Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O.. Hệ ba trục như vậy gọi là: hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặ
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O Gọi
i j k , ,
là: các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục như vậy gọi là:
hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là: hệ tọa độ Oxyz
Chú ý i2 j2 k2 1
và i j i k k j 0
2 Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa u x y z ; ; u xi y j zk
b) Tính chất Cho a ( ; ; ), a a a1 2 3 b ( ; ; ), b b b k R1 2 3
a b ( a b a1 1; 2 b a2; 3 b3)
ka ( ; ka ka ka1 2; 3)
1 1
2 2
3 3
a b
a b
0 ( ; ; ), 0 0 0 i ( ; ; ), 1 0 0 j ( ; ; ), 0 1 0 k ( ; ; ) 0 0 1
a cùng phương b b ( 0 )
a kb k R ( )
3
1 2
0
a b a b a b 1 1 2 2 a b3 3.
a b a b a b1 1 2 2 a b3 3 0
a 2 a12 a22 a32 a a12 a22 a22
2 1 12 22 2 2 3 32 2
a b a b a b
a b
a b
cos( , )
3 Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa M x y z ( ; ; ) OM ( ; ; ) x y z
(với x hoành độ, y tung độ, z cao độ)
Chú ý M (với Oxy) M(với x; y; 0); M (với Oyz) M(với 0; y; z); M (với Oxz) M(với x; 0; z)
M Ox M(với x; 0; 0) ; M Oy M(với 0; y; 0); M Oz M(với 0; 0; z)
b) Tính chất Cho A x y z ( ;A A; A), ( ; B x y zB B; )B
AB ( xB x yA; B y zA B; zA)
AB ( x x ) ( y y ) ( z z )
Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (với k≠1)
x kx y ky z kz M
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB
M ; ;
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
G ; ;
Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
4 Tích có hướng của hai vectơ (với Chương trình nâng cao)
a) Định nghĩa Cho a ( , , ) a a a1 2 3
, b ( , , ) b b b1 2 3
Trang 2
2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
Chú ý Tích cĩ hướng của hai vectơ là: một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ là: một số.
b) Tính chất
i j , k ; j k , i ; k i , j
[ , ] a b a ; [ , ] a b b
[ , ] a b a b sin , a b
a b , cùng phương 0
a b
[ , ]
c) Ứng dụng của tích cĩ hướng
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a b , và c đồng phẳng [ , ] a b c 0
Diện tích hình bình hành ABCD S ABCD AB AD ,
2
ABC
S AB AC ,
Thể tích khối hộp ABCD.ABCD VABCD A B C D ' ' ' ' [ , AB AD AA ] '
6
ABCD
V [ , AB AC AD ].
Chú ý
– Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuơng
gĩc, tính gĩc giữa hai đường thẳng.
– Tích cĩ hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích
khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
0
0 0
a và b cùng phương a b
a b c đồng phẳng a b c
,
– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt
A, B, C thẳng hàng AB AC , cùng phương AB k AC
AB AC , 0
ABCD là: hình bình hành AB DC
Cho ABC cĩ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngồi của gĩc A của ABC
AC .
AC .
A, B, C, D khơng đồng phẳng AB AC AD , , khơng đồng phẳng AB AC AD , 0
5 Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu (S) tâm I(với a; b; c), bán kính R
( ) ( ) ( )
Phương trình x2 y2 z2 2 Ax 2 By 2 Cz D 0 với A2 B2 C2 D 0 là
phương trình mặt cầu tâm I(với – A; – B; – C) và bán kính R A2 B2 C2 D.
II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Trang 31 Phương trình tổng quát mặt phẳng n
Vectơ n ( khác 0 là vectơ pháp tuyến
của mặt phẳng (P) nếu giâ của n vuơng gĩc với mp(P)
b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng (P) qua điểm M(x0, y0, z0) nhận vectơ n= (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến cĩ phương
trình tổng quát dạng A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0
c) Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C là mặt phẳng qua điểm A (hoặc B hoặc C) và nhận vectơ n
= [AB, AC] làm vectơ pháp tuyến
d) Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng
Mặt phẳng qua ba điểm (a, 0, 0), (0, b, 0) và (0, 0, c) với abc 0 cĩ phương trình
1
c
z b
y a
x
(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng
II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho (P) Ax + By + Cz + D = 0 (Q) A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Khi đĩ
(P) cắt Q A B C A’ B’ C’
(P) // (Q)
' ' '
D C
C B
B A
A
(P) (Q)
' ' '
D C
C B
B A
A
III KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng () Ax + By + Cz + D = 0 xác định bởi cơng
thức 0 0 0
Ax By Cz D d(M;( ))
IV GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng (P) Ax + By + Cz + D = 0; (Q) A’x + B’y + C’z + D’ = 0
Gọi là gĩc giữa hai mặt phẳng thì ta cĩ
' ' ' C B A
| CC' BB' A'
| cos
C B A
A
III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng (d) qua M(x0, y0) nhận a ( a , b , c )là: m vectơ chỉ phương cĩ phương trình
tham số là:
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
Nếu abc 0 thì (d) cĩ phương trình chính tắc là:
c
z z b
y y a
x
2 Đường thẳng qua hai điểm A và B Đường thẳng AB là: đường thẳng qua điểm A (với hoặc B) và nhận vectơ AB ( xB x yA; B y zA; B zA)
là: m vectơ chỉ phương.
3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
chỉ phương là và
p
Trang 4Câch 1 Lấy M (d) và M’ (d’) Khi đĩ
+ (d) cắt (d’) [u 1
,u 2
].MM '
= 0 và [u 1
,u 2
] 0 + (d) chéo (d’) [
1
u ,u 2].MM ' 0 + (d) // (d’) [u 1,u 2] = 0 và M khơng thuộc (d2)
+ (d) trùng (d’) [
1
u ,u 2] = 0 và M thuộc (d2)
Cách 2 Giải hệ phương trình hai ẩn t và t’
x a t x a t '
y b t y b t '
z c t z c t '
+ Nếu hệ cĩ vơ số nghiệm thì (d1) trùng (d1)
+ Nếu hệ cĩ duy nhất nghiệm thì (d1) cắt (d2)
+ Nếu hệ vơ nghiệm và
1
u
cùng phương
2
u
thì (d1) song song (d2)
+ Nếu hệ vơ nghiệm và u 1khơng cùng phương
2
u
thì (d1) và (d2) chéo nhau
4 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
0 0 0
(d)
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng lần lượt có phương trình là (P):Ax + By + Cz + D = 0 và (d) (*)
Thay (*) vào (P) ta cĩ phương trình ẩn t
A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0 (1) + Nếu phương trình (1) cĩ duy nhất nghiệm thì (d) cắt (P) tại một điểm
+ Nếu (1) vơ nghiệm thì (d) // mp(P)
+ Nếu (1) cĩ vơ số nghiệm thì (d) nằm trong mp(P)
Trang 5PHẦN 2 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với hai đường thẳng
1
:
2
1
có vectơ pháp tuyến là: :
A n 5;6; 7 B n 5; 6;7 C n 5; 6;7 D n 5;6;7
Câu 2 Đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 và có vectơ chỉ phương u 4; 6;2 có phương trình là:
A
2 2
3
1
B
4 2 6 2
y
C
2 4
1 6 2
D
2 4 6
1 2
Câu 3 Cho đường thẳng d có phương trình tham số
2 2 3
3 5
phương trình nào sau đây
là: phương trình chính tắc của d ?
Câu 4 Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A 1;2; 3 và
3; 1;1
Câu 5 Tọa độ giao điểm M của đường thẳng 12 9 1
:
d và mặt phẳng
: 3 x 5 y z 2 0 là:
A M 1;0;1 B M 0;0; 2 C M 1;1;6 D
12;9;1
M
Câu 6 Tọa độ giao điểm M của đường thẳng 2 3
:
và mặt phẳng
P : 2 x y 2 z 1 0 là:
;3;
;3;
; 3;
;3;
Câu 7 Cho điểm A 1;4; 7 và mp P x : 2 y 2 z 3 0 đường thẳng đi qua điểm A và
vuông góc với mp P có phương trình là:
Trang 6C 4 3 4
Câu 8 Cho điểm M 2; 3;5 và đường thẳng
1 2
4
Đường thẳng đi qua điểm
M và song song với d có phương trình là:
Câu 9 Cho d là: đường thẳng qua M 1; 2;3 và vuông góc với
mp Q x y z Phương trình tham số của d là:
A
1 3
2 4
3 7
B
1 4
2 3
3 7
C
1 4
2 3
3 7
D
1 4
2 3
3 7
Câu 10 Cho đường thẳng
1
1 2
và mặt phẳng : x 3 y z 1 0 Trong các
khẳng định sau, tìm khẳng định đúng
A d / / B d cắt C d D d
:
và mặt phẳng : x y z 4 0 Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định đúng
A d / / B d cắt C d D d
Câu 12 Hãy chọn kết luận đúng về vị trí tương đối giữa hai dường thẳng
1
3
và
1 2 '
2 2 '
A d cắt d ' B d d ' C d chéo với d ' D d / / ' d
Câu 13 Giao điểm của hai dường thẳng
3 2
6 4
và
có tọa độ là:
A 3; 2;6 B 5; 1;20 C 3;7;18 D 3; 2;1
Câu 14 Tìm m để hai đường thẳng sau đây cắt nhau
1 :
1 2
và
A m 0 B m 1 C m 1 D m 2
Câu 15 Khoảng cách từ điểm M 2;0;1 đến đường thẳng 1 2
:
d bằng
Trang 7Câu 16 Khoảng cách giữa hai đường thẳng
1 2
1
z
' :
bằng
1
Câu 17 Cho hai đường thẳng 1 2 2 3
:
1
1
và điểm
1;2;3
A Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là:
Câu 18 Cho A 0;0;1 , B 1; 2;0 , C 2;1; 1 Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp ABC có phương trình là:
A
1
5
3
1
4 3
3
B
1 5 3 1 4 3 3
C
1 5 3 1 4 3 3
D
1 5 3 1 4 3 3
Câu 19 Cho điểm A 4; 1;3 và đường thẳng 1 1 3
:
Tìm tọa độ điểm M
là: điểm đối xứng với điểm A qua d.
A M 2; 5;3 B M 1;0;2 C M 0; 1;2 D
2; 3;5
Câu 20 Cho điểm A 3;5;0 và mặt phẳng P : 2 x 3 y z 7 0 Tìm tọa độ điểm M là: điểm đối xứng với điểm A qua P
A M 7;11; 2 B M 1; 1;2 C M 0; 1; 2 D
2; 1;1
Câu 21 Cho đường thẳng 3 3
d mặt phẳng : x y z 3 0 và điểm
1;2; 1
A Đường thẳng đi qua A cắt d và song song với mp có phương trình là:
Câu 22 Cho hai điểm A 1; 1;1 , B 1;2;3 và đường thẳng 1 2 3
:
Đường thẳng d đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và có phương trình là:
Trang 8C 1 1 1
Câu 23 Cho điểm A 1;7;3 và đường thẳng 6 1 2
:
Tìm tọa độ điểm M
thuộc sao cho AM 2 30
A M 9;1; 3 hoặc 33 13 11
C M 9;1; 3 hoặc 51 1 17
:
và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 0 Đường thẳng nằm trong P , cắt d và vuông góc với d có phương trình là:
A
1
2
y
B
1 2
y
C
1 2
D
1 2
y
z t
Câu 25 Cho hai điểm A 1; 1;2 , B 2; 1;0 và đường thẳng 1 1
:
Tọa độ
điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M là:
A M 1; 1;0 hoặc 7 5 2
:
d Hình chiếu vuông góc của d trên mặt
phẳng tọa độ Oxy là:
A
0
1
0
x
z
B
1 2 1 0
z
C
1 2 1 0
z
D
1 2 1 0
z
Câu 27 Cho đường thẳng
8 4
z t
và điểm A 3; 2;5 Tọa độ hình chiếu vuông
góc của điểm A trên d là:
A 4; 1;3 B 4;1; 3 C 4; 1; 3 D 4; 1;3
Trang 9Câu 28 Cho hai đường thẳng 1 2 1 3
:
:
Khoảng cách giữa d1 và d2 bằng
A 4 2 B 4 2
4
4 3 2
Câu 29 Cho hai đường thẳng 1
2
2
và 2
2 2
z t
Mặt phẳng cách đều hai
đường thẳng d d1, 2 có phương trình là:
A x 5 y 2 z 12 0 B x 5 y 2 z 12 0
C x 5 y 2 z 12 0 D x 5 y 2 z 12 0
Câu 30 Cho hai đường thẳng 1
5 2
5
và 2
9 2 :
2
Mặt phẳng chứa cả d1 và
2
d có phương trình là:
A 3 x 5 y z 25 0 B 3 x 5 y z 25 0
Câu 31 Cho đường thẳng 1 3
:
và mặt phẳng P x : 2 y 2 z 1 0
Mặt phẳng chứa d và vuông góc với mp P có phương trình là:
A 2 x 2 y z 8 0 B 2 x 2 y z 8 0
C 2 x 2 y z 8 0 D 2 x 2 y z 8 0
Câu 32 Cho hai điểm A 1;4;2 , B 1;2;4 và đường thẳng 1 2
:
M mà MA2 MB2 nhỏ nhất có tọa độ là:
A 1;0;4 B 0; 1;4 C 1;0;4 D 1;0; 4
Câu 33 Cho hai điểm A 3;3;1 , B 0;2;1 và mặt phẳng P x y z : 7 0 Đường
thẳng d nằm trên mp P sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B có phương trình là:
A 7 3
2
x t
B 7 3
2
x t
C 7 3
2
D
2
7 3
z t
Câu 34 Cho hai đường thẳng 1 7 3 9
:
và 2
:
Phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2 là:
Câu 35 Cho hai đường thẳng 1 3 6 1
:
2
x t
z
Đường thẳng đi
qua điểm A 0;1;1 , vuông góc với d1 và cắt d2 có phương trình là:
Trang 10A 1 1
Câu 36 Cho mp P x : 2 y z 4 0 và đường thẳng 1 2
:
d Đường thẳng nằm trong mặt phẳng P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là:
Câu 37 Cho hai mặt phẳng P : 2 x y z 3 0 và Q x y z : 1 0 Giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q có phương trình là:
Câu 38 Cho ba điểm A 3;2; 2 , B 1;0;1 và C 2; 1;3 Tìm tọa độ điểm H là: hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC
A H 1;0; 1 B H 1;0;1 C H 0;1; 1 D H 1; 1;0;
Câu 39 Cho hai điểm A 1; 2;1 , B 2;1;3 và mặt phẳng P x y : 2 z 3 0 Tìm tọa
độ điểm M là: giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng P
A M 0; 5; 1 B M 2;1;3 C M 0; 5;3 D M 0;5;1
Câu 40 Cho điểm A 1;0; 1 và đường thẳng 1 1
:
Tìm tọa độ điểm H là:
hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d
A 1 5 1
B 5 1 1
; ;
3 3 3
D 5 1 1
Câu 41 Cho hai điểm A 2;1;0 , B 2;3;2 và đường thẳng 1
:
Phương
trình mặt cầu S đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d là:
A S : x 1 2 y 1 2 z 2 2 17 B.
S : x 3 2 y 1 2 z 2 2 5
C S : x 1 2 y 1 2 z 2 2 17 D.
S : x 3 2 y 1 2 z 2 2 5
Câu 42 Cho hai điểm A 0;0;3 , M 1;2;0 Viết phương trình mặt phẳng P qua A và cắt
các trục Ox Oy , lần lượt tại B C , sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM.
A P : 6 x 3 y 4 z 12 0 B P : 6 x 3 y 4 z 12 0
C P : 6 x 3 y 4 z 12 0 D P : 6 x 4 y 3 z 12 0
Câu 43 Cho điểm I 0;0;3 và đường thẳng 1 2
:
d Viết phương trình mặt
Trang 11A : 2 2 3 2 8
3
3
C : 2 2 3 2 4
3
3
Câu 44 Cho mặt phẳng P x y : 2 z 5 0, đường thẳng 1 2
:
điểm A 1; 1;2 Viết phương trình đường thẳng cắt d và P lần lượt tại M và N sao cho A là: trung điểm của đoạn thẳng MN.
:
:
:
:
Câu 45 Cho hai điểm A 1;2;3 , B 1;0; 5 và mặt phẳng P : 2 x y 3 z 4 0 Tìm
tọa độ điểm M thuộc P sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng.
A M 0; 1; 1 B M 0;1;1 C M 0; 1;1 D M 0;1; 1
:
Viết phương trình mặt cầu S có tâm
1;2; 3
I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB 26
A S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 25 B
S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 5
C S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 5 D
S : x 1 2 y 2 2 z 3 2 25
Câu 47 Cho điểm A 1;2;3 và đường thẳng 1 3
:
Viết phương trình đường
thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox
:
:
:
:
Câu 48 Cho mặt phẳng P : 2 x y 2 z 0 và đường thẳng 1 3
:
Viết
phương trình mặt cầu S có tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P
A S : x 1 2 y 1 2 z 1 2 1 hoặc S : x 5 2 y 11 2 z 2 2 1
B S : x 3 2 y 5 2 z 2 2 1 hoặc S : x 3 2 y 7 2 z 1 2 1
C S : x 3 2 y 5 2 z 2 2 1 hoặc S : x 3 2 y 7 2 z 1 2 1
D S : x 1 2 y 1 2 z 1 2 1 hoặc S : x 5 2 y 11 2 z 2 2 1
Câu 49 Cho các điểm A 2;1;0 , B 1;2;2 , C 1;1;0 và mặt phẳng
P x y z : 20 0 Tọa độ của điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD
song song với mặt phẳng P là:
A 3 3
; ;1
2 2
; ; 1
2 2