2 c a GIẢI PHÁP 2: PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP - Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải.. Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phư
Trang 1UBND QUẬN NGÔ QUYỀN
TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN
BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
“ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VIET TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ”.
Trình độ chuyên môn : Đại học sư phạm Toán
Nơi công tác : Trường THCS Chu Văn An
Ngày 10 tháng 2 năm 2019
Trang 2BẢN Mễ TẢ SÁNG KIẾN THễNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1 Tờn sỏng kiến:
“ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH Lí VIET TRONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ”.
2 Lĩnh vực ỏp dụng sỏng kiến: Giảng dạy mụn Toỏn 9 bậc THCS.
3 Tỏc giả:
Họ và tờn: NGUYỄN THỊ HƯƠNG HẢI
Ngày/thỏng/năm sinh: 30/05/1986
Chức vụ, đơn vị cụng tỏc: Giỏo viờn trường THCS Chu Văn An
Điện thoại DĐ: 0936934459
4 Đồng tỏc giả: Khụng cú
5 Đơn vị ỏp dụng sỏng kiến:
Tờn đơn vị: Trường THCS Chu Văn An
Địa chỉ: 69 Chu Văn An – Lờ Lợi – Ngụ Quyền – Hải Phũng
Điện thoại: 02253.566199
I Mụ tả giải phỏp đó biết:
- Hệ thức Viột là một nội dung quan trọng trong chương trỡnh Đại số 9 Trong cỏc kỳ thi vào lớp 10 THPT hay vào cỏc trường chuyờn lớp chọn đõy là một phần khụng thể thiếu trong quỏ trỡnh ụn thi Để giỳp học sinh thỏo gỡ và giải quyết tốt những khú khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nõng cao chất lượng bộ mụn nờn bản thõn
đó chọn sỏng kiến: “Các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán”
1 Túm tắt tỡnh trạng giải phỏp đó biết:
- Bài tập khụng chia ra cỏc dạng cụ thể, chỉ đưa ra cỏc bài bất kỡ rồi nờu cỏch giải
- Tất cả cỏc đối tượng học sinh đều làm phần bài tập với nội dung cụng việc giống nhau
* Ưu điểm:
- Giỏo viờn khụng mất nhiều thời gian chuẩn bị và giao việc cho học sinh
- Học sinh làm được bài sau khi giỏo viờn hướng dẫn, học sinh dễ nhớ, làm bài theo đỳng định hướng của GV
Trang 3* Nhược điểm:
- Một sè häc sinh yếu kém không làm được các bài tập ở mức độ vận dụng dẫn đến học sinh ch¸n nản vµ thiÕu sù tËp trung, không muốn học
- Một số học sinh khá giỏi làm bài tập quá dễ dẫn đến chán nản, không phát triển được năng lực, trí tuệ của học sinh
- Việc không chia ra các dạng bài tập dẫn đến khi học sinh gặp các dạng bài tương tự không biết cách làm Học sinh dễ quên kiến thức, làm bài không logic…
II Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến
II.0 Nội dung giải pháp đề xuất
Để giúp học sinh phát triển trí tuệ, rèn luyện trí nhớ tạo điều kiện cho học sinh học tập sáng tạo tích cực tôi đưa ra 3 giải pháp
GIẢI PHÁP 1: CỦNG CỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Học sinh khắc sâu được các kiến thức cơ bản
- Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh nắm được định lý Vi-ét:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
có 2 nghiệm : 1 ; 2
x x
x x
Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình
Vậy: 1 2
b
S x x
a
P x x1. 2 c
a
GIẢI PHÁP 2: PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP
- Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải Trong đề tài này tôi trình bày 8 nhóm ứng dụng sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai
Ứng dụng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình
Ứng dụng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số
Trang 4 Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm
Ứng dụng 7: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Ứng dụng 8: Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Cụ thể như sau:
I Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
1 Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a+ b + c = 0 Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = c
a
b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a- b + c = 0 Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = c
a
Ví dụ: Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1) b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải:
Phương trình (1) có dạng a- b + c = 0,
nên có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = 3
2
Phương trình (2) có dạng a+ b + c = 0,
nên có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = 11
3
2 Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn
lại và chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:
a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.
