4 TINH TIEN, TAM DOI XUNG

- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số.. Dạng 1: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng Phương pháp giải Công thức tọa độ của phép tịnh tiến.. Giả sử x

TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ

THỊ, PHÉP TỊNH TIẾN.

A CHUẨN KIẾN THỨC

I.TÍNH LỒI , LÕM, ĐIỂM UỐN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1 Định nghĩa

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y f x   trên  a;b và f có đạo hàm cấp hai trên  a;b Ta nói :

 C lồi trên  a;b nếu tại mọi điểm của  C , tiếp tuyến luôn ở phía trên  C

 C lõm trên  a;b nếu tại mọi điểm của  C , tiếp tuyến luôn ở phía dưới

 C

Điểm I thuộc  C ngăn cách giữa phần lồi , phần lõm của  C gọi là điểm uốn của  C

2 Định lí

Cho hàm số y f x   có đạo hàm câp hai trên  a;b và gọi  C là đồ thị của hàm số

a) Nếu f''(x) 0 với mọi x thuộc  a;b thi  C là đồ thị lồi trên khoảng đó b) Nếu f''(x) 0 với mọi x thuộc  a;b thì  C là đồ thị lõm trên khoảng đó c) Nếu f''(x) đổi dâu khi x đi qua x thuộc 0  a;b thì điểm I x ;f x 0  0  là điểm uốn của  C

II.TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ.

Giả sử I x ;f x 0  0  là một điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy Phép tịnh tiến theo vectơ OI biến hệ tọa độ Oxy thành hệ tọauur

độ IXY

Giả sử M là một điểm bất kỳ của mặt phẳng

* (x;y) là tọa độ của M đối với hệ tọa độ Oxy

* (X;Y) là tọa độ của M đối với hệ tọa độ IXY

Ta có công thức chuyển hệ tọa độ : 0

0

x X x

y Y y

 

�

�  

�

III ĐỐI XỨNG CỦA HÀM SỐ

O x

y

X

Y M

I

x 0

y 0

Y

X y

x

Lập phương trình của ảnh của một đường.

1 Trên mặt phẳng Oxy , cho phép biến hình F có công thức tọa độ là

x h(x')

y g(y')



�

� 

� (nghĩa là F biến M(x;y) thành M '(x';y') khi và chỉ khi x,y,x',y' thỏa hệ này) Gọi (C') là ảnh của (C): y f(x) qua phép biến hình F Hãy lập phương trình của (C)

2 Cho phép biến hình F và hai đường (C ),(C ) Dựng các điểm M ,N lần1 2

lượt thuộc (C ),(C ) sao cho N là ảnh của M qua phép biến hình F.1 2

Cách giải:

1 Vì (C') là ảnh của (C): y f(x) qua phép biến hình F nên với M '(x';y') tùy ý thuộc (C') tồn tại M(x;y) thuộc (C) sao cho F(M) M ' Do đó, ta có

x h(x')

y g(y')



�

� 

�

Vì M(x;y) (C)� nên y f(x) Vì vậy ta được g(y') f(h(x'))

Vậy, phương trình của (C') là g(y) f(h(x))

2 Gọi (C ) là ảnh của 1/ (C ) qua phép biến hình F Ta có1

/

1 1

N F(M) F((C )) (C ) �  nên N là giao điểm của (C ) và 2 /

1

(C ) Dựa vào tính chất của F ta tìm được M

Chú ý 1: Cho hàm số y f x ,   có đồ thị  C

1.Nếu f x là hàm số chẵn : Đồ thị của có đối xứng nhau qua trục Oy - có  

nghĩa là , trục Oy là trục đối xứng của nó

2 Nếu f x là hàm số lẻ : Đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối  

xứng

3 Cho hai điểm A x ;y ,B x ;y và đường thẳng d : mx ny p 0 1 1  2 2    Nếu

A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d thì phải thỏa mãn hệ sau :

AB d

k k   , trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d , trong đó1

2 1

AB

2 1

y y

k

x x







4 Cho điểm I x ;y , nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương của  0 0

véc tơ OI thì công thức chuyển trục là : � 

�  

�

0 0

x x X

y y y Khi đó phương trình của đồ thị  C trong hệ mới : Y F X;y ;x  0 0

Chú ý 2 :

- Đối với đồ thị hàm phân thức , thì giao hai tiệm cận là tâm đối xứng

- Đối với hàm số bậc ba thì tọa độ điểm uốn là tọa độ tâm đối xứng

- Đối với hàm số trùng phương thì trục Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm

số

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng 1: Chứng minh đồ thị có trục đối xứng

Phương pháp giải

Công thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong mặt phẳng Oxy , cho véc tơ v (a;b)r  Gọi Tvr là phép tịnh tiến theo véc tơ vr Ta có M '(x';y') là ảnh của M(x;y) qua phép tịnh tiến Tvr khi và chỉ khi

x' x a x x' a y' y b y y' b

�

�   � 

Đường (C): y f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến Tvr là

(C'): y b f(x a)   �y f(x a) b  

Chứng minh đồ thị có trục đối xứng

Cách 1

- Giả sử trục đối xứng có phương trình : x x Gọi điểm 0 I x ;0 0 

- Chuyển  ���  �� � 

uur

OI x x0 X

y Y

- Viết phương trình đường cong  C trong tọa độ mới : Y F X;y ;x  0 0  

- Buộc cho   là một hàm số chẵn : ( Cho hệ số các ẩn bậc lẻ bằng O )

