Định nghĩa và các điều kiện: a.. Ta có thế cộng từng vế một với nhau theo cùng một môđun d.. Ta có thế nhân từng vế với nhau nhiều đồng dư thức theo cùng một môđun.. eTa có thể chia cả h
Trang 1CHỦ ĐỀ 7:
ĐỒNG DƯ THỨC I- ĐỒNG DƯ THỨC
1 Định nghĩa và các điều kiện:
a Định nghĩa:
Cho m ∈N*; a,b ∈ Z Nếu a và b khi chia cho m có cùng số dư ta nói: a và
b đồng dư theo môđun m
Kí hiệu: a ≡ b (mod m)
Hệ thức: a ≡ b (mod m) gọi là đồng dư thức.
Ví dụ: 19 ≡ 3 (mod 8); -25 ≡ 3 (mod 4)
Vậy : Nếu a ≡ b (mod m) ⇔ (a - b) m
2 Các tính chất
a) a ≡ b (mod m) => an ≡ bn (mod m) ∀n∈N
b) a ≡ b (mod m); b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod m)
c) Ta có thế cộng từng vế một với nhau theo cùng một môđun
d) Ta có thế nhân từng vế với nhau nhiều đồng dư thức theo cùng một môđun e)Ta có thể chia cả hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung của chúng nguyên tố với môđun
Cụ thể là:
a.c ≡ b.c (mod m); ƯCLN (c; m) =1 => a ≡ b (mod m)
f)Ta có thể nhân cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với cùng một số nguyên dương
Cụ thể là:a ≡ b (mod m) => a.c ≡ b.c (mod m.c) ∀c∈N*
g) Ta có thể chia cả hai vế và môđun của một đồng dư thức với cùng một ước dương của chúng
Cụ thể là:
a ≡ b (mod m); 0 < c ∈ ƯC (a; b; m) => a/c ≡ b/c (mod m/c)
Trang 2II- ĐỊNH LÝ FÉCMA
Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố cùng nhau với m Khi ấy ta có: aµ(m) ≡ 1 (mod m)
d) Định lý Fécma
- Định lý Fécma 1
Cho p là một số tự nhiên khác và a là một số nguyên không chia hết cho m Khi ấy ta có: ap - 1 ≡ 1 (mod p)
- Định lý Fécma 2
Cho p là một số nguyên tố, a là một số nguyên bât kỳ
Khi ấy ta có: ap - 1 ≡ a (mod p)
III - MỘT SỐ ỨNG DỤNG
1 Tìm số dư trong phép chia
Giải: Ta có: 2945 ≡ 2 (mod 9)
=> 29455 – 3 ≡ 25 – 3 (mod 9)
Mà 25 – 3 ≡ 2 (mod 9)
Vậy số dư của 29455 – 3 chia cho 9 là 2
Giải:
Ta có: 109 ≡ -3 (mod 14)
=> 109345 ≡ (-3)345 (mod 14)
Nên: (-3)6 =729 ≡ 1 (mod 14) (theo đ ịnh l ý Ơle)
=> (-3)345 = (-3) 6 57.(-3)3 ≡ (-3)3 (mod 14)
Mặt khác: (-3)3 = -27 ≡ 1 (mod 14)
Vậy số dư trong phép chia 109345 chia cho 14 là 1
Trang 3Ví dụ 3:Tìm số dư trong phép chia:
(19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111
Giải: Ta có: 1998 ≡ 0 (mod 111)
=> 1997 ≡ -1 (mod 111) và 1999 ≡ 1 (mod 111)
Nên ta có: 19971998 + 19981999 +19992000 ≡ 2 (mod 111)
(19971998 + 19981999 +19992000 )10 ≡ 210 (mod 111)
Mặt khác ta có: 210 = 1024 ≡ 25 (mod 111)
Vậy (19971998 + 19981999 +19992000 )10 chia cho 111 có số dư là 25
2 Chứng minh chia hết
Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 – 3 chia hết cho 13
Giải
Ta có: 33 = 27 ≡ 1 (mod 13)
=> 3100 = 3.399 ≡ 3.1 (mod 13)
