LÝ THUYẾT số PHỨC

Số phức bằng nhau..  Hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.. Số phức liên hợp.. Biểu diễn hình học của số phức..  Số phức z=a

SỐ PHỨC

I Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa số phức

 Số phức z là một biểu thức có dạng z=a+bi, trong đó a b, �� , i là một số thỏa mãn

i  

o a là phần thực

o b là phần ảo

o i là đơn vị ảo

 Tập hợp các số phức kí hiệu là �.

 Đặt biệt:

o Số phức z=a+0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z a

o Số phức z=0+bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo và viết z bi

o Số phức z  0 0i 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

2 Số phức bằng nhau.

 Hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

o

a=a' a+bi=a'+b'i , ', , '

b=b' a a b b

�

o Hai số phức z =a+bi 1 và z =-a-bi 2 được gọi là hai số phức đối nhau

3 Số phức liên hợp.

 Số phức liên hợp của số phức z=a+bivới a b, �� là số phức z=a-bi

 Tính chất:

a) z z b) z z   ' z z' c) z z   ' z z'

d) z z 'z z ' e) ' '

� �

� �

� � f) z là số thực � z z ; z là số ảo �

z z

4 Biểu diễn hình học của số phức.

 Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M a b ; trong mặt phẳng Oxy (Ox là trục thực,Oy

là trục ảo)

5 Mô đun số phức.

2 2

z = a +b O

M(a;b)

y

x a

 Như vậy, mô đun số phức zlà z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức z=a+bi, (a, b �� ) đến gốc tọa độ Ocủa mặt phẳng phức là

2 2

OMuuuur a b  z z.

 Một số tính chất:

a) z �0; z 0�z0; b)

2

z  z  z z z  z

c) z1 z2 �z1  z2 ;

d) z1  z2 �z1 z2 �z1  z2 ; e) z z1 2 z z1 2 ; f)

1 1

2 2

z z

z  z

6 Cộng, trừ, nhân và chia số phức.

 Cho hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i, với a a b b, ', , '��

o Cộng hai số phức: z z  ' a+bi  a'+b'i  a a'  b b i' .

o Trừ hai số phức: z z  ' a+bi  a'+b'i  a a'  b b i' .

o Nhân hai số phức: z z ' a+bi a'+b'i    aa'-bb'  ab a b i'  '  .

a+bi aa'-bb' ' ' ' a'+b'i ' ' ' '

i



' ' '

z z z

z  z

o Số phức nghịch đảo của số phức z ký hiệu

1

2

1

z z

z z

  

Chú ý:

4k 1; 4k 1 ; 4k 2 1; 4k 3 ( )

i  i  i i    i   i k��

7 Căn bậc hai của số thực âm.

 Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn thức bậc 2 của w Mỗi

số phức w 0� có hai căn bậc 2 là hai số phức đối nhau là z và z

 Trường hợp wlà số thực (w a ��)

Khi a>0 thì w có hai căn bậc 2 là a; a; Khi a<0thì w có hai căn bậc 2 là

i a

�

* Trường hợp w a bi a b( , ��)

Gọi z x yi x y( , ��)là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi z2w tức là  2

x yi  a bi Khi

đó:

2 2

;

2

xy b

�

�

8 Phương trình bậc hai với hệ số thực.

 Cho phương trình bậc hai ax2bx+c=0 với a,b,c  � , a 0.

 Khi <0 phương trình có hai nghiệm phức: 1,2

2

b i x

a

 � 



  b2 4ac.