- Giải hệ các ẩn số bậc lẻ bằng 0 ta suy ra kết quả cần tìm

Cách 2 Nếu với x x là trục đối xứng thì : f(0 x x ) f x 0   0x đúng với mọi

x , thì ta cũng thu được kết quả

Các ví dụ

Ví dụ 1 : Tìm trên (C): yx33x 3 hai điểm M ,N sao cho MN (3;0)uuuur

Phân tích hướng giải.

Giả thiết bài toán cho ta thấy ngay rằng N là ảnh của M qua phép tịnh tiến Tvr, với v (3;0)r

Theo hướng giải của bài toán dựng điểm bằng phép biến hình, ta nghĩ ngay đến việc tìm ảnh (C') của (C) qua phép tịnh tiến Tvr Khi đó ta "dựng" được N là giao điểm của (C') và (C)

Lời giải.

Gọi (C') T (C) vr thì (C') có phương trình là

3 x3 9x2 2

y 0 (x 3)   3(x 3) 3  �y   4x15

Vì M (C)� nên N T (M) T (C) (C') vr � vr  Do đó, N là giao điểm của (C) và (C')

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C') là

2

3 x3 9x 24x

x 3x3   15 Phương trình này có hai nghiệm là x 1 hoặc

x 2

* Khi x 1 ta được N(1;1) Vì MN (3;0)uuuur nên M( 2;1)

* Khi x 2 ta được N(2;5) Vì MN (3;0)uuuur nên M( 1;5)

Ví dụ 2 : Tìm trên (C): yx33x 3 hai điểm M ,N sao cho MN song song với trục hoành và MN 3

Phân tích hướng giải.

Giả thiết bài toán cho biết phương của đường thẳng (MN)và độ dài của

MN là không đổi Vì vậy véc tơ MNuuuur là được xác định, sai khác nhau về hướng

Lời giải.

Vì MN song song với trục hoành nên MN k.iuuuur r , với i (1;0)r là véctơ đơn vị của trục hoành

Do MN 3 nên k 3 �k� Nếu k3   thì MN3 uuuur 3vr �NM 3vuuuur r

Vì không cần xem xét thứ tự của hai điểm M với N nên ta chỉ cần xét trường hợp MN 3.i (3;0)uuuur r

Theo bài toán ta được hai cặp điểm là M( 2;1) và N(1;1) hoặc M( 1;5) và N(2;5)

Ví dụ 3: Tìm điểm M thuộc   2x 3

C : y

x 2





 sao cho khoảng cách từ M đến

 d : y   bé nhất.x 4

Phân tích hướng giải.

Nhưng nếu gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) thì

HM k.n (k;k) 

uuuur r

, với n (1;1)r  là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d) Với mỗi k cố định ta cần dựng điểm H (d)� , điểm M (C)� sao cho M là ảnh của H qua phép tịnh tiến theo véc tơ v(k;k)r

Lời giải.

Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng (d) thì HM k.n (k;k)uuuur r  , với

n (1;1)r  là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d)

Gọi (d') là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến Tvr với v (k;k)r  Ta có phương trình của (d') là: y k    (x k) 4�y  x 2k 4

Vì M T (H) T (d) (d') vr � vr  và M thuộc (C) nên hoành độ của M là nghiệm của phương trình: 2x 3 x 2k 4 x2 2(k 2)x k 5 0

x 2     �   4  

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi �۳' k2 1 0 k 1

Suy ra khoảng cách từ M đến (d) là HM  k 1�

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xM  (ứng với k1   ) hoặc 1 xM  (ứng 3 với k 1 )

Vậy, M(1;1) hoặc M(3;3) là tọa độ cần tìm

Ví dụ 4 Chứng minh rằng đồ thị x4 2 3

   có duy nhất một trục đối xứng vuông góc với trục Ox

Lời giải.

Hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên Oy là trục đối xứng của đồ thị hàm số Giả sử x m là một trục đối xứng khác của đồ thị hàm số đang xét

Với mọi điểm M x ;y bất kỳ thuộc đồ thị và  0 0 M ' x ';y ' là điểm đối xứng 0 0

với M qua đường thẳng x m , thì tọa độ điểm M ' được xác định bởi

0 0

0 0

x x ' 2m

y y '

 

�

� 

�

Vì M ' thuộc đồ thị hàm số, nên tọa độ của nó là nghiệm phương trình:

4

2 0

2

0

2m x



Vì y0y '0 nên có: 40 2  0 4 2

2m x



Nhận thấy, không tồn tại m để đẳng thức 2  2

x  2m x  đúng với 2  x0

Do vậy, 2  2

x  2m x  đúng với 0  khi m 0x0 

Vậy, x 0 là trục đối xứng duy nhất của đồ thị của hàm số

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm m để (C): yx33x 3 và d : ym 4x m

