Tách tổ hợp phần 4

Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau.. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.. Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau t

Câu 1. Cho khai triển:  2 3 20102011 2 3 4042110

1 x x x  x a a x a x a x  a x

a Tính tổng a0a2a4 a4042110

b Chứng minh đẳng thức sau:

2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 2011

Hướng dẫn giải

a./ Từ khai triển trên lần lượt cho x1;x1 ta được

2011

0 1 2 4042110

0 1 2 4042110







Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được

2011

0 2 4 4042110

2

 20112011  2011 2 4042110

1 x  1 x a a x a x  a x

Hệ số của x2011 trong vế trái bằng C120112011

Hệ số của x2011 trong vế phải bằng

2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0

Từ đó ta có đẳng thức

2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 2011

Câu 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số tự

nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3.

Hướng dẫn giải

+) Trước hết ta tính n(A) Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên

có 9 cách chọn và có A98 cho 8 vị trí còn lại Vậy n A 9A98

+) Giả sử B 0;1;2; ;9

ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 3 nên số có chín chữ số đôi

một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập

\ 0 ; \ 3 ; \ 6 ; \ 9

nên số các số loại này là

9 3.8 8

A  A Vậy xác suất cần tìm là

8 9

A





Câu 3. Tính giá trị của biểu thức: C = 20092006.C1200820092004.C20083  2009  2C20082005C20082007

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhị thức Niutơn ta có:

2008 2008 0 2007 1 2006 2 2005 3 2007 2008

(x1) x C x C x C x C  xC C ,

2008 2008 0 2007 1 2006 2 2005 3 2007 2008

(x1) x C  x C x C  x C   xC C



2008 2008

2007 1 2005 3 3 2005 2007

2008 2008 2008 2008

2



2008 2008

2006 1 2004 3 2 2005 2007

2008 2008 2008 2008

2

x

Từ đẳng thức trên cho x = 2009 ta được

2008 2008



Vậy C =

2008 2008

2.2009



Câu 4. Khai triển P x( ) (1 3 )  x 20 thành P x( )a0a x a x1  2 2 a x20 20

Tìm Max a a( ,1 2, ,a20)

Hướng dẫn giải.

a C a    k

Xét tỉ số

1 2(20 )

1

k k

A



Khi

59 4

k 

thì A>1 do đó a k1 a k  k 0,1, 14

Khi

59 4

k 

thì A<1 do đó a k1a k  k 15,16, 20 Mặt khác a15a14 Vậy max( , , a a1 2 a20)= 15 15

15 20.3

a C

Câu 5. Trong một buổi liên hoan có 9 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp là vợ chồng, cần chọn 3 người

đứng ra tổ chức liên hoan Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 3 người được chọn không

có cặp vợ chồng nào?

Hướng dẫn giải.

Có C3

18 cách chọn 3 người trong 9 cặp nam nữ

Có 4.C1

16 cách chọn 3 người trong đó có 1 cặp vợ chồng

Vậy có C3

18 - 4.C1

16 = 752 cách chọn 3 người thỏa mãn bài toán

Câu 6. Chứng minh rằng đa thức P x( ) ( x2 12x11)423 không thể biểu diễn thành tích của 3 đa

thức hệ số nguyên và có bậc không nhỏ hơn 1

Hướng dẫn giải.

Giả sử phản chứng rằng P x( )Q x H x R x( ) ( ) ( ) với Q x H x R x  ( ), ( ), ( ) [x] và không phải các

đa thức hằng

Từ P x( ) 0  x R, bậc của Q x H x R x( ), ( ), ( ) là chẵn Từ đó suy ra rằng hai trong ba đa thức này là đa thức bậc hai Giả sử rằng deg ( ) deg ( ) 2Q x  H x 

Từ P(1)P(11) 23 suy ra rằng Q(1), (11)Q là ước của 23 Có nghĩa là

Q Q    Nhưng bởi vì Q(11) Q(1) 10 nên Q(11)Q(1) Tương tự,

(11) (1)

H H

Mặt khác, Q H(1) (1) là ước của 23 do đó ít nhất một trong số Q(1) hoặc H(1) là 1

