TH2 e4 NamTND ly thuyet tro choi

Ta có thể hiểu một bài toán trò chơi gồm một tập các trạng thái chịu sự tác động của một hoặc một số người chơi mà các bước đi là thay đổi các trạng thái theo một quy tắc cho trước, ta c

LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI

Trần Nguyễn Đình Nam Trường THPT Chuyên Quốc Học – Huế

TÓM TẮT

Trong bài viết này, khái niệm toán trò chơi không được định nghĩa Ta có thể hiểu một bài toán trò chơi gồm một tập các trạng thái chịu sự tác động của một hoặc một số người chơi mà các bước đi là thay đổi các trạng thái theo một quy tắc cho trước, ta có thể sử dụng các công cụ và phương pháp toán học để phân tích cấu trúc, trạng thái và quy tắc của trò chơi nhằm hoạch định chiến lược kết thúc trò chơi Thường hay gặp là loại trò chơi một người và trò chơi hai người

Phần đầu của bài viết sẽ tập trung mô tả về bài toán trò chơi và đưa ra một số ví dụ minh họa Phần còn lại sẽ nêu một số phương pháp để tiếp cận loại toán này

Trong bài viết này, khái niệm toán trò chơi không được định nghĩa Ta có thể hiểu một bài toán trò chơi gồm một tập các trạng thái chịu sự tác động của một hoặc một số người chơi mà các bước đi là thay đổi các trạng thái theo một quy tắc cho trước, ta có thể sử dụng các công cụ và phương pháp toán học để phân tích cấu trúc, trạng thái và quy tắc của trò chơi nhằm hoạch định chiến lược kết thúc trò chơi

* Đối với trò chơi một người:

- Người chơi phải cố gắng tuân theo quy tắc để đưa từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối cùng nêu trong đề ra Đôi khi loại trò chơi một người có thể phát biểu dưới dạng khác

* Đối với trò chơi hai người:

- Loại thường gặp nhất thường có cấu trúc như sau: hai người thay phiên nhau đi lần lượt,

người A đi trước luật chơi là giống nhau cho cả A và B Đương nhiên, một trận đấu hòa là không thể xảy ra Ta gọi M là tập hợp các cách đi đúng luật, P là tập hợp các trạng thái Tập

P có thể phân thành tập các trạng thái thắng W và tập các trạng thái thua L

;

P W= ∪L W∩ = ∅L

- Một người chơi nếu đang thuộc trạng thái L thì sẽ thua nếu đối thủ chơi đúng chiến

thuật

- Một người chơi nếu đang thuộc trạng thái W thì bao giờ cũng có thể thắng (nếu đi

đúng chiến thuật) cho dù đối thủ chơi thế nào đi nữa

Để chiến thắng, người chơi phải cố gắng đấy đối thủ vào trạng thái L

Ta lấy ví dụ để minh họa rõ hơn điều này

Ví dụ 1

Ban đầu có n con cờ trên bàn Có hai người chơi, mỗi bước đi có thể lấy một số con

cờ thuộc vào tập M ={1,2, ,k} Người thua là người đến lượt mình không còn con cờ nào

để lấy (tức là người thắng là người lấy được những con cờ cuối cùng) Tìm tập các trạng thái thua

Giải

Tập các trạng thái thua: số cờ trên bàn là bội của k + Thật vậy, nếu n không là bội của 1 1

k+ thì

n m k= + +r ≤ ≤ r k

Từ đó người đi trước luôn có thể đưa n về trạng thái là bội của k + bằng cách lấy r con 1

cờ Nếu trên bàn còn một bội của k+ con cờ thì người chơi thứ hai không thể chiến thắng 1

vì người chơi thứ hai chỉ lấy tối đa là k con cờ, cho nên từ đó, người chơi thứ nhất sẽ đưa số

cờ trên bàn về một bội của k+ Đến bước cuối cùng, người chơi thứ nhất sẽ đưa số cờ trên 1 bàn về 0, cũng là một bội của k+ và giành chiến thắng 1

Không phải trong các bài toán, ta đều xác định được trạng thái thắng, thua Để giải quyết bài toán, ta phải chú ý đến chiến thuật của mỗi người chơi, bài toán sau đây là một ví

dụ

Ví dụ 2

Trên đường tròn, cho 2 n + điểm 1 n ≥ , chia đường tròn thành các cung bằng nhau Hai 2

người chơi đi lần lượt, mỗi lần đi là xoá một điểm Nếu sau lượt đi của người nào đó, tất cả các tam giác tạo bởi các điểm còn lại đều là tam giác tù thì người đó thắng Hỏi người nào thắng: người bắt đầu hay là người thứ hai

