Chứng minh rằng : mpSABmpSBC.. Chứng minh rằng : BDmpSAC.. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến có hệ số góc là 1.. Câu IV 3,0 điểm Cho tứ diện ABCD
Trang 1ĐỀ 1
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Một cấp số cộng có số hạng đầu là 16 , công sai là 4 và tổng là 72 Hỏi cấp số cộng
có bao nhiêu số hạng
Câu II ( 3,0 điểm )
a. Tìm giới hạn của dãy số (u n) với un n 7 3n 2
b. Tìm giới hạn sau : 2 2
x 3x 2 lim
2x 2x
c. Xét tính liên tục của hàm số f (x) 2x2 x 1 o 1
nÕu x > 1 t¹i x 2x + 3 Õu x
Câu III ( 3,0 điểm )
a Tìm đạo hàm của hàm số y sin x
x 1
b Cho hàm số f (x) x3 3x2 9x 2009 Hãy giải bất phương trình f '(x) 0
c Cho hàm số y 1 x 2 Chứng minh rằng : y.y '' (y ') 2 1
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a Chứng minh rằng : mp(SAB)mp(SBC)
b Chứng minh rằng : BDmp(SAC)
c Biết SA=a 6
3 Tính góc giữa SC và mp(ABCD)
.Hết
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
Gọi n là số lượng số hạng , u 1 là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng
Áp dụng công thức : Sn n[2u1 (n 1)d]
2
, ta có :
Trang 2c (1đ) Tập xác định D =
Ta có : f( 1) = 3+2( 1) = 1
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim ( 2x x 1) 2( 1) 1 1 4
x ( 1) lim f (x) x ( 1) lim (2x 3) 3 2( 1) 1
Vì x ( 1) lim f (x) x ( 1) lim f (x)
nên không tồn tại xlim f (x) 1 Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x o 1
Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có : y ' (sin x) '.(x 1) sin x.(x 1)'2 cos x.(x 1) sin x2 (x 1) cos x sin x2
b (1đ) Ta có : f '(x) 3x2 6x 9
Do đó : f '(x) 0 3x2 6x 9 0 x2 2x 3 0 x 3 x 1
c) (1đ) Ta có : y 1 x 2 y 2 1 x 2 2y.y ' 2x y.y ' x y '.y ' y.y '' 1
Hay (y ')2 y.y '' 1 y.y '' (y ') 2 (® 1 pcm)
Câu IV ( 3,0 điểm )
a (1đ) Vì SA (ABCD) SA BC (1) , do BC (ABCD)
Mặt khác : BC AB (2) , do ABCD là hình vuông
Từ (1) , (2) suy ra BC (SAB) (SBC) (SAB) , Vì BC (SBC)
b (1đ) Ta có : AC BD (3) , do ABCD là hình vuông
Vì SA (ABCD) SA BD (4) , do BD (ABCD)
Từ (3),(4) suy ra : BD (SAC)
c (1đ) Do SA (ABCD) A hc (ABCD) S AC hc (ABCD) SC
Suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là SCA
Tam giác SAC vuông tại A , ta có :
a 6
Trang 3ĐỀ 2
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Một cấp số nhân có chín số hạng , biết số hạng đầu là 5 và số hạng cuối là 1280 Tính công bội q và tổng S 9 các số hạng
Câu II ( 3,0 điểm )
d. Tìm giới hạn của dãy số (u n) với n 1 3 5 (2n 1)2
u
e. Tìm giới hạn sau :
x 1
1 x
3x 1
t¹i x
2 Õu x
Câu III ( 3,0 điểm )
c Tìm đạo hàm của hàm số y x 6 x
d Cho hàm số f (x) x 2 sin x cos x Hãy tính : f ''(1) , f ''( )
e Cho hàm số f (x) x 3
x 3
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến có hệ số góc là 1
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a và AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Gọi I và E lần lượt là trung điểm của BC và CD
c Chứng minh rằng : Mp(ABC)mp(ADI)
d Chứng minh rằng : CDmp(ABE)
c Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC)
