To hop phan 1 di rich le 4 2 23

Chứng minh rằng với cách sơn màu bất kì thì trong bàn cờ luôn tồn tại hình chữ nhật gồm các ô ở 4 góc là các ô cùng màu.. Theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ít nhất một hình vuông nhỏ

TỔ HỢP CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET

I Nguyên lý Dirichlet

Nguyên lý Dirichlet - còn gọi là nguyên lý chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) hoặc nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ hoặc nguyên lý sắp xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa ra một nguyên tắc về phân chia phần tử các lớp

•Nguyên lý Dirichlet cơ bản:

Nếu nhốt n 1 + con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa

Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần

tử của A lớn hơn số lượng phần tử của B Nếu với một quy tắc nào đó, mỗi phần tử của

A cho tương ứng với một phần tử của B, thì tồn tại ít nhất hai phần tử khác nhau của

A mà chúng tương ứng với một phần tử của B

Dùng nguyên lý này người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định

II Phương pháp ứng dụng

Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng như đơn giản như vậy, nhưng nó là một công

cụ hết sức có hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả hết sức sâu sắc của toán học Nguyên lý Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài toán của hình học, điều đó được thể hiện qua hệ thống bài tập sau:

Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt “thỏ” vào

“chuồng” và thoả mãn các điều kiện:

+ Số ‘thỏ” phải nhiều hơn số chuồng

+ “Thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng phải có thỏ

Thường thì phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngoài ra nó còn có thể áp dụng với các nguyên lý khác

III Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông đơn vị Điền vào mỗi

ô vuông của bảng này một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau Chứng minh rằng trong bảng

ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần

2

Lời giải

Xét hình vuông cạnh 2x2 , do hình vuông này có mỗi hình vuông nhỏ luôn chung cạnh hoặc chung đỉnh nên tồn tại nhiều nhất 1 số chẵn, nhiều nhất 1 số chia hết cho 3 do đó có ít nhất 2 số lẻ không chia hết cho 3 Bảng 10x10 được chia thành 25 hình vuông có cạnh 2x2 nên có ít nhất 50 số lẻ không chia hết cho 3 Từ 1 đến 10 có 3

số lẻ không chia hết cho 3 là 1,5,7 Áp dụng nguyên lý Dirichlet ta được một trong ba

số trên xuất hiện ít nhất  − + =

50 1

1 17

Ví dụ 2 Giả sử 1 bàn cờ hình chữ nhật có 3x7 ô vuông được sơn đen hoặc trắng Chứng

minh rằng với cách sơn màu bất kì thì trong bàn cờ luôn tồn tại hình chữ nhật gồm các

ô ở 4 góc là các ô cùng màu

Lời giải

Bàn cờ có 3 hàng, mỗi hàng có 7 ô vuông

Xét hàng 1 và hàng 3, có 7 cột như vậy, mỗi cột có 2 ô nên có 4 cách sơn màu

Ta có 7 cột nên theo nguyên lý Đi rích lê tồn tại ít nhất  −  + =

7 1

1 2

4 cột có cùng cách sơn

Do đó bàn cờ luôn tồn tại hình chữ nhật gồm các ô ở 4 góc cùng màu

Ví dụ 3 Trong hình chữ nhật kích thước 1x2 ta lấy 6n 2 + 1 điểm với n là số nguyên dương Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn có bán kính 1

n chứa không ít hơn 4 trong

nội tiếp đường tròn bán kính là 2

2n và đường tròn này được chứa trong đường tròn đồng tâm bán kính 1

n

Ví dụ 4 Cho bảng vuông gồm nxn ô vuông Mỗi ô vuông ghi một trong các số 1; 0; 2 Chứng minh rằng không tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên cột, trên hàng, trên đường chéo là các số khác nhau

Lời giải

Do trong các ô có thể nhận một trong ba số 0; 1; 2 nên có thể có trường hợp tất

cả các ô của một hàng hoặc một cột hoặc một đường chéo nhận giá trị 0 hoặc nhận giá trị 2

Do đó tổng các số trên cột hoặc trên hàng hoặc trên đường chéo có giá trị nhỏ nhất là 0.n = 0 và giá trị lớn nhất là 2.n = 2n Như vậy các tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo có thể nhận 2n 1 + giá trị là 0;1; 2; ; 2n

Do bảng ô vuông n.n nên sẽ có n hàng, n cột và hai đường chéo Do đó sẽ có +

2n 2tổng nhận một trong 2n 1 + giá trị số nguyên từ 0 đến 2n Theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất 2 tổng có giá trị bằng nhau Điều này có nghĩa là không tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên cột, trên hàng, trên đường chéo là các số khác nhau

