skkn một số giải pháp giúp học sinh lớp 9 trường PTDT bán trú THCS tam thanh ứng dụng định lí vi ét trong việc giải toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓAPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO QUAN SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ‘‘MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG PTDT BÁN TRÚ THCS TAM THANH ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-É

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO QUAN SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

‘‘MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 9

TRƯỜNG PTDT BÁN TRÚ THCS TAM THANH ỨNG DỤNG

ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG VIỆC GIẢI TOÁN’’

Người thực hiện: Lê Trọng Trường

Trang 3

I MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài.

Văn Kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XII tiếp tục khẳng định “giáodục là quốc sách hàng đầu, phát triển giáo dục và đào tạo nhằm nâng cao dân trí,đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục chủ yếu

từ trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học;học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn Phát triển giáo dục và đào tạo phảigắn với nhu cầu phát triển kinh tế - xã hội” Trọng tâm là “ đổi mới căn bản vàtoàn diện giáo dục đạo tạo phát triển nguồn nhân lực, phấn đấu trong những nămtới, tạo ra chuyển biến căn bản, mạnh mẽ chất lượng, hiệu quả giáo dục đào tạolàm cho giáo dục đào tạo thật sự là quốc sách hàng đầu, đáp ứng ngày càng tốthơn công cuộc xây dựng, bảo vệ tổ quốc và nhu cầu học tập của nhân dân, làyêu cầu bức thiết của toàn xã hội, yêu cầu của hội nhập quốc tế trong kỷ nguyêntoàn cầu hóa”

Trong chương trình giáo dục trung học hiện nay, môn toán cùng với cácmôn học khác trong nhà trường THCS có những vai trò góp phần quan trọngđào tạo nên những con người phát triển toàn diện.Toán học là môn khoa học tựnhiên có tính lôgíc và tính chính xác cao, nó là chìa khóa mở ra sự phát triển củacác bộ môn khoa học khác

Muốn học sinh THCS học tốt được môn toán thì mỗi người giáo viênkhông phải chỉ truyền đạt nội dung kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng vàcác tài liệu đã có sẵn trong sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và sáchthiết kế bài giảng một cách dập khuôn, máy móc làm cho học sinh học tập mộtcách thụ động Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn rathật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao Nó là một trong nhữngnguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năngđộng, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với hội nhập thế giới Vì vậy ngườigiáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách lôi cuốn các emtham gia vào các hoạt động học tập

Trong chương trình Sách giáo khoa Toán 9 THCS, Học sinh đã được làmquen với phương trình bậc hai: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, đặcbiệt là định lý Vi-ét và ứng dụng trong việc giải toán Song qua thực tế giảngdạy học sinh khối 9 tại trường PTDT Bán tú THCS Tam Thanh những năm vừaqua tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán chưa thực sự linhhoạt, chưa khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại toán, trong khi

đó hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán ở bậc THCS vàcác cấp học tiếp theo để từ đó giúp các nắm vững kiến thức, làm tốt các dạngtoán cần áp dụng hệ thức Vi-ét

Đứng trước vấn đề đó, tôi đi sâu nghiên cứu đề tài “ Một số giải pháp giúp

học sinh lớp 9 trường PTDT Bán Trú THCS Tam Thanh ứng dụng định lí Vi-ét trong việc giải toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử

dụng thành thạo định lí Vi-ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán vàkích thích hứng thú học tập của học sinh

Trang 4

2.Mục đích nghiên cứu:

Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹpcủa toán học, đặc biệt nó giúp phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh,nếu vấn đề này được quan tâm thường xuyên trong dạy học của các thầy cô giáothì chắc chắn đề tài sẽ là kinh nghiệm bổ ích trong việc bồi dưỡng đội ngũ họcsinh thi vào lớp 10 THPT và các trường chuyên lớp chọn và kì thi khảo sát chấtlượng học kì II

3.Đối tượng nghiên cứu.

Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lí

Vi-ét trong việc giải một số dạng bài toán thường gặp trong môn toán 9 ở cấpTHCS Do đó chỉ đề cập đến một số loại bài toán là:

3.1.Ứng dụng định lí Vi -ét để Giải phương trình bậc hai bằng cách tính

nhẩm nghiệm.