Giải

Gọi O là tâm của đường tròn Ta thấy, ba điểm trên đường tròn tạo thành một tam giác không tù khi và chỉ tam giác đó chứa O (tính cả cạnh) vì nếu tam giác ABC chứa điểm O,

khi đó 2 ABC∠ = ∠AOC Khi một dãy gồm n hoặc nhiều hơn, các điểm liên tục trên đường tròn được bỏ đi thì trò chơi kết thúc Thật vậy, nối tất cả các điểm còn lại để tạo thành một

m giác, rồi chia nó thành các tam giác Nếu O nằm trong m giác thì nó phải nằm trong một tam giác (nhọn) nào đó Nếu ngược lại, tức là O nằm ngoài m giác và tất cả các điểm nằm trên nằm trên một nửa của mặt phẳng có bờ là một đường thẳng nào đó qua O điều này nghĩa là tồn tại một dãy nào đó gồm n hoặc hơn các điểm liên tục đã bị bỏ đi Ta sẽ chứng minh rằng người chơi thứ hai luôn thắng

Khi n= thì có 5 điểm và người thứ hai thắng ngay trong bước đi đầu tiên bằng cách lấy 2 một điểm mà điểm đó nằm cạnh điểm mà người thứ nhất vừa lấy đi

Nếu n k= > thì ta đánh số các điểm theo chiều kim đồng hồ theo thứ tự 1,2, ,22 k+ 1 Không giảm tổng quát giả sử người thứ nhất xoá điểm 1, khi đó người thứ hai xoá điểm 1

k+ Lưu ý rằng lúc này bất kì một dãy gồm k− điểm liên tiếp phải vượt qua hoặc kết 1 thúc tại điểm 1 hoặc k+ , do đó, nếu xoá đi một dãy gồm 1 k− điểm liên tiếp cũng có 1

nghĩa là xoá đi k điểm liên tiếp, tức là trò chơi sẽ có thể kết thúc Do đó bất kì chiến lược đi

nào của người thứ nhất, người chơi sẽ có cách đối phó để thắng như khi có 2(k− + điểm 1) 1 (vì đây chỉ là vấn đề thứ tự) Do giả thiết quy nạp, người đi thứ hai luôn thắng

Ví dụ 3

Có một đống nhiều hơn n2 hòn đá trên mặt bàn Peter và Vasya chơi một trò chơi Peter chơi trước Trong mỗi bước đi, người chơi có thể lấy một số lượng m > hòn đá thoả mãn 0

một trong các điều kiện sau:

- m là một số nguyên tố nhỏ hơn n

- m là một bội của n

- m = 1

Người chơi được gọi là thua nếu đến phiên của mình thì không còn một viên đá nào trên bàn Chứng minh rằng Peter luôn có một cách đi để chiến thắng

Giải

Giả sử số đá có trên bàn là N > Để tiện, ta gọi người đi trước là người chơi 1 và người n2

đi sau là người chơi 2

Giả sử người chơi 2 luôn có một cách đi để chiến thắng mọi chiến thuật của người chơi 1 Xét một chiến thuật của người chơi 1 như sau

Nếu đầu tiên, người chơi 1 lấy ln viên đá l ≥ , ta suy ra trong cách đi của người chơi 2 1 không có một lần đi nào lấy một bội của n viên đá Vì nếu người chơi 2 lấy k n viên đá, Khi

đó người chơi 1 là người sẽ bắt đầu khi trên bàn cònN − +(l k n) viên đá và người chơi 1 hoàn toàn có thể sử dụng chiến thuật của người chơi 2 để chiến thắng Vì theo giả sử của ta người chơi 2 luôn có cách đối phó để chiến thắng trong mọi chiến thuật của người chơi 1 Vì vậy, nếu người chơi 1 lấy (l k n+ ) viên đá và người chơi 2 là người sẽ bắt đầu khi trên bàn

có N− +(l k n) sẽ luôn có cách đối phó để chiến thắng

Như vậy trong chiến thuật của người chơi 2 phải là lấy một viên hoặc lấy một số

nguyên tố nhỏ hơn n viên Gọi A n là tập các phương án chọn cách đi của người chơi 2 Ta

có với n≥ thì2 A n < Trong khi đó, người chơi 1 có n n ≥ phương án chọn cách đi

k n k= n vì có nhiền hơn 2

n viên; với n= thì 1 A n = nhưng có nhiều hơn n n= cách 1

đi k n Vậy số phương án chọn cách đi bội của n của người chơi 1 luôn nhiều hơn A n Giả

sử khi người chơi 1 chọn cách đi k n, người chơi 2 sẽ chọn cách đi a k∈ ,A n k =1,n để đối phó thì theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại l k l k> ; , ∈{1, 2, , }n sao cho a k = a l

