Vấn đề 02: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương Pháp.. • Giải riêng từng bất phương trình của hệ.. • Tìm giao các tập nghiệm... Với giá trị nào của m thì 1 vô nghiệm: HD: Tập nghiệ
Trang 1Vấn đề 02: HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương Pháp
• Giải riêng từng bất phương trình của hệ
• Tìm giao các tập nghiệm.
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Nghiệm của hệ bất phương trình sau: ìïïíï55x x-- 2 44>< +x x+25
ïî
2
S = + ∞
÷
Câu 2. Nghiệm của hệ bất phương trình sau: 2 ( )2
2
− < +
< +
A S= -( 1;7) B S= -( 1;7 ùû C S é= -ë 1;7) D S é= -ë 1;7 ù û
Câu 3. Nghiệm của hệ bất phương trình sau:
5
7
2
x
x
+ < +
+
< +
A ;7
4
S= - ¥æççç ö÷÷÷÷
çè ø B ;7
4
S= - ¥æççç çè ùú úû C
7; 4
S=æççç +¥ö÷÷÷÷
4
é ö÷
ê +¥ ÷ ÷÷
Câu 4. Nghiệm của hệ bất phương trình sau:
5 3
3 2
x x x x
− ≤ −
< +
−
≤ −
A 11 5;
5 2
S=çæçççè- ö÷÷÷÷ø B 11 5;
5 2
S=ççæççè ùú úû C
11 5
;
5 2
S=çæçççè ö÷÷÷÷ø D 11 5;
5 2
S=éê ùú
ê ú
ë û
Câu 5. Nghiệm của hệ bất phương trình sau:
5
7
8 3
2 25 2
x
x
ìïï + > + ïïï
íï +
ï < + ïïïî
3 2
= − +
= +
7 < £x 4 C 22 47
7 < <x 4 D 22 47
7 £ <x 4
Câu 6. Nghiệm của hệ bất phương trình sau:
1
15 2 2
3
3 14
2 4
2
x x
ìïï - > + ïïï
-ï - <
ïïïî
A 7 2
39£ <x B 7 2
39< £x C. 7 2
39< £x
Câu 7. Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2 0
x
− >
+ > −
A.(0;+∞) B.(− +∞3; ) C.(−3;2) D.(−∞ −; 3)
Trang 2Hướng dẫn giải.
x
− > <
⇔ ⇔ − < <
+ > − > −
Chọn C
Câu 8. Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2 1 0
2 0
x x
+ >
− <
là:
A 1; 2
2
−
1
;2 2
−
1
2
−
1
2
−
Hướng dẫn
Chọn A
1
; 2 2
2
S x
x
+ > > −
⇔ ⇒ = −
− < ÷
<
Câu 9. Tập nghiệm của hệ bất phương trình 2 0
x
− >
+ > −
là:
HD: Tập nghiệm của 2− >x 0là S1= −∞( ; 2) Tập nghiệm của 2x+ > −1 x 2là S2 = − +∞( 3; ) Vậy tập nghiệm của hệ là S =S1I S2 = −( 3;2) Chọn đáp án B.
Câu 10.Cho hệ bất phương trình:
1 3
4 3
3 2
x
x x
x
−
< − +
−
< −
(1) Tập nghiệm của (1) là:
A.
2;4
5
−
4 2;
5
−
4 2;
5
−
4 2;
5
−
÷
HD: Tập nghiệm của 2 1 1
3
x
x
− < − + là 1
4
; 5
S = −∞
Tập nghiệm của
4 3
3 2
x
x
− < −
là
2 2;
S = − +∞ Hệ có tập nghiệm 1 2
4 2;
5
S S = −
Vận dụng
2 7 6 0
x
− + <
− <
là:
HD: Tập nghiệm của x2−7x+ <6 0là S1=( )1;6 Tập nghiệm của 2x− <1 3là S2 = −( 1; 2)
Vậy tập nghiệm của hệ là S S= 1I S2 =( )1; 2 Chọn đáp án A
2 2
1 0
x
− + ≤
− ≤
là:
Trang 3HD: Tập nghiệm của x2− + ≤3x 2 0là S1 =[ ]1;2 Tập nghiệm của x2− ≤1 0là S2 = −[ 1;1].
