Chọn tọa độ suy rộng là x.. Hình 1 a/ Thiết lập phương trình vi phân mô tả cơ hệ bằng phương pháp năng lượng phương pháp Lagrange 3 đ b/ Xác định tần số riêng của cơ hệ ωnrad/s.. Thanh
Trang 1Đại học Quốc gia Tp HCM ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ (12/6/13)
Trường Đại học Bách Khoa MÔN: DAO ĐỘNG KỸ THUẬT
Khoa Cơ Khí Thời gian: 75 phút - Được phép sử dùng tài liệu
Đề thi gồm 2 trang
Câu 1: 5 điểm
Cho cơ hệ 1 bậc tự do (như hình 1) gồm 2 vật nối với nhau bằng 1 dây không dãn
và không khối lượng, dây uốn quanh 1 đĩa tròn không khối lượng Chọn tọa độ suy rộng
là x Với m = 2 kg là khối lượng, k = 5000 N/m là độ cứng lò xo
Hình 1
a/ Thiết lập phương trình vi phân mô tả cơ hệ bằng phương pháp năng lượng (phương pháp Lagrange) (3 đ) b/ Xác định tần số riêng của cơ hệ ωn(rad/s) (1 đ) c/ Xác định biên độ A(m) và góc lệch pha φ (rad) của dao động, biết tại thời điểm t = 0
thì x ( 0 ) = 0 01 m và x& ( 0 ) = 0 (1 đ)
Câu 2: 5 điểm
Cho cơ hệ 2 bậc tự do (như hình 2) gồm một thanh chiều dài 3L/2, không khối
lượng, quay quanh khớp trụ O Thanh mang vật (xem như chất điểm) có khối lượng m đặt
ở đầu bên phải của thanh Giữa phần bên phải có lắp lò xo có độ cứng 6k và giảm chấn có hằng số cản nhớt (hệ số giảm chấn) 6c Đầu bên trái lắp lò xo có độ cứng 2k, giảm chấn
có hằng số cản nhớt 2c và vật có khối lượng m Chọn tọa độ suy rộng là x và θ Biết hệ
có giảm chấn yếu với c = k m
Trang 2Hình 2
a/ Thiết lập phương trình vi phân (dạng ma trận) mô tả cơ hệ bằng phương pháp lực (phương pháp Newton) (2.5 đ) b/ Xác định các tần số riêng của cơ hệ khi hằng số cản nhớt c=0 (1.75 đ) c/ Xác định các véctơ dạng riêng của cơ hệ khi hằng số cản nhớt c=0 (0.75 đ)
GV ra đề: TS Phan Tấn Tùng CNBM: TS Bùi Trọng Hiếu
Trang 3Khoa Cơ Khí ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ
Bm Thiết Kế Máy Môn Dao động kỹ thuật
Thời gian 75 phút – Ngày 12/6/2013
Do dây không dãn nên hai khối lượng có chuyển vị bằng nhau
Động năng
2
3 2
2 2 2
2 2
2
v m
Thế năng
2
3 2
2 2 2
2 2
2
x k
Hàm Lagrange
2
3 2
V K
x
L dt
d
&&
& ⎟ = 3
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
0.5 đ
kx x
L
3
−
=
∂
∂
0.5 đ 1a
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
x
L x
L dt
d
& ⇒3 m && x + kx 3 = 0⇒m && x + kx = 0
Với m=2kg và k=5000N/m ⇒2 x&& + 5000 x = 0 hay x&& + 2500 x = 0
1 đ
1b
Tần số riêng của cơ hệ
s
rad m
k
1
2500 =
=
=
n
01 0 50
0 01
0
2 2
2 0 2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
1c
Góc lệch pha φ
Nếu chọn x ( t ) = A cos ( ωnt + φ )⇒ tan tan 1( )0
0
0
− ⎟⎟=
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
x
x
n
ω
φ & ⇒φ = 0 rad
Nếu chọn x ( t ) = A sin ( ωnt + φ )⇒ ⎟⎟= ( )∞
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
0
tan
x
x
n&
ω
2
π
φ =
0.5 đ
Xét cân bằng lực trên vật bên trái
x m
L x c
L x
k − − & − & = &&
2 ( 2 ) 2 (
PTVP thứ 1 ⇒ m x && + 2 c x & − cL θ & + 2 kx − kL θ = 0 0.5 đ 2a
Xét cân bằng mômen quanh khớp bản lề
θ θ
θ θ
θ & & & 2 &&
2 2
2
6 2
6 2
2
2 2
2
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
0.5 đ
Trang 4PTVP thứ 2 ⇒ m L2θ && − c L x & + + 2 cL2θ & − kLx + 2 kL2θ = 0 0.5 đ Vậy hệ PTVP mô tả cơ hệ dạng ma trận
0
2
2
2
2
0
0
2 2
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
− +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
− +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ θ
θ
x kL kL
kL k
x cL cL
cL c
x mL
m
&
&
&&
Do c=0 nên hệ PTVP trở thành
0
2
2
0
0
2
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
− +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ θ
x kL kL
kL k
x mL
m
&&
&&
⇒ M && x + x K = 0 0.25đ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
λ
λ λ
λ λ
m k mL k
m kL m
k kL
kL
kL k
mL
m
2
2 0
0 2
2 1 0
0 1
2 2
1K I
Điều kiện để PT có nghiệm không tầm thường
( ) ( 2 ) ( ) 0
1/ ( 2 k m − λ ) ( − k m ) = − λ + k m = 0⇒
m
k
= 1
Vì λ1 = ω12⇒ Tần số riêng thứ 1 là
m
k
= 1
2/ ( 2 k m − λ ) ( + k m ) = − λ + 3 k m = 0 ⇒
m
k
3
2b
Vì λ2 = ω22⇒ Tần số riêng thứ 2 là
m
k
732 1
Ta có ( K − ω2M ) Q = 0
2
2
2 2 2 2
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
Q mL kL
kL
kL m
k
ω
ω
⇒
kL
m k
Q
2 2
1/ với
m
k
=
2 1
L kL
m m
k k
2
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
L
1
1 1
2c
2/Với
m
k
3 2
L kL
m m
k k
3 2
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
L
1
1 2
Hết đáp án TS Phan Tấn Tùng