia không còn phần tử nào

Trang 24

Ví dụ: Cho dãy số: A={-6,1,3,5,8,10,14,16,19,21 }; x=5; dãy gồm 10

phần tử

Gọi phần tử chốt là k, ban đầu k=8

Bước 1: k=8, so sánh x với k, x<k ta tìm kiếm x ở nửa trước 6,1,3,5,8}

{-Bước 2: k=3, so sánh x với k, x>k ta tìm kiếm x ở nửa sau {3,5,8}

Bước 3: k=5, so sánh x với k, x=k ta tìm được x kết thúc

Dùng ngôn ngữ tựa Pascal: {Thuật toán áp dụng với dãy tăng dần}

Procedure tìm kiếm nhị phân (x: Item, a1,a2, ,an: Item);

Begin

d := 1 {d là điểm đầu của đoạn tìm kiếm}

c := n {c là điểm cuối của đoạn tìm kiếm}

while (d <c) do

begin

m:= [(d+c)/2]

if x>am then d:=m+1 else c := m-1

end

if x = ai then kq := i else kq := 0

{kq là vị trí của số hạng bằng x hoặc 0 nếu không tìm thấy x}

End;

2.4 ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN

2.4.1 Khái niệm về độ phức tạp của một thuật toán

Thước đo hiệu quả của một thuật toán là thời gian mà máy tính sử dụng

để giải bài toán theo thuật toán đang xét, khi các giá trị đầu vào có một kích thước xác định Một thước đo thứ hai là dung lượng bộ nhớ đòi hỏi để thực hiện thuật toán khi các giá trị đầu vào có kích thước xác định Các vấn đề như thế liên quan đến độ phức tạp tính toán của một thuật toán Sự phân tích thời gian cần thiết để giải một bài toán có kích thước đặc biệt nào đó liên quan đến

Trang 25

tính liên quan đến độ phức tạp không gian của thuật toán Vệc xem xét độ

phức tạp thời gian và không gian của một thuật toán là một vấn đề rất thiết yếu khi các thuật toán được thực hiện Biết một thuật toán sẽ đưa ra đáp số trong một micro giây, trong một phút hoặc trong một tỉ năm, hiển nhiên là hết sức quan trọng Tương tự như vậy, dung lượng bộ nhớ đòi hỏi phải là khả dụng để giải một bài toán,vì vậy độ phức tạp không gian cũng cần phải tính đến.Vì việc xem xét độ phức tạp không gian gắn liền với các cấu trúc dữ liệu đặc biệt được dùng để thực hiện thuật toán nên ở đây ta sẽ tập trung xem xét độ phức tạp thời gian

Độ phức tạp thời gian của một thuật toán có thể được biểu diễn qua số các phép toán được dùng bởi thuật toán đó khi các giá trị đầu vào có một kích thước xác định Sở dĩ độ phức tạp thời gian được mô tả thông qua số các phép toán đòi hỏi thay vì thời gian thực của máy tính là bởi vì các máy tính khác nhau thực hiện các phép tính sơ cấp trong những khoảng thời gian khác nhau Hơn nữa, phân tích tất cả các phép toán thành các phép tính bit sơ cấp mà máy tính sử dụng là điều rất phức tạp

Ví dụ: Xét thuật toán tìm số lớn nhất trong dãy n số a1, a2, , an Có thể coi kích thước của dữ liệu nhập là số lượng phần tử của dãy số, tức là n Nếu coi mỗi lần so sánh hai số của thuật toán đòi hỏi một đơn vị thời gian (giây chẳng hạn) thì thời gian thực hiện thuật toán trong trường hợp xấu nhất là n-1 giây Với dãy 64 số, thời gian thực hiện thuật toán nhiều lắm là 63 giây Ta nói độ phức tạp là n-1

Ví dụ: Thuật toán về bài toán “Tháp Hà Nội”

Bài toán “Tháp Hà Nội” như sau: Có ba cọc A, B, C bằng kim cương và

64 cái đĩa bằng vàng các đĩa có đường kính đôi một khác nhau Nguyên tắc chuyển đĩa là: mỗi lần chỉ chuyển một đĩa và không được chồng đĩa to lên trên đĩa nhỏ hơn nó Ban đầu, cả 64 đĩa được đặt chồng lên nhau ở cột A; hai cột

B, C trống Vấn đề là phải chuyển cả 64 đĩa đó từ cột A sang cột B lấy cột C làm trung gian