Không mất tính tổng quát giả sử Q(1)1 thì Q(11)Q(1)1 Từ đó suy ra

( ) ( 1)( 11) 1

Q x  x x  Nhưng điều này kéo theo Q x( ) có ít nhất một nghiệm thực trong khi

( ) 0

P x   x R, mâu thuẫn Bài toán được giải quyết hoàn toàn

Câu 7. Hội khỏe Phù Đổng năm 2014 có tổ chức thi đấu 4 môn thể thao chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy

cao, bắn cung và quy định điều kiện cho mỗi đội tham gia như sau:

 Mỗi vận động viên của một đội chỉ thi đấu duy nhất một môn thể thao

 Mỗi đội có thể lựa chọn số vận động viên cho mỗi môn tùy ý (nhưng tổng số vận động viên đúng bằng 20)

Tại lễ khai mạc, mỗi đội xếp thành một hàng dọc, các vận động viên chạy 100m cầm cờ đỏ đứng đầu, tiếp theo đến vận động viên nhảy xa cầm cờ vàng rồi đến vận động viên nhảy cao cầm cờ xanh và cuối cùng là vận động viên bắn cung cầm cờ tím Giả sử số đội tham dự là đủ lớn, hỏi có thể có tối đa bao nhiêu loại hàng dọc (phân biệt theo độ dài mỗi màu của hàng)

Hướng dẫn giải

Bài này có thể giải theo phương pháp song ánh để tính số phần tử của tập hợp kết hợp với kỹ thuật dùng dãy nhị phân.

Ta thấy mỗi hàng sẽ tương ứng với một bộ 4 số (a, b, c, d) với

20

a b c d

a b c d





lượng vận động viên thi đấu mỗi môn chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy cao, bắn cung tương ứng Với

23

1 101 101 101 1

        

Dễ thấy tương ứng đó là một song ánh và có

3 23

23 1771

loại hàng dọc khác nhau

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , thì phần nguyên của số 2 3n

là số lẻ

Hướng dẫn giải

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

 

0

n k



0

2 3 n n k( 1) ( 3) 2k k n k

n k



0

n k



(1)

Chú ý rằng: Khi k chẵn (k 2 )m thì 1 ( 1)  k  3 k 2.3m

Khi k lẻ (k 2m1) thì 1 ( 1)k  3 k 0

Vậy từ (1) suy ra với mọi n thì 2 3 n 2 3n

Mặt khác: 02 3  1 02 3n 1;n

Ta có: 2 3 n  2 3 n 2 3n   1 1 2 3n

Vì 2 3 n  2 3n 1

là số nguyên và 0 1  2 3n 1

, nên theo định nghĩa phần nguyên ta có:

2 3n 2 3 n 2 3n 1 1 2 3n 2 3 n 2 3n 1

Từ (2) suy ra với mọi n thì 2 3n

Câu 8. Có 1000 học sinh gồm 499 học sinh nam và 501 học sinh nữ được xếp thành 10 hàng dọc, mỗi

hàng 100 học sinh Người ta muốn chọn từ 1000 học sinh này ra một nhóm 4 học sinh, trong đó

số học sinh nữ được chọn là lẻ và thoả mãn điều kiện sau đây: 4 học sinh này được chọn từ 2 hàng khác nhau và có 2 cặp học sinh có cùng thứ tự đứng trong hàng (tính từ người đứng đầu

tiên của hàng đó) Chứng minh rằng số cách chọn các nhóm như vậy là một số lẻ

Hướng dẫn giải

Gọi mỗi nhóm 4 học sinh lấy từ hai hàng thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đội Đặt S = { | là

một đội}, O = {S|  có số lẻ học sinh nữ}, E = {S|  có số chẵn học sinh nữ} Ta cần chứng minh rằng | |O là lẻ

Với mỗi tập con A của S, ta định nghĩa

A







, trong đó g( ) là số học sinh nữ của



Vì OE =  và OE = S nên f S( )f O( ) f E( ).