Ta xét các trường hợp sau:

- Nếu lúc đầu người chơi 1 lấy ln viên thì người chơi 2 lấy a l viên, trên bàn còn lại l

N l n a− − và người chơi 1 là người bắt đầu, theo giả sử của ta, lúc đó người chơi 2 sẽ có chiến thuật đối phó để chiến thắng người chơi 1 (1)

- Nhưng nếu lúc đầu, người chơi 1 lấy k n viên thì người chơi 2 lấy a k viên, sau đó người chơi 1 lấy đi (l k n− ) viên Trên bàn lúc này còn N k n a− − − −k (l k n N l n a) = − − và l người chơi 2 là người bắt đầu Như thế, theo trên, người chơi 1 hoàn toàn có thể sử dụng chiến thuật như trên của người chơi 2 để thắng (2)

Theo giả sử của ta, người chơi 2 luôn có cách đối phó với người chơi 1 để chiến thắng Cho nên từ (1) và (2) ta có mâu thuẫn Từ đó suy ra người chơi 1 luôn có cách đối phó để thắng người chơi 2

Sau đây ta sẽ lần lượt xét một số phương pháp giải toán trò chơi

I Sử dụng bất biến hoặc đơn biến

Bất biến là những đại lượng (hay tính chất) không thay đổi trong quá trình chúng ta thực hiện các phép biến đổi, trong khi đơn biến là một đại lượng luôn thay đổi trong quá trình thực hiện phép biến đổi, nhưng theo một chiều (tăng lên hay giảm xuống) Ta phải tìm

ra một bất biến trong bài toán hoặc đơn biến để có kết luận về trạng thái cuối cùng

Ví dụ 1

Trong một bảng gồm 8 8 × , một ô được đánh dấu cộng và tất cả còn lại được đánh dấu trừ Mỗi bước đi là thay đổi dấu của các ô theo một hàng hoặc theo một cột Chứng minh rằng không thể đối dấu toàn bộ bảng trở thành dấu trừ

Giải

Theo giả thiết, có 63 dấu trừ và một dấu cộng Giả sử trước mỗi bước đổi dấu số dấu

cộng là số lẻ m Mỗi lần đổi dấu, có 8 ô được đổi dấu Nếu trong dòng hoặc cột đó có k dấu cộng khi đó ta có thêm 8 k − dấu cộng, trong khi mất đi k dấu cộng Do vậy số dấu cộng có

trên bảng sau khi đổi dấu là m+ −8 2k Đây là số lẻ, do vậy bất biến ở đây là tính lẻ của số các dấu cộng Nếu toàn bộ bảng dấu trừ thì có nghĩa là số dấu cộng bằng 0 nên không thể thỏa mãn Vậy không thể đưa toàn bộ bảng trở thành dấu trừ

Ví dụ 2

Ban đầu có 4 đồng xu sấp và 5 đồng xu ngửa xếp thành một vòng tròn Một bước đi

ta tiến hành thêm 9 đồng xu vào giữa các đồng xu ban đầu theo quy luật: nếu có hai đồng

xu liên tiếp giống trạng thái, ta thêm một đồng xu sấp vào giữa chúng, ngược lại ta thêm

một đồng xu ngửa, rồi bỏ đi các đồng xu cũ Bằng cách thực hiện liên tiếp các bước đi như trên có thể tạo được một dãy 9 đồng xu ngửa được không?

