TIm chu so tan cung

Nhưng khi khảo sát các chữ số tận cùng của một số, có những phương pháp đặc biệt khá lí thú.

Bài 1: TÌM CÁC CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ

A Đặt vấn đề:

Tìm một, hai, ba chữ số tận cùng của một số chính là tìm dư trong phép chia số đó cho

10, 100 hoặc 1000 Nhưng khi khảo sát các chữ số tận cùng của một số, có những phương pháp đặc biệt khá lí thú

1 Tìm một chữ số tận cùng của n

a

- Nếu a tận cùng là 0; 1; 5; 6 thì n

a lần lượt tận cùng là 0; 1; 5; 6

- Nếu a tận cùng là 2; 3; 7 thì sao?

Dùng kí hiệu a  b (modm) để chỉ a  b chia hết cho m, ta có:

4k K

4k k

4k 2k

2 16 6 (mod 10)

3 81 1 (mod 10)

7 49 1 (mod 10)

Do đó để tìm chữ số tận cùng của n

a (với a tận cùng là 2; 3; 7) ta lấy số mũ n chia cho 4 Giả sử n  4k  r (r  0; 1; 2; 3)

a  2  2   6 2 (mod 10)

+ Nếu a  3; 7 (mod 10) thì n 4k r r

a  a   a (mod 10)

B Các ví dụ

Ví dụ 1:

Tìm chữ số tận cùng của 1992 1993

Giải: Ta có 1993 1993

1992  2 (mod 10)

Mà 1993  4 498  1 do đó 1993 4 498

2  (2 ) 2  2 (mod 10)

Vậy chữ số tận cùng của 1992 1993 là 2

Tìm hai chữ số tận cùng của n

a

Giả sử a có chữ số tận cùng là: x : 0  x  9

Theo nhị thức Niutơn, ta có:

a  (10k  x)  (10k)  20 (10k) x   20(10k)x  x  x (mod100)

Vậy hai chữ số tận cùng của 20

a cũng chính là hai chữ số tận cùng của 20

x

Nhận xét:

76  76 (mod100)

m

5  25 (mod 100) (m  2)

Từ đó suy ra với mọi m  1:

20m

a  0 (mod100) nếu a  0 (mod 10)

20m

a  1 (mod100) nếu a  1; 3; 7; 9 (mod 10)

20m

a  25 (mod100) nếu a  5 (mod 10)

20m

a  76 (mod100) nếu a  2; 4; 6; 8 (mod 10)

Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của n

a ta tìm dư trong phép chia số mũ n cho 20:

Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của

2

.

2

2 (có 1992 số 2)

Giải: Đặt

2

.

2

a  2 (có n số 2) Ta có: a 1992

1992

Ta tìm dư trong phép chia a1992 cho 20

Ta có:

2

1

a

1991

a  2  2  2 2   2 2   2(10l  8)  20l  16 (l  Z)

1992

2 Tìm ba chữ số tận cùng của n

a

Giả sử n  100k  r, 0  r  100 khi đó n 100 k r

a  (a ) a

Giả sử chữ số tận cùng của a là x: x : 0  x  9

Theo nhị thức Niutơn ta có:

a  (10k  x)  (10k)  100(10k) x   100(10k).x  x  x (mod1000)

Vậy ba chữ số tận cùng của 100

a cũng chính là ba chữ số tận cùng của 100

x

625  625 (mod1000)

n

376  376(mod1000)

- Nếu x  0 thì 100

x  0 (mod1000)

- Nếu x  5 thì 4 4

x  (5 )  625 (mod1000)

- Nếu x  1; 3; 7; 9 ta có tương ứng 4

x  1; 81; 2401; 6561  1 (mod 40)

x (40k 1) (40k) 25(40k) 25 (40k) 1 1 (mod1000)

- Nếu x  2; 4; 6; 8 lúc đó 100

x  8 (x,125)  1 mà (* )

(125) 100

x 1 (mod125)

x 1000k abc

abc 1(mod125)









Nhưng trong các số 1; 126; 251; 376; 501; 626; 751; 876; (đó là tất cả các số có ba chữ số khi chia cho 125 có dư là 1) chỉ có một số chia hết cho 8 là 376

Vậy 100

x  376(mod1000)

Từ đó suy ra với mọi m  1:

100m

a  0 (mod1000) nếu a  0 (mod10)

a  1 (mod1000) nếu a  1; 3; 7; 9 (mod10)

100m

a  625 (mod1000) nếu a  5 (mod10)

100m

a  376 (mod1000) nếu a  2; 4; 6; 8 (mod10)

Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của a n ta phải tìm hai chữ số tận cùng của số mũ n

Ví dụ 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 91993

2

Giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 9 1993

9  9 9  9 (3 )  29(mod100)

Vì 20

3  1 (mod100)

3

2 188 (2 ) 188

24 188 824 x 188

912 (mod1000)



a dựa vào ba chữ số tận cùng của n

C Bài tập ứng dụng:

Chứng minh rằng:

0,3 (1983  1917 ) là số nguyên

b

9  9 chia hết cho 10

c 34n 1

2   3 chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n

d Tìm hai chữ số tận cùng của 14 1414 và 5121

17

e Tìm ba chữ số tận cùng của 21992

3