chap02 digsys1 vanlangembeddedsystems Cơ bản về hệ thống số

Nội dung„ Hệ thống số đếm và số nhị phân „ Hệ thống mã dựa trên số nhị phân „ Khái niệm về đại số Boolean.. Đặc tính của đại số Boolean... Đặc tính của đại số Boolean... Nguyên tắc đối n

Nội dung

„ Hệ thống số đếm và số nhị phân

„ Hệ thống mã dựa trên số nhị phân

„ Khái niệm về đại số Boolean.

„ Rút gọn và biến đổi hàm boolean.

‰ Minterms - Maxterms (Canonical)

‰ SOP - POS (chuẩn)

„ Bìa Karnaugh (K-Maps)

‰ Bìa với 2, 3, 4, 5 biến

‰ Tối giản sử dụng K-Maps

„ Tính tóan trên K-Map

Nội dung – P1

Logic Nhị phân

„ 0 - 1

„ 3 Phép tóan cơ bản:

‰ AND, OR, NOT

„ Biến nhị phân thường biểu diễn bằng 1 ký tự:

A,B,C,…,X,Y,Z

Bảng sự thật

Bảng sự thật (Truth table): dạng bảng mô tả chi tiết kết xuất đầu vào, ra

1 1

1

0 0

1

0 1

0

0 0

0

F=A •B B

A

2-Input AND

1 1

1

1 0

1

1 1

0

0 0

0

F=A+B B

A

2-Input OR

0 1

1 0

F=A ’ A

NOT

Bảng sự thật

„ Q: Cho hàm F() phụ thuộc vào n biến nhị phân

Số dòng cần biểu diễn cho F ?

„ A: 2 n

Lược đồ thời gian

A B

F=A • B G=A + B H=A’

1 1

1 1

1 0 0 0

0 0

= 0 Chuyển trạng thái

Hàm – Mạch Logic

„ Xét hàm F = A’ + B •C’ + A’•B’

„ Xây dựng mạch logic để mô tả h àm F:

‰ Circuit input signals Æ tương ứng biến (A, B, C)

‰ Circuit output signal Æ kết quả hàm (F)

‰ Logic gates Æ phép toán logic

A B C

F

Hàm – Mạch Logic

„ Để thiết kế mạch hiệu quả

-cần tối thiểu hóa mạch

logic, giảm thiểu thời gian

0 0

1 1

1 1

1 1

0 0

0 1

0 0

0 1

1 1

1 0

1 1

1 0

1 1

0 0

1 1

0 0

G F

B A

Hàm – Mạch Logic

A B

C

F

A B C

G

Đặc tính của đại số Boolean

Đặc tính của đại số Boolean

Nguyên tắc đối ngẫu

„ Biểu thức có thể có tính đối ngẫu bằng việc chuyển đổi /+ hoặc 1/0 nhưng kết quả không đổi

„ Không thể chuyển x với x’

‰ Tìm H(x,y,z), đối ngẫu của F(x,y,z) = x’yz’ + x’y’z

‰ H = (x’+y+z’) (x’+y’+ z)

„ Đối ngẫu thường không tương đương với biểu thức gốc

„ Æ biểu thức gốc là True thì biểu thức đối ngẫu cũng là True

Nguyên tắc nhân đôi

1 X + 0 = X 2 X • 1 = X (dual 1 )

3 X + 1 = 1 4 X • 0 = 0 (dual 3 )

5 X + X = X 6 X • X = X (dual 5 )

7 X + X’ = 1 8 X • X’ = 0 (dual 8 )

Đặc tính của đại số Boolean

X, Y , Z là biến

10 X + Y = Y + X 11 X • Y = Y • X Commutative

12 X + (Y+Z) = (X+Y) + Z 13 X•(Y•Z) = (X•Y)•Z Associative

14 X•(Y+Z) = X•Y + X•Z 15 X+(Y•Z) = (X+Y) • (X+Z)

1 1

1 1

0 0

0 0

1 1

0 1

0 1

0 1

0 1

0 0

0 1

1 1

0 1

1 0

1 0

0 0

1 0

1 0

0 1

0 0

1 1

0 0

0 0

F 3

F 2

F 1 z

y x

„ Bảng sự thật c ó thể sử dụng để chứng minh tương đương.

