Phạm văn quốc, đa thức

Đa thứcPhạm Văn Quốc Trường THPT chuyên KHTN Tháng 07 năm 2017 Tóm tắt nội dung Bài giảng này đề cập đến hai vấn đề phổ biến về đa thức, đó là đa thức hệ số nguyên và phương trình hàm đa

Đa thức

Phạm Văn Quốc Trường THPT chuyên KHTN Tháng 07 năm 2017

Tóm tắt nội dung Bài giảng này đề cập đến hai vấn đề phổ biến về đa thức, đó là đa thức hệ số nguyên và phương trình hàm đa thức Các bài toán về đa thức hệ số nguyên được xem xét nhiều ở tính chất số học của chúng cũng như một số áp dụng trong số học Phần phương trình hàm đa thức đề cập đến một số phương pháp giải một số dạng bài toán đặc biệt

1 Đa thức hệ số nguyên

• Tính chia hết cho số nguyên

Bổ đề 1: Cho P (x) ∈ Z [x], khi đó với mọi số nguyên phân biệt a, b ta có

a − b | P (a) − P (b)

Chứng minh: Kết quả này suy ra trực tiếp từ tính chất: ak− bk a − b với mọi a, b nguyên phân biệt và k là số tự nhiên

Ví dụ 1 Cho P (x) là đa thức với hệ số nguyên có bậc n > 1, k là số nguyên dương Xét đa thức Pk(x) = P (P (P (x)) ) Chứng minh rằng có nhiều nhất n số nguyên t sao cho Pk(t) = t

Giải Xét trường hợp Pk(x) = x có ít nhất 2 nghiệm nguyên dương phân biệt Giả sử Pk(s) = s, Pk(t) = t Khi đó s−t | P (s)−P (t) | · · · | Pk(s)−Pk(t) =

s − t ⇒ P (s) − P (t) = s − t hoặc t − s Suy ra P (s) − s = P (t) − t hoặc

P (s) + s = P (t) + t

Giả sử tồn tại 3 số nguyên phân biệt s, u, t là nghiệm của Pk(x) sao cho

P (s) − P (t) = s − t, P (u) − P (t) = t − u Khi đó P (s) − P (u) = s + u − 2t

rõ ràng giá trị này khác u − s và s − u, ta có mâu thuẫn

Do đó tất cả các nghiệm của Pk(x) = x thỏa mãn đồng thời là nghiệm của P (x) − x = c hoặc P (x) + x = c Ta có đpcm 

Ví dụ 2 Cho P (x) là đa thức hệ số nguyên có bậc không vượt quá 10 sao cho với mỗi k ∈ {1, 2, , 10} luôn tồn tại số nguyên m với P (m) = k Biết rằng

|P (10) − P (0)| < 1000 CMR với mọi số nguyên k đều tồn tại số nguyên m sao cho P (m) = k

Giải Với i = 1, 2, , 10 ta có số nguyên ci mà P (ci) = i Với i = 1, 2, , 9

ta có ci+1− ci | P (ci+1) − P (ci) = i + 1 − i = 1 ⇒ ci+1− ci = ±1 (chú ý

P (ci) − P (cj) = i − j 6= 0 nên ci 6= cj với i 6= j) Nên c1, , c10 là các số nguyên liên tiếp

TH1 ci = c1− 1 + i Đặt Q (x) = 1 + x − c1 Khi đó với i = 1, 2, , 10 ta

có Q (ci) = i = P (ci) nên P (x) − Q (x) = R (x)Q10

i=1(x − ci) mà deg P ≤ 10 nên P (x) = 1 + x − c1+ aQ10

i=1(x − ci) với a ∈ Z Khi đó P (10) − P (0) =

10 + a Q10

i=1(10 − ci) −Q10

i=1(0 − ci)
= 10 + a.T, chú ý T : 10! và khác 0 cùng với |P (10) − P (0)| < 1000 ta có a = 0 Nên ta có ngay điều phải chứng minh TH2: ci = c1+ 1 − i hoàn toàn tương tự  Bài tập 3 Cho P (x) là đa thức với hệ số nguyên sao cho P (n) > n với mọi

n ∈ Z+ Giả sử với mỗi số nguyên dương m, luôn tồn tại một số của dãy

P (1) , P (P (1)) , P (P (P (1))) , chia hết cho m Chứng minh rằng P (x) =

x + 1

• Nghiệm của đa thức

Xét đa thức P (x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 (an 6= 0, ai ∈ R)

Bổ đề 2: Nếu x0 là một nghiệm (phức) bất kỳ của P (x) khi đó |x0| <

1 + max

a k

a n

Chứng minh: Đặt M = max

ak

a n

Ta có anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 = 0 nên

|x0|n=

an−1

an

xn−1+ · · · + a1

an

x + a0

an

≤ M

n−1

X

i=0

|x0|i

Nếu |x0| > 1 thì |x0|n ≤ M|x0 |n−1

|x0|−1 < M |x0 |n

|x0|−1 hay |x0| − 1 < M

Bổ đề 3: Giả sử f (x) = a0+ a1x + + anxn là đa thức với các hệ số thực

0 < a0 ≤ a1 ≤ ≤ an Khi đó mọi nghiệm (phức) z đều thỏa mãn |z| ≤ 1 Chứng minh: Thật vậy, giả sử f (z) = 0 ta có f (z) (z − 1) = 0 hay anzn+1= (an− an−1) zn+ + (a1− a0) z + a0 Nếu |z| > 1 thì

|anzn+1| ≤ (|an− an−1| + + |a1− a0| + |a0|) |z|n ≤ |anzn| , vô lý

Hệ quả: Giả sử f (x) = a0 + a1x + + anxn là đa thức với các hệ số thực dương Khi đó mọi nghiệm phức z đều thỏa mãn r ≤ |z| ≤ R với

r = min {a0/a1, , an−1/an} và R = max {a0/a1, , an−1/an}

- Định lý Viét

Ví dụ 4 Tìm tất cả các cặp số nguyên (a, b) sao cho tồn tại đa thức P (x) hệ

số nguyên sao cho tích (x2+ ax + b) P (x) là đa thức có dạng xn+cn−1xn−1+

· · · + c1x + c0 ở đó c0, c1, , cn−1 bằng 1 hoặc −1

Giải Giả sử f (x) = x2 + ax + b, rõ ràng b = ±1 Nếu x0 là nghiệm của

f (x) ⇒ x0 là nghiệm của Q (x) ⇒ |x0| < 2 Xét b = −1, nếu −a ≥ 2 ⇒

f (−a) f (−a + 1) < 0; nếu −a ≤ −2 ⇒ f (−a − 1) f (−a) < 0 đều loại Do

đó a = ±1 (chọn P = 1) hoặc a = 0 (chọn P = x + 1) Xét b = 1, nếu

a ≥ 3 ⇒ f (−a) f (−a + 1) < 0, nếu a ≤ −3 ⇒ f (−a − 1) f (−a) < 0 đều loại Do đó a = ±2 (chọn P = x ∓ 1) hoặc a = ±1 (chọn P = 1) hoặc a = 0

Ví dụ 5 Có tồn tại hay không các số thực a, b, c khác 0 sao cho với mọi

n > 3 luôn tồn tại đa thức Pn(x) = xn+ · · · + ax2+ bx + c mà nó có đúng

n nghiệm nguyên

Giải Gọi ri là các nghiệm của Pn(x), theo định lý Viét ta có Qn

i=1ri = (−1)nc và Pn

i=1

1

r i = −bc , P

1≤i<j≤n

1

r i r j = ac nên Pn

i=1

1

r i2 = bc22 − 2a

c Khi đó

b2− 2ac = Qn

i=1ri2Pn

i=1

1

r i2 ≥ n với mọi n nguyên dương Điều này không

Bài tập 6 Đặt Pn(x) = 1+2x+3x2+· · ·+nxn−1, với n là số nguyên dương Chứng minh rằng hai đa thức Pj(x) và Pk(x) là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên dương j 6= k

Bài tập 7 Cho P (x) = x2018 − 2x2017 + 1, Q (x) = x2018 − 2x2017− 1 Hỏi mỗi đa thức P, Q có thể là ước của một đa thức dạng c0+ c1x + · · · + ckxk

với k ∈ N, ci ∈ {1, −1} với mọi i = 1, , k

Bài tập 8 Hỏi có tồn tại hay không các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn

b ≥ 3 max (a, c) sao cho ta có thể chọn được số nguyên dương n ≥ 3 và đa thức hệ số nguyên Pn(x) = a0xn+a1xn−1+· · ·+an−3x3+ax2+bx+c (a0 6= 0)

mà Pn(x) có n nghiệm nguyên phân biệt

• Đa thức hệ số nguyên và số nguyên tố

Bổ đề 4: Giả sử f là đa thức hệ số nguyên, p nguyên tố và k ≥ 1, i, t là các

số nguyên, khi đó f (i + tpk) ≡ f (i) + tpkf0(i) mod pk+1

Chứng minh: Theo khai triển nhị thức Newton (i+tpk)n =Pn

j=0Cnjin−j tpk
j ≡

in + nin−1tpk mod pk+1
Mà f có dạng P anin nên ta có ngay điều phải chứng minh

Ví dụ 9 Cho p là số nguyên tố, h(x) là đa thức hệ số nguyên sao cho h(0), h(1), , h(p2−1) là phân biệt modulo p2 CMR h(0), h(1), , h(p3−1) cũng phân biệt modulo p3

Giải Ta có h(i + p) ≡ h(i) + ph0(i) mod p2 Mà h(i + p) 6≡ h(i) mod p2, nên

p /| h0(i)

Giả sử có h(i) ≡ h(j) mod p3 Khi đó h(i) ≡ h(j) mod p2 nên i ≡ j mod p2 Hay j = i + tp2 với t ∈ Z

Từ đó theo bổ đề h(j) ≡ h(i) + tp2h0(i) mod p3 mà p /| h0(i) nên p|t hay

Ví dụ 10 Giả sử đa thức f (x) ∈ Z [x] , f (x) 6= const có tính chất: với mỗi

số nguyên tố p, luôn tồn tại số nguyên tố q và số nguyên dương m sao cho

f (p) = qm CMR f (x) = xn với số n nguyên dương nào đó

Giải Giả sử với mọi số nguyên tố p, đều tồn tại số nguyên dương m sao cho

f (p) = pm Gọi n = deg f, với p đủ lớn ta có f (p) < pn+1 Do đó tồn tại số nguyên dương m < n + 1 sao cho f (p) = pm với vô số p Nên f (x) = xm Giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho f (p) = qm với p 6= q Theo định lý Dirichlet, tồn tại vô số số nguyên dương k sao cho kqm+1+ p nguyên tố, nên

f (kqm+1+ p) = rt Mà a − b|f (a) − f (b) nên qm+1|rt− qm ⇒ r = q, t = m

Bài tập 11 Tìm tất cả các đa thức P (x) với hệ số nguyên không âm sao cho với mọi số nguyên tố p và số nguyên dương n luôn tồn tại số nguyên tố

q và số nguyên dương m sao cho P (pn) = qm

Bài tập 12 Cho p là số nguyên tố, q (x) ∈ Z [x] Biết rằng q (0) = 0, q (1) =

1 và q (n) ≡ 0; 1 (mod p) ∀n ∈ N CMR deg q ≥ p − 1

Bài tập 13 Tìm tất cả các đa thức f (x) với hệ số nguyên (khác hằng số) sao cho với mọi số nguyên tố p, f (p) không có ước nào là bình phương của

số nguyên tố

• Đa thức luỹ thừa

Ví dụ 14 Cho đa thức f (x) = ax2+bx+c Biết rằng ∀n ∈ Z ta có f (n) là số chính phương Chứng minh rằng tồn tại d, e ∈ Z sao cho f (x) = (dx + e)2 Giải Dễ thấy a ≥ 0 và f (x) ≥ 0 với mọi x ≥ x0 đủ lớn Đặt g (x) =pf (x)

Ta có g (x + 1) − g (x) = f (x + 1) − f (x)

pf (x + 1) + pf (x)

x→+∞

−→ √a = d Xét x0nguyên

đủ lớn ta có g (x + 1) − g (x) = d ∀x ≥ x0 ⇒ g (x0+ n) − g (x0) = nd ⇒

f (x0+ n) = (g (x0) + nd)2 với vô số n nên f (x) = (g (x0) + dx − dx0)2  Bài tập 15 Cho đa thức hệ số thực f (x) có bậc n, 1 ≤ k ≤ n Biết rằng

∀n ∈ Z+, ∃q ∈ Z sao cho f (n) = qk Chứng minh rằng tồn tại g ∈ Z [x] sao cho f (x) = (g (x))k

Bài tập 16 Cho hai đa thức hệ số nguyên, monic f (x) , g (x) với deg f, deg g ≥

1 Biết rằng với mọi x, f (x) là số chính phương khi và chỉ khi g (x) là số chính phương Chứng minh rằng tồn tại h ∈ Z [x] sao cho f (x) g (x) = h (x)2 Bài tập 17 Cho P (x) ∈ Z[x] là đa thức monic với bậc chẵn CMR nếu có

vô số số nguyên x sao cho P (x) là bình phương số nguyên dương thì tồn tại

đa thức Q(x) ∈ Z[x] sao cho P (x) = Q(x)2

• Tính khả quy

Ví dụ 18 Cho p là số nguyên tố, a là số nguyên (a, p) = 1 Chứng minh rằng đa thức f (x) = xp − x + a bất khả quy trong Z [x]

Giải Giả sử xp − x + a = P (x) Q (x) và P (x) = xn+ a1xn−1+ · · · an−1x +

an, ai ∈ Z, 1 ≤ n < p Giả sử α1, α2, αn là n nghiệm của P (x) Khi đó

αpi − αi+ a = 0, i = 1, 2, , n Đặt Sk =Pn

i=1αk

i, dễ thấy Sk ∈ Z với mọi

k ≥ 0 Suy ra Sp− S1+ na = 0

Mặt khác, theo định lý Fermat S1p ≡ S1(mod p) Mà S1p = (Pn

i=1αi)p ≡

Sp(mod p) ⇒ na ≡ 0 (mod p) Mâu thuẫn vì p - a 

Bài tập 19 Cho n là số nguyên dương, P (x) là đa thức hệ số nguyên bậc

n Biết rằng tồn tại các số nguyên x1, x2, , xn+5 phân biệt sao cho P (xi) đều là các số nguyên tố Chứng minh rằng P (x) bất khả quy

Bài tập 20 Cho n ≥ 7 là số nguyên dương, đặt

Pn(x) = X xj−1 : 1 ≤ j ≤ n, (j, n) = 1 Chứng minh rằng Pn(x) khả quy trong Z [x]

2 Phương trình hàm đa thức

• So sánh hệ số

Ví dụ 21 Tìm tất cả các đa thức P (x) bậc n thỏa mãn P (2x − 3) = 2nP (x) với mọi số thực x

Giải Thay x bởi x + 3 ⇒ P (2x + 3) = 2nP (x + 3) Đặt Q (x) = P (x + 3)

ta có Q (2x) = 2nQ (x) ⇒ Q (x) = axn Vậy P (x) = a (x − 3)n 

Ví dụ 22 Tìm các đa thức P (x) thỏa mãn P (x)2+ P 1x
2 = P (x2) P x12
Giải Nếu deg P ≥ 1 Giả sử P (x) = Pn

i=1aixi với an 6= 0 So sánh hệ

số x2n ⇒ a2

n = ana0 hay an = a0 So sánh hệ số tự do ta có a2

n + a2

a2

n+ a2

n−1+ · · · + a2

1+ a2

0 ⇒ an−1 = · · · = a1 = 0, tức là P (x) = an(xn+ 1) Thử lại không thỏa mãn Nếu P (x) ≡ c ⇒ c = 0  Bài tập 23 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P (x) thỏa mãn

P x3
+ x (P (x))2

= (P (x))3+ xP x2
∀x ∈ R

Bài tập 24 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P (x) thỏa mãn

P x2
+ x (3P (x) + P (−x)) = (P (x))2

+ 2x2 ∀x ∈ R

• Sử dụng nghiệm của đa thức

Ví dụ 25 Tìm tất cả các đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn

P (x)2 = 2P (2x2− 1) + 3 với mọi số thực x 6= 0

Giải Nếu P (x) ≡ c là hằng số ta có ngay P (x) ≡ −1 hoặc 3 Nếu deg P ≥ 1, cho x = 1 ta có P (1) = a ∈ {−1; 3} Giả sử n là số nguyên dương lớn nhất sao cho (x − 1)n|P (x) − a, hay P (x) = (x − 1)nQ (x) + a, Q (1) 6= 0 Khi đó ta

có ((x − 1)nQ (x) + a)2 = 2 (2x2− 2)nQ (2x2− 1) + 3 hay (x − 1)nQ (x)2+ 2aQ (x) = 2n+1(x + 1)nQ (2x2− 1) Cho x = 1 ta có 2aQ (1) = 22n+1Q (1)

Bài tập 26 Tìm tất cả các đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn

2



P (x) − P  1

x

2

+ 3P (x2)P 1

x2



= 0 với mọi số thực x 6= 0

• Kỹ năng giải hàm

Ví dụ 27 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực P (x) sao cho

P2(x) + P (−x) + 2 = P (x2) + 3P (x) với mọi x ∈ R

Giải Thay x bởi −x ta có P2(−x) + 2 = P (x2) + 3P (−x) − P (x) Trừ theo

vế với pt ban đầu ta có P2(x) − P2(−x) = 4P (x) − 4P (−x) ⇒ (P (x) − 2)2 = (P (−x) − 2)2 ⇒ P (x) − 2 = ±(P (−x) − 2)

TH1: P (x) = P (−x) Khi đó P2(x) + 2 = P (x2) + 2P (x) Đặt P (x) − 1 = R(x), thì R2(x) = R(x2), suy ra R(x) ∈ {0; 1; xn} (n chẵn vì P chẵn) Nên

P (x) = 1; P (x) = x2k+ 1; k ∈ N

TH2: Q(−x) = 4−Q(x) Ta có P2(x)+2 = P (x2)+4P (x) Đặt Q(x)−2 = S(x), thì S2(x) = S(x2), suy ra S(x) ∈ {0; 1; xn} mà S(t) = −S(−t) ⇒ S(t) = x2m+1; m ∈ N Hay P (x) = x2m+1+ 2  Bài tập 28 Tìm tất cả các đa thức khác 0 thỏa mãn P (x)3 + 3P (x)2 =

P (x3) − 3P (−x) với mọi x ∈ R

• Xây dựng dãy truy hồi

Ví dụ 29 Tìm tất cả các đa thức P (x) hệ số thực khác hằng số sao cho

P x2− 1
= (P (x))2− 1 ∀x ∈ R

Giải Nếu P (x) là đa thức bậc lẻ Thay x bởi −x ta thu được P (x)2 =

P (−x)2 ⇒ P (x) + P (−x) = 0 Khi đó P (0) = 0, P (−1) = P (0)2 −

1, P (1) = −P (−1) = 1 Xét dãy a0 = 0, an+1 = √

an+ 1 đây là dãy tăng,

an > 1 khi n > 1 Và P (an) = an nên P (x) = x

Nếu deg P chẵn Từ giả thiết ta có (P (x))2là đa thức của x2 nên P (x) =

Q (x2) = P1(x2− 1) Khi đó P1(x2− 1) = [P1(x)]2 − 1 Chú ý là deg P1 =

1

2deg P nên tiếp tục quá trình này ta thu được đa thưc Pn(x) = x

Do đó P (x) ∈ {P1(x) = x, Pn+1(x) = Pn(x2− 1)}  Bài tập 30 Cho n ∈ N, n ≥ 2 Tìm tất cả các đa thức P (x) hệ số thực khác hằng số sao cho

1 + P (xn+ 1) = (P (x))n ∀x ∈ R

Bài tập 31 Tìm các số nguyên dương n sao cho tồn tại các đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất dương và đa thức Q (x) với hệ số nguyên sao cho đẳng thức sau đúng với mọi x

x (P (x))2− 2P (x) = x3− x
(Q (x))2

Bài tập 32 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, luôn tồn tại đa thức bậc n với hệ số thực f (x) thỏa mãn f (0) = 0 và (x + 1) [f (x)]2− 1 là hàm số lẻ

Bài tập 33 Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên P (x) sao cho

x2− 2x + 2
(P (x))2

− 1

là bình phương của đa thức hệ số nguyên

• Phương trình có điều kiện

Bài tập 34 Tìm tất cả các đa thức P (x) với hệ số thực sao cho

P (a)2+ P (b)2+ P (c)2 = P (a + b + c)2+ 2 với mọi bộ số (a, b, c) thoả mãn ab + bc + ca + 1 = 0

Giải Rõ ràng nếu P (x) là hằng số thì P (x) ≡ ±1, giả sử P =

n

P

k=0

akxk

với an 6= 0, n ∈ Z+ Ta có xét bộ a = −2x + 1, b = 3x − 1, c = 6x − 5,

ta có ab + bc + ca + 1 = 0 nên P (−2x + 1)2+ P (3x − 1)2 + P (6x − 5)2 =

P (7x − 5)2+2 (∗) So sánh hệ số x2nhai vế ta có (−2)2n+32n+62n = 72nhay

n = 1 Do đó P (x) = mx + q với m, q ∈ R Thay vào (∗) ta có m2+ q2 = 1 Ngược lại với ab + bc + ca + 1 = 0 đẳng thức ban đầu được thoả mãn Vậy P (x) ≡ mx + q với m2+ q2 = 1 bất kỳ

Cách 2 Xét TH deg P = n ≥ 1 Chọn bộ (a, b, c) = x + i, x − i, −12x
thoả mãn điều kiện nên ta có P (x + i)2+P (x − i)2+P −12x
2 = P 32x
2+2

So sánh hệ số x2n hai vế ta có 1 + 1 + 12
2n = 32
2n nên n = 1  Bài tập 35 Tìm tất cả các đa thức P (x) hệ số thực sao cho với các số thực

a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 ta có P (a)2+ P (b)2+ P (c)2 = P (a + b + c)2

3 Một số áp dụng trong số học

Ví dụ 36 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Tìm các số dư có thể có của phép chia Qp

j=1(j2+ 1) cho p

Giải Ta chứng minh

p−1

Q

i=1

(i2+ 1) ≡



0 mod p nếu p = 4k + 1

4 mod p nếu p = 4k + 3 Thật vậy, đặt p1 = p − 1

2 và xét f (x) = (x − 1

2) (x − 22) (x − p2

1) và g (x) = xp 1 −

1, h (x) = f (x) − g (x) Rõ ràng deg h < p1 và h (x) = 0 mod p tại các điểm

1, 22, , p2

1 nên h (x) ≡ 0 mod p Chọn x = −1 ta có (−1)p1

p 1

Q

i=1

(i2+ 1) = (−1)p1 − 1 hay

p−1

Q

i=1

(i2+ 1) =

p 1

Q

i=1

(i2+ 1)

2

= ((−1)p1 − 1)2 nên số dư là 0

Ví dụ 37 Cho số nguyên dương n ≥ 2, an, bn, cn là các số nguyên thỏa mãn

3

√

2 − 1
n = an+ bn

3

√

2 + cn

3

√

4 Chứng minh rằng cn ≡ 1 (mod 3) ⇔ n ≡

2 (mod 3)

Giải Xét f (x) = (x − 1)n− cnx2− bnx − an ⇒ f √3

2
= 0 mà x3 − 2 bất khả quy nên x3− 2 | f (x) ⇒ gn(x) = an+ bnx + cnx2 là phần dư của phép chia (x − 1)n cho x3− 2

Đặt n = 3q+r suy ra (x − 1)n ≡ (x − 1)3q(x − 1)r = (x3− 1)q(x − 1)r ≡ (x3− 2) g (x) + (x − 1)r trong Z3[x] ⇒ gn(x) ≡ (x − 1)r trong Z3[x] Do đó

cn≡ 0 (mod 3) ⇔ r ∈ {0, 1} và cn≡ 1 (mod 3) nếu r = 2  Bài tập 38 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2, với mỗi k ∈ Z+ ta đặt Sk =

1k+ 2k+ + (p − 1)k Tìm tất cả k sao cho p|Sk

Bài tập 39 Cho p là số nguyên tố lẻ CMR có ít nhất p+12 giá trị của n ∈ {0, 1, 2, , p − 1} sao cho Pp−1

k=0k!nk không chia hết cho p

Bài tập 40 Cho a, b là hai số nguyên Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho Qp

i=1(i2+ 2ai + b) ≡ 1 (mod p)

số ngun tố

• Đa thức luỹ thừa

Ví dụ 14 Cho đa thức f (x) = ax2+bx+c...

Bài tập 31 Tìm số nguyên dương n cho tồn đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên, hệ số bậc cao dương đa thức Q (x) với hệ số nguyên cho đẳng thức sau với x

x (P (x))2− 2P... 0)

mà Pn(x) có n nghiệm ngun phân biệt

• Đa thức hệ số nguyên số nguyên tố

Bổ đề 4: Giả sử f đa thức hệ số nguyên, p nguyên tố k ≥ 1, i, t

số nguyên, f (i