=> 3100- 3 ≡ 0 (mod 13) Vậy 3100-3 chia hết cho 13
Ví dụ 2: Chứng minh 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31 với mọi n là số tự nhiên Giải:
Ta có: 62 ≡ 5 (mod 31) => 62n ≡ 5n (mod 31)
Mặt khác: 6 ≡ - 52 (mod 31)
Nên: 62n + 1 ≡ -5n + 2 (mod 31)
Vậy 62n + 1 + 5n + 2 chia hết cho 31
Ví dụ 3: Chứng minh 234n+1 +311
với n là số tự nhiên Giải:
Ta có 210 =1024≡ 1 (mod 11)
Ta có 34n+1 = 81n.3 = 10.k +3
=>234n+1 +3= 210.k +3 +3≡ 23 +3 ≡0 (mod 11)
Trang 4Vậy 234n+1 +311
3 Tìm chữ số tận cùng
a.Số có tận cùng 9376 hay 9025 khi lũy thừa số mũ n nguyên dương bất kỳ thì 4
chữ số tận cùng cũng là chính nó.Các số 376; 76; 6; 25; 625, 5 cũng có tính chất tương tự
b.Tìm 2 chữ số tận cùng của a n ( với n nguyên dương)
a20k ≡25 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 5
a20k ≡00 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 0
a20k ≡01 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 1,3,7 hoặc 9
a20k ≡76 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 2,4,6 hoặc 8
c Tìm 3 chữ số tận cùng của an ( với n nguyên dương)
a100k ≡625 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 5
a100k ≡000 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 0
a100k ≡001 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 1,3,7 hoặc 9
a100k ≡376 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 2,4,6 hoặc 8
Giải: Ta có: 20092017 ≡ 92017 (mod 100)
Ta có 920 ≡01( mod 100) ⇒ 92010 = 920 100 917 ≡01 917 = 910.97 ≡01 69 ≡
69(mod 100)
Vậy : 2 chữ số tận cùng của 20092017 là 69
Giải:
Ta có 2100 ≡376 (mod1000) ⇒ 21954 =2100.19.254 ≡37619.(218)3 ≡376.1443 ≡
376.984 ≡984
Vậy 3 chữ số tận cùng của 21954 là 984
Trang 5Ví dụ 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của 99 9
Giải:
Ta có 920 ≡01(mod100)
Ta có 99=387420489= 20.1937024+9
Suy ra : 9 =99 9 20.1937024.99 ≡01.99 ≡89 (mod100)
Vậy hai chữ số tận cùng của 9 là 89.9 9
Bài tập:
Bài 1) Tìm dư trong phép chia
a)715 cho 2015 b) 240 cho 2016
Bài 2) Tìm chữ số tận cùng của 2 4 8
Bài 3) Tìm 4 chữ số tận cùng của
a)A = 52015 b)B = 1234567891234567892
c) C= 931993 1011011993 881993 331993 20142016
Bài 4) Tìm hai chữ số tận cùng của
a)A = 22015 +22016 +22017
b) B = 62015 +62016 +62017
Bài 5) Tìm ba chữ số tận cùng của
a) A = 21 +22 +23 + +22017
b) B=391 +392 +393 + +392017
c) C =12 +22 +32 + + 201620172
Bài 6)Tìm dư trong các phép chia sau:
a) A = 2002 +2012 +2022 + +20152 chia cho 2016
b) B = 12015 +22015 +32015 +20152015 chia cho 11
c) C= 1010 + 10 10 2 + 10 10 3 + 10 + 10 10chia cho 7
Đáp số:
Bài 1) a)993 b) 1024
Bài 2) 6
Trang 6Bài 3) a)81215 b)0521 c)6416
Bài 4) a) 76 b) 44
Bài 5) a) 070 b) 159 c) 785
Bài 6) a) 644 b) 0 c) 5