„ Tuy nhiên, n tăng Æ k ích cỡ bảng tăng nhanh ÎDùng đại số Boolean.

Biểu thức Boolean – không phải là duy nhất

„ C ó thể biểu diễn một hàm bằng nhiều biểu thức

kh ác nhau.

„ VD:

‰ F(x,y,z) = x ’•y’•z’ + x’•y•z’ + x•y•z’

‰ G(x,y,z) = x ’•y’•z’ + y•z’

„ F v à G cùng bảng sự thật

„ F() = G()

1 1

0 1 1

0 0

1 0 1

0 0

0 0 1

0 0

1 1 0

1 1

0 1 0

0 0

1 0 0

1 1

0 0 0

G F

z y x

Ph ép toán đại số

„ Đại số sử dụng để đơn giản h óa.

„ Tại sao ? Æ rẻ, gọn, nhanh

Ph ép toán đại số

„ VD: Chứng minh

x ’y’z’ + x’yz’ + xyz’ = x’z’ + yz’

x ’y’z’+ x ’yz’ + xyz ’

= x ’y’z’ + x ’yz’ + x’yz’ + xyz ’

= x ’z’(y’+y) + yz’(x’+x)

= x ’z’•1 + yz’•1

= x ’z’ + yz’

Phần b ù của hàm

„ T ìm G(x,y,z), là phần bù của

‰ F(x,y,z) = xy ’z’ + x’yz

„ G = F ’ = (xy’z’ + x’yz)’

= (xy ’z’)’ • (x’yz)’ DeMorgan

= (x ’+y+z) • (x+y’+z’) DeMorgan

Phần b ù cũng có thể tìm từ đối ngẫu của hàm

Dạng chuẩn - Canonical

„ Kỹ thuật cho việc đơn giản h óa hàm.

‰ Minterms - Maxterms

‰ Sum-of-Minterms v à Product-of- Maxterms

‰ Product v à Sum terms

‰ Sum-of-Products (SOP) Product-of-Sums (POS)

0 1 1

x’+y+z’ = M5xy’z = m5

1 0 1

x’+y+z = M4xy’z’ = m4

0 0 1

x+y’+z’= M3x’yz = m3

1 1 0

x+y’+z = M2x’yz’ = m2

0 1 0

x+y+z’ = M1x’y’z = m1

1 0 0

x+y+z = M0x’y’z’ = m0

0 0 0

Maxterm Minterm

z y x

‰ Canonical Sum-Of-Products (sum of minterms)

‰ Canonical Product-Of-Sums (product of maxterms)

1 1

0 1

0 1

1 0

0 1

0 1

1 0

1 0

1 0

1 1

0 0

0 0

0 0

f 1 c

b a

Ký hiệu: ∑ ∏

„ f 1 (a,b,c) = ∑ m(1,2,4,6): mô tả tổng c ác tích m(1,2,4,6) tương ứng m 1 , m 2 , m 4 , m 6

„ f 1 (a,b,c) = ∏ M(0,3,5,7): t ích các tổng M(0,3,5,7) tương ứng M 0 , M 3 , M 5 , M 7

„ Khi m j = M j ’ với bất kỳ j,

∑ m(1,2,4,6) = ∏ M(0,3,5,7) = f 1 (a,b,c)

Dạng chuẩn (không duy nhất)

„ Dạng chuẩn gần giống dạng canonical, nhưng c ác biến không cần c ó đủ trong các biểu thức.

= (a+b+c)•(a+b’+c’)•(a’+b’+c’)•(a’+b+c’)

B ìa Karnaugh

„ Trình bày đồ họa hàm boolean.

„ Một ô tương ứng 1 dòng trong bảng sự thật.

„ Một ô cũng tương ứng với minterm hay maxterm

„ Tập hợp nhóm ô tương ứng với hàm chuẩn.