.Hết
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
Ta có n = 9 là số lượng số hạng , u1=5 là số hạng đầu tiên , u9=1280 là số hạng đầu tiên ,
q là công bội của cấp số nhân
Áp dụng công thức u9 u q1 8 1280 5.q 8 q8 256 q8 28 q 2: , ta có :
Trang 4d (1đ)
c (1đ) Ta có : f(1) = 2
Vì
3x 1 3.1 1
x 2 1 2
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x o 1
Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có : y ' 6 x x.( 6 x ) ' 6 x 2 6 xx.( 1) 2 6 x12 3x
b (1đ) Ta có : f '(x) 2x sin x cos x , f ''(x) = 2 cosx sinx
Do đó : f ''(1) 2 sin1 cos1 0,983 ; f ''( ) = 2 cos sin = 3
c) (1đ) Gọi x là hoành độ tiếp điểm Vì o f ' (x) 6 2
(x 3)
o
6
(x 3)
Áp dụng công thức : y y o f ' (x )(x x )o o
tiếp tuyến ( ) : y x 4 2 61
xo 3 6 yo 1 6 tiếp tuyến (2) : y x 4 2 6
Câu IV ( 3,0 điểm )
d (1đ) Vì AB (BCD) AB DI (1) , do DI (BCD)
Mặt khác : DI BC (2) , do DI là đường cao của tam giác BCD
Từ (1) , (2) suy ra DI (ABC) (ADI) (ABC) , vì DI (ADI)
e (1đ) Ta có : BE CD (3) , do BE là đường cao của tam giác BCD
Vì AB (BCD), B (BCD) B hc (ABC) A BE hc (ABC) AE (4)
Từ (3),(4) suy ra : CD AE (5) , do định lí 3 đường vuông góc
Từ (3),(5) suy ra : CD(ABE)
f (1đ) Do DI (ABC), I (ABC) d(D,(ABC)) DI = a 3
2
Trang 5ĐỀ 3
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng Biết 5
9
u 19
u 35
Câu II ( 3,0 điểm )
g. Tìm giới hạn của dãy số (u n) với n 2n sin n
u
n
h. Tìm giới hạn sau : 2
x 2
x 2 x lim
x 4x 4
i. Cho hàm số f (x) x32
nÕu x < 1 2x 3 Õu x Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên
Câu III ( 3,0 điểm )
f Tìm đạo hàm của hàm số y x cos3x
g Cho hàm số y sin 2x cos 2x Hãy giải bất phương trình y '' 0
c Cho hàm số y 2x 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) : y 1x 1
3
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a Gọi I là trung điểm của BC
e Chứng minh rằng : AImp(MBC)
f Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC)
c Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA)
.Hết
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
Gọi u 1 là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng
Áp dụng công thức : u n u 1 (n 1)d , ta có :
u 19
Vậy cấp số cộng này có u 1 3, d 4
Câu II ( 3,0 điểm )
Trang 6+ Tại x 1
Ta có : f( 1) = 2( 1)2 3 = 1
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim x 1
x ( 1)lim f (x) x ( 1)lim (2x2 3) 2( 1)2 3 1
Vì x ( 1) lim f (x) x ( 1) lim f (x) 1
nên xlim f (x) 1 1 f ( 1) Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x o 1 (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra hàm số liên tục trên
Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có : y ' cos3x x. (cos3x)' cos3x x. 3sin 3x 2cos3x 3x sin 3x
b (1đ) Ta có : y ' 2cos 2x 2sin 2x y '' 4sin 2x 4cos 2x
Do đó : y '' 0 4sin 2x 4cos 2x 0 sin(2x ) 0 2x k x k ;k
c) (1đ) Gọi tiếp tuyến cần tìm là () Vì () // (d) : y 1x 1
3
nên () có hệ số góc k = 1
3 Gọi M(x ; y ) o o là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)