Xét trò chơi với n đĩa ban đầu ở cọc A (cọc B và C trống) Gọi Sn là số lần chuyển đĩa để chơi xong trò chơi với n đĩa

Trang 26

Nếu n=1 thì rõ ràng là S1=1

Nếu n>1 thì trước hết ta chuyển n-1 đĩa bên trên sang cọc B (giữ yên đĩa thứ n ở dưới cùng của cọc A) Số lần chuyển n-1 đĩa là Sn-1 Sau đó ta chuyển đĩa thứ n từ cọc A sang cọc C Cuối cùng, ta chuyển n-1 đĩa từ cọc B sang cọc C (số lần chuyển là Sn-1)

Như vậy, số lần chuyển n đĩa từ A sang C là:

Sn=Sn-1+1+Sn=2Sn-1+1=2(2Sn-2+1)+1=22Sn-2+2+1= =2n-1S1+2

n-2

+ +2+1=2n−1

Thuật toán về bài toán “Tháp Hà Nội” đòi hỏi 264−1 lần chuyển đĩa (xấp

xỉ 18,4 tỉ tỉ lần) Nếu mỗi lần chuyển đĩa mất 1 giây thì thời gian thực hiện thuật toán xấp xỉ 585 tỉ năm! Ta nói độ phức tạp là 2n−1

Hai thí dụ trên cho thấy rằng: một thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn bước, nhưng nếu số hữu hạn này quá lớn thì thuật toán không thể thực hiện được trong thực tế

2.4.2 So sánh độ phức tạp của các thuật toán

Một bài toán thường có nhiều cách giải, có nhiều thuật toán để giải, các thuật toán đó có độ phức tạp khác nhau

S:=S+aix0

i

; End;

{S là giá trị của đa thức P(x) tại x0}

Chú ý rằng đa thức P(x) có thể viết dưới dạng:

P(x)=( ((anx+an-1)x+an-2)x )x+a0

Ta có thể tính P(x) theo thuật toán sau:

Trang 27

Thuật toán 2:

Procedure tính giá trị của đa thức (a0, a1, , an, x0: real);

Begin

P:=anfor i:=1 to n

P:=P.x0+an-i; End;

{P là giá trị của đa thức P(x) tại x0}

Ta hãy xét độ phức tạp của hai thuật toán trên

Đối với thuật toán 1: ở bước 2, phải thực hiện 1 phép nhân và 1 phép cộng với i=1; 2 phép nhân và 1 phép cộng với i=2, , n phép nhân và 1 phép cộng với i=n Vậy số phép tính (nhân và cộng) mà thuật toán 1 đòi hỏi là:

(1+1)+(2+1)+ +(n+1)=

2

) 1 ( +n n

+n=

2

) 3 ( +n n

Đối với thuật toán 2, bước 2 phải thực hiện n lần, mỗi lần đòi hỏi 2 phép tính (nhân rồi cộng), do đó số phép tính (nhân và cộng) mà thuật toán 2 đòi hỏi là 2n

Nếu coi thời gian thực hiện mỗi phép tính nhân và cộng là như nhau và

là một đơn vị thời gian thì với mỗi n cho trước, thời gian thực hiện thuật toán

1 là n(n+3)/2, còn thời gian thực hiện thuật toán 2 là 2n

Rõ ràng là thời gian thực hiện thuật toán 2 ít hơn so với thời gian thực hiện thuật toán 1 Hàm f1(n)=2n là hàm bậc nhất, tăng chậm hơn nhiều so với hàm bậc hai f2(n)=n(n+3)/2

Ta nói rằng thuật toán 2 (có độ phức tạp là 2n) là thuật toán hữu hiệu hơn (hay nhanh hơn) so với thuật toán 1 (có độ phức tạp là n(n+3)/2)

Để so sánh độ phức tạp của các thuật toán, điều tiện lợi là coi độ phức tạp của mỗi thuật toán như là cấp của hàm biểu hiện thời gian thực hiện thuật toán ấy

Các hàm xét sau đây đều là hàm của biến số tự nhiên n>0

Định nghĩa 1: Ta nói hàm f(n) có cấp thấp hơn hay bằng hàm g(n) nếu

tồn tại hằng số C>0 và một số tự nhiên n0 sao cho

Trang 28

Ví dụ: Hàm f(n)=

2

) 3 ( +n n

là hàm bậc hai và hàm bậc hai đơn giản nhất

là n2 Ta có:

f(n)=

2

) 3 ( +n n

=O(n2) vì

2

) 3 ( +n n

Điều này chứng tỏ |f(n)| ≤ Cnk với mọi n>1

Cho g(n)=3n+5nlog2n, ta có g(n)=O(nlog2n) Thật vậy,

3n+5nlog2n = n(3+5log2n) ≤ n(log2n+5log2n) = 6nlog2n với mọi n≥8 (C=6,

n0=8)

Mệnh đề: Cho f1(n)=O(g1(n)) và f2(n) là O(g2(n)) Khi đó

(f1 + f2)(n) = O(max(|g1(n)|,|g2(n)|), (f1f2)(n) = O(g1(n)g2(n))

Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại C1, C2, n1, n2 sao cho

|f1(n)| ≤ C1|g1(n)| và |f2(n)| ≤ C2|g2(n)| với mọi n > n1 và mọi n > n2

Do đó |(f1 + f2)(n)| = |f1(n) + f2(n)| ≤ |f1(n)| + |f2(n)| ≤ C1|g1(n)| + C2|g2(n)| ≤ (C1+C2)g(n)

với mọi n > n0=max(n1,n2), ở đâyC=C1+C2 và g(n)=max(|g1(n)| , |g2(n)|)

|(f1f2)(n)| = |f1(n)||f2(n)| ≤ C1|g1(n)|C2|g2(n)| ≤ C1C2|(g1g2)(n)| với mọi n >

Trang 29

Định nghĩa 2: Nếu một thuật toán có độ phức tạp là f(n) với

f(n)=O(g(n)) thì ta cũng nói thuật toán có độ phức tạp O(g(n))

Nếu có hai thuật toán giải cùng một bài toán, thuật toán 1 có độ phức tạp O(g1(n)), thuật toán 2 có độ phức tạp O(g2(n)), mà g1(n) có cấp thấp hơn

g2(n), thì ta nói rằng thuật toán 1 hữu hiệu hơn (hay nhanh hơn) thuật toán 2

2.4.3 Đánh giá độ phức tạp của một thuật toán

2.4.3.1 Thuật toán tìm kiếm tuyến tính

Số các phép so sánh được dùng trong thuật toán này cũng sẽ được xem như thước đo độ phức tạp thời gian của nó Ở mỗi một bước của vòng lặp trong thuật toán, có hai phép so sánh được thực hiện: một để xem đã tới cuối bảng chưa và một để so sánh phần tử x với một số hạng của bảng Cuối cùng còn một phép so sánh nữa làm ở ngoài vòng lặp Do đó, nếu x=ai, thì đã có 2i+1 phép so sánh được sử dụng Số phép so sánh nhiều nhất, 2n+2, đòi hỏi phải được sử dụng khi phần tử x không có mặt trong bảng Từ đó, thuật toán tìm kiếm tuyến tính có độ phức tạp là O(n)

2.4.3.2 Thuật toán tìm kiếm nhị phân

Để đơn giản, ta giả sử rằng có n=2k

phần tử trong bảng liệt kê a1,a2, ,an, với k là số nguyên không âm (nếu n không phải là lũy thừa của 2, ta có thể xem bảng là một phần của bảng gồm 2k+1 phần tử, trong đó k là số nguyên nhỏ nhất sao cho n < 2k+1)

Ở mỗi giai đoạn của thuật toán vị trí của số hạng đầu tiên i và số hạng cuối cùng j của bảng con hạn chế tìm kiếm ở giai đoạn đó được so sánh để xem bảng con này còn nhiều hơn một phần tử hay không Nếu i < j, một phép

so sánh sẽ được làm để xác định x có lớn hơn số hạng ở giữa của bảng con hạn chế hay không Như vậy ở mỗi giai đoạn, có sử dụng hai phép so sánh Khi trong bảng chỉ còn một phần tử, một phép so sánh sẽ cho chúng ta biết rằng không còn một phần tử nào thêm nữa và một phép so sánh nữa cho biết số hạng đó có phải là x hay không Tóm lại cần phải có nhiều nhất 2k+2=2[log2n]+2 phép so sánh để thực hiện phép tìm kiếm nhị phân (nếu n

không phải là lũy thừa của 2, bảng gốc sẽ được mở rộng tới bảng có 2k+1 phần

tử, với k=[log2n] và sự tìm kiếm đòi hỏi phải thực hiện nhiều nhất 2[log2n]+2

Trang 30

phép so sánh) Do đó thuật toán tìm kiếm nhị phân có độ phức tạp là O(log2n)

Từ sự phân tích ở trên suy ra rằng thuật toán tìm kiếm nhị phân, ngay cả trong trường hợp xấu nhất, cũng hiệu quả hơn thuật toán tìm kiếm tuyến tính

Các thuật ngữ thường dùng cho độ phức tạp của một thuật toán

Thời gian máy tính được dùng bởi một thuật toán

2.5 SỐ NGUYÊN VÀ THUẬT TOÁN

2.5.1 Thuật toán Euclide

Phương pháp tính ước chung lớn nhất của hai số bằng cách dùng phân tích các số nguyên đó ra thừa số nguyên tố là không hiệu quả Lý do là ở chỗ thời gian phải tiêu tốn cho sự phân tích đó Dưới đây là phương pháp hiệu quả

hơn để tìm ước số chung lớn nhất, gọi là thuật toán Euclide Thuật toán này

Trang 31

mô tả thuật toán này trong cuốn sách “Những yếu tố” nổi tiếng của ông Thuật

toán Euclide dựa vào 2 mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1: Cho a và b là hai số nguyên và b≠0 Khi đó tồn tại duy nhất

hai số nguyên q và r sao cho

(Ở đây UCLN(a,b) để chỉ ước chung lớn nhất của a và b.)

Giả sử a và b là hai số nguyên dương với a ≥ b Đặt r0 = a và r1 = b Bằng cách áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta tìm được:

Trang 32

2.5.2 Biểu diễn số trong các hệ đếm khác nhau

2.5.2.1 Biến đổi biểu diễn số ở hệ đếm khác sang hệ thập phân

Cho số N trong hệ đếm cơ số b:

N = (dn dn-1 dn-2 d1 d 0, d -1 d -2 d -m)b

( N = bdnbdn-1 bd0.bd-1bd-2 bd-m)

Trước hết xét trường hợp N là nguyên Để tìm biểu diễn của số nguyên

N trong hệ đếm thập phân, ta tiến hành các bước sau:

Bước 1 Viết N dưới dạng đa thức của cơ số b:

N = dn bn + dn-1 bn-1 + dn-2 bn-2 + + d0b0

Bước 2 Tính giá trị đa thức

Trường hợp ngoài phần nguyên còn có phần phân thì ta tách phần nguyên

và phần phân Mỗi phần được biến đổi riêng và sau đó hai kết quả được kết nối

0,1012 = 1 × 2-1 + 0 × 2-2 + 1 × 2-3 = 0,5 + 0,125 = 0,62510 Vậy 1110,1012 = 14,62510

2.5.2.2 Biến đổi biểu diễn số ở hệ thập phân sang hệ đếm cơ số khác

Trước hết ta tách phần nguyên và phần phân rồi tiến hành biến đổi chúng riêng biệt, sau đó ghép lại để có kết quả cần tìm

a) Biến đổi biểu diễn số nguyên

Trang 33

N = dn bn + dn-1 bn-1 + + d0 (1)Nhận xét rằng, 0 ≤ d0 < b Do vậy, khi chia N cho b thì phần dư của phép chia đó là d0 còn thương số N1 sẽ là:

N1 = dn bn-1 + dn-1 bn-2 + + d1 (2) Tương tự, d1 chính là phần dư của phép chia N1 cho b Gọi N2 là thương của phép chia đó Quá trình chia như vậy được thực hiện liên tiếp và ta

sẽ lần lượt nhận được giá trị các di Quá trình sẽ dừng lại khi nhận được thương số bằng 0 Để có biểu diễn cần tìm, các phần dư thu được cần sắp xếp theo thứ tự ngược lại

Ví dụ: 5210 = ?2 = ?16

Sau khi thực hiện theo cách trên ta có: 5210 = 1101002 và 5210 = 3416

b) Biến đổi biểu diễn phần phân

Kí hiệu N' là phần phân (phần sau dấu phẩy thập phân) của số N Giả sử N’ viết dưới dạng đa thức của cơ số b như sau:

Cũng thực hiện theo cách tương tự ta có, ví dụ 0,843510 = 0,D7EF16

2.5.2.3 Biến đổi biểu diễn số giữa hệ nhị phân và hệ Hexa

Hệ nhị phân và hệ Hexa là hai hệ đếm thường dùng trong Tin học Vì

16 là luỹ thừa của 2 (16 = 24) nên việc biến đổi biểu diễn số giữa hai hệ đếm

Trang 34

đó được thực hiện rất dễ dàng Để đổi biểu diễn số từ hệ nhị phân sang hệ 16

2.6 THUẬT TOÁN ĐỆ QUY

2.6.1 Khái niệm đệ quy

Đôi khi chúng ta có thể quy việc giải bài toán với tập các dữ liệu đầu vào xác định về việc giải cùng bài toán đó nhưng với các giá trị đầu vào nhỏ hơn Chẳng hạn, bài toán tìm UCLN của hai số a, b với a > b có thể rút gọn về

bài toán tìm ƯCLN của hai số nhỏ hơn, a mod b và b Khi việc rút gọn như

vậy thực hiện được thì lời giải bài toán ban đầu có thể tìm được bằng một dãy các phép rút gọn cho tới những trường hợp mà ta có thể dễ dàng nhận được lời giải của bài toán Ta sẽ thấy rằng các thuật toán rút gọn liên tiếp bài toán ban đầu tới bài toán có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn, được áp dụng trong một lớp rất rộng các bài toán

Định nghĩa: Một thuật toán được gọi là đệ quy nếu nó giải bài toán

bằng cách rút gọn liên tiếp bài toán ban đầu tới bài toán cũng như vậy nhưng

có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn

2.6.2 Một số ví dụ

Ví dụ 1: Tìm thuật toán đệ quy tính giá trị an

với a là số thực khác không và n là số nguyên không âm

Trang 35

Ta xây dựng thuật toán đệ quy nhờ định nghĩa đệ quy của an, đó là

an+1=a.an với n>0 và khi n=0 thì a0=1 Vậy để tính an ta quy về các trường hợp

có số mũ n nhỏ hơn, cho tới khi n=0

Function power (a, n):Item;

Begin

if n = 0 then power := 1 else power := a * power(a,n-1) End;

Ví dụ 2: Tìm thuật toán đệ quy để tính UCLN của hai số nguyên a,b

Ví dụ 3: Hãy biểu diễn thuật toán tìm kiếm tuyến tính như một thủ tục

đệ quy

Để tìm x trong dãy tìm kiếm a1,a2, ,an trong bước thứ i của thuật toán ta

so sánh x với ai Nếu x bằng ai thì i là vị trí cần tìm, ngược lại thì việc tìm kiếm được quy về dãy có số phần tử ít hơn, cụ thể là dãy ai+1, ,an Thuật toán tìm kiếm có dạng thủ tục đệ quy như sau

Cho search (i,j,x) là thủ tục tìm số x trong dãy ai, ai+1, , aj Dữ liệu đầu vào là bộ ba (1,n,x) Thủ tục sẽ dừng khi số hạng đầu tiên của dãy còn lại là x hoặc là khi dãy còn lại chỉ có một phần tử khác x Nếu x không là số hạng đầu tiên và còn có các số hạng khác thì lại áp dụng thủ tục này, nhưng dãy tìm kiếm ít hơn một phần tử nhận được bằng cách xóa đi phần tử đầu tiên của dãy tìm kiếm ở bước vừa qua

Procedure search (i,j,x);

Begin

if ai = x then loacation := i

Trang 36

else if i = j then loacation := 0

else search (i+1,j,x)

Procedure binary search (x,i,j);

Begin

m := [(i+j)/2];

if x = am then loacation := m else if (x < am and i < m) then binary search (x,i,m-1)

else if (x > am and j > m) then binary search (x,m+1,j)

Trang 37

Có cách khác tính hàm giai thừa của một số nguyên từ định nghĩa đệ quy của nó Thay cho việc lần lượt rút gọn việc tính toán cho các giá trị nhỏ hơn, ta có thể xuất phát từ giá trị của hàm tại 1và lần lượt áp dụng định nghĩa

đệ quy để tìm giá trị của hàm tại các số nguyên lớn dần Đó là thủ tục lặp

số hạng thứ n của dãy Fibonacci

Hàm đệ quy

Function fibonacci (n):Item;

Begin

if n = 0 the fibonacci := 0 else if n = 1 then fibonacci := 1

else fibonacci := fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

End;

Theo thuật toán này, để tìm fn ta biểu diễn fn = fn-1 + fn-2 Sau đó thay thế

cả hai số này bằng tổng của hai số Fibonacci bậc thấp hơn, cứ tiếp tục như vậy cho tới khi f0 và f1 xuất hiện thì được thay bằng các giá trị của chúng theo định nghĩa Do đó để tính fn cần fn+1-1 phép cộng