3.2.Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán tìm điều kiện của tham số

để bài toán thoã mãn yêu cầu đặt ra

3.3.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai khôngphụ thuộc tham số m

3.4.Ứng dụng định lí Viét vào việc xét dấu các nghiệm của phương trìnhbậc hai

3.5.Ứng dụng định lí Vi- ét vào so sánh nghiệm của phương trình bậc haivới một số cho trước

3.6.Ứng dụng định lí Vi- ét vào lập phương trình khi có hai biêu thứcchứa hai nghiệm

3.7.Ứng dụng của định lí vi-ét trong giải toán chứng minh

3.8.Ứng dụng định lí Vi-ét để giải bài toán về vị trí tương đối của đườngthẳng và parabol

3.9.Ứng dụng Định lý Vi-ét với bài toán cực trị( Tìm giá trị của tham số để

biểu thức x1, x2của đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.)

4 Phương pháp nghiên cứu.

Để hoàn thành SKKN này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứusau đây:

+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết nghiên cứu

+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế

+ Phương pháp thu thập thông tin

+ Phương pháp thống kê

+ Phương pháp xử lí số liệu

Trang 5

II NỘI DUNG

1.Cơ sở lí luận

Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệthông tin như hiện nay, nền giáo dục đào tạo nước ta đang đứng trước nhữngthời cơ và thách thức mới Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì giáo dục vàđào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “ đào tạo nhân lực,nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng và nhà nước đề ra

Là giáo viên ai cũng muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễdàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học Một vấn đề được đặt ra chongười giáo viên là phải dạy học như thế nào để học sinh không những nắm vữngnội dung kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải rèn luyện khả năng tưduy lôgic, rèn luyện kỹ năng làm bài tập của bộ môn toán cũng như các mônkhoa học khác Có thái độ, quan điểm rõ ràng trong các bài tập của mình để tạođược sự hứng thú, say mê trong học tập, tiếp thu kiến thức và có thể đưa cáckiến thức đó ra áp dụng vào cuộc sống đời thường Do đó trong quá trình giảngdạy, mỗi giáo viên phải biết chắt lọc ra những nội dung kiến thức cơ bản mộtcách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ nội dung , phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đếntrừu tượng và rút ra những nội dung kiến thức chính trong bài học Đồng thời cóthể gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư duy và kĩ năng phân tích nộidung và làm các bài tập toán học một cách chặt chẽ, rõ ràng và có hệ thống,đồng thời giúp cho các em nhận ra các dạng bài toán đã học một cách nhanhnhất

Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toánthì việc tìm ra kết quả của một bài toán phải được coi như là giai đoạn mở đầucho một công việc, tiếp theo là khai thác, phân tích bài toán đó Trong quá trìnhdạy học toán nói chung và quá trình giải toán nói riêng, người dạy cần tạo chohọc sinh thói quen là “sau khi tìm được lời giải một bài toán, dù lời giải bài toán

đó đơn giản hay phức tạp, thì cũng cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn đề, tìm thêmlời giải khác, cố gắng tìm ra phương án giải tối ưu nhất có thể được” Hãy luônnghĩ đến việc khai thác bài toán bằng các con đường tương tự hoá, tổng quáthoá, đặc biệt hoá để tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có Đối với việchọc toán thì việc rèn luyện kỹ năng giải toán là hết sức cần thiết, cần phải rènluyện thường xuyên kỹ năng giải toán bằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộcnhiều dạng khác nhau và sau đó tự mình suy nghĩ rồi rút ra bài học kinhnghiệm Trước khi giải một bài toán, nên tìm hiểu xem bài toán thuộc loại nào?dạng nào? Sau đó tư duy chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướngcho phương pháp giải đó và khai thác bài toán tốt hơn

Đối với học sinh trường PTDT Bán trú THCS Tam Thanh rất nhiều các

em học sinh còn yếu về môn toán, với nhiều lí do khác nhau, điều này hạn chếrất lớn đến việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của họcsinh, dẫn đến các em không ham học toán và không tự tin khi giải toán, lúngtúng trong lí luận và trình bày Trong khi đó ứng dụng của hệ thức Vi –ét vàocác dạng bài tập lại là một phần rất quan trọng trong bài thi vào lớp 10 THPT