3

  cắt nhau tại ba điểm

mà trong đó có hai điểm M ,N sao cho MN 5

Bài 2: Tìm trên (C): yx33x 3 hai điểm M ,N sao cho MN song song với trục hoành và MN lớn nhất

Bài 3: Cho hàm số y x 44x37x26x 4, có đồ thị  C Chứng minh rằng đường thẳng x 1 là trục đối xứng của đồ thị  C ( Hoặc : Chứng minh rằng đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình của trục đối xứng

đó ? )

Bài 4: Tìm tham số m để đồ thị hàm số : y x 44x3mx2, có đồ thị là

 Cm , có trục đối xứng song song với trục Oy

Dạng 2: Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Công thức tọa độ của phép đối xứng tâm.

Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a;b) Gọi S là phép đối xứng tâm I.I

Ta có M '(x';y') là ảnh của M(x;y) qua S khi và chỉ khiI

x' 2a x x 2a x'

y' 2b y y 2b y'

�

Đường (C): y f(x) có ảnh qua đối xứng tâm S là I

(C):2b y f(2a x)   �y f(2a x) 2b 

Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng

Cách 1

- Giả sử đồ thị  C có tâm đối xứng là I x ;y 0 0

- Chuyển :  ���  ��  � 

uur

0

x x X

y y Y

- Viết phương trình  C trong hệ tọa độ mới : Y F X;y ;x  0 0  

- Buộc cho   là một hàm số lẻ : ( Cho hệ số các ẩn bậc chẵn )

- Giải hệ ( với hệ số các ẩn bậc chẵn bằng 0 ) ta suy ra kết quả

Cách 2

Nếu đồ thị  C nhận điểm I làm tâm đối xứng thì :

f(x x) f(x x) 2y với mọi x

Các ví dụ

Ví dụ 1: Chứng minh rằng đồ thị (C): y x 3

x 2





 có tâm đối xứng là điểm I( 2;1)

Lời giải.

Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm S thì (C') có phương trình I

là

[2 ( 2) x] 3 x 3

[2 ( 2) x] 2 x 2

�

Do (C') trùng với (C) nên (C) có tâm đối xứng là I( 2;1)

Chú ý: Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ Oxy thành hệ trục tọa độ

IXY theo công thức I

I

x X x

y Y y

 

�

�  

� Viết phương trình của (C) trong hệ trục tọa độ IXY rồi chứng minh hàm số thu được là hàm số lẻ

Ví dụ 2.

Tìm tham số thực m để điểm I thuộc đồ thị  C :y x 33mx2m 2 x 1   nằm trên trục hoành Biết rằng hoành độ của điểm I nghiệm đúng phương trình y'' 0

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên �.

Ta có : y' 3x 26mx m 2 

y'' 6x 6m  và y'' 0 �x m.

Dễ thấy y'' đổi dấu khi x qua điểm x0  Suy ra m I m;2m 3m22m 1 

là điểm uốn của đồ thị đã cho

Vì I Ox� �2m3m22m 1 0  �m 1 2m   2m 1  0

m 1

� hoặc m  hoặc 1 m 1

2



CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1:

1 Chứng minh giao hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị y x

x 1





2 Chứng minh 



2

x y

x 1 có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng

Bài 2: Cho hàm số y x 33x2 có đồ thị là 1  C

1 Xác định điểm I thuộc đồ thị  C của hàm số đã cho , biết rằng hoành

độ của điểm I nghiệm đúng phương trình y'' 0

2 Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OIuurvà viết phương trình đường cong  C đối với hệ IXY Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong  C

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong  C tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy Chứng minh rằng trên khoảng � đường cong ;1  C nằm phía dưới tiếp tuyến tại điểm I của  C và trên khoảng 1;� đường cong

 C nằm phía trên tiếp tuyến đó

Bài 3: Cho hàm số y x 3m 3 x  2 2 3m x 2m  có đồ thị là  Cm , m

là tham số thực Gọi I là điểm có hoành độ là nghiệm đúng phương trình y'' 0

Tìm tham số m để đồ thị của hàm số có cực trị và điểm I nằm trên trục Ox

Dạng 3: Tìm tham số m để đồ thị có tâm đối

xứng

1 Nếu f x;m là hàm số phân thức hữu tỷ :  

- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận là J a;b 

- Để I là tâm đối xứng thì buộc J trùng với I ta suy ra hệ : �

�

� 

�

0 0

a x

m

b y

2 Nếu f x;m là hàm số bậc ba  

- Tìm tọa độ điểm uốn : ���  ��� �  

y''(x;m) 0 x a

J a;b

y f(x;m) y b

- Tương tự , để I là tâm đối xứng , ta cho J trùng với I ta suy ra hệ :



�

�

� 

�

0

0

a x

m

b y

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hàm số y 2m x

x m





 có đồ thị là  Cm Tìm m�� để trên

 Cm tồn tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A Trong đó

 

A 0;1 và I m; 1  

Lời giải.

Ta có: AIuur  m; 2 

Vì