Bây giờ ta sẽ tính các phép toán cần dùng để tính fn khi sử dụng phương pháp lặp Thủ tục này khởi tạo x là f0 = 0 và y là f1 = 1 Khi vòng lặp được duyệt qua tổng của x và y được gán cho biến phụ z Sau đó x được gán giá trị của y và y được gán giá trị của z Vậy sau khi đi qua vòng lặp lần 1, ta có x =

f1 và y = f0 + f1 = f2 Khi qua vòng lặp lần n-1 thì x = fn-1 Như vậy chỉ có n – 1 phép cộng được dùng để tìm fn khi n > 1

Trang 38

Thủ tục lặp

Procedure Iterative fibonacci (n);

Begin

if n = 0 then a := 0 else begin a := 0 ; b := 1;

for i := 1 to n - 1 begin c := a + b; a := b ; b := c;end; end;

{c là số Fibonacci thứ n}

End;

Ta đã chỉ ra rằng số các phép toán dùng trong thuật toán đệ quy nhiều hơn khi dùng phương pháp lặp Tuy nhiên đôi khi người ta vẫn thích dùng thủ tục đệ quy hơn ngay cả khi nó tỏ ra kém hiệu quả so với thủ tục lặp Đặc biệt,

có những bài toán chỉ có thể giải bằng thủ tục đệ quy mà không thể giải bằng thủ tục lặp

Trang 39

BÀI TẬP CHƯƠNG II

Bài tập tính toán

2.1.1 Tìm một số nguyên n nhỏ nhất sao cho f(x) là O(xn

) đối với các hàm f(x) tương ứng sau:

+

+ +

x

x x

d) f(x) =

1

log 5

4 5

+

x

x x

2.1.2 Cho một đánh giá big-O đối với các hàm cho dưới đây Đối với hàm g(x)

trong đánh giá f(x) là O(g(x)), hãy chọn hàm đơn giản có bậc thấp nhất

2.1.4 Mô tả thuật toán chèn một số nguyên x vào vị trí thích hợp trong dãy các số

nguyên a 1 , a 2 , , a n xếp theo thứ tự tăng dần

2.1.5 Tìm thuật toán xác định vị trí gặp đầu tiên của phần tử lớn nhất trong bảng

liệt kê các số nguyên, trong đó các số này không nhất thiết phải khác nhau

2.1.6 Tìm thuật toán đảo ngược một dãy số nguyên gồm n số Đánh giá độ phức tạp

của thuật toán đó

2.1.9 Cho một dãy n số nguyên phân biệt Dùng thuật toán tìm kiếm nhị phân để

xác định vị trí của một phần tử trong dãy đã cho

2.1.10 Tìm một tập hợp gồm bốn số nguyên tố cùng nhau, sao cho không có hai số

nào trong chúng là nguyên tố cùng nhau

Trang 40

Bài tập trên máy tính

2.2.1 Cho một dãy gồm n số nguyên a1, a2, , an Tìm số nguyên lớn nhất, nhỏ nhất trong dãy đó

2.2.2 Cho một dãy gồm n số nguyên a1, a2, , an Tìm số nguyên lớn thứ nhì trong dãy đó Mở rộng bài toán cho trường hợp số lớn thứ K trong dãy

2.2.3 Lập trình giải bài toán tháp Hà nội với số tầng là n (1<n<10)

2.2.4 Chuyển đổi một số từ hệ đếm cơ số 10 sang hệ đếm cơ số 2; cơ số 8; cơ số 16

và ngược lại

2.2.5 Cho một dãy gồm n số nguyên a1 , a2, , an Lập trình chuyển đổi k phần tử

đầu dãy về cuối dãy

Viết tiểu luận

2.3.1 Hãy sưu tầm các bài toán về tháp Hà nội, tháp Hà Nội vòng

2.3.2 Tìm hiểu những ứng dụng thực tiễn của thuật toán đệ quy

2.3.3 Sưu tầm các phương pháp dùng để mã hóa thông tin lấy ví dụ minh họa cho

mỗi phương pháp

2.3.4 Mô tả hệ mã với khóa công khai được dùng như thế nào? cách mã hóa và giải

mã một thông điệp trong cuộc sống

2.3.5 Mô tả thuật toán xử lí các số lớn một cách có hiệu quả Cộng hai số lớn, nhân

hai số lớn

Định dạng
Số trang	159
Dung lượng	1,59 MB