Trang 6

2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN

Như tôi đã nói ở trên, SKKN cung cấp nội dung kiến thức quan trọngcho học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT và các trường chuyên lớp chọn đặc biệt làkì thi khảo sát học kì II Cho nên trước khi vận dụng SKKN, tôi đã khảo sát 36học sinh lớp khối 9 năm học 2016 – 2017 khi học song phần Đinh lí Vi – ét vàứng dụng với kết quả là:

Kết quả khảo sát

Thời gian học kỳ IINăm học 2016-2017

TSHS

Trung bình trở lên

Số lượng Tỉ lệ (%)

Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích, nhận dạng được các

dạng bài tập, không nắm được phương pháp, chưa biết cách trình bày bài nêncòn bị mất điểm nhiều đẫn đến tỉ lệ đạt điểm dưới trung bình còn cao chiếm tới44.5%

Trước thực trạng trên, tôi đã áp dụng đề tài để truyền thụ kiến thức chohọc sinh

3 Các giải pháp thực hiện.

3.1 Đề tài đề ra giải pháp gồm các nội dung sau:

- Sắp xếp các dạng bài ứng dụng hệ thức Viét theo mức độ từ dễ đến khó

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng bài

- Rèn kỹ năng làm thành thạo các bài toán ứng dụng hệ thức Viét

- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán

* Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

* Đối với học sinh khá:

- Phát triển tư duy, kỹ năng giải các dạng toán ứng dụng hệ thức Viét cólồng ghép bài tập nâng cao

- Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng bài

3.2 Hệ thống các kiến thức liên quan

Chú ý: Phương trình (*) chỉ có nghiệm khi S2  4P

*Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0

(1) Có nghiệm:

TH1: a = 0: phương trình bx + c = 0 có 1 nghiệm

Trang 7

TH2: a  0;  (’)  0 phương trình ax2+bx+c = 0 có 2 nghiệm.

(2) Vô nghiệm   (’) < 0

(3) Có nghiệm kép ( hai nghiệm bằng nhau)  a  0 ;  (’) = 0

(4) Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)  a  0 ;  (’) > 0

(5) Hai nghiệm trái dấu  a.c < 0

(6) Hai nghiệm cùng dấu  a  0 ;  (’)  0 và P > 0

(7) Hai nghiệm cùng dấu dương(lớn hơn 0)  a  0 ;  (’)  0; S > 0

và P > 0

(8) Hai nghiệm cùng dấu âm(nhỏ hơn 0)  a  0 ;  (’)  0; S < 0 và P

> 0

(9) Hai nghiệm đối nhau  a  0;  (’) > 0 và S = 0

(10) Hai nghiệm nghịch đảo của nhau  a  0 ;  (’) > 0 và P = 1(11) Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn

a

P S

b



 0-Nếu a  0

TH1: Phương trình có một nghiệm bằng 0  P = 0

TH2: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ( có 1 nghiệm dương)  ac < 0TH3: Phương trình có 2 nghiệm dương 

( ') 0 0 0

P S

Trang 8

Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khihai số bằng nhau.

Giả sử x x 1 , 2 0và x x1 2 Pkhông đổi, còn x1 x2 Sthay đổi

Do điều kiện S2 – 4P   0 ( S - 2 P)(S + 2 P)   0 S - 2 P   0 S

2 P



Vậy S đạt GTNN là 2 Pkhi và chỉ khi x1 x2  P

3.3 các dạng bài tập vận dụng ứng dụng của Định lí Vi-ét.

3.3.1 Dạng 1: ứng dụng định lí Vi -ét để Giải phương trình bậc hai bằng cách

Trang 9

a Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có:

x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5

b Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên

3.3.2.Dạng 2: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán tìm điều kiện của

tham số để bài toán thoã mãn yêu cầu đặt ra.