Ví dụ 5 Ở vòng chung kết cờ vua có 8 bạn tham gia Hai bạn bất kỳ đều phải đấu với

nhau một trận và người nào cũng phải gặp đủ 7 đấu thủ của mình Chứng minh rằng trong mọi thời điểm của cuộc đấu, bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau

Lời giải

Giả sử số trận thi đấu của các bạn tham gia thi đấu cờ vua là a ; a ; ; a1 2 8

Do hai bạn thi đấu với nhau một trận nên ta có 0 a i 7, 1 i 8 

• Tính đến thời điểm đang xét, mỗi bạn đều đã đấu ít nhất một ván

Khi đó ta có 1 a i 7, 1 i 8  , do đó tồn tại ak =am có nghĩa là có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau

Vậy bài toán được chứng minh

• Nếu các tổng trên không nhận đủ 399 giá trị từ 2 đến 400

Khi đó với 399 tổng thì theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau

Không mất tính tổng quát ta giả sử hai tổng đó là   + = +aaij ba ; bkj kbp bpai

Từ đó suy ra   − = −aaij aa ; bij bkpbbpk

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 7 Trong một cuộc tranh giải vô địch quốc gia về bóng đá có 20 đội tham gia Số

nhỏ nhất các trận đấu là bao nhiêu để trong 3 đội bất kỳ luôn tìm được 2 đội đã chơi với nhau

Lời giải

Ta chia 20 đội thành 2 nhóm, mỗi nhóm 10 đội và chỉ các đội trong cùng 1 nhóm mới thi đấu với nhau Rõ ràng cách sắp xếp này thoả mãn các điều kiện của bài toán và

tất cả có 90 trận đấu Do trong mỗi nhóm các đội đều thi đấu với nhau 1 trận nên tổng mỗi nhóm có 45 trận Ta chứng minh rằng nếu các điều kiện của bài toán thoả mãn thì

số trận đấu sẽ lớn hơn hoặc bằng 90

* Giả sử ngược lại ta tìm được một đội A đấu số trận k  8 Nếu k=0 thì 2 đội bất kỳ trong 19 đội còn lại đều đấu với nhau nên tổng số trận là 19.18 = 171

2 > 90

* Xét 1 k 8  

Ta ký hiệu các đội đã đấu với A là X Các đội không đấu với A là Y, khi đó

X k; Y 19 k Dĩ nhiên các đội trong Y sẽ đấu với nhau nếu không hai đội thuộc Y

và A sẽ thành 3 đội mà không có 2 đội nào chơi với nhau

+ Trong nhóm Y có 19-k đội và 2 đội bất kỳ trong Y đều đấu với nhau nên tổng

k k do k  8 nên dấu = có khi P = 0

+ Trong nhóm X có k đội, có P cặp không chơi với nhau nên số trận trong nhóm

X là: −

−

k(k 1)

P

2 Đội A đấu với nhóm X k trận

Như vậy, khi tồn tại đội A và 2 nhóm đội X, Y như trên thì tổng số trận cần thiết

để thỏa mãn đề bài (3 đội bất kỳ luôn tìm được 2 đội đã chơi với nhau) sẽ lớn hơn hoặc bằng:

Vậy số các trận đấu ít nhất cần phải tiến hành là 90

Ví dụ 8 Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn tồn tại ít nhất một

số có tổng các chữ số chia hết cho 11

Lời giải

6

Xét tập hợp 39 số tự nhiên liên tiếp S =a ; a ; ; a1 2 39, (ai 1+ = + ai 1, 1 i 38   )

Trong tập a ; a ; ; a 1 2 20 luôn tồn tại hai số có tận cùng là 0 và hơn kém nhau 10 Do đó trong hai số này tồn tại ít nhất một số có chữ số hàng chục nhỏ hơn 9, kí hiệu số đó là

Trong 11 số tự nhiên liên tiếp luôn tồn tại một số chia hết cho 11

Do vậy, ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 9 Cho tập A =1; 2; 3; ;16 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà 2 + 2

a b là một số nguyên tố

Ví dụ 10 Cho 2014 số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng trong số các số đó có một số

chia hết cho 2014 hoặc có một số số mà tổng của các số ấy chia hết cho 2014

Lời giải

Gọi 2014 số tự nhiên đã cho là a ,a ,1 2 ,a2014

Xét dãy S1 =a ; S1 2 =a1+a ; ; S2 2014 =a1+a2+ +a2014

Chia tất cả các số hạng của dãy cho 2014 ta có các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Nếu có một số hạng nào của dãy chia hết cho 2014 thì bài toán được

chứng minh

• Trường hợp 2: Nếu không có số hạng nào của dãy chia hết cho 2014 thì vì có tất cả

2014 phép chia mà số dư chỉ gồm 1, 2, , 2013 do đó theo nguyên lý Dirichle có ít nhất hai số hạng của dãy có cùng số dư khi chia cho 2014 Gọi hai số hạng đó là Si

Ví dụ 11 Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng của

chúng chia hết cho 27

Lời giải

Ta chứng minh từ 5 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 3 số mà tổng của chúng chia hết cho 3 Thật vậy, mỗi số tự nhiên khi chia cho 3 thì có phần dư là 0, 1 hoặc 2

Nếu trong 5 số dư có một số bằng 0, một số bằng 1, một số bằng 2 thì tổng của

ba số tự nhiên tương ứng với ba số dư này là chia hết cho 3

Nếu 5 số dư chỉ nhận không quá 2 trong 3 số 0, 1, 2 thì theo nguyên tắc Dirichlet thì tồn tại 3 số dư nhận cùng một giá trị và tổng của ba số tự nhiên tương ứng là chia hết cho 3

Từ 53 số tự nhiên đã cho chọn được 3 số mà tổng của chúng là a1 chia hết cho 3 Xét 50 số còn lại chọn được 3 số mà tổng là a2 chia hết cho 3 Lặp lại lập luận này từ

53 số ta chọn được 17 bộ, mỗi bộ gồm 3 số có tổng lần lượt là a1, a2, … a17 sao cho mỗi tổng đều chia hết cho 3

Chứng minh tương tự nhận thấy từ 5 số tự nhiên bất kì mà mỗi số đều chia hết cho 3 ta chọn được 3 số có tổng chia hết cho 9 Vậy từ 17 số ta chọn được 5 bộ mỗi bộ gồm 3 số có tổng lần lượt là b , b , 1 2 , b5 sao cho b 9i với i 1; 2; 3; 4; 5

Từ 5 số chia hết cho 9 là b , b , 1 2 , b5 chọn được 3 số mà tổng của chúng là chia hết cho 27 Tổng của 3 số này chính là tổng của 27 số ban đầu Vậy từ 53 số tự nhiên bất kì luôn chọn được 27 số mà tổng của chúng chia hết cho 27

Ví dụ 12 Trong một giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn một lượt(hai

đội bất kì thi đấu với nhau đúng một trận)

a) Chứng minh rằng sau bốn vòng đấu(mỗi đội thi đấu đúng 4 trận) luôn tìm được ba đội đôi một chưa thi đấu với nhau

b) Khẳng định còn đúng không nếu mỗi đội thi đấu đúng 5 trận

Lời giải

8

a) Có 12 đội mà mỗi đội thí đấu đúng 4 trận nên luôn tìm được hai đội chưa thi đấu với nhau Gọi hai đội đó là A và B Vì A và B thi đấu đúng 4 trận nên trong 10 đội còn lại luôn tìm được ít nhất hai đội chưa thi đấu với cả A và B Gọi một trong hai đội đó là

C Ba đội A, B, C chưa thi đấu với nhau một trận nào nên ba đội A, B, C là ba đội cần tìm

b) Ta chia 12 đội bóng trên thành hai nhóm, mỗi nhóm 6 đội Trong mỗi nhóm đôi một thi đấu với nhau Như vậy trong 12 đội này, mỗi đội thi đấu đúng 5 trận Xét ba đội tùy

ý, theo nguyên lý Dirichlet luôn tìm được hai đội cùng nhóm Như vậy trong ba đội bóng bất kì luôn tìm được hai đội thí đấu với nhau Do đó khẳng định trên không còn đúng nếu mỗi đội thi đấu đúng 5 trận

Ví dụ 13 Cho X là một tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi một khác nhau, mỗi số

không lớn hơn 2006 Chứng minh rằng trong tập hợp X luôn tìm được hai phần tử x, y sao cho x – y thuộc tập hợp E =3; 6; 9

i j

a ; a nào thỏa mãn ai−  aj 3; 6; 9 do đó ai−  aj 12 (vì (ai− aj) 3 và ai  aj) Trong 234

số trên, hai số kề nhau hơn kém nhau ít nhất 12 đơn vị nên a234−a1 233.12 2796 2006= 

, điều này vô lý Như vậy ta có điều phải chứng minh

1

+ 1

+ 1

+ 1

Ví dụ 14 Cho năm số nguyên dương đôi một phân biệt sao cho mỗi số trong chúng

không có ước số nguyên tố nào khác 2 và 3 Chứng minh rằng trong năm số đó tồn tại hai số mà tích của chúng là một số chính phương

số chẵn; số lẻ) Khi đó x1+x2 và y1+y2 đều là số chẵn nên

= x 1 y 1 x 2 y 2 = x 1 x 2 y 1 y 2

1 2

a a 2 3 2 3 2 3 là một chính phương Do đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 15 Cho lưới ô vuông kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các số 1; 0; 1 − Xét tổng của các số được tính theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chéo Chứng minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng

có giá trị bằng nhau

Lời giải

Có tất cả 12 tổng gồm 5 tổng theo cột, 5 tổng theo hàng và 2 tổng theo đường chéo Mỗi tổng gồm năm số hạng mà mỗi số hạng nhận một trong ba số là 1 hoặc 0 hoặc −1 Do mỗi tổng là một số nguyên

Gọi các tổng đó là Si với i 1; 2; 3; ;12 = thỏa mãn − 5 Si 5

Vậy Si có thể nhận trong mười một giá trị − − − 5; 4; 3; ; 0;1; ;5

Mà ta lại có 12 tổng Si nên theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất hai tổng nhận cùng một giá trị

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 16 Cho n  3 số nguyên dương a ; a ; a ; ; a1 2 3 n đôi một khác nhau Tìm giá trị lớn nhất của n sao cho tổng của ba số bất kỳ trong n số đó luôn là một số nguyên tố

+ Nếu có nhiều hơn 2 số có cùng số dư khi chí cho 3 thì có ít nhất 3 số có cùng số dư khi chia cho 3 Chọn 3 số này thì tổng của chúng chia hết cho 3

+ Nếu có đúng 2 số có số dư r với r 0;1; 2 thì loại hai số này, khi đó ta còn lại 3 số

có số dư khác r Theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khác r và một số còn lại có số dư khác số dư của hai số này Như vậy trong 5 số đó luôn tồn tại

3 số có 3 số dư khác nhau khi chia cho 3 Chọn 3 số này thì tổng của chúng chia hết cho 3

Do đó trong 5 số nguyên dương ta luôn chọn được 3 số có tổng chia hết cho 3 và tổng này lớn hơn 3 nên nó không phải là số nguyên tố Từ đó suy ra n  5 thì không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy giá trị lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 4

Ví dụ 17 Mỗi đỉnh của hình lập phương được điền một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 Hai đỉnh khác nhau điền hai số khác nhau Người ta tính tổng hai số ở hai đỉnh kề nhau Chứng minh rằng trong các tổng tính được có ít nhất hai tổng bằng nhau

Lời giải

Do mỗi đỉnh của hình lập phương nhận các giá trị khác nhau từ các số

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 Do ta tính tổng hai số ở hai đỉnh kề nhau nên ta có 12 tổng Khi đó mỗi tổng là một số nguyên dương nhận các giá trị thuộc tập 3; 4; 5; ;13;14;15 Ta sẽ chứng minh trong 12 tổng này không thể đồng thời nhận các giá trị 3, 4, 5 ,6 và không thể đồng thời nhận các giá trị 12, 13, 14, 15

Thật vậy, giả sử có các tổng nhận các giá trị 3, 4, 5, 6 Ta kí hiệu đỉnh K là đỉnh được điền số K

Ta có 3 1 2; 4 1 3 = + = + nên đỉnh 1 và đỉnh 2 kề nhau, đỉnh 1 kề với đỉnh 3 Do đó đỉnh 2 và đỉnh 3 không kề nhau Vì 5 1 4 = + hoặc 5 2 3 = + , nhưng đỉnh 2 và đỉnh 3 không kề nhau nên đỉnh 1 và đỉnh 4 kề nhau Do đó đỉnh 1 lần lượt kề với đỉnh 2, đỉnh

3, đỉnh 4, suy ra đỉnh 1 không kề với đỉnh 5, đỉnh 2 không kề với đỉnh 4 Vì vậy không xuất hiện tổng có giá trị bằng 6

Với các tổng nhận các giá trị 12, 13, 14, 15 ta chứng minh hoàn toàn tương tự

Từ đó suy ra 12 tổng nhận không quá 11 giá trị nên theo nguyên lý Dirichslet có

Như vậy 90 số thuộc tập hợp X nằm trong 44 đoạn trên Theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ba số trong 90 số trên nằm trong cùng một đoạn Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là x, y, z và chúng nằm trong đoạn  ( + ) − 

2 2

Chia đoạn  ( + ) − 

2 2

1 2

B , B của tập hợp A có tổng các phần tử của chúng bằng nhau

Ví dụ 20 Trong hình vuông cạnh bằng 1 ta đặt 51 điểm phân biệt bất kì Chứng minh

rằng có ít nhất 3 trong số 51 điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính 1

7

Lời giải

Chia hình vuông đã cho thành 25 hình vuông con bằng nhau có cạnh bằng 1

5 Theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ít nhất một hình vuông nhỏ chứa ít nhất ba điểm trong

số 51 điểm đó Ta kí hiệu hình vuông đó là C Khi đó hình vuông nhỏ C có đường chéo

Tổng quát hóa bài toán: Dựa vào bài giải bài toán trên ta có thể tổng quát hóa bài

toán trên với a là kích thước của cạnh hình vuông, m là số điểm đặt bất kì, phân biệt Chứng minh rằng có ít nhất n trong số m điểm đó nằm trong một hình trong bán kính

Theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ít nhất một hình vuông nhỏ có chứa ít

nhất n điểm trong số m điểm đó Ta kí hiệu đó là hình vuông C Đường tròn ngoại

Vậy n điểm trên nằm trong hình tròn

đồng tâm với đường tròn ( )C có bán kính

 − 

2 a m 2.

n 1

Ví dụ 21 Trong hình tròn đường kính bằng 5 có 10 điểm Chứng minh rằng tồn tại ít

nhất hai điểm mà khoảng cách giữa chúng bé hơn hoặc bằng 2

Lời giải

Thật vậy, trong đường tròn tâm O

đường kính 5, vẽ đường tròn đồng tâm

và đường kính 2 Chia hình tròn đã cho

thành 9 phần(xem hình vẽ) đường tròn

đường kính 2 và 8 phần bằng nhau II,

III, …, IX mà mỗi phần là 1

8 hình vành khăn Rõ ràng phần I có đường kình

bằng 2 Xét chẳng hạn hình III, ta kí

hiệu là ABCD (có là 1

8 hình vành khăn) Ta hãy tính đường kính của nó

Có thể thấy ngay đường kính của III là

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất hai điểm rơi vào một trong các miền I, II, III,

… , IX có đường kính bằng 2, còn các miền II, …, IX có đường kính bằng nhau và bằng d 2  , từ đó suy ra tồn tại hai trong số 10 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 2 Đó chính là điều cần chứng minh

Ví dụ 22 Trên mặt phẳng cho 25 điểm Biết rằng trong ba điểm bất kì trong số đó luôn

luôn tồn tại hai điểm cách nhau nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại hình tròn bán kính

1 chứa không ít hơn 13 điểm đã cho

D

C

B O

I

+ Thứ hai: Tồn tại điểm B khác điểm A và B thuộc trong số 25 điểm đã cho, sao cho

B không nằm trong đường tròn O A;1 1( ), khi đó ta có AB 1 

Xét hình tròn O B;1 2( ) có tâm B bán kính 1 Lấy C là điểm bất kì trong số 25 điểm đã cho sao cho C khác A và khác B Theo giả thiết và AB 1 ta có  Min CA; CB  1

Vì thế C thuộc đường tròn O A;1 1( ) hoặc C thuộc đường tròn O B;1 2( )

Điều này chứng tỏ rằng các hình tròn O A;1 1( ) và O B;1 2( ) chứa tất cả 25 điểm đã cho

Vì thế theo nguyên lý Dirichlet thì ít nhất 1 trong hai hình tròn trên chứa 13 điểm đã cho Đó là điều phải chứng minh

Bài toán tổng quát:

Cho 2n 1 điểm trên mặt phẳng với + n  3 Biết rằng trong ba điểm bất kì trong số đó luôn luôn tồn tại hai điểm cách nhau nhỏ hơn 1 Khi đó tồn tại hình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn n 1 + điểm đã cho

Ví dụ 23 Tìm hình vuông có kích thước bé nhất, để trong hình vuông đó có thể sắp

xếp năm hình tròn bán kính bằng 1 sao cho không có hai hình tròn nào trong chúng

có điểm chung

Lời giải

Giả sử hình vuông ABCD có

tâm O và cạnh a, chứa năm hình

tròn không cắt nhau và đều có bán

kính bằng 1 Vì cả năm hình tròn

này đểu nằm trọn trong hình vuông,

nên các tâm của chúng nằm trong

hình vuông A’B’C’D’ có tâm O và

cạnh a 2 − , ở đây A’B’//AB Các

đường thẳng nối các trung điểm cùa

các cạnh đối diện của hình vuông

A’B’C’D’ chưa A’B’C’D’ thành 4

hình vuông nhỏ

O'' O'

O'' O'

O

B' A'

B A

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một trong 4 hình vuông nhỏ mà trong hình vuông này chứa ít nhất hai trong số 5 tâm hình tròn nói trên (không mất tính tổng quát ta giả

Vậy mọi hình vuông cạnh a thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta đều có a 2 2 2 +

Bây giờ xét hình vuông ABCD có a=2 2 2+

Xét năm hình tròn có tâm là O, A’, B’, C’, D’ (xem hình vẽ), thì mọi yêu cầu của đề bài thỏa mãn

Tóm lại, hình vuông có kích thước bé nhất cần tìm là hình vuông với cạnh a=2 2 2+

Ví dụ 24 Chứng minh rằng trong một hình tròn bán kính 1, không thể chọn được quá

5 điểm mà khoảng cách giữa hai điểm tùy ý trong chúng đều lớn hơn 1

Lời giải

Chia hình tròn thành 6 hình quạt bằng nhau

(tâm các hình quạt đều tại tâm O đã cho) Ta

biết rằng khoảng cách giữa hai điểm bất kì

trong một hình quạt nhỏ hơn hoặc bằng 1, vì

thế từ giả thiết suy ra tại mỗi hình quạt có

không quá 1 điểm rơi vào Giả thiết phản

chứng chọn được quá năm điểm thỏa mãn

yêu cầu đề bài Vì lý do trên nên số điểm

không thể quá 7(vì nếu số điểm chọn được

mà lớn hơn hoặc bằng 7 thì theo nguyên lý

Dirichlet có ít nhất hai điểm được chọn nằm

trong một cung hình quạt, mà điều này mâu

thuẫn với nhận xét trên.)

Vậy từ giả thiết phản chứng suy ra tồn tại sáu điểm A , A , A , A , A , A1 2 3 4 5 6 và mỗi điểm nằm trong một hình quạt sao cho khoảng cách giữa hai điểm tùy ý trong chúng đều lớn hơn 1

Ví dụ 25 Cho 1000 điểm M ,M , ,M1 2 1000 trên mặt phẳng Vẽ một đường tròn bán kính bằng 1 tùy ý Chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho

Lời giải

Xét một đường kính S S1 2 tùy ý của đường tròn

bán kính bằng 1, ở đây S ,S1 2 là hai đầu của

đường kính Khi đó ta có S S1 2 =2, nên ta có

Giả sử S M1 1+S M1 2+ + S M1 10001000. khi đó lấy S S= 1 Đó là điều phải chứng minh

Bài toán tổng quát:

Cho n điểm M ,M , ,M1 2 n trên mặt phẳng Vẽ một đường tròn bán kính bằng 1 tùy ý Chứng minh rằng tồn tại điểm S trên đường tròn sao cho SM1+SM2+ + SMn n

Ví dụ 26 Cho chín đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông

thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2

3 Chứng minh rằng có ít nhất ba đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm

Lời giải

Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình vuông, bởi

vì nếu thế chúng chia hình vuông thành một tam giác và ngũ giác ( chứ không phải là chia hình vuông thành hai tứ giác) Vì lẽ đó, mọi đường thẳng ( trong số chín đường thẳng) đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và dĩ nhiên không đi qua một đỉnh nào của hình vuông cả

Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối BC và AD tại các điểm M và N

1

.CD MC ND 2

, ở đây E và F là các trung điểm của

Khi đó từ đó lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu của

đề bài phải đi qua một trong 4 điểm J , J , J , J1 2 3 4 nói trên Vì có chín đường thẳng, nên theo nguyên lý dirichlet phải tồn tại ít nhất một trong 4 điểm J , J , J , J1 2 3 4 sao cho nó có

ít nhất ba trong 9 đường thẳng đã cho đi qua Vậy có ít nhất 3 đường thẳng trong 9 đường thẳng đã cho đi qua một điểm

J

N

M

F E

D

C B

A

D

18

Bài toán tổng quát 1: Cho 4n 1 n 2 + (  ) đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2

3 Chứng minh rằng

có ít nhất n 1 + đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm

Bài toán tổng quát 2: Cho 4n r n + (  2,r 1  ) đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình Chữ nhật thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2

3 Chứng minh rằng có ít nhất n 1 + đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm

Ví dụ 27 Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bằng một trong 2 màu đen và

trắng Chứng minh tồn tại một hình chữ nhật có các đỉnh cùng màu

Vì 3 điểm A, B, C chỉ được tô bởi hai màu nên tồn tại hai điểm cùng màu, chẳng hạn

B và C khi đó hình chữ nhật BYZC có 4 đỉnh cùng một màu

Ví dụ 28 Trong mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tô màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là các đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được tô cùng một màu

Lời giải

Z Y X

C B A

Xét A là một trong số 6 điểm đã cho

Khi đó xét năm đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng

nối điểm A với năm điểm còn lại) Vì mỗi

đoạn thẳng được tô chỉ màu đỏ hoặc màu

xanh, nên theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất

ba trong năm đoạn nói trên cùng màu Giả sử

đó là các đoạn AB, AB’ và AB” và có thể cho

rằng chúng cùng màu xanh Chỉ có hai trường

hợp sau xảy ra:

• Trường hợp 1:

Nếu ít nhất một trong ba đoạn BB’, B’B”, B”B màu xanh, thì tồn tại một tam giác với

ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này

• Trường hợp 2:

Nếu không phải như vậy, tức là BB’, B’B”, B”B màu đỏ, thì ba điểm phải tìm là B, B’,B” vì BB’B” là tam giác có ba cạnh màu đỏ Đpcm

Ví dụ 29 Trên mặt phẳng cho 18 điểm, sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Nối

từng cặp điểm với nhau và tô màu cho mọi đoạn thẳng thu được một trong hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng luôn tìm được một tứ giác mà các đỉnh của nó nằm trong tập điểm đã cho sao cho cạnh và đường chéo của nó cùng màu

A A i 2,18 Mười bảy đoạn thẳng đó chỉ

có hai màu xanh hoặc đỏ, nên theo nguyên

lý Dirichlet tồn tại ít nhất chín đoạn thằng

A A A A là tứ giác xanh thỏa mãn yêu cầu

+ Tồn tại một đoạn thẳng A , A 3 ii j(    j 6) màu đỏ Khi đó A A A A1 2 i j (3 i    j 6) là

tứ giác đỏ thỏa mãn yêu cầu bài toán

• Trường hợp 2: Hoặc là với mọi điểm A 2j(   j 10), thì trong tám đoạn thẳng

(    )

j k

A A 2 k 10, k j có tối đa ba đoạn màu đỏ mà thôi Khi đó phải tồn tại một điểm (chẳng hạn A2) mà trong các đoạn A A 3 k 10, k2 k(    j) có tối đa hai đoạn màu đỏ thôi (thật vậy, nếu với mọi A 2j(   j 10) mà có đúng ba đoạn A A 2 k 10, kj k(    j)màu đỏ, thì số đoạn thẳng màu đỏ nối trong nội bộ 9 điểm đó là 9.3

A , A , A , A , A , A 5 6 7 8 9 10 sao cho ba cạnh cùng màu Lại có hai khả năng:

+ Giả sử tồn tại tam giác A , A , A 5 ii j k(     j k 10) màu xanh Khi đó tứ giác

2 i j k

A A A A với 5 i     j k 10 là tứ giác xanh thỏa mãn yêu cầu đề bài

+ Nếu tồn tại tam giác A , A , A 5 ii j k(     j k 10) màu đỏ, thì A A A A1 i j k là tứ giác cần tìm

Như vậy ta luôn chứng mình được tồn tại một tứ giác mà các đỉnh của nó nằm trong tâm điểm đã cho sao cho cạnh và đường chéo cùng màu

Ví dụ 30 Cho 6 điểm trong mặt phẳng sao cho bất kì ba điểm nào cũng là đỉnh của

một tam giác có các cạnh chiều dài khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một cạnh là cạnh nhỏ nhất của một tam giác vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác

Lời giải

Trong mỗi ta giác ta tô màu đỏ cạnh nhỏ nhất của tam giác và tô màu xanh hai cạnh kia Ta cần chứng minh tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu đỏ Gọi sáu điểm đã cho là A, B, C, D, E, F

Từ điểm A trong sáu điểm đã cho ta nối với năm điểm còn lại, khi đó ta được cạnh cạnh

Theo nguyên lý Dirichlet thì trong năm cạnh này ít nhất có cạnh cạnh cùng màu Không mất tính tổng quát ta giả sử ba cạnh đó là AB, AC, AD Khi đó ta có các

trường hợp sau:

• Nếu AB, AC, AD cùng màu đỏ Khi đó nếu tam giác BCD có các cạnh cùng màu

đỏ, giả sử đó là BC thì ta có tam giác ABC có các cạnh cùng màu đỏ

• Nếu AB, AC, AD cùng màu xanh Khi đó nếu tam giác BCD có các cạnh cùng màu

đỏ thì cạnh lớn nhất của tam giác này là cạnh cần tìm

Ví dụ 31 Trong một cuộc họp có 6 đại biểu Người ta nhận thấy cứ ba người bất kỳ

thì có hai người quen nhau Chứng minh rằng có ba người đôi một quen nhau

Lời giải

Các đại biểu tương ứng với 5 điểm A, B, C, D, E, F Hai đại biểu X và Y nào

đó mà quen nhau thì ta tô đoạn thẳng XY bằng màu xanh còn nếu X vá Y không quen nhau thì tô đoạn XY màu đỏ Xét 5 đoạn thẳng AB, AC, AD, AE, AF Theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ba đoạn cùng màu

• Nếu AB, AC, AD màu xanh Xét ba điểm B, C, D Vì 3 đại biểu nào cũng có hai người quen nhau suy ra một trong ba đoạn BC, CD, DB màu xanh Giả sử BC màu xanh, khi đó ta có ba đoạn thẳng AB, BC, CA có màu xanh, do đó A, B, C đôi một quen nhau

• Còn nếu AB, AC, AD màu đỏ, khi đó với ba điểm A, B, C thì ta có đoạn BC màu xanh, với ba điểm A, C, D thì ta có đoạn CD màu xanh và với ba điểm A, B, D thì

ta có đoạn BD màu xanh Như vậy ba đoạn thẳng BC, CD, CB có màu xanh nên B, C,

D đôi một quen nhau

Vậy bài toán được chứng minh

Ví dụ 32 Chứng minh rằng từ sáu số vô tỉ tùy ý có thể chọn ra được ba số (ta gọi ba

số đó là a, b,c) sao cho a b, b c,c a + + + cũng là số vô tỉ

Lời giải

Xét trên mặt phẳng sáu điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Với mỗi điểm ta sẽ gắn cho nó một số vô tỉ Như vậy sáu điểm được gắn sáu số vô tỉ đã cho Hai điểm mang số a và b sẽ được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu đỏ nếu +

a b là số vô tỉ, còn sẽ có màu xanh khi a b + là số hữu tỉ

22

Theo đề bài tồn tại ít nhất một tam giác cùng màu Giả sử tam giác đó có ba đỉnh được gắn số là a, b, c

Chỉ có hai khả năng xảy ra như sau:

+ Nếu tam giác đó là tam giác xanh Khi ấy a b, b c,c a + + + là 3 số hữu tỉ

Lúc này (a b + ) (+ b c + − +) (c a)= 2b cũng là một số hữu tỉ Điều này vô lý vì b là số vô

tỉ

+ Nếu tam giác đỏ là tam giác đỏ Khi ấy a b, b c,c a + + + là 3 số vô tỉ Khi đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 33 Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ

Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu

Lời giải

Lấy năm điểm tùy ý sao cho

không có ba điểm nào thẳng hàng trên

mặt phẳng Khi đó vì chỉ dùng có hai

màu để tô các đỉnh, mà theo nguyên lý

Dirichlet phải tồn tại ba điểm trong số

đó cùng màu Giả sử đó là ba điểm A,

B, C có màu đỏ Như vậy ta có tam giác

ABC với ba đỉnh màu đỏ Gọi G là

trọng tâm tam giác ABC Chỉ có hai khả

năng xảy ra:

+ Nếu G có màu đỏ Khi đó A, B, C,

G cùng đỏ và bài toán đã được giải

+ Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC các đoạn

• Nếu A’, B’, C’ cùng xanh Khi đó tam giác A’B’C’ và trọng tâm G có cùng màu xanh

• Nếu ít nhất một trong các điểm A’, B’, C’ có màu đỏ Không mất tính tổng quát giả

sử A’ đỏ Khi đo tam giác A’BC và trọng tâm A màu đỏ

Vậy trong mọi khả năng luôn tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu

C' B'

Ví dụ 34 Để khuyến khích phong trào học tập , một trường THCS đã tổ chức 8 đợt

thi cho các học sinh Ở mỗi đợt thi , có đúng 3 học sinh được chọn để trao giải Sau khi tổ chức xong 8 đợt thi , người ta nhận thấy rằng với 2 đợt thi bất kỳ luôn có đúng

1 học sinh được trao giải ở cả 2 đợt thi đó Chứng minh rằng:

a) Có ít nhất 1 học sinh được trao giải ít nhất 4 lần

b) Có đúng một học sinh được trao giải ở tất cả 8 đợt thi

Lời giải

Ta biểu diễn mỗi học sinh bằng một điểm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Ở mỗi đợt thi có đúng ba học sinh được trao giải nên ta nối ba điểm biểu thị ba học sinh bằng một tam giác(không nối hai điểm bất kì), có 8 đợt trao giải nên ta có 8 tam giác Hai đợt thi bất kì luôn có đúng một học sinh được trao giải ở

cả hai đợt tương ứng với hai tam giác bất kì luôn có một điểm chung

a) Xét tam giác ABC bất kì trong 8 tam giác trên, vì 7 tam giác mỗi tam giác đều có một đỉnh chung với tam giác ABC, theo nguyên lý Dirichlet trong ba điểm A, B, C có

ít nhất một điểm là đỉnh chung của 4 tam giác, điều này tương ứng với có ít nhất một học sinh được trao giải ít nhất 4 lần

b) Không mất tính tổng quát ta giả sử A là đỉnh chung của 4 tam giác, ta chứng minh tất cả các tam giác đều nhận A làm đỉnh chung

Xét tam giác DEF bất kì, nếu tam giác này trùng với A thì tam giác này sẽ có đỉnh chung với bốn tam giác mà đã có đỉnh chung là A, điều này là vô lý vì hai tam giác bất

kì chỉ có một điểm chung

Vậy cả 8 tam giác đều có đỉnh chung là A, điều này tương ứng với có dúng một học sinh được trao giải trong cả tám lần

Ví dụ 35 Cho điểm M x; y( ) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên nếu cả x

và y đều là các số nguyên Tìm số nguyên dương bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0)