TH2 b1 NguyenLC nguyen ly quy nap

ĐỀ CƯƠNG BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ LỚP TẬP HUẤN NGUYÊN LÝ QUI NẠP TỐN HỌC Người báo cáo: Lê Chí Nguyễn THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau 1 Dẫn dắt đến nguyên lý qui nạp: Ví dụ về số Fermat F n

ĐỀ CƯƠNG BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ LỚP TẬP HUẤN

NGUYÊN LÝ QUI NẠP TỐN HỌC

Người báo cáo: Lê Chí Nguyễn (THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau)

1) Dẫn dắt đến nguyên lý qui nạp: Ví dụ về số Fermat F n = 22n + ( n ∈ ) Với n = 1

0, 1, 2, 3, 4 thì Fermat nhận thấy F n là số nguyên tố nên đưa ra dự đốn F n là số

nguyên tố với mọi n ∈ nhưng đến 1732 Euler chỉ ra F5 = 4294967297 = 641.6700417 khơng là số nguyên tố

2) Nguyên lý qui nạp:

Để chứng minh một mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ là đúng với mọi n ∗

mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp)

- Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

3) Bài tốn 1: tổng các số nguyên dương lẻ liên tiếp đầu tiên

Cho S n = 1 + 3 + 5 + …… + (2n – 1)

Tính S1, S2, S3, S4, S5 Dự đốn cơng thức tính S n và chứng minh bằng qui nạp

(ĐS: S n = n2)

4) Bài tốn 2: tổng của n số nguyên dương liên tiếp đầu tiên

Cho S n = 1 + 2 + 3 + …… + n

Tính S1, S2, S3, S4, S5 Dự đốn cơng thức tính S n và chứng minh bằng qui nạp

(ĐS: S n = ( 1)

2

n n+ )

5) Bài tốn 3: cơng thức tổng quát dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Cho dãy số (u n) xác định bởi: 1

1

11

u

=

⎧

⎨

⎩

Tính u2, u3, u4, u5 Dự đoán công thức tính u n và chứng minh bằng qui nạp

(ĐS: u n = 10n + n)

6) Bài toán 4: xác định hệ thức truy hồi của một dãy số từ bài toán diễn đạt bằng lời

và tìm công thức tổng quát

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng d: y = 2x + 1 và d/: y = x Trên d lấy điểm A1 có hoành độ 1

3 Qua A1 kẻ một đt song song với trục hoành cắt

d/ tại điểm B1 ; gọi A2 là giao điểm của d với đt qua B1 và song song với trục tung

Với điểm A2, lại thực hiện các bước tương tự như đã làm với điểm A1 ta sẽ được

điểm A3 Với điểm A3, lại làm như thế ta được điểm A4 Cứ tiếp tục mãi quá trình

trên ta sẽ được một dãy vô hạn các điểm A1, A2, … nằm trên d Với mỗi n nguyên dương, gọi u n là hoành độ của điểm A n Xác định hệ thức truy hồi của dãy số (đẳng

thức ràng buột giữa u n+1 và u n ) Từ đó tìm u2, u3, u4, u5 và công thức tính u n

(HD: Với mỗi n, kí hiệu a n và b n tương ứng là tung độ của A n và B n

Khi đó: + A n thuộc d nên a n = 2u n + 1

+ B n thuộc đt qua A n và song song với trục hoành nên b n = a n

= 2u n + 1

+ B n thuộc đt qua A n+1 và song song với trục tung nên B n có

hoành độ là u n+1

+ B n thuộc d/ nên u n+1 = b n

Vậy u n+1 = 2u n + 1 hay dãy (u n) xác định bởi 1

1

1 3

n n

u

⎧ =

⎪

⎨

⎩ Công thức tổng quát của dãy là

1 2 1 3

n n

u = + − )

7) Bài toán 5: Qui nạp trong hình học

Cho n đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng sao cho khơng cĩ hai đt nào song song và khơng cĩ 3 đt nào đồng qui Chứng minh rằng n đt này chia mặt

phẳng thành

2

n + +n miền

(HD : Kí hiệu S(n) =

2

n + +n

Dễ thấy với n = 1 thì S(1) = 2, bài tốn đúng

Giả sử bài tốn đúng với n = k ( k ≥ ) 1

Xét k + 1 đt d1, d2, , d k+1 trong đĩ k đt d1, d2, , dk chia mặt phẳng thành S(k)

miền Đt dk+1 cắt k đt kia tại k điểm phân biệt nên d k+1 đi qua k + 1 miền trong các miền đã cĩ, mỗi miền này do đĩ bị chia làm hai nên d k+1 tạo ra thêm k + 1 miền

Do đĩ : S(k + 1) = S(k) + (k + 1) =

( 1)

k

Vậy bài tốn đúng )

8) Bài tốn 6: Qui nạp trong hình học

Cho tam giác ABC Qua C kẻ n – 1 ( n∈ ) đường thẳng CM∗ 1, CM2,…, CMn-1 chia tam giác ABC thành n tam giác ACM1, M1CM2, …, Mn-1CB Gọi r1, r2, …, rn và

q1, q2,…, qn lần lượt là bán kính các đường trịn nội tiếp và bàng tiếp gĩc C của các tam giác trên Gọi r và q lần lượt là bán kính các đường trịn nội tiếp và bàng tiếp gĩc

C của tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 2

1 2

n

n

r

q q q = q

9) Nguyên lý qui nạp mạnh:

Để chứng minh một mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ là đúng với mọi

n ≥ , ta có thể dùng phương pháp quy nạp theo kiểu sau (gọi là dạng mạnh của n0 phép qui nạp):

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = n 0

- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với mỗi k: n0 ≤k≤n

- Bước 3: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với n + 1

10) Bài tốn 7: (VD 2.5, Chương 2 – A Walk through combinatorics)

Cho dãy (u n) xác định bởi 1

1

u

=

⎧

⎨

= + + + + +

⎩ Tính u2, u3, u4, u5 và tìm cơng thức tính u n

(ĐS: u n = 2n – 1)

11) Bài tốn 8: (VD 2.6, Chương 2 – A Walk through combinatorics)

Cho hàm số f : ⎯⎯→ thỏa f(m + n) = f(m) + f(n) với mọi m, n∈ Chứng

minh rằng tồn tại hằng số C sao cho f(n) = Cn, n∀ ∈

12) Một số đề rèn luyện:

1 Chứng minh rằng: Với mọi n ∈ N*,

a) n5 – n M 5 b) 62n + 3n+2 + 3n M11 c) 3n + 2n – 1M 4 d) 32n-1 + 2n+1 M 7 e) 4.32n+2 + 32n – 36 M 64 f) 4n + 15n – 1M

9

2 Chứng minh rằng: Với mọi n ∈ N*,

a)

4

) 1 n ( n n 3

2

13+ 3+ 3+L+ 3 = 2 + 2 e) 2+4+6+L+ n=n(n+1)

b)

1 n

n ) 1 n ( n

1 3

2

1 2

1

1

+

= + + +

3 4

3 n

2 4

3 3

1 3

1 3

1 3

−

= + + +

2

1

2 2

1 8

1 4

1

2

= + + +

2

) 1 n ( n ) 2 n ( 7

4

1+ + +L+ − = − d) 2 + 5 + 8 + … + 3n– 1 =

2

) 1 n (

n + h)

6

) 1 n )(

1 n ( n n 3

2

12 + 2 + 2 + + 2 = + +

3 Chứng minh rằng: Với mọi n ∈ N*,

a) 2n ≥ 2n + 1 với n ≥ 3 b) 2n > n2 với n ≥ 5

c) nn ≥ (n + 1)n–1 d) n! > 2n – 1 với n ≥ 3

e) 3n > n2 + 4n + 5 với n ≥ 3 f) 2n + 2 > 2n + 5

g) sin2nα + cos2nα ≤ 1 h) 3n – 1 > n(n + 2) với n ≥ 4

i) 2n – 3 > 3n – 1 với n ≥ 8 j) 3n > 3n + 1 với n ≥ 2

4 Chứng minh rằng:

n n

n

2

b a 2

b a

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

≥ + , trong đó a, b > 0 và n ∈ N*

5 Chứng minh rằng nếu ΔABC vuông tại A, có số đo các cạnh là a, b, c thì với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có bất đẳng thức : bn + cn ≤ an

6 Với giá trị nào của số nguyên dương n, ta có:

a) 2n + 1 > n2 + 3n b) 2n > 2n + 1

c) 2n > n2 + 4n + 5 d) 3n > 2n + 7n ?

7 Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là

2

) 3 n (

n −

8 Cho tổng

) 1 n 4 )(

3 n (

1 13

9

1 9 5

1 5 1

1

Sn

+

− + + + +

a) Tính S1, S2, S3, S4

b) Hãy dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng quy nạp

9 Cho n số thực a1 , a2 , a3 , … , an thỏa – 1 < ai ≤ 0 với i = n1 ,

Chứng minh rằng: ∀n ∈ N* ta có: (1 + a1) (1 + a2) … (1 + an) ≥ 1 + a1 + a2 + … + an

10 Chứng minh rằng với các số thực a1 , a2 , a3 , … , an (n ∈ N*), ta có:

⎜a1 + a2 + … + an ⎜≤ ⎜a1⎜ + ⎜a2 ⎜ + ⎜an ⎜