'

a

- Tính tổng S và tích P của hai nghiệm x1 và x2

- Kết hợp đẳng thức của giả thiết lập hệ phương trình gồm 3 phương trình

- Giải tìm tham số

- Đối chiếu điều kiện, thử lại, kết luận

Giá trị m = 8 không thoã mãn 0  m  4

Vậy, với m = 2 thì 2

2 2

Trang 10

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hoá 2012 - 2013)

a

a x

x

4 2

1 3

2 1

với a = - 1 hoặc a = -9 thoả mãn

Vậy với a = - 1 và a = -9 phương trình có hai nghiệm thoả mãn 2

1

2

x = 4

Ví dụ 3: Cho phương trình : x2 + nx – 4 = 0 (1) (với n là tham số)

Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình (1), tìm n để :

x1(x2

2 +1 ) + x2( x12 + 1 ) > 6 (Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thanh Hoá 2010-2011)

Giải: Phương trình đã cho có 2

3.3.3 Dạng 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai

không phụ thuộc tham số m.

Phương pháp:

Trang 11

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm:     '   0

- Tính tổng S, tích P của hai nghiệm x1 và x2

- Tính m theo S và P

- Khử m tìm hệ thức chỉ còn S và P Thay S = x1+ x2, P = x1 x2

Các ví dụ

Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức liên

hệ giữa hai nghiệm của phương trình Từ một trong hai biểu thức ta rút m theohai nghiệm, sau đó thế vào biểu thức còn lại ta được biểu thức cần tìm

Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình,

Bài 1: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình:

x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc vào m

Hướng dẫn: = (m -1) 2 + 28 0

Trang 12

m = S - 3 và m = P25 ta có hệ thức : 2(x1x2)  x1x2  11

Bài 2: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 Hãy tìm một biểu thức liên

hệ giữa hai nghiệm không phục thuộc vào m

1.phương trình có 2 nghiệm dương  







 0 0

S P

2.Phương trình có 2 nghiệm âm  







 0 0 0

S P

3 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu: P 0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không âm Thường có 2 cách giải:

Cách 1: Có P  0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm dương 1 nghiệm không âm)

Hoặc P = 0 Trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0

S P

Thì hai nghiệm đều dương

Cách 2: Trước hết phải có   0khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm không

âm nếu :

0



S ( Trường hợp này tồn tại nghiệm dương)

Hoặc S=0 ( Trường hợp này tồn tại nghiệm không âm)

Hoặc S ,0 P 0 ( Trường hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)

Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S

Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm cùng dấu Khi đó 2

nghiệm mang dấu gì ?

Trang 13

0 4 5 2

m m m

4 9 2

5

m m

5

m m

4

m m

   nên PT có hai nghiệm cùng âm

Ví dụ 2: Cho phương trình (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + 1 = 0

Tìm m để phương trình có:

a Một nghiệm

b Hai nghiệm cùng dấu phên biệt

c Hai nghiệm âm phân biệt

Trang 14

1 5

2

1 1

2

1 0 0

Vậy giá trị cần tìm của m là -1 < m  2

Cách 2: PT đã cho có ít nhất một nghiệm không âm khi và chỉ khi

+ Hoặc PT có 2 nghiệm trái dấu, tức là: P = 0 hay – 1 < m < 1

+ Hoặc PT có một nghiệm bằng 0, tức là: P = 0 hay m = 1

+ Hoặc PT có 2 nghiệm cùng dương, tức là:

1

m m

Vậy giá trị cần tìm là 1 m 2

Cách 3: PT đã cho có 2 nghiệm đều âm khi và chỉ khi

1

m m

Bài tập1: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0

a Tìm m để phương trình có nghiệm

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương

Bài tập 2: Cho phương trình (m – 1)x2 – 2(m – 3)x + m – 4 = 0 Tìm m để phương có hai nghiệm

a Trái dấu

b Hai nghiệm dương

c Hai nghiệm âm

3.3.5.Dạng 5: ứng dụng định lí Vi- ét vào so sánh nghiệm của phương trình bậc

hai với một số cho trước.

Phương pháp

Ở dạng này các bài toán thường gặp là: Tìm điều kiện của tham số để so sánh nghiệm với một số cho trước

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	780,5 KB