Ta có : y ' 1
2x 1
o
Suy ra phương trình tiếp tuyến : y 1(x 4) 3 y 1x 5
Câu IV ( 3,0 điểm )
g (1đ) Ta có : MB (ABC) (gØa thiÕt) MB AI do AI (ABC) (1)
Mặt khác : AI BC (2) , do ABC là tam giác đều có đường cao AI
Từ (1) , (2) suy ra AI (MBC)
b (1đ) Ta có : MB (ABC), M (ABC) B hc (ABC) M BI hc (ABC) MI (3)
Suy ra góc giữa IM và mp(ABC) là M I B
Vì tam giác MBI vuông góc nên tan MIB MB 4 MIB arctan 4
IB
g (1đ) Do AI (MBC) , suy ra : (MIA) (MBC)
Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến MI
Từ B kẻ BHMI suy ra
BH (M IA), H (M IA) d(B;(MIA)) BH
Tam giác MBI vuông tại B có đường cao BH , ta có :
BI a, MB 2a
2
nên :
2 2
2a 17 4a
Trang 7
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Cho cấp số nhân (u n) có 4 6
Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
Câu II ( 3,0 điểm )
j. Chứng minh rằng dãy số (u n) với un n2 21
2n
là một dãy số giảm và bị chặn
k. Tìm giới hạn sau : 2
x 2
lim
x 2
c Cho hàm số f (x) ax2 2
nÕu x
Câu III ( 3,0 điểm )
h Tìm đạo hàm của hàm số y tan x 3
i Tính gần đúng giá trị sin 29
c Chứng minh rằng phương trình cos x 2 x = 0 có ít nhất một nghiệm
Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều cạnh a , AA’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA’ = a 2
2 Gọi O và O’ lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
g Chứng minh rằng : ABmp(COO’)
b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CB’
.Hết
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )
Gọi u 1 là số hạng đầu , q là công bội của cấp số nhân
Áp dụng công thức : un u q1 n 1 , ta có :
u q u q 120 u q (1 q ) 120 (1)
u u 60 u q u q 60 u q (1 q ) 60 (2)
Lấy (1) chia (2) , ta được : q 2 Thay q 2 vào (2) : u q (1 4) 601 2 u1 3
Vậy cấp số nhân này có u 1 3, q 2
Câu II ( 3,0 điểm )
Trang 8Do đó : hàm số f(x) liên tục trên hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2
3 lim f (x) lim f (x) f (2) lim (2x 1) lim ax 3 4a a
4
Vậy với a 3
4
hàm số đã cho liên tục
Câu III ( 3,0 điểm )
a (1đ) Ta có :
3 tan x
2 tan x
b (1,0đ) Áp dụng công thức : f '(x o x) f (x ) f '(x ) x o o
Phân tích : 29 30 1 ( )
6 180
Chọn : xo , x =
Đặt f(x) = sinx , ta có : f '(x) cos x , f( ) sin 1 , f '( ) cos 3
Suy ra : sin 29 sin[ ( )] f[ ( )] f ( ) f '( ).( ) 1 3 0,9954
Vậy : sin 29 0,9954
c) (1,0đ) Xét hàm số : f(x) = cos x 2 x liên tục khi x 0
Ta có : f(0) = 1 , f(
2
) =
2
< 0 nên đã cho có ít nhất một nghiệm
Câu IV ( 3,0 điểm )
h (1đ) Ta có : ABC đều nân ABCO
Mặt khác : AB OO ' Vì OO’ // AA’ và AA’(ABC)
Suy ra : AB (COO ')
i (2đ)
+ Xác định :
Ta có (CB’O’) chứa CB’ và song song với AB
Do đó : Khoảng cách giữa AB và CB’ bằng khoảng cách giữa AB và (CB’C’)
Vậy : d[AB;CB’] = d[AB,(CB’O’)] = d [O, (CB’C’)]
Ta có : AB (COO') ( câu 1) O'B' (COO') (CO'B') (COO')
O'B' (COO')
Do đó khi kẻ OHO’C thì OH (CO’B’) , H (COO')
+ Tính khoảng cách :
Tam giác COO’ vuông tại O có đường cao là OH nên
2
a 30 3a
Vậy : d(AB,CB’) = OH = a 30
10