Vậy tập nghiệm của hệ là S S= 1I S2 ={ }1 Chọn đáp án B
2 2
− + >
− + >
là:
HD: Tập nghiệm của x2−4x+ >3 0là S1= −∞( ;1) (U 3;+∞) Tập nghiệm của x2−6x+ >8 0 là
2 ; 2 4;
S = −∞ U +∞ Vậy tập nghiệm của hệ là S =S1I S2 = −∞( ;1) (U 4;+∞) Chọn đáp án B.
2 1 0 0
x
x m
− ≤
− >
có nghiệm khi:
HD: Tập nghiệm của x2− ≤1 0là S1= −[ 1;1] Tập nghiệm của x m− >0là S2 =(m;+∞) Hệ có nghiệm ⇔S1I S2 ≠ ∅ ⇔ <m 1 Chọn đáp án C
1
x m
+ − >
< −
A. m< −2 B. m≠ −2 C.m= −2 D. m> −2
HD: Tập nghiệm của (x+3)(4− >x) 0là S1 = −( 3; 4) Tập nghiệm của x m< −1 là S2 = −∞ −( ;m 1)
Hệ có nghiệm ⇔S1I S2 ≠ ∅ ⇔ − > − ⇔ > −m 1 3 m 2
5
7 2
x
x m
− < −
+ >
A. m> −11 B. m≥ −11 C.m< −11 D. m≤ −11
1
x
m x
− <
− <
(1) Với giá trị nào của m thì (1) vô nghiệm:
HD: Tập nghiệm của x− <3 0 là S1 = −∞( ;3) Tập nghiệm của m x− <1 là S2 =(m− +∞1; ) Hệ vô nghiệm ⇔S1I S2 = ∅ ⇔ − ≥ ⇔ ≥m 1 3 m 4 Chọn đáp án D.
5
7
2
x
x
+ > +
+
< +
(1) Số nghiệm nguyên của (1) là:
HD: Tập nghiệm của 6 5 4 7
7
x+ > x+ là 1
22
; 7
S = +∞
Tập nghiệm của
2 25 2
x
x
+ < + là
2
47
; 4
S = −∞
Hệ có tập nghiệm 1 2
22 47
;
S =S S
= ÷
I Tập nghiệm nguyên của hệ là
{4,5, 6, 7,8,9,10,11}
Trang 4Câu 9. Hệ bất phương trình :
2
2
9 0 ( 1)(3 7 4) 0
x
− <
− + + ≥
3
x
− < ≤ − hoặc − ≤ ≤1 x 1
3 x
− ≤ ≤ − hay1≤ ≤x 3 D. 4 1
3 x
− ≤ ≤ − hoặc 1≤ <x 3
HD: Tập nghiệm của x2− <9 0 là S1 = −( 3;3) Tập nghiệm của (x−1)(3x2+7x+ ≥4) 0là
2
4
3
S =− − +∞
4
3
S =S S =− −
2 2 2
+ + ≥
− − ≤
− + >
có nghiệm là:
A. − ≤ <1 x 1 hoặc 3 5
2< ≤x 2 B. − ≤ <2 x 1
C. − ≤ ≤ −4 x 3hoặc− ≤ <1 x 3 D. − ≤ ≤1 x 1 hoặc 3 5
2< ≤x 2
HD: Tập nghiệm của x2+4x+ ≥3 0là S1 = −∞ −( ; 3] [U − +∞1; ) Tập nghiệm của 2x2− − ≤x 10 0 là
2
5 2;
2
S = −
Tập nghiệm của
2
2x − + >5x 3 0là 3 ( )
3
2
S = −∞ +∞
U Hệ có tập nghiệm
1 2 3
3 5
2 2
S=S S S = −
mx m
≤
+ ≥ −
HD: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì 3 9 1
3
m
− = − ⇔ =
+
Thử lại với m=1, hệ bất phương trình trở thành 2 2
2
x
x x
≤ −
⇔ = −
≥ −
Vậy m=1 thỏa
1
x
+ −
− ta có:
A. f x( ) >0 khi (–7< <x –1 hay 1< <x 3)
B. f x( ) > 0 khi x < – 7 ( hay –1< <x 1 hay x>3)
C. f x( ) >0 khi –1( < <x 0 hay x 1> )
D. f x( ) >0 khi x( >–1)
HD:
2 2
7
1
3
x
x x
x x
x
< −
+ − > ⇔ − < <
−
>
Chọn đáp án B.