b/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai
nghiệm của phương trình
c/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có
hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia
Giải:
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được: 4 – 4p + 5 = 0
1
4
p
Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 =
1
5 5 2
x
b/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau:
Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 50 ta có hệ phương trình sau:
Trang 51 2 2 2 2 2
Với x 2 5 thì x 1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15 Với x 2 5 thì x 1 10 Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15
II Lập phương trình bậc hai :
1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1, x 2
Ví dụ: Cho x1= 3; x2= 2 Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2
5
S x x
P x x
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 – Sx + P = 0 x2 – 5x + 6 = 0
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 1 2
1
1
y x
x
và
2
1
y x
x
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
3
3 2
x x
2 2
Vậy phương trình cần lập có dạng:
y2 Sy P 0hay 2 9 9 2
y y y y
III Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Ví dụ:
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Giải:
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
Vậy nếu a = 1 thì b = - 4
nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2 b/ S = -3 và P = 6 c/ S = 9 và P = 20 d/ S = 2x và P = x2 – y2
Trang 6Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b/ a - b = 5 và a.b = 36
c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30
IV Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình:
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi
biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức
1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1 x2
Ví dụ 1:
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
c/ x14x24 x12 2 x222 x12x222 2x x12 22 x1x22 2x x1 2 2x x12 22
x x x x
Ví dụ 2: x1 x2 ?
x x x x x x x x x x x x x x x x
Bài tập áp dụng:
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/ 2 2
x x ( HD 2 2
x x x x x x ) b/ 3 3
x x (HD x13 x23 x1 x2 x12x x1 2x22 x1 x2 x1x22 x x1 2
c/ 6 6
x x ( HD 6 6 2 3 23 2 2 4 2 2 4
x x x x x x x x x x )
2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ :
Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 2 2
1 1
x x
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 1 2
8 15
S x x
P x x
1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 8 2.15 34
x x x x x x x x x x x x
18
x x
x x x x
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính: a/ 2 22
x x (Đáp án: 46)
Trang 7b/ 1 2
x x
x x (Đáp án: 34
15) 2/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính: a/ 2 2
x x (Đáp án: 1) b/ 1 2
x x (Đáp án: 5
6) c/
x x (Đáp án: 3) d/ 1 2
1 x 1 x
(Đáp án: 1)
V Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra
hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2
Ví dụ 1 :
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2 Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ thuộc vào m
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
2
1 1
4
5
m m
m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có:
m
m
Rút m từ (1), ta có: 1 2
m x x Rút m từ (2), ta có: 1 2
1 2
m x x
Từ (3) và (4), ta có:
x x x x
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2 Hãy lập
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc lập đối với m
Hướng dẫn:
- Tính ta được: = (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : 2x1 x2 x x1 2 5 0 độc lập đối với m
Trang 82/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x1 và x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 không
phụ thuộc giá trị của m
VI Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình (có ẩn là tham số)
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm
m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 x x1 2
Giải: Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
1 0
m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 1 2
6( 1) 9( 3)
m
S x x
m m
P x x
m
Vì x1 x2 x x1 2 (giả thiết)
Nên 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 3m 21 m 7
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m - 4)x + m + 7 =0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1 2x2 0 2/ Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + 5m - 6 =0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4x1 3x2 1
Hướng dẫn:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1 và VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2và tích nghiệm x x1 2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-ét để tìm tham số m
+ Còn trong 2 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy,
do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức
có chứa tổng nghiệm x1 x2và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm
đã trình bày ở VD1 và VD2
VII Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có
2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…
Trang 9Ta lập bảng xét dấu sau:
Ví dụ :
Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:
2 2
0
6
2
m
m m
Vậy với 2 m 3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng:
1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx2 + 2(2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm
2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x2 +2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm
VIII Tìm giá lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm:
Ví dụ 1 : Cho phương trình: x2 + (2m - 1) x - m = 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để: A = 2 2
x x x x có giá trị nhỏ nhất
Giải:
Theo hệ thức VI_ÉT,Ta có: 1 2
.
P x x m
Theo đề bài ta có:
x x x x x x x x m m m m m
2
A m m
phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:
1 2
2
x x B
x x x x
Giải:
Theo hệ thức Vi-ét , Ta có: 1 2
S x x m
P x x m
2
m
B
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:
Trang 10 2
1
B
2 2
2
1
2
m
m
Vậy maxB = 1 m = 1
Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
B
2 2
2
2
m
m
2
B m
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm
điều kiện cho tham số B để phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi m
2
2
m
m
(với ẩn là m và B là tham số) (*)
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 - 2(m - 4)x + m2 – 8 = 0 Xác định m sao 2 nghiệm x1
và x2 thỏa mãn điều kiện :
a/ A x 1 x2 3x x1 2 đạt giá trị lớn nhất
B x x x x đạt giá trị nhỏ nhất
GIẢI PHÁP 3: GIAO VIỆC PHÙ HỢP CHO TỪNG ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH
Tùy thuộc vào khả năng học tập giáo viên phân việc phù hợp cho từng đối tượng học sinh, ví dụ:
Giáo viên có thể chỉ giao làm các dạng bài tập cơ bản:
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dạng đặc biệt
- Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Ngoài các dạng bài tập dành cho học sinh yếu kém, giáo viên có thể giao thêm các dạng bài tập:
- Thực hiện tốt các dạng toán yêu cầu đối với học sinh yếu, kém
- Nhẩm nghiệm: Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình
- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước
- Tính giá trị các biểu thức nghiệm của phương trình
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán
Trang 113 Đối với học sinh khỏ, giỏi: Phỏt triển tư duy
Ngoài cỏc dạng bài tập dành cho học sinh đại trà, giỏo viờn cũn cú thể giao thờm cỏc dạng bài tập:
- Tỡm giỏ trị tham số của phương trỡnh thỏa món biểu thức chứa nghiệm
- Xỏc định dấu cỏc nghiệm của phương trỡnh bậc hai
- Lập biểu thức độc lập khụng phụ thuộc vào tham số
- Tỡm giỏ lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Trong giờ học: giỏo viờn đưa ra cỏc hệ thống bài tập theo thứ tự từ dễ đến khú, giỳp
học sinh cú thể làm được cỏc bài tập vừa sức hợp với khả năng của mỡnh
II.1 Tớnh mới, tớnh sỏng tạo
II.1.1 Tớnh mới
- Củng cố kiến thức cơ bản trước sau đú đi từ những ví dụ đơn giản nhất, sắp xếp bài
toỏn theo mức độ để các em dễ hình dung và hiểu bản chất của bài toán Sau đó yêu cầu các em giải quyết bài toán đó Và từ đó đề xuất các hớng khái quát bài toán và yêu cầu học sinh thực hiện thành các phần tìm tòi có đánh giá lại các phần đó với sự trình bày của một học sinh bất kỳ
- Phõn loại bài tập ứng dụng định lý Viet thành cỏc dạng bài tập đặc trưng
- Giao việc cụ thể cho từng đối tượng học sinh, học sinh yếu kộm, học sinh đại trà, học sinh khỏ giỏi
II.1.2 Tớnh sỏng tạo:
- Dựa trờn nền tảng định lớ cú trong sỏch giỏo khoa, giỏo viờn hệ thống thành cỏc dạng bài tập, giỳp học sinh cú phương phỏp giải cụ thể, logic, phự hợp với đối tượng,
đi từ dễ đến khú, trỡnh bày mạch lạc, rừ ràng, khoa học
- Giúp học sinh chủ động nắm bắt kiến thức về bài học
- Giáo viên dựa trên những kiến thức của học sinh đã nắm bắt đợc về vấn đề để có sự
tự tìm tòi và tổng kết đợc vấn đề tìm hiểu ở những mức độ cao hơn
II.2 Khả năng ỏp dụng, nhõn rộng:
+ Áp dụng cho việc dạy học trờn lớp nõng cao chất lượng bộ mụn Toỏn
+ Phạm vi sỏng kiến cú thể được nhõn rộng ở cỏc trường trong quận
II.3 Hiệu quả, lợi ớch thu được do ỏp dụng giải phỏp
a Hiệu quả kinh tế: