Tối ưu hóa Bách Khoa Hồ Chí Minh

1.Bài toán tối ưu hóa tổng quát 1.1 Phát biểu Tìm trạng thái tối ưu hóa của một hệ thống bị ràng buộc sao cho đạt được mục tiêu mong muốn.. 1.2 Các yếu tố của một bài toán tối ưu hóa M

MÔ HÌNH – MÔ PHỎNG –

TỐI ƯU HÓA

Phần 3: TỐI ƯU HÓA

Tiếp cận bài toán tối ưu

 Các thành phần cơ bản của bài toán tối ưu

 Thủ tục xây dựng và giải bài toán tối ưu

 Các lớp bài toán tối ưu thường gặp

 Các phương pháp giải bài toán tối ưu

1.Bài toán tối ưu hóa tổng quát

1.1 Phát biểu

Tìm trạng thái tối ưu hóa của một hệ thống bị ràng buộc sao cho đạt được mục tiêu mong muốn

1.2 Các yếu tố của một bài toán tối ưu hóa

Một bài toán tối ưu hóa có ba yếu tố cơ bản sau:

* Trạng thái: mô tả trạng thái của hệ thống cần tối

ưu hóa

* Mục tiêu: Đặc trưng cho tiêu chuẩn hoặc hiệu

quả mong muốn (chỉ phí ít nhất, hiệu suất cao nhất, trọng lượng nhỏ nhất, thời gian ngắn nhất, gia tốc nhỏ nhất….)

* Ràng buộc: Thể hiện các điều kiện kinh tế, kỹ

thuật… mà hệ thống phải thỏa mãn

Phân loại các bài toán tối ưu

1 Quy hoạch tuyến tính (tối ưu tuyến tính): hàm mục tiêu

và các hàm ràng buộc đều là các hàm tuyến tính Miền chấp nhận được là tập lồi đa diện

Hệ thống ở trạng thái tĩnh có các biến trạng thái là:

Mục tiêu được diễn đạt bởi hàm mục tiêu có dạng tuyến tính:

Các ràng buộc (giới hạn) được diễn đạt bởi những phương

Phân loại các bài toán tối ưu Bài toán:

Tìm trạng thái tối ưu của trạng thái (1) với các ràng buộc (3) sao cho hàm mục tiêu (2) đạt giá trị nhỏ nhất (min) hoặc giá trị lớn nhất (max)

Phân loại các bài toán tối ưu

2 Quy hoạch phi tuyến (tối ưu phi tuyến): tối thiểu

có hàm mục tiêu hoặc các hàm ràng buộc là hàm phi tuyến Tối ưu phi tuyến bao gồm: tối ưu trơn (hàm mục tiêu và ràng buộc là trơn); tối ưu lồi (hàm mục tiêu và ràng buộc là hàm lồi); tối ưu không lồi (hàm mục tiêu hoặc miền chấp nhận được không lồi)

3 Tối ưu rời rạc hay tối ưu tổ hợp: miền chấp nhận

được là một tập rời rạc Trường hợp các biến số nhận giá trị nguyên là bài toán quy hoạch nguyên

Phân loại các bài toán tối ưu

4 Tối ưu đa mục tiêu: mục tiêu gồm nhiều hàm không hòa hợp nhau Tối ưu đa mục tiêu cũng chia thành nhiều bài toán con khác nhau tùy

theo tính chất hàm mục tiêu và các ràng buộc

5 Quy hoach ngẫu nhiên: bài toán tối ưu mà

các tham số trong đó không có giá trị xác định

mà được mô tả bằng các tham số xác suất

Phân loại các bài toán tối ưu

6 Quy hoạch động: bài toán tối ưu mà các đối

tượng được xét có thể chia ra nhiều giai đoạn hoặc quá trình phát triển theo thời gian

Hệ thống ở trạng thái tĩnh hoặc trạng thái động

Biến trạng thái là Z(x) với x là biến độc lập Mục

tiêu được diễn đạt bởi phiếm hàm mục tiêu:

Ràng buộc có thể là các hàm phi tuyến , các

phương tình đại số hoặc các phương trình vi phân

Phân loại các bài toán tối ưu

7 Bài toán điều khiển tối ưu

* Đối với hệ liên tục:

Hệ thống ở trạng thái động, trạng thái được mô

tả bởi hệ phương trình vi phân:

Phân loại các bài toán tối ưu

Đối với hệ rời rạc

Hệ thống ở trạng thái động, trạng thái được mô tả bởi

phương trình:

Mục tiêu có dạng:

•Bài toán đặt ra:

Cần phải tìm điều khiểm tối ưu u* và trạng thái tối ưu x* để hệ thống chuyển từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối sao cho mục tiêu J(u) đạt min hoặc max

Phân loại các bài toán tối ưu

Các bài toán tối ưu có trạng thái tĩnh được gọi là bài toán tối ưu hóa tĩnh , các bài toán có trạng thái

động Trạng thái của hệ thống có thể ở dạng liên tục hoặc gián đoạn Trong bài toán tối ưu có thể đạt

ra một mục tiêu hoặc nhiều mục tiêu

Sau đây chúng ta chỉ xét các bài toán tối ưu hóa tĩnh và bài toán tối ưu hóa động của hệ liên tục có một mục tiêu

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Bài toán lập kế hoạch sản xuất

a) Ví dụ Để sản xuất kẹo và bánh cần 2 thứ nguyên liệu chính là đường và

bột mì, với trữ lượng hiện có là 0,9kg đường và 1,1 kg bột mì 1kg kẹo cần 0,5 kg đường và 0,3 kg bột mì; 1kg bánh cần 0,2kg đường và 0,4 kg bột mì Giá 1kg kẹo là 10000đ; 1kg bánh là 20000đ Hãy lập kế hoạch sản xuất sao cho tổng giá trị sản phẩm lớn nhất

Gọi x1 là số kg kẹo được sản xuất; x2 là số kg bánh được sản xuất

Có mô hình toán học:

f(x) = 10000x1 +20000x2 → max

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Tổng quát

Để sản xuất n loại sản phẩm khác nhau cần m loại yếu tố sản xuất với trữ lượng hiện có là b1, b2, , bm Hệ số hao phí yếu tố i ( i=1 m ) cho 1 đơn vị sản phẩm j (j=1 n) là aij Giá 1 đơn vị sản phẩm j là cj (j=1 n) Hãy lập kế hoạch sản xuất trên cơ sở các yếu tố sản xuất hiện có sao cho tổng giá trị sản phẩm lớn nhất Gọi xj là số sản phẩm j được sản xuất, f(x) là tổng doanh thu ứng với kế hoạch sản xuất x = (x1,x2, , xn)

Có mô hình toán học:

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Tổng quát

Để sản xuất n loại sản phẩm khác nhau cần m loại yếu tố sản xuất với trữ lượng hiện có là b1, b2, , bm Hệ số hao phí yếu tố i ( i=1 m ) cho 1 đơn vị sản phẩm j (j=1 n) là aij Giá 1 đơn vị sản phẩm j là cj ( j=1 n) Hãy lập kế hoạch sản xuất trên cơ sở các yếu tố sản xuất hiện có sao cho tổng giá trị sản phẩm lớn nhất

Gọi xj là số sản phẩm j được sản xuất,

f(x) là tổng doanh thu ứng với kế hoạch sản xuất x = (x1,x2, xn)

có mô hình toán học:

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Có m kho hàng chứa cùng 1 loại hàng hóa với số lượng ở kho i

là ai (i=1 m) Đồng thời có n cửa hàng với nhu cầu ở cửa hàng j

là bj (j=1 n) Chi phí vận chuyển 1 đơn vị hàng từ kho i đến cửa hàng j là cij Hãy lập kế hoạch vận chuyển sao cho thỏa mãn nhu cầu các cửa hàng và chi phí vận chuyển thấp nhất

Gọi xij là số lượng hàng chuyển từ kho i đến cửa hàng j

f(x) là tổng chi phí theo kế hoạch vận chuyển x

Mô hình toán học:

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

• Có n loại thức ăn gia súc, giá 1 đơn vị thức ăn j là c (j=1 n) Gia súc cần m chất dinh dưỡng với nhu cầu tối thiểu chất i là bi (i=1 m) Biết hàm lượng chất i có trong 1 đơn vị thức ăn j là aij Hãy xác định khẩu phần thức ăn

cho gia súc sao cho chi phí thấp nhất đồng thời đảm bảo các chất dinh

dưỡng cho gia súc

• Gọi xj là lượng thức ăn j có trong khẩu phần,

• f(x) là giá khẩu phần x = (x1,x2, , xn)

• Có mô hình toán học sau:

2.2 Hai dạng cơ bảng của quy hoạch tuyến tính

1/ Dạng chính tắc (canonical): ràng buộc ở dạng đẳng thức:

a11…….a1nĐặt A= …………

am1……amn

A được gọi là ma trận hệ số của các ràng buộc

Tìm các giá trị tối ưu x*    x1*, , x*n T sao cho hàm mục tiêu:

1

n

j j j

2/ Dạng chuẩn (Standard): ràng buộc ở dạng bất đẳng thức

Có chứa đầy đủ 3 vector cột đơn vị

e 1 (cột 5), e 2 (cột 6), e 3 (cột 2).

bài toán trên có dạng chính tắc, hơn nữa

Các hệ số tự do đều không âm Do đó bài toán có dạng chuẩn, trong đó

· Ẩn cơ bản thứ nhất là x5

· Ẩn cơ bản thứ hai là x6

· Ẩn cơ bản thứ ba là x2

1/ thêm vào các biến phụ w= [xn+1… xn+m]T

Khi đó A.x ≤ b → A.x + E.w = b; E: ma trận đơn vị Thí dụ:

2/ Nếu ràng buộc ở dạng A.x ≥ b: nhân hai vế với (-1):

ij 1

n

j i j

2.4 Quan hệ giữa bài toán min và bài toán max

Trong bài toán min: Z= c.x → min

Đặt Z1 = -c.x → max

Gọi x* là trạng thái tối ưu của Z1 và –c.x* = max (Z1) khi đó

-c.x* ≥ -c.x hay c.x*≤ c.x Chứng tỏ x cũng là trạng thái tối ưu của bài toán min

min(Z)=c.x*=-max(z1)=-max(-Z)

Mô hình quy hoạch tuyến tính

Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính

Mô hình quy hoạch tuyến tính

Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính

Hãy xác định phương án sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi

nhuận / đơn vị sản phẩm bán ra là 8 và 6 (đơn vị tiền tệ) cho các sản phẩm loại I và II

Phương pháp đồ thị

Bước 1: Vẽ miền các phương án khả thi (còn gọi

là miền ràng buộc) là tập hợp các phương án

khả thi (các phương án, nếu nói một cách ngắn

gọn) Mỗi phương án được thể hiện qua bộ số

điểm thuộc đường thẳng là (x1 = 0, x2 = 12) và

(x1 = 24, x2 = 0) Sau đó tìm nửa mặt phẳng thoả

mãn: 2x1 + 4x2 ≤ 48

Phương pháp đồ thị

Giao của hai nửa mặt phẳng tìm được trên đây cho tập hợp các điểm (x1, x2) thoả mãn các ràng buộc

Tuy nhiên, để thoả mãn điều kiện không âm của các biến, chỉ

xét các điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất

Vậy miền các phương án khả thi (nói vắn tắt hơn, miền phương án) là miền giới hạn bởi tứ giác OABC (còn gọi là tập lồi đa diện

vì là miền tạo nên bởi giao của các nửa mặt phẳng)

Dễ dàng tìm được hai điểm nằm trên đường đồng mức này là (x1 = 0, x2 = 4) và (x1 =

3, x2 = 0) Các điểm nằm trên đường đồng mức này đều cho giá trị hàm mục tiêu z = 24.Tương tự, có thể vẽ đường đồng mức thứ hai: 8x1 + 6x2 = 48 đi qua hai điểm (x1 =

0, x2 = 8) và (x2 = 0, x1 = 6) Chúng ta nhận thấy, nếu tịnh tiến song song đường đồng mức lên trên theo hướng của véc tơ pháp tuyến n (8, 6) thì giá trị của hàm mục tiêu z

= 8x1 + 6x2 tăng lên

Vậy giá trị z lớn nhất đạt được khi đường đồng mức đi qua điểm B(12, 6) (tìm được x1

= 12, x2 = 6 bằng cách giải hệ phương trình 4x1 + 2x2 = 60 và 2x1 + 4x2 = 48)

Do đó, trong các phương án khả thi thì phương án tối ưu là (x1 = 12, x2 = 6)

Tại phương án này, giá trị hàm mục tiêu là lớn nhất zmax = 8x12 + 6x6 = 132

Phương pháp đồ thị

Cách 2 Từ nhận xét trên, đối với BTQHTT có phương án tối ưu và có miền phương

án D là tập lồi đa diện có đỉnh, ta có thể tìm phương án tối ưu bằng cách so sánh giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực biên của D Quay lại ví dụ 1, ta có giá trị z tại O(0, 0): z (0, 0) = 0, tại A(0, 12): z(0, 12) = 72, tại C(15, 0): z(15, 0) = 120 và tại B(12, 6): z(12, 6) = 132 (đạt zmax)

Nhận xét Xét BTQHTT có phương án tối ưu và có miền phương án D là tập lồi đa

diện có đỉnh Để tìm phương án tối ưu, ta xuất phát từ một điểm cực biên nào đó và tìm cách cải thiện hàm mục tiêu bằng cách đi tới điểm cực biên kề tốt hơn Tiếp tục như vậy cho tới khi tìm được phương án tối ưu Quy trình giải này bao gồm hữu hạn bước do số điểm cực biên là hữu hạn

Đối với BTQHTT trong ví dụ 1, quy trình giải được minh hoạ như sau:

Phương pháp đồ thị

• Nhận xét

• Phương án tối ưu (nếu có) của một BTQHTT với miền

phương án D, là một tập lồi đa diện có đỉnh, luôn đạt được tại

ít nhất một trong các đỉnh của D Các đỉnh này còn được gọi

là các điểm cực biên của tập lồi đa diện D (chính xác hơn,

điểm cực biên là điểm thuộc tập lồi đa diện, mà không thể tìm được một đoạn thẳng nào cũng thuộc tập lồi đa diện nhận

điểm đó là điểm trong)

• Nhận xét trên đây là một định lý toán học đã được chứng

minh một cách tổng quát → muốn đạt được phương án tối

ưu cho các BTQHTT thì cần phải “mạo hiểm” đi xét các điểm cực biên của miền phương án

Ví dụ Một nông dân cần mua phân bón cho mùa trồng trọt tới

Có 2 loại phân đóng gói 10 kg do hãng A và B sản xuất, với các thành phần đạm và lân trong phân của hãng A lần lượt là

3 và 7 kg, của B là 6 và 4 kg

Giá mua một gói phân của hãng A là 60.000 đồng, hãng B là

30.000 đồng

Người nông dân cần tối thiểu 16 kg đạm và 24 kg lân

Hỏi nên mua bao nhiêu gói của mỗi hãng đề chi phí thấp nhất

Phương pháp đồ thị

Giải bài toán cực tiểu hàm mục tiêu

Bài toán được tóm tắt như sau:

A (x1) B (x2)

Bước 1 Đặt tên biến

Gọi x1 là số gói phân loại A cần mua

Gọi x2 là số gói phân loại B cần mua

Bước 2 Xác định hàm mục tiêu Z = 6x1 + 3x2 →min

Bước 3 Xác định các điều kiện ràng buộc

3x1 + 6x2 ≥ 16 (nhu cầu về đạm)

7x1 + 4x2 ≥ 24 (nhu cầu về lân )

Điều kiện biên là: x1, x2 ≥ 0

Bước 4 Giải bằng phương pháp đồ thị

Giải bài toán cực tiểu hàm mục tiêu

A (x1 = 0, x2 = 6) là nghiệm tối ưu

3.2 Mở rộng

Đối với bài toán có n biến x1,……., xn chịu m ràng buộc

1/Nghiệm tối ưu là tọa độ của một đỉnh hay nhiều đỉnh của miền cho phép Miền cho phép la một đa diện lồi (n-m) chiều

2/ Nghiệm là đơn trị nếu 1 đỉnh của đa diện cho phep tiếp xúc với mặt cùng mục tiêu 3/ Nghiệm là đa trị nếu tiếp xúc tại k đỉnh (k>1); k đỉnh này tạo nên 1đơn hình (k-1) chiều Do đó có thể lấy (k-1) giá trị các biến tuy ý, còn n-(k-1) biến khác là hàm tuyến tính của (k-1) biến túy ý Đó sẽ là cơ sở của phương pháp đơn hình

*Chú ý:

Đơn hình là 1 hình có số đỉnh nhiều hơn 1 so với số chiều của không gian Thí dụ,

trong không gian 2 chiều thì đơn hình là tam giác Trong không gian 3 chiều thì đơn hình là tứ diện

4 TÍNH ĐỐI NGẪU VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 4.1 Bài toán đối ngẫu (Dual problem)

Bài toán gốc (dạng chuẩn): tìm x = [x1,….,xn]T để hàm mục tiêu:

Bài toán đối ngẫu : tương đương với bài toán dạng chuẩn

Tìm y = [y1,….,ym]T để hàm mục tiêu V= b.y →min

Với ràng buộc : .

0

T

A y c y

m

y y

n n

Đã chứng minh [5]: giá trị tối ưu cảu bài toán chuẩn cũng là giá trị tối ưu cảu bài toán đối ngẫu, nghĩa là c.x*= b.y*

4.2.Định lý cơ bản của quy hoạch tuyến tính

Định lý:

Phương án tối ưu của quy hoạch tuyến tính chứa một số biến dương đúng bằng số các ràng buộc dạng đẳng thức độc lập được thỏa mãn, các biến còn lại có giá trị không Thí dụ: x=[x1,x2,…… x5]T → n = 5

Do đó nghiệm tối ưu có 3 biến khác không x*= [ * , 0,0,*,*] T

Chú ý : trong QHTT, mức mục tiêu được phải luôn luôn đo được

Bài toán đối ngẫu

• Ví dụ Một xưởng mộc sản xuất bàn và tủ Lượng sản

phẩm sản xuất ra được phụ thuộc vào số công lao động

và diện tích mặt bằng Nhu cầu sử dụng tài nguyên để sản xuất ra tủ và bàn cũng như lượng tài nguyên tối đa cung cấp hàng ngày được trình bày trong bảng Giá gia công 500.000 đ/tủ và 1.200.000 đ/bàn Mỗi ngày nên sản xuất bao nhiêu tủ và bàn để có doanh thu lớn nhất

Tài nguyên Nhu cầu của Lượng tài

nguyêncung cấp hàng ngày

Bước 1 Đặt tên biến

Gọi x1 là số tủ nên đóng trong ngày ;

Gọi x2 là số bàn nên đóng trong ngày

Điều kiện biên là: x1, x2 ≥ 0

Bước 4 Giải bằng phương pháp đồ thị x1 = 0, x2 = 20, nên sản xuất 20 bàn và không sản xuất tủ mỗi ngày để Doanh thu cao nhất

Bài toán đối ngẫu

Do hai mặt hàng tủ và bàn bán không chạy nên người chủ xưởng sản xuất không định sản xuất chúng nữa mà cho một công ty sản xuất đồ gỗ đang có đơn hàng xuất khẩu thuê thợ và cho thuê mặt bằng

Người chủ xưởng phải đặt giá cho thuê một công thợ, và một mét vuông mặt bằng là bao nhiêu để tối thiểu cũng phải đạt được doanh thu như khi tự sản xuất

Bài toán đối ngẫu

• Gọi u1 là giá cho thuê một giờ công thợ (10.000 đồng)

Gọi u2 là giá cho thuê một m2 mặt bằng (10.000 đồng)

• Với điều kiện doanh thu cho thuê ít nhất cũng bằng với doanh thu khi tự sản xuất:

2u1 + 3u2 ≥ 50 (doanh thu thuê tài nguyên để sản xuất 1 tủ) 4u1 + 1u2 ≥ 120 (doanh thu cho thuê tài nguyên sản xuất 1 bàn)

• Để có thể thực hiện hợp đồng cho thuê, tổng tiền thuê phải có giá trị thấp nhất Hàm mục tiêu của bài toán là:

cần đặt giá cho thuê

•một công thợ là u1 = 30 (10.000 đồng)

•mặt bằng là u2 = 0 để có doanh thu là 2.400 (10.000 đồng)

Bài toán đối ngẫu

Bài toán ban đầu Bài toán đối ngẫu

Biến bổ sung biến bù

Biến bổ sung, biến bù

Điểm A (0, 20) nghiệm của bài toán nằm trên ràng buộc công lao động cho thấy kế hoạch sản xuất bàn và tủ tối ưu sẽ tận dụng hết công lao động

Điểm A(0,20) không nằm trên ràng buộc về mặt bằng cho thấy kế hoạch sản xuất và tủ tối ưu không sử dụng hết mặt bằng

2x1 + 4x2 ≤ 80 là ràng buộc tận dụng hết

3x1 + 1x2 ≤ 60 là ràng buộc không tận dụng hết

Đối với ràng buộc chưa tận dụng hết , chênh lệch giữa vế phải và vế trái (ký hiệu là si) được gọi là biến bổ sung

(với ràng buộc ≤) hay biến bù (với ràng buộc ≥)

• Xét ràng buộc về công lao động: