Bài 22 bài toán lãi suất

 Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép % r /tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng nÎ * nhận tiền cuối thá

1

BÀI TOÁN THỰC TẾ  Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Lãi kép

 Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với phần

lãi của kì trước

 Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (nÎ *) là: (1 ) ( )n 1.1

n

 Chú ý: Từ công thức (1.1) ta có thể tính được:

r

S n

A

+

æ ö

ç ÷

è ø

‒ Lãi kép %r /kì hạn: % n S n 1 1.3( )

r

A

-‒ Số tiền khách hàng gửi:

(1 ) ( )1.4

n n

S A

r

= +

2 Tiền gửi hàng tháng

 Định nghĩa: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định

 Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép

%

r /tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( nÎ * ) ( nhận tiền

cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S n

 Ý tưởng hình thành công thức:

‒ Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là:

( ) ( )1 ( )

r

= + = êë + - úû +

‒ Đầu tháng thứ hai, khi đã gửi thêm số tiền A đồng thì số tiền là:

2

2 1

-‒ Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là:

( )2 ( )

r

n

A

r

 Chú ý: Từ công thức (2.1) ta có thể tính được:

2

( ) ( )

1

1

n r

S r n

+

+

‒ Số tiền khách hàng gửi:

( ) ( ) ( )

2.3

n n

S r A

=

3 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

 Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất %r /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

 Ý tưởng hình thành công thức:

‒ Cuối tháng thứ nhất, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là: T1= A(1+r)

r

-‒ Cuối tháng thứ hai, khi ngân hàng đã tính lãi thì số tiền có được là:

( ) ( ) ( )2 ( )

Và sau khi rút số tiền còn lại là:

2

2

r

-‒ Từ đó ta có công thức tổng quát số tiền còn lại sau n tháng là:

(1 ) (1 ) 1 ( )3.1

n n

n

r

r

- Chú ý: Từ công thức (2.1) ta có thể tính được:

( ) ( )

n

r

r

-4 Vay vốn trả góp

 Định nghĩa: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất %r /tháng Sau đúng một tháng

kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng

 Công thức tính:

‒ Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và

n n

n

r

r

n

r

( ) ( )

4.3

n

n

A r r X

r

+

=

-5 Bài toán tăng lương

 Công thức tính: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng Cứ sau n tháng thì

lương người đó được tăng thêm %r /tháng Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền

3

là bao nhiêu?

k

kn

r

S A n

r

-=

6 Bài toán tăng trưởng dân số

 Công thức tính: (1 )m n( , , ) ( )6.1

X =X +r - m nÎ+ m³n

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m

m

X dân số năm m

n

X dân số năm n

m n n

X r

X

-7 Lãi kép liên tục

 Công thức tính: Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép %r /năm thì số tiền nhận được cả

vốn lẫn lãi sau n năm ( *)

n

‒ Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là r %

tiền thu được sau n năm là:

.

1

m n

n

r

m

‒ Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m® +¥ , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

( )

. 7.1

n r

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,65% /tháng

Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền

lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép) Số tiền người đó lãnh

được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không

đổi là:

Câu 2 Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0, 7% /tháng

Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền

lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép) Sau ba năm, người đó

muốn lãnh được số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút

tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó cần gửi số tiền M là:

4

Câu 3 Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm Tính

số tiền lãi thu được sau 10 năm

A 215,892 triệu đồng B 199,9 triệu đồng

C.115,892 triệu đồng D 99,9 triệu đồng

Câu 4 Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8, 4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn

Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

Câu 5 Ông A mong muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000 đồng vào ngày 2/3/2017 ở một tài

khoản lãi suất năm 6,05% Hỏi ông A cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài khoản này

vào ngày 2/3/2012 để đạt được mục tiêu đề ra?

Câu 6 Ông Tuấn gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất 8,4% /năm và lãi suất hằng năm

được nhập vào vốn Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm người đó thu được tổng

số tiền 20 triệu đồng (biết rằng lãi suất không thay đổi)

Câu 7 Biết thể tích khí CO2 năm 1998 là ( )3

tăng %m , 10 năm tiếp theo nữa, thể tích CO2 mỗi năm tăng %n Tính thể tích CO2

năm 2016?

A ( ) (10 )10

40

10

36

10

C ( ) (10 )10

36

10

20

10

Câu 8 Bà Hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm Sau

5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nữa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục đem

gởi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm

Câu 9 Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2%

một quý theo hình thức lãi kép Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng

với kỳ hạn và lãi suất như trước đó Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi

gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?

Câu 10 Số tiền 58000000 đồng gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61329000 đồng

Lãi suất hàng tháng là?

5

Câu 11 Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà Hỏi anh Nam phải

gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá

trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là 8% /năm và lãi hàng năm được

nhập vào vốn

A 253,5 triệu B 253 triệu C 252,5 triệu D 251 triệu

Câu 12 Một người muốn sau 4 tháng có 1 tỷ đồng để xây nhà Hỏi người đó phải gửi mỗi

tháng là bao nhiêu tiền (như nhau), biết lãi suất 1 tháng là 1%? (gửi hàng háng)

A 1,3

3

( ) (2 )3

1

M =

C 1,03

3

3

Câu 13 Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580000 đồng với lãi suất 0,7%/tháng Sau

10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân hàng đã tính lãi

tháng cuối cùng) là bao nhiêu?

A. 5406152,53 đồng B. 6028005,598 đồng

C. 6654311,987 đồng D. 89465198, 46 đồng

Câu 14 Ông Nghĩa muốn có ít nhất 100 triệu đồng sau 10 tháng kể từ khi gửi ngân hàng với

lãi 0,7%/tháng thì mỗi tháng ông Nghĩa phải gửi số tiền ít nhất bao nhiêu?

A 9621676,353 đồng B 9,621676353 đồng

C 10728517,12 đồng D 10,72851712 đồng

Câu 15 Đầu mỗi tháng bác Dinh gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng sau 1 năm bác Dinh

nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 40 triệu Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần

trăm mỗi tháng?

A 1,60% B 1,61% C 1,62% D 1,63%

Câu 16 Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng một tháng (chuyển

vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không

đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1,1% trên một tháng Đến đầu

tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi

từ tháng 1) Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị

nghìn đồng)

Chuyên Lương Văn Tụy – Lần 1

Câu 17 Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,75%/tháng Mỗi tháng vào ngày

ngân hàng tính lãi, anh Chiến đến ngân hàng rút 300 nghìn đồng để chi tiêu Hỏi sau

2 năm số tiền anh Chiến còn lại trong ngân hàng là bao nhiêu?

6

Câu 18 Anh Chiến gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng Mỗi tháng vào ngày

ngân hàng tính lãi, anh Chiến rút một số tiền như nhau để chi tiêu Hỏi số tiền mỗi

tháng anh Chiến rút là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?

A 2,046836882 triệu B 2046836,882 triệu

C 2,019822273 triệu D 2019822, 273 triệu

Câu 19 Một sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng số tiền là 8.000.000 đồng

với lãi suất 0,9%/tháng Nếu mỗi tháng anh sinh viên đó rút ra một số tiền như nhau

thì anh ta phải rút khoảng bao nhiêu tiền để sau đúng 1 năm sẽ vừa hết số tiền cả vốn

lẫn lãi?

Câu 20 Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn

hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu

hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi

lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó,

số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ

A 100 1,01( )3

3

( )

3 3

1,01 1,01 1

m=

- (triệu đồng)

C 100.1,03

3

( )

3 3

120 1,12 1,12 1

m=

- (triệu đồng)

Đề minh họa – Lần 1

Câu 21 Anh A mua nhà trị giá ba trăm triệu đồng theo phương thức trả góp Nếu cuối mỗi

tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 5500000đ và chịu lãi suất số tiền chưa trả

là 0,5%/tháng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết số tiền trên (trả góp)

A n=60 B n=64 C. n=64,1 D n=65

Câu 22 Chị Năm vay trả góp ngân hàng số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 1,15%/tháng trong

vòng 2 năm thì mỗi tháng chị Năm phải trả số tiền bao nhiêu?

Câu 23 Anh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng, mỗi

tháng trả 15 triệu đồng Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ?

Câu 24 Anh Sơn vay tiền ngân hàng mua nhà trị giá 1 tỉ đồng theo phương thức trả góp Nếu

cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh trả 30 triệu và chịu lãi số tiền chưa trả

là 0,5% tháng thì sau bao lâu anh trả hết nợ?

7

Câu 25 Ông X vay một số tiền để mua nhà và hoàn nợ ngân hàng theo hình thức trả góp với

mức lãi suất là % /r tháng trong vòng 3 tháng Nếu số tiền ông X vay là T triệu đồng thì mỗi tháng ông phải trả số tiền là 34 triệu đồng Còn nếu số tiền ông X vay là

50

T+ triệu đồng thì mỗi tháng ông phải trả số tiền là 51 triệu đồng Vậy giá trị của

T và r lần lượt là (chọn kết quả gần đúng nhất)

Câu 26 Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương

cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền

dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15 % so với năm trước Hỏi

năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân

viên trong cả 5 năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

Câu 27 Một người được lĩnh lương khởi điểm là 700.000 đ/ tháng Cứ ba năm anh ta lại được

tăng lương thêm 7% Hỏi sau 36 năm làm việc anh ta được lĩnh tất cả bao nhiêu tiền?

(lương)

Câu 28 Một người được lãnh lương khởi điểm là 10 triệu đồng/ tháng Cứ sau 3 tháng, lương

của anh ta lại được tăng thêm 12% Sau 36 tháng làm việc, anh ta lĩnh được tất cả số

tiền T Giá trị của T gần với giá trị nào nhất?

Câu 29 Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đâu 4% /năm và lãi

hàng năm được nhập vào vốn Cứ sau một năm lãi suất tăng 0,3% Hỏi sau 4 năm

tổng số tiền người đó nhận được gần nhất với giá trị nào sau đây?

Câu 30 Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước

A sẽ hết sau 100 năm nữa Nhưng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi

năm Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trũ của nước A sẽ hết

A n=41 B n=42 C n=43 D n=44

Câu 31 Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78.685.800 người và tỉ lệ tăng dân số năm

S= A e (trong

đó A: là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân

số hàng năm) Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức

120 triệu người

8

Câu 32 Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05% Theo số liệu của

Tổng Cục Thống Kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là 90.728.900 người Với tốc

độ tăng dân số như thế thì vào năm 2030, dân số của Việt Nam là bao nhiêu?

Câu 33 (Chiến tranh và dân số thế giới) Cục điều tra dân số thế giới cho biết: Trong chiến

tranh thế giới thứ hai (kéo dài 6 năm); dân số mỗi năm giảm đi 2% so với dân số năm

liền trước đó Vào thời hòa bình sau chiến tranh thế giới thứ hai thì dân số tăng 4%

so với dân số năm liền trước đó Giả sử rằng, năm thứ 2 diễn ra chiến tranh dân số

thế giới là 4 tỉ người Kể từ thời điểm đó thì 10 năm sau thì dân số thế giới là bao

nhiêu tỉ người? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Câu 34 Dân số thành phố A là 200.000 người, tăng trưởng 3% năm, và của thành phố B là

300.000 người tăng trưởng 1% năm Sau bao nhiêu năm thì dân số hai thành phố

bằng nhau, đáp án gần nhất với số năm thực tế nhất là?

Câu 35 Giả sử số lượng một bầy ruồi tại thời điểm t so với thời điểm t= là 0 ( ) 0

kt

N t =N e ,

0

N là số lượng bầy ruồi tại thời điểm t = , k là hằng số tăng trưởng của bầy ruồi 0 Biết số lượng bầy ruồi tăng lên gấp đôi sau 9 ngày Hỏi sau bao nhiêu ngày bầy ruồi

có 800 con?

Câu 36 Cho một lượng vi khuẩn bắt đầu với 500 con và phát triển với vận tốc tỷ lệ thuận với

số lượng Biết sau 3 giờ, có 8000 con vi khuẩn Hỏi sau 4 giờ, số lượng vi khuẩn là

bao nhiêu?

Câu 37 Một loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14

Khi một bộ phận của một cây nào đó chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và

nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ bị phân

hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nito 14 Biết rằng gọi P t( ) là số phần

trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P t( ) được tính theo công thức P t( )=100 0,5( ) ( )5750t % Phân tích môt mẫu

gỗ từ một công trình kiến trúc gỗ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu

gỗ đó là 65% Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó

Câu 38 Theo số liệu từ Facebook, số lượng các tài khoản hoạt động tăng một cách đáng kể

tính từ thời điểm tháng 2 năm 2004 Bảng dưới đây mô tả số lượng U x( ) là số tài

khoản hoạt động, trong đó x là số tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004 Biết số lượt tài

9

là số tài khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004 Hỏi đến sau bao lâu thì số tài khoản

hoạt động xấp xỉ là 194 790 người, biết sau hai tháng thì số tài khoản hoạt động là

108 160 người

Câu 39 Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ Biết rằng tỉ lệ

tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2013 dân số thế giới vào khoảng 7095

triệu người Khi đó dự đoán dân số thế giới năm 2020 sẽ là bao nhiêu triệu người?

Câu 40 Biết rằng đầu năm 2010, dân số Việt Nam là 86932500 người và tỉ lệ tăng dân số

năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được tính theo công thức tăng trưởng mũ Hỏi cứ

tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?

D ĐÁP ÁN

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 14 15  16  17  18  19 20

C  D  C  C  A  B  B  B  D  B  C  B  B  A  B  A  C  A  C  A 

21  22  23  24  25  26  27  28 29 30 31 32 33 34 35  36  37  38  39 40

B  A  C  B  B  B  A  C  B  A  D  B  B  B  B  C  A  A  A  C