Hơn nữa f E( ) là chẵn, suy ra f S( )f O( ) (mod 2)

Mặt khác, xét một học sinh nữ bất kì Để tạo thành một đội, học sinh này có thể bắt cặp với một học sinh khác trong hàng bởi 99 cách, sau đó tìm 2 học sinh khác ở hàng khác bởi 9 cách Suy

ra, học sinh nữ này là thành viên của 99.9 = 891 đội Có nghĩa là học sinh nữ này được tính 891 lần trong f S( ) Vì ta có 501 học sinh nữ nên

( ) 891.501 1 (mod 2)

Vì mỗi O chứa một số số lẻ các học sinh nữ nên f O( ) | | (mod 2)O Suy ra

| |O f O( )f S( ) 1 (mod 2)

Như vậy số cách chọn những đội là một số lẻ

1 x x x  x a a x a x a x  a x

Chứng minh đẳng thức sau:

11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11 11

C a  C a C a  C a  C a  C a 

Hướng dẫn giải

Xét x  từ khai triển trên nhân hai vế với 1 x 111 ta có:

x   x a a x a x  a x

(2)

11

11 11

11 0

k



 Hệ số của x11 trong vế trái bằng C 111 11

11

0

k



 Hệ số của x11 trong vế phải bằng

11 0 11 1 11 2 11 3 11 10 11 11

C a  C a C a  C a  C a  C a

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh

Câu 10. Tính tổng:

n

S





Hướng dẫn giải

1 1

1 !







(3)

Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được:

2 2







Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có

n n





1

1

n

 



n S





Câu 11. Có bao nhiêu cách chọn ra k người từ n người xếp hàng dọc sao cho không có 2 người liên tiếp

được chọn

Hướng dẫn giải

Giả sử k người được chọn là: a a1; ; ;2 a k

Gọi x là số người đứng trước 1 a1

Gọi x là số người đứng giữa 2 a và 1 a2

Gọi x là số người đứng giữa k a k1 và a k

Và x k1 là số người đứng bên phải a k

Mỗi cách chọn bộ a a1; ; ;2 a k

bằng số cách chọn bộ x x1; ; ; ;2 x x k k1 thỏa mãn

+)

1 1

k

i i





 



+) x10; x k10

+) x j 0  i 2;3; ;k

Hàm sinh cho cách chọn x và 1 x k1 giống nhau là: 1 t t2  11t

Hàm sinh cho số cách chon mỗi x i i  2;k

giống nhau là:

2 3

1

t

t t t

t

   



Hàm sinh cho số cách chọn bộ x x1; ; ; ;2 x x k k1

là:

 

1

k

f t



Số cách chọn bộ số: a a1; ; ;2 a k

bằng số cách chọn bộ số x x1; ; ; ;2 x x k k1

là:

 

0

!

n k

f

n k



Câu 12. Cho các chữ số 1, 2,3, 4,5,6.

Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số trên

Tính tổng các số viết được từ phần a

Câu 13. Cho 5 người gồm 3 nam, 2 nữ ngồi ngẫu nhiên vào 5 chiếc ghế được xếp thành vòng tròn ( Mỗi

người một ghế) Tính xác suất để 2 người nữ không ngồi cạnh nhau

Câu 14. Tính tổng:

n

S

n



Câu 15 Trong mặt phẳng cho đa giác đều 2n đỉnh A1A2…A2n ( với n là số nguyên lớn hơn 1) Hỏi có

tất cả bao nhiêu hình chữ nhật với các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho

Câu 16. Tìm hệ số của x2 trong khai triển : f x( ) ( x2 x1)2010

Câu 17. Tính tổngS12C1n22C n2 n C2 n n

Câu 18. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân

công đội thanh niên đó về 3 tỉnh công tác sao cho mỗi tỉnh có 5 người và có ít nhất một nữ

Câu 19. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n  1 ta luôn có: C n1  C n2  C n n  n(2n1)

Câu 20. Tìm n biết: 256(2C1

2n + 23C3

2n + + 22n-1C2n-1

2n) - 254( C0

2n + 22C2

2n + + 22nC2n

2n) = 474