NHOM 2 HHKG

b Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu  S cắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt1cầu  S với các mặt bên của hình chóp .2 S ABCD... M là một điểm củakhông gian

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Bài 1 Xét các hình chóp n – giác S A A A ( n là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 1 2  n 2) thỏa mãn đồng thờicác điều kiện sau:

Chứng minh nếu hình chóp S A A A tồn tại thì khi đó hình chóp là đều: 1 2  n

Chứng minh rằng các cạnh bên bằng nhau

1

( )( )

2, ., n

Chứng minh đáy A A A là đa giác đều Từ 1 2 n SA1 SA2   SA n  suy ra hình vuông góc 1 H của S lên

đáy cách đều các đỉnh của đáy Đa giác A A A có các cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn nên1 2 n

là đa giác đều

A D B C vàAA' H là tâm của hình vuôngDCDC ' M N, là hai điểm lần lượt ở trên hai đường thẳng

AD và EG sao cho MN vuông góc với KH và cắt KH Tính độ dài đoạn MN theo a

Hướng dẫn giải

Xác định đoạn MN

Gọi E N G H là hình chiếu vuông góc của 1, , , 1 1 1 E N G H, , , trên mặt phẳng ABCD 

Do KH MN(gt) và KKH NN1suy ra KH MN1 , suy ra AH1MN1 tại I 1

Mà theo giả thiết MN cắt KH tại I suy ra II1 // NN mà 1 I là trung điểm của đoạn MN nên I phải là1trung điểm của MN 1

C C’

G1

E1M

H1

I1

N1

Từ đó suy ra cách dựng hai điểm M N, .

Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy a12,54(cm),các cạnh bên nghiên với đáy mộtgóc  720 Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp S ABCD

Hướng dẫn giải

Chiều cao của hình chóp: 2 0

72 27,290186282

xq

Bài 4 Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy a12,54 (cm), a12,54(cm),các cạnh bênnghiên với đáy một góc 720

a) Tính thể tích hình cầu  S nội tiếp hình chóp 1 S ABCD

b) Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu  S cắt bởi mặt phẳng đi qua các tiếp điểm của mặt1cầu  S với các mặt bên của hình chóp 2 S ABCD

Hướng dẫn giải

.27.29018628; SH MH 4.992806526

K

Thể tích hình chóp  S : 1 4 3 3

521.342129( )3

Bán kính đường tròn giao tuyến:r EK  R2d2 �1,117984141

Diện tích hình tròn giao tuyến:S �74,38733486(cm2)

Bài 5 Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) bằng12, 24 cm đựng nước 

cao lên 4,56 cm so với mặt trong của đáy Một viên bi hình cầu được thả vào trong thùng thì mực nước  

dâng lên sát với điểm cao nhất của viên bi (nghĩa là mặt nước là tiếp diện của mặt cầu) Hãy tính bán kính của viên bi

Với R x h, , lần lượt là bán kính đáy của hình trụ, hình cầu và chiều cao ban đầu của cột nước.

Bấm máy giải phương trình: 4x3224,7264x512,376192 0(0  �x 6,12)

  và tứ diện  T là một hình vuông  V Tính diện tích của hình vuông  V theo a và b

Điều kiện độ dài a b, :

+ Giả sử tứ diện  T tồn tại Gọi AB là cạnh bằng a , các cạnh AC AD BC BD CD, , , , đều cùng bằng b

Gọi I là trung điểm cạnh CD Tam giác AIB là tam giác cân:

+Ngược lại với: 0a  b 3 Dựng tam giác đều BCD cạnh b với chiều cao BI

Dựng tam giác cân AIB có AB a , nằm trong mặt phẳng chứa BI và vuông góc với mặt phẳng BCD

.Ta có: A mpBCD Tứ diện ABCD thỏa điều kiện bài toán.

Q

P M

MN NP PQ QMđược gọi tên là mặt  I , mặt  II , mặt  III , mặt  IV

Do MN // PQ MQ; // NPnên cạnh chung của mặt  I và mặt  III ; cạnh chung của mặt  II và mặt  IV

nằm trên hai đường thẳng song song với mp  

Ngoài ra hai đường thẳng này vuông góc với nhau, vì MN vuông góc MQ

+ Do

a khác b nên tứ diện  T chỉ có một cặp cạnh đối vuông góc , đó là AB và CD

Vì vậy mặt phẳng   phải song song vớiAB và CD

+ Gọi giao điểm của mp   với AC BC BD AD, , , , lần lượt là M N P Q, , , .Đặt: k 

MC MA

Ta có:

1

a MN



Bài 6 Cho hình chóp tứ giác S ABCD, có đáy là một hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SAC

M là một điểm thay đổi trong miền hình bình hành ABCD Tia MG cắt mặt bên của hình chóp tại điểm N

M O

D

A s

+ Q MG NG MG NG � Dấu bằng khi và chỉ khi 2 MG

NG  NG 1

MG 

+ SG cắt mpABCD tại tâm O của hình bình hành ABCD Gọi  K là trung điểm của SG Từ K dựng mặt phẳng song song với mpABCD cắt  SA SB SC SD, , , lần lượt tại A B C D Từ N dựng mặt 1, , , 1 1 1phẳng song song với mpABCD cắt SG tại ' N

' 1

'

1B C D A

2/

+ Miền hình bình hành ABCD hợp bởi các miền tam giác OAB OBC OCD ODA, , ,

M thuộc miền hình bình hành ABCD nên M thuộc một trong bốn miền tam giác này Chẳng hạn M

thuộc miền OAB M �A N C� ; ' M �B  N � ; M O D' �  N S�

Do đó N thuộc miền SC D' ' và 'N thuộc đoạn SH , với C D', ' và H lần lượt là trung điểm của,

  x với x 1

; 22

Bài 7 Cho tứ diện ABCD có diện tích các tam giác ADB và ADC là S và b S Mặt phẳng phân giác của c

nhị diện tạo bởi hai mặt ADB và  ADC cắt BC tại  M  là góc giữa hai mặt ADB và  ADC 

Chứng minh:

c

SMB

+ Do M ở trên mặt phẳng phân giác của góc nhị

diện cạnh AD nên khoảng cách từM đến hai mặt phẳng

ADB ,  ADC bằng nhau và kí hiệu là d 

MB dt(DBM)

MC dt(DCM) V S d S



Bài 8 Với hai đường thẳng MN PQ, chéo nhau trong không gian, kí hiệud MN PQ và  ,  MN PQ lần, 

lượt là khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MN PQ,

a/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB CD ,  d AC BD ,  d AD BC , 

thì trong ba số: cotgAB CD, ; cotgAC BD, ; cotgAD BC có một số bằng tổng hai số còn lại., 

b/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB CD ,  d AC BD ,  d AD BC , và

AB CD,   AC BD,   AD BC,  thì nó là hình chóp tam giác đều

C

D

B1

D1

   

2 4

2 1

1

1

aa

y

a a 2 y z ; cos AB, CD

1a.a2

 Nếu x y z� � thì cotgAB CD, cotgAC BD, cotgAD BC, cotgAD BD, 

 Các trường hợp khác cũng có kết quả như thế

b/

 Từ các kết quả câu a/ nếu thêm AB CD,   AC BD,   AD BC, 

thì cotgAB CD,  cotgAC BD,  cotgAD BC,   0

 Suy ra các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD vuông góc đôi một.

Bài 9 Trong không gian cho ba tia Ox Oy Oz, , không đồng phẳng và ba điểmA B C, , ( khác điểm O )

lần lượt trên Ox Oy Oz, , .Dãy số (an)  a là một cấp số cộng có n a1 và công sai 0 d  Với mỗi số n0nguyên dương, trên các tia Ox Oy Oz, , theo thứ tự lấy các điểmA B C sao cho n, , n n

uuur uuur uuur

, với điểm O tùy ý.

B

+Từ giả thiết:  a là cấp số cộng công sai n d  nên: 0 n 1 n

và OA a OA ; OB a OB ( do a ,auuur nuuuur uuurn  n 1 uuuurn n n 1 0)

Thế vào trên ta được: OI OB OA 1AB , n=1,2

uuur uuur

suy ra I cố định, nên đường thẳngA B n n

luôn đi qua một điểm cố định I

+ Tương tự, chứng minh được:

 B B luôn đi qua một điểm cố định J xác định bởi: n n OJ 1BC

Vậy các đường thẳng A B B C A C lần lượt đi qua ba điểm n n, n n, n n I J K, , cố định.

uuur uuur uuur uuur uur uur uur uur

Vậy I J K, , thẳng hàng Điều này chứng tỏ mặt phẳng A B C luôn đi qua một đường thẳng cố định n n n

Bài 10 Trong không gian cho ba mặt phẳng cố định có một điểm chung duy nhất M là một điểm củakhông gian, các đường thẳng đi qua M song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng còn lại lần lượt tại

_B

Do đó: Tập các điểm M là miền trong của tam giác UV�.

Suy ra các điểm M' ( trọng tâm của tam giác ABC ) là ảnh của miền trong tam giác UV� qua phép vị tựtâm O tỉ2

3

Bài 11 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a BC b ,  , SA SB SC SD c   

K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC

a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK

b/ GọiM N, lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD Chứng minh: Các đường thẳng BM và

_S

_O

_K _M

_N

HK SA

� và HKBK ( vì HK�SAC)

HK là đoạn vuông góc chung của SA và BK

Suy ra được: BH SA vàHBK vuông tại K

+ Do ABC vuông đỉnh A nên:

2 2 2

uuuuruuuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

u r

.(BA BK 2.BC) = KB.(BA BC BK BC)

= KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0

uu uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Vậy: BK MN

( Có thể tính và áp dụng định lý Pythagor)

Bài 12 Cho tứ diện ABCD cóhai cạnh đối bằng b c, và các cạnh còn lại bằng a

a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ một điểm tùy ý trong không gian đến các đỉnh của tứdiện

b/ Giả sử tứ diện ABCD thay đổi vị trí trong không gian nhưng có ba đỉnh A B C, , lần lượt ở trên mặt

cầu cố định và đồng tâm.Chứng minh rằng đỉnh D luôn ở trong một hình cầu cố định khi độ dài a b c, ,

thay đổi thỏa các giả đã cho

AD BC Ta dễ dàng suy ra I vuông góc với AD và

BC và IJ chính là trục đối xứng của tứ diện.

 Lấy M tùy ý trong không gian, M' là điểm đối xứng

của M qua IJ suy ra trung điểm K của MM' chính là

hình chiếu của M trên đường thẳng IJ và ta có:

( Do tính chất: trung tuyến của một tam giác thì bé hơn nữa tổng

của hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của nó)

 Do đó: MA MB MC MD KA KB KC KD   �   

 Bài toán trở thành tìm điểm K trên IJ sao cho KA KB KC KD   bé nhất

 Trong mặt phẳng BCI dựng hình thang  BCD A sao cho IJ là trung điểm của hai đáy và' '

 Gọi r r r là bán kính các mặt cầu tâm O và lần lượt đi qua các đỉnh 1, , 2 3 A B C, , Ta có:

 OD OC DC OC AB OC OA OB r r          Do đó 1 2 r3 D ở trong hình cầu cố định tâm O , bán

kính R r r   1 2 r3

I

J A

Bài 13 Cho tam giác ABC có góc A nhọn M là điểm di động trên BC P Q, lần lượt là hình chiếu

vuông góc của M lên AB AC, .Tìm tập hợp các điểm S không phụ thuộc mặt phẳngABC sao cho:

g SA PQ g SP AQ g SQ AP ( ký hiệu g a b là góc giữa hai đường thẳng  , a b, )

BP tBE, CQ (1 t)CE, MB (1 t)BC, BH BM MH tBF (1 t)BE         

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur

+Suy ra: EH BH BE tEFuuur uuur uuur   uur Tập hợp các điểm H là đoạn EF

Vậy tập hợp các điểm S là dải mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng a b, lần lượt đi qua E F, và vuông góc

x Tính tỉ số thể tích 2 tứ diện ABCE và BCDE

Bài 15 Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình thang  AD BC P  và AD2BC GọiM N, lần

lượt là trung điểm của SA SB, Mặt phẳng DMN cắt SC tại  P Tính tỉ số CP

CS .

Bài 16 Cho tam giác đều ABC :

1 M là điểm nằm trong tam giác sao cho MA2  MB2  MC2 Hãy tính góc BMC �

2 Một điểm S nằm ngoài mặt phẳng ABC sao cho tứ diện SABC đều, gọi  I K, là trung điểm

của các cạnh AC và SB Trên đường thấng AS và CK ta chọn các điểm P Q, sao cho //

PQ BI Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1

Bài 17 Trong mặt phẳng   cho đường tròn  C Đường kính AB cố định và điểm M di động trên  C Gọi S là điểm cố định trên đường thẳng vuông góc với mp  tại A Hạ các đường AI AJ, lần lượt vuông

góc với SM và SB

2.1 Chứng minh rằng AI  IJ

2.2 Tìm quỹ tích của điểm I khi Mdi động trên  C

Bài 18.Cho hình lập phương ABCD A B C D ���� cạnh a

a Tính góc giữa hai đường thẳng AC� và A B�.

b Gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A B��, BC , DD� sao cho A M BN DP�  

Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M , N ,

a Xác định thiết diện giữa lăng trụ và mặt phẳng  P đi qua M , vuông góc với A B 1

b Tính diện tích thiết diện vừa tìm được theo a

Bài 21 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AC và chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng

BCD là trực tâm của tam giác BCD Chứng minh rằng   2  2 2 2

6

BC CD DB  � AB AD AC

Bài 22 Cho tứ diện ABCD. Gọi M N P Q, , , lần lượt là trung điểm AB AD CD BC, , , .

a Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành Tìm điều kiện của tứ diện để MNPQ là hình thoi.

b Mặt phẳng  đi qua N và song song với AB CD, . Xác định thiết diện của   và tứ diện ABCD

Thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn giải

N

P

F E

* MNPQ là hình thoi khi AC = BD

0,50,50,250,250,5

Bài 23 Cho hình chóp S ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a ( a  ) Cạnh SA vuông góc với0đáy và SA a 3 M là một điểm khác B trên SB sao cho AM MD. Tính tỉ số SM

Bài 24 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và các cạnh bên có độ

dài bằng nhau Một mặt phẳng ( thay đổi và luôn cắt các cạnh bên của chóp, gọi giao điểm của ) ()

với các cạnh bên SA SB SC SD, , , lần lượt là M N P Q, , , Đặt x SM , y SN , z SP , t SQ Chứngminh rằng:

t y z x

1111





Bài 25.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng a , mặt bên SAB là tam

giác đều và mp SAB vuông góc với mp ABCD 

a Tính các khoảng cách: d O SBC��, ��, d A SCD��, ��, d AC SB  , 

b Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.

c Mặt phẳng  P chứa AB và vuông góc với mặt phẳng SCD cắt hình chóp đã cho theo 

thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a

Bài 26 Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng

ABC và SA3a Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC , H là hình chiếu vuông góc của điểm

O lên mặt phẳngSBC 

1/ Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác SBC

2/ Tính góc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng ABC 

2a 3a

M

1/ Gọi M là trung điểm của cạnh BC

Do ABC đều, G là trọng tâm của ABC nên ta có AM BC

Do SAABC nên AM là hình chiếu vuông góc của SM lên ABC 

Theo Định lí ba đường vuông góc ta có SM BC

Mặt khác do H là hình chiếu vuông góc của O lên SBC nên OH BC và OM BC Suy ra HM BC

Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của SBC

2/ Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A lênSBC 

Do đó ta cóOH // AK.

Ta có đường thẳng AM là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AK lênABC 

Vì vậy góc giữa đường thẳng OH và ABC bằng góc giữa đường thẳng  AK và ABC bằng góc giữa hai đường thẳng AK AM bằng góc �,  KAM

Bài 27 Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một AB CD AC ; BD AD BC; 

Chứng minh với mọi điểm M trong không gian ta đều có:

Bài 28 Cho hai đường thẳng d d�, chéo nhau và vuông góc với nhau nhận OI làm đường vuông góc

chung (O thuộc d và I thuộc d� ) Trên d lấy điểm A cố định, trên d�lấy hai điểm M N, diđộng sao cho mặt phẳng d M vuông góc với mặt phẳng ,  d N , 

a/ Chứng minh trực tâm tam giác AMN cố định.

b/ Xác định M N, để diện tích tam giác AMN là nhỏ nhất.

Bài 29 Cho tứ diện S ABC có SA SB SC   , mặt phẳng 1  P đi qua trọng tâm M của tứ diện, cắt

Bài 31 Cho góc tam diện Sxyzthỏa mãn góc �xSy121 ; 0 �xSz590 Trên tia Sx lấy điểm A sao cho

SA a cho trước Trên tia phân giác của góc �xSy lấy điểm B thỏa mãn SB a 3

Tính các góc của tam giác SAB

Bài 32 Cho hình thang vuông ABCD có A D 900, AB2 ,a CD a AD , 3a và M là điểm bất kỳ

thuộc đoạn thẳngAD

1/ Xác định vị trí của điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau.

2/ Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với mp BCD tại   M sao cho SM  AM , xét mặtphẳng  P qua điểm M và vuông góc với SA Mặt phẳng  P cắt hình chóp SABCD theo thiết

diện là hình gì ? Tính diện tích của thiết diện theo a x, biết x AM và 0 � ?.x  3a

Bài 33 Cho tứ diện ABCD cú cỏc đường cao AA BB CC DD', ', ', '  đồng qui tại một điểm thuộc miền trong

của tứ diện Cỏc đường thẳng AA BB CC DD', ', ', '  lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo

thứ tự tại A B C D Chứng minh:1, , ,1 1 1

83

Bài 34 Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. M N, lần lượt là trung điểm củaAB,SC

a/ Tỡm giao tuyến của SMN và SBD 

b/ Tỡm giao điểm I của MN và SBD , tớnh tỷ số  MI

Hướng dẫn giải

a/ Trên ABCD gọi  K là giao điểm của MC và BD

Ta có: S là điểm chung thứ nhất của 2 mp SMN và  SBD 

Mặt khác:

- K�BD nên K� SBD

-  C SN� nên C�  SMN do đó MC� SMN

-  K MC� nên K �SMN

� K là điểm chung thứ 2 của 2 mp SMN và  SBD 

Vậy: giao tuyến của SMN và  SBD là SK 

S

A

D M

N

K I J

b/ Trên SMN gọi  I là giao điểm của SK và MN

Ta có:  I SK� , mà SK �SBD nên I�  SBD.

Vậy I là giao điểm của MN và SBD 

Gọi J là trung điểm của SK thì JN là đờng trung bình của tam giác SKC nên

Bài 35 Cho hỡnh thoi ABCD cú � BAD60 ,o AB2 a Gọi H là trung điểmAB Trờn đường thẳng d

vuụng gúc với mặt phẳng ABCD tại  H lấy điểm S thay đổi khỏc H Trờn tia đối của tia BC

lấy điểm M sao cho 1

SH  Chứng minh đường thẳng SM vuụng gúc với mặt phẳngSAD 

b/ Tớnh theo a độ dài của SH để gúc giữa SC và SAD cú số đo lớn nhất.

M

K

b/ Gọi là góc giữa SC vàSAD ;  K là hình chiếu vuông góc của H lên SN ; I là giao của HC với AD

Lấy E đối xứng với I quaK

Vì AD(SMN)�ADHK Kết hợp với HK SN �KH (SAD)

Mà HK là đường trung bình của tam giác ICE nên HK CE//

Suy ra CE (SAD)tại E Suy ra SEC vuông tại E và SE là hình chiếu của SC trênSAD Ta có

x a

Vậy  lớn nhất khi và chỉ khi sin lớn nhất khi và chỉ khi 4 21

.4

Bài 36 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

ABCD là trung điểm  H của cạnh AB � 0 3

2

a BAD AB a SH  Trên tia đối của tia

BC lấy điểm M sao cho 1

4

a/ Tính côsin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳngABCD 

b/ Chứng minh rằng đường thẳng SM vuông góc với mặt phẳngSAD 

Hướng dẫn giải

a/ Vì H là hình chiếu của S trên ABCD nên

góc giữa SD và ABCD là � SDH

( vì tam giác SDH vuông tại H nên �SDH nhọn)

Tam giác ABD đều cạnh 2a nên DH a 3

.2

M

N

SA a AB BC a  Gọi H là hình chiếu của A trên SB

a/ Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳngSAB 

b/ Tính độ dài đoạn thẳng HC theo a

Từ (3) và (4) suy ra AH (SBC)�AH HC hay tam giác AHC vuông tại H

Tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao nên

2 2

AH  SA  AB  a  a  a � 

Tam giác ABC vuông tại B nên AC2 AB2BC2 2 a2

.2

Bài 38.Cho hình chópABCD, M là điểm nằm trong hình chóp Kéo dàiDM cắt mặt phẳngABC tạiN

Chứng minh:

a) �ADN BDN CDN� � �ADB BDC CDA� �

DMA DMB DMC AMB BMC CMA      

Bài 39.Cho tứ diện ABCD Gọi M N P Q R S, , , , , lần lượt là trung điểm của DA DB, , DC BC CA AB, , ,

a) Chứng minh rằng tứ giác BED F’ là hình bình hành và A E CF’ 

b) Tìm E để diện tích tứ giác BED F’ đạt GTNN

Bài 41.Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tam giác ABC tại A Trên d lấy điểm N và điểm

M sao cho BN vuông góc với CM

a) Chứng minh rằng BM CNuuuuruuur uuuruuur uuur uuuur. BA CA AN AM.  .

b) Tìm điều kiện cần và đủ để M N, nằm cùng phía đối với A trên đường thẳng d

Bài 42.Cho hình chóp đáy là đa giác đều S ABCD M cố định trên SC Mặt phẳng( ) quay quanh trục

Bài 43.Cho tứ diện ABCD có AB CD c AD BC b AC  ;   ; BD a Gọi A1, C1 lần lượt là trọng tâm

của các mặt đối diện với đỉnh A và đỉnh C

a) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác MIN cố định

b) Tìm tập hợp hình chiếu K của M trên IN

Bài 45.Cho góc tam diện vuông Oxyz, tia Ot bất kì nằm trong góc tam diện Gọi   , , theo thứ tự làgóc hợp bởi tia Ot với các tia Ox Oy Oz, ,

Chứng minh rằng: cot cot cot 2

4

Bài 46.Chứng minh rằng nếu một tứ diện MNPQ thỏa mãn điều kiện MN vuông góc với PQ và MP

vuông góc với NQ thì MQ vuông góc với NP

Bài 47.Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình bình hành, AC cắt BD tại H và:

MAB MAC MAD BAD DAC CAB  �  

b)Gọi S và R là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Hỏi tứ diện nào có tỉ số S

MAB MAC BAD DAC �  (1)

tương tự : MAB MAD BAC CAD� � �� � (2)

Bài 49.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAABCD và độ dài SA a Một mặt phẳng đi qua CD cắt cạnh SA SB, lần lượt ở M N, Đặt AM x.

a)Tính diện tích tứ giác MNCD theo a x,

b) Gọi hình chóp đều đó là S ABCD , vì thiết diện cắt tất cả

các mặt bên nên các đỉnh K M L N P, , , , của ngũ giác đều nằm

  �  Vậy mặt bên của hình chóplà tam giác đều

Bài 50.a) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Trên cạnh SC lấy điểm E Thiết diện tạo thành do mặtphẳng đi qua AE và song song với BD cắt SB SD, lần lượt tại M N,

S

L N

Tính diện tích thiết diện đó khi cho cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng 3 và 2 3

(B �SB C �SC) thu được có chu vi nhỏ nhất

b Tính giá trị chu vi nhỏ nhất đó theo a

Bài 52.Cho lăng trụ ABC A B C ��� Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho 1

2

AM  AB Gọi E làtrung điểm AC

a)Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng MEB� .

b) Gọi D BC �MEB�,K AA��MEB� Tính tỉ số CD

AK

AA .

Hướng dẫn giải

+) Xác định được điểm D và suy ra hai giao tuyến DE và DD�

+) Xác định được điểm K ; suy rađược đoạn giao tuyến EK vàKB’

+) Kết luận thiết diện là tứ giác DEKB’

Bài 53.Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang AD BC/ / và AD BC Gọi M N E, , lần lượt là

trung điểm của AB CD SA, , .

a)Chứng minh rằng: MNE / / SBC.

b) Chứng minh: SC/ /MNE và AF không song song với SBC.

c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi MNE Thiết diện là hình gì?

Bài 54.Trong mặt phẳng  P cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 điểm A cố định trên  O Tứ giác

ABCD biến thiên nội tiếp trong  O sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau Trên đường thẳng d

vuông góc với mặt phẳng  P tại A lấy1 điểm S Nối S với A B C D, , ,

a Chứng minh 2 cạnh BD SC, vuông góc với nhau.

b Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A B C D S, , , ,

c Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất Tìm GTLN đó theo R

Hướng dẫn giải

a, Vì SA( )P nên AC là hình chiếu của SC trên mp P

Theo gt ACBDnên theo định lí 3 đường vuông góc ta có SCBD

b, Cách dựng:

H

C D

Qua O kẻ đường thẳng d’ vuông góc với mp P .

ABCD

Bài 55.Cho hình vuông cạnh a tâm O gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng ABCD sao cho SB SD ,

M là điểm tùy ý trênAO với AM x Mặt phẳng   qua M và song song SA và BD cắt SO SB AB, ,

lân lượt tại N P Q, ,

a)Tứ giác MNPQ là hình gì?

b)SA a Tính diện tích MNPQ theo a và x Tìm x để diện tích lớn nhất

Bài 56.Cho hình lập phương ABCD A B C D ���� cạnh a

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC� và A B�

b) Gọi M N P, ,   lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A B BC DD��, , � sao cho A M� BN DP Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M N P, , thay đổi.