K-Maps 2 biến

m3

m21

m1

m00

1 0

m2

m00

1 0

x2x1

hay

1 1

0

1 0

Tối thiểu SOP d ùng K-map

„ Quan sát các giá trị 1 có trong K-map

„ Nhóm các ô liền kề để thu gọn Số lượng nên là

mũ của 2 (2, 4, 8, …)

„ Dánh dấu các vùng biên

„ Không duy nhất

m 2

m 3

m 1

m 0 0

10 11

01 00

2 terms

K-Maps 3 biến

Đơn giản h óa

„ Nh óm các term

„ VD: f(a,b,c) = ac ’ + abc + bc’

„ Kết quả: f(a,b,c) = ac ’+ b

1 1

1 1

1

abc

1 1

1 1

1

01 00

1 1

1

1 1

1 1

m15

m13

m1211

m6

m7

m5

m401

m2

m3

m1

m000

10 11

01 00

WX

YZ

„ 1 ô tương ứng minterm của 4 biến.

1 1

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1 1

1

1 1

1

K-Maps 5 biến

1011

98

13 15 1412

2524

3031

2928

2223

2120

1819

1716

Nh óm nguyên tố (PIs)

„ Implicant (P): nh óm tích có F(P) = 1.

„ P gọi l à nhóm nguyên tố (Prime Implicant) khi có

bất kỳ nh óm tích nào thu được từ việc xóa 1 biến trong n ó đều không phải là P.

„ PI không c ó nhóm nào lớn hơn chứa nó.

1 1

1

1 1

1

1 1

Nh óm nguyên tố cơ bản (EPIs)

„ Khi một nhóm tích của hàm là một PI, nó chính là

nhóm nguyên tố cơ bản (essential prime

1

1 1 1

1 1 1

1 1

b’ ad

a’cd’

„ X ét f 2 (a,b,c,d),

„ EPI ?.

1 1

1

1 1

1 1

1

1

cd ab

Hệ thống cho Đơn giản h àm

1 T ìm tất cả PI.

2 T ìm tất cả EPI.

3 C ác minterms còn lại, tìm tập trùng lấp tối thiểu

4 Kết quả l à tổng của các nhóm tích trên.

„ f(a,b,c,d) = ∑m(0,1,2,3,4,5,7,14,15).

„ F(a,b,c,d) = a ’b’ + a’c’ + a’d + abc

1 1

1 1

1

1 1

1 1

ab cd

VD6

Đơn giản h óa POS

„ Sử dụng SOP với K-Map để đơn giản h óa cho các

số 0 - Zero.

„ T ìm phần bù của F’, i.e (F’)’ = F

0 0

0 0

1 1

0 0

0 1

1 1

1 1

1 1

ab cd

• F’(a,b,c,d) = ab’ + ac’ + a’bcd’

• Tìm đối ngẫu của F’,dual(F’) = (a+b’)(a+c’)(a’+b+c+d’)

• Phần bù các biến dual(F’) cho F

F = (a’+b)(a’+c)(a+b’+c’+d)

VD7

C ác điều kiện không chắc chắn

„ Có nhiều trường hợp, giá trị đầu vào không chắc chắn

‰ Không xảy ra

‰ Có xảy ra nhưng không quan tâm

„ Giá trị hàm của các đầu vào gọi là không chắc chắn “don't

care”.

„ Mô tả bằng x hay – Có thể gán tùy ý lúc hiện thực.

C ác điều kiện không chắc chắn

„ Coi như là 1s để tạo nhóm PIs.

„ Xóa PI nếu chỉ bao gồm các nhóm không chắc

chắn.

x x 0 0

1 0 1 1

1 0 1 0

x x 0 0

1 0 1 1

1 0 1 0

x x 1 1

x x 0 0

1 0 1 1

1 0 1 0

ab cd

00 01

11 10

00 01 11 10

VD8

„ Đơn giản hàm g(a,b,c,d)

„ g = a’c’+ ab

or

„ g = a’c’+b’d

0 x x 0

1 x x 1

x 0 x 1

0 0 1 x

1 x x 1

x 0 x 1

0 0 1 x

0 x x 0

1 x x 1

x 0 x 1

0 0 1 x

ab cd

VD9

Vẽ mạch

„ NAND được sử dụng phổ biến, có thể

thay thế cho toàn bộ các cổng khác

NAND

Chuyển sang mạch NAND

NAND

Q/A