Giải

Giả sử ta kí hiệu đồng xu sấp bởi số 1 và đồng xu ngửa bởi số -1 Xét tích của 9 số trên Ta lưu ý rằng hai số liên tục sẽ được thay bởi tích của chúng Như thế tích mới sẽ bằng bình phương tích cũ Từ đó tích mới sẽ là 1 Nhưng nếu thu được 9 số -1 thì tích sẽ bằng -1 Điều này là không thể

Ví dụ 3

Tại mỗi đỉnh của một hình 5 cạnh ta viết một số nguyên x i sao cho tổng 5

1

0

i i

=

= >

Ta thực hiện các thao tác như sau: Bắt đầu từ một đỉnh nào đó, nếu x y z, , là các số tại 3 đỉnh liên tiếp và y<0 thì ta thay ( , , )x y z bởi (x y y z y+ −, , + ) Khi nào còn một giá trị y<0

thì các bước trên còn lặp lại Chứng minh rằng đến một lúc nào đó, thuật toán trên phải dừng lại (tức là đến một lúc nào đó, tất cả các số trên 5 cạnh đều dương)

Giải

Thật toán này phải dừng lại, chìa khóa của việc giải bài toán này là tìm một hàm giá trị nguyên, không âm f x( , , )1 x5 của các số ở đỉnh mà hàm đó giảm đi khi các phép toán được tiến hành, đó là

5

2

1

i

=

Giả sử y x= 4 <0 Khi đó f new− f old =2Sx4 <0, vì S > 0 Nếu thuật toán không kết thúc chúng ta có thể tìm ra một dãy giảm các hàm f0 > >f1 f2 của một dãy các số nguyên không âm, dãy vô hạn này không tồn tại vì dãy này bị chặn dưới

Ví dụ 4

Cho 2n điểm trong mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Chứng minh rằng

có thể chia chúng thành n cặp sao cho n đoạn thẳng nối mỗi cặp đó không cắt nhau

Giải

Ban đầu ta kết cặp một cách ngẫu nhiên và nối chúng lại với nhau Gọi S là tổng của độ dài tất cả các đoạn thẳng đó Lưu ý rằng vì chỉ có hữu hạn cách để nối 2n điểm bởi n đoạn thẳng, nên chỉ có hữu hạn giá trị có thể có của S

Nếu hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O thì ta thay thế cặp AB và CD bởi AC và BD

Vì AB CD+ = AO OB CO OD+ + + > AC BD+ , do vậy bất kì khi nào có hai đoạn thẳng cắt nhau, sự thay thế này sẽ làm giảm giá trị của S Vì chỉ có hữu hạn giá trị của S nên cuối cùng sẽ không có hai đoạn thẳng nào cắt nhau

Ví dụ 5

Các số nguyên từ 1 đến 7 được viết trên bảng Có thể không phải tất cả các số đó đều xuất hiện và một số cũng có thể xuất hiện một lần hoặc nhiều lần Ta thực hiện một phép biến đổi như sau: một bước đi là chọn tập hợp gồm một hoặc nhiều số trên bảng sao cho các số đó phân biệt từng đôi, xoá chúng đi và viết vào các số nằm trong phần bù của tập đó trong tập

{1, 2, ,7 Ví dụ các cách đi như sau: }

- Xoá hai số 4 và 5, sau đó viết thêm các số 1, 2, 3, 6, 7

- Xoá một số 1, một số 2, một số 3, một số 4, một số 5, một số 6, một số 7 và không viết thêm số nào cả

Chứng minh rằng nếu có thể tìm một dãy các cách đi, sao cho kết quả cuối cùng là chỉ còn một số trên bảng (và số đó được viết chỉ một lần), thì số này không phụ thuộc vào cách đi của ta

Giải

Giả sử ban đầu ta viết trên bảng một số các số nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán Gọi

A là tập các số xuất hiện một số lẻ lần Ví dụ nếu dãy ban đầu trên bảng là

1111222333334555777 thì

{2,3, 4,5,7}

A= Bây giờ đối với dãy trên ta xoá 2, 3, 5 và thay bởi 1, 4, 6, 7 ta có dãy mới là

11111223333445567777 Lúc này ta thấy rằng A={ } {1,6 = 1, 2, ,7 \ 2,3, 4,5,7} { } và A lúc này là phần bù của A trước

Ta chứng minh rằng bất kì một phép đi nào cũng có tính chất như trên

Giả sử trước lúc thực hiện phép biến đổi thì A={a1, ,a k} Điều đó nghĩa là các số

{1, 2, ,7}

i

a ∈ mà a i∉ thì hoặc là xuất hiện với số lần chẵn hoặc không xuất hiện trong A

dãy số trên bảng

Nếu số a l nào đó được chọn thì nó sẽ được xoá đi, khi đó tính chẵn lẻ của số lần xuất hiện của nó thay đổi nên nếu ban đầu nó thuộc A thì sau đó nó không thuộc A và ngược lại Nếu

số a p nào đó không được chọn thì nó sẽ được viết thêm vào, nên tính chẵn lẻ của số lần xuất hiện của nó cũng sẽ thay đổi và ta cũng có điều tương tự, như thế ta chứng minh xong khẳng định trên

Bây giờ nếu ta có thể tìm được một cách đi sao cho chỉ còn lại một số a trên bảng

thì đương nhiên, khi kết thúc ta sẽ có A={ }a và trong mọi bước đi thì tập A chỉ là một trong hai tập { }a hoặc là {1, 2, ,7 \ a} { } Vậy nói tóm lại số a không phụ thuộc cách đi của

ta

II Phương pháp ghép đôi

Ví dụ 1

Hai người di chuyển hai con xe trên bàn cờ 8 8 × , các dòng được đánh số từ 1 đến 8 và các cột được dán nhãn từ a đến h Người chơi đầu tiên có một con xe trắng, bắt đầu từ ô b2 (xem hình), và người thứ hai có một con xe đen, bắt đầu từ ô c4 Trong mỗi lần di chuyển, một con xe có thể đến một ô cùng dòng hoặc cùng cột với ô nó đang đứng Tuy nhiên, hai con xe không được cùng hàng hoặc cột, và ô đi đến phải chưa bị đi qua bởi con xe khác Người chơi nào không thể đi tiếp sẽ thua Hỏi người chơi nào có thể thắng?

h g f e d c b a

8 7 6 5 4 3 2 1

Giải

Người chơi thứ hai có chiến thắng Chia 8 dòng thành từng cặp ( ) ( ) ( ) ( )1,3 ; 2, 4 ; 5,7 ; 6,8 và

8 cột thành 4 cặp ( ) ( ) (b c, ; , ;d e f g, ) ( ); ,h a Sau đó chia 64 ô thành 32 cặp Hai ô vuông làm thành một cặp nếu và chỉ nếu chúng nằm trên hai dòng khác nhau thuộc một cặp ở trên,

và trên hai cột khác nhau thuộc một cặp ở trên Các ô mà các con cờ bắt đầu cũng tạo thành một cặp Chiến lược của người chơi thứ hai là di chuyển con cờ đen đến ô thuộc cùng một cặp với ô mà con cờ trắng vừa mới đứng Điều này luôn có thể làm được theo cách chia cặp của ta Mặt khác, từ việc ô mà trên đó, con cờ trắng đang đứng chưa được đi qua trước đó, ô

mà con cờ đen di chuyển đến phải không bao giờ bị đi qua trước đó Do đó qua mỗi bước

di chuyển của hai người, số ô bị đi qua luôn là số chẵn và số ô chưa bị đi qua luôn giảm một lần là 2 Hơn nữa, con cờ đen sẽ không bị bắt bởi con cờ trắng vì hai ô trong cùng một cặp

là khác dòng và khác cột Từ đây, người chơi thứ hai luôn có thể đi được và có thể chờ đến khi người thứ nhất không di chuyển được nữa

Ví dụ 2

Trên bàn cờ 8 8 × , hai người chơi A và B lần lượt đặt các con cờ và mọi thời điểm mỗi người có thể đặt một con cờ tại vài ô trống trong cùng một hàng hoặc một cột (chỉ một con

cờ trên mỗi ô trống) Giả sử rằng A đi trước và hai người chơi lần lượt Một người thắng nếu người kia không thể đặt tiếp các con cờ nữa Hỏi người nào có chiến thuật thắng?

Giải

Ta chứng minh rằng người chơi B có chiến thuật thắng Giả sử rằng tại bước thứ k, người chơi A đặt m con cờ vào m ô trống a a1, , ,2 a m trong cùng một hàng hoặc một cột, khi đó người chơi B phải đặt m con cờ vào m ô trống b b1, , ,2 b m, ở đây b i là đối xứng với a i qua tâm của bàn cờ

Ví dụ 3

A và B chơi một trò chơi trên một bàn cờ 6 6 × ô Trong mỗi lượt đi người chơi phải chọn một số hữu tỉ không có trong bàn cờ và viết nó lên một ô trống Hai người chơi luân phiên

và A đi trước Khi họ viết tất cả các số lên bàn cờ, trong mỗi hàng, ô có số lớn nhất trong hàng đó được tô màu đen A thắng nếu anh ta có thể kẻ được một đường thẳng từ một ô trên cùng xuống một ô dưới cùng sao cho đường thẳng đó nằm hoàn toàn trong các ô đen,

và B thắng nếu A không thể làm như thế (Nếu ở hai ô cùng chung đỉnh, A có thể vẽ một đường thẳng từ ô này sang ô khác mà đường thẳng đó nằm trong hai ô) Tìm, và chứng minh một chiến thuật thắng cho một trong hai người

Giải

B có thể thắng Sau mỗi bước đi của anh ta, B có thể chắc chắn rằng số lớn nhất trong mỗi

dòng nằm ở một ô trong A B∪ , ở đây

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {1,2 ; 1,2 ; 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 }

A=

Và

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { 3,5 , 4,4 , 4,5 , 4,6 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,4 , 6,5 , 6,6 }

B=

B

A

1 2 3 4 5 6

6 5 4 3 2 1

Thật vậy, B kết cặp mỗi ô của A B∪ với một ô nằm cùng dòng, nhưng không ở trong

A B∪ sao cho mỗi ô của bảng nằm trong chính xác một cặp Khi nào A đi ở một ô của một

cặp, B sẽ đi ở ô kia của cặp trong bước đi ngay tiếp theo của anh ấy Nếu A đi với số x nằm

trong A B ∪ , B sẽ viết số y với y x < , nếu A đi với số x và không nằm trong A B∪ thì B

viết số z với z x > trong ô đã được ghép đôi trong A B∪ Cho nên sau bước đi của B, số lớn nhất của mỗi cặp sẽ nằm trong A B∪ và như thế số lớn nhất của mỗi dòng nằm trong

A B∪ , nên A không thể kẻ được đường thẳng như yêu cầu bài toán

Ví dụ 4

Hai người chơi A và B chơi một trò chơi, đi luân phiên và A đi trước Mỗi lượt chơi, người chơi xóa đi 9 số từ 101 số sau: 1,2,3,…, 101 Sau khi xóa 11 lần liên tục, còn lại hai số chưa xóa là a và b a b > , khi đó số điểm của A là a b − Chứng minh rằng người chơi A luôn có thể đạt ít nhất là 55 điểm bất chấp lối chơi của người B

Giải

Đầu tiên, người chơi A xóa đi 9 số sau: 47, 48,49,….,55 và các số còn lại được ghép làm 46 cặp là {i;55+i i}, =1,46 sao cho hiệu của hai số trong cùng một cặp là 55 Khi người chơi

B xóa 9 số thì chiến thuật của người A là xóa 9 số sao cho 18 số xóa bởi A và B là đã được ghép trong 9 cặp Cuối cùng, hai số còn lại chỉ là một trong 46 cặp ở trên, cho nên hiệu của hai số bằng 55 Do đó, người chơi A có thể đạt ít nhất là 55 điểm

Ví dụ 5

Trên một bảng vuông kích thước m n × đặt một con cờ tại một ô Hai người chơi A, B di chuyển con cờ một cách luân phiên theo luật: một người có thể di chuyển con cờ từ một ô sang ô liền kề (nếu hai ô có chung cạnh thì được gọi là ô liền kề), nhưng phải đảm bảo ô đó chưa được đi qua A là người chơi trước Người chơi là thua nếu không thể đi tiếp

1 Giả sử rằng vị trí ban đầu của con cờ là ô thấp nhất bên trái thì người nào có chiến thuật thắng?

2 Giả sử rằng vị trí ban đầu của con cờ là ô liền kề của ô thấp nhất bên phải, người nào có chiến thuật thắng

Giải

1 Ta ghép hai ô liền nhau thành một cặp, tức là dùng các hình chữ nhật 1 2× để phủ bảng vuông Nếu m n là số chẵn thì bảng vuông có thể phủ hoàn toàn bởi .

2

m n

hình chữ nhật như

trên Người chơi A luôn có thể di chuyển con cờ bên trong một hình chữ nhật , từ đó cuối cùng người chơi A sẽ thắng Nếu m n là số lẻ thì bảng vuông có thể được phủ bởi . 1

2

m n−

hình chữ nhật như trên ngoại trừ ô dưới cùng bên trái Từ đó, người chơi B sẽ sử dụng chiến thuật như của người chơi A trong trường hợp m n chẵn và giành chiến thắng

2 Ta chứng minh người chơi A luôn thắng

Nếu m n là chẵn, với lí do như trên ta thấy kết quả vẫn đúng