3
5
2
x
x
+ < +
−
< +
có nghiệm là:
Trang 5A. x<5
7
10< x <
5
2 C. x <
7
HD: Tập nghiệm của 3 3 2
5
x+ < +x là 1
7
; 10
S = −∞
Tập nghiệm của
2
x
x
− < + là
2
5
; 4
S = −∞
Hệ có tập nghiệm 1 2
7
; 10
S =S S = −∞
( 2)( 3) 0
+ − ≤
− − ≥
C. − ≤ ≤ −2 x 2; 3≤ ≤x 3 D. Vô nghiệm
HD: Tập nghiệm của (x+ 2)(x− 3) 0≤ là S1= − 2; 3 Tập nghiệm của (x−2)(x− ≥3) 0 là
S = −∞ U +∞ Hệ có tập nghiệm S=S1I S2 = − 2; 3.
6
1 2 3
x x x x
+
<
−
−
>
+
có nghiệm là:
2
x
− < < B. 5
2 < <x 33
8 C − < < −7 x 3 D. − < <3 x 33
8
HD: Tập nghiệm của 4 3 6
x
x+ <
− là 1
S = −∞ +∞
U Tập nghiệm của
1 2 3
x
x− > + là
2 7; 3
S = − − Hệ có tập nghiệm S S= 1I S2 = − −( 7; 3) Chọn đáp án C
3
3
x
x x
x x
+
< −
−
+ >
có nghiệm là:
A. 15 145 5; 15 145;
− +
+∞
U B.x>13
2 < <x
HD: Tập nghiệm của 4 5 3
x
x
x+ < −
− là 1
= ÷ ÷ +∞÷÷
3
x
x+ > −
là S2 = −∞( ;13) Hệ có tập nghiệm 1 2
= = ÷ ÷ +∞÷÷
Chọn đáp án A
Vận dụng cao Câu 1. Cho hệ bất phương trình : 7 0
1
x
mx m
− ≤
≥ +
Xét các mệnh đề sau:
(I) Với m<0 hệ luôn có nghiệm
Trang 6(II) Với 0 ≤m <1
6 hệ vô nghiệm (III) Với m=6 hệ có nghiệm duy nhất
Mệnh đề nào đúng ?
A. Chỉ (I) B. (I) và (II) C. Chỉ (III) D. (I), (II) và (III)
HD: Dùng phương pháp loại suy, thử từng giá trị của x để kết luận
Với m<0 Hệ trở thành
7 1
x m x m
≤
+
≤
nên luôn có nghiệm.Vậy (I) đúng.
Với m>0 Hệ trở thành
7 1
x m x m
≤
+
≥
Hệ vô nghiệm
6
m
m m
+
⇔ < ⇔ < < Vậy (II) đúng
Với m=6 Hệ trở thành
7 7 6
x x
≤
≥
Vậy (III) sai.
Chọn đáp án B
Câu 2. Điều kiện của m để hệ sau có nghiệm duy nhất 3 2 2 0
1 0
mx m
+ − ≤
+ − ≤
2
m=−
Hướng dẫn giải
3
m
x+ − m≤ ⇔ ≤x −
Nếu m=0 thì mx m+ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ∈1 0 1 0 x ¡ Suy ra 3 2 2 0
1 0
mx m
+ − ≤
+ − ≤
không có nghiệm duy nhất.
Nếu m>0 thì mx m 1 0 x 1 m
m
− + − ≤ ⇔ ≤ Suy ra 3 2 2 0
1 0
mx m
+ − ≤
+ − ≤
không có nghiệm duy nhất
Nếu m<0 thì mx m 1 0 x 1 m
m
− + − ≤ ⇔ ≥ Suy ra 3 2 2 0
1 0
mx m
+ − ≤
+ − ≤
có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
1
3 3
2
m
=
− = − ⇔
= −
, suy ra 3
2
m= − Chọn đáp án B
Câu 3. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm
− ≤ +
+ + ≥ − + +
A m=1 B m≥0
C m≤0 D m R∈
Trang 7Hướng dẫn giải
2
3 3
2
x x
m
≤
≤
+ ≥ − + ≥ − +
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2 2
2
m m
− + ≤ ⇔ ≥
Vậy m≥0 là giá trị cần tìm
Câu 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm ( )
m mx
− <
− ≥ +
A 1
3
3
m<
C m≤0 D m R∈
Hướng dẫn giải
Hệ bất phương trình tương đương với
2 2
2
m x m
< +
≥ +
•Với m=0, ta có hệ bất phương trình trở thành 0 2
x x
<
≥
: hệ bất phương trình vô nghiệm.
•Với m≠0, ta có hệ bất phương trình tương đương với
2
2
2
m x m m x m
+
<
≥
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 22 4 2 1 1
3
m
+ > + ⇔ <
Vậy 1
3
m< là giá trị cần tìm
Câu 5. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm : ( )2 2
− ≥ + +
≤ +
A 72
13
13
m≥
C m≤0 D m R∈
Hướng dẫn giải
( )
2 2
− ≥ + +
≤ +
3
⇔ − + ≥ + + ⇔ ≤ Suy ra tập nghiệm của ( )1 là 1
8
; 3
S = −∞
Bất phương trình ( )2 2 8
5
m
⇔ ≥ Suy ra tập nghiệm của ( )2 là 2
; 5
m
S = −
+∞÷
Để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi S1∩S2 = ∅, tức là 8 2 8 72
m
m
−
< ⇔ >
Trang 8Vậy 72
13
m> là giá trị cần tìm
Câu 6. Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm : 2( 3) (1 5 14)
+ ≤ −
− < −
A m≥1 B m>1
C m≤ −1 D m< −1
Hướng dẫn giải
Hệ bất phương trình tương đương với
14 3
x
− ≤ −
>
•Với m=1, ta có hệ bất phương trình trở thành
14 3
x x
≤ −
>
: hệ bất phương trình vô nghiệm.
•Với m>1, ta có hệ bất phương trình tương đương với
2 1 14 3
x m x
−
≤
>
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm 2 14 6 14( 1) 4
m
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ − ⇔ ≥
Đối chiếu điều kiện, ta chọn m>1
•Với m<1, ta có hệ bất phương trình tương đương với
2 1 14 3
x m x
−
≥
>
: hệ bất phương trình luôn có
nghiệm
Vậy m≥1 là giá trị cần tìm
Câu 7. Tìm m để hệ bất phương trình 2 ( 1) 3
+ ≥ +
+ ≥
có nghiệm duy nhất.
A 3
4
2
m=
C 3 5;
4 2
m=
3 4
m=− .
Hướng dẫn giải
Hệ bất phương trình tương đương với ( )
− ≥ −
− ≥ −
m
− = −
4
⇔ − + = ⇔ = hoặc 5
2
m=
Trang 9♦ Với 3
4
m= , ta có hệ bất phương trình trở thành
3
3 3
x x
x
− ≥ − ≥
÷ ⇔ ⇔ =
− ≥ −
: thỏa mãn
♦ Với 5
2
m= , ta có hệ bất phương trình trở thành
x
x x
≥ −
⇔ ≥ −
≥ −
Vậy 3
4
m= là giá trị cần tìm
Câu 8. Tìm m để hệ bất phương trình
1
x x
− > −
+ ≥ −
có nghiệm
A 5 2
2
2
m >
C 5 2
2
2
m ≤
Hướng dẫn giải
Hệ bất phương trình tương đương với
2
23
2
1
x m
− > − <
+ > − + > + −
Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2 23 2 25 5 2
1
m − < ⇔m < ⇔ m <
Vậy 5 2
2
m < là giá trị cần tìm
Câu 9. Tìm m để hệ bất phương trình 2 0
4 0
x mx
− ≥
− ≤
có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 5.
A 1
4
7
m=
C 3
7
7
m=
Hướng dẫn giải
Hệ bất phương trình tương đương với 2
4
x mx
≥
≤
.
• Với m=0, ta có hệ bất phương trình trở thành 2
x x
≥
≤
: hệ bất phương trình có vô số nghiệm nên không
thỏa mãn
Trang 10• Với m<0, ta có hệ bất phương trình tương đương với
2 4
x x m
≥
≥
: hệ bất phương trình có vô số nghiệm
nên không thỏa mãn
•Với m>0, ta có hệ bất phương trình tương đương với
2 4
x x m
≥
≤
.
Điều kiện để hệ bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 5 khi và chỉ khi
7
m
m− = ⇔m = ⇔ = : thỏa mãn
Vậy 4
7
m= là giá trị cần tìm
Câu 10.Xác định m để với mọi x ta có: –1 ≤
2 2
5
+ +
− + < 7 :
3 m
− ≤ < B.1 5
3
m
< ≤ C. 5
3
HD: Bất phương trình tương đương
2
2 2
2
0
+ + + ≥
− + − − + − >
− +
Hệ có
nghiệm với mọi x tương đương 3x2+2x+ + ≥2 m 0 và 13x2−26x+ − >14 m 0 có nghiệm với mọi
x Dùng định lý tam thức không đổi dấu suy ra
5 3 1
m m
−
≥
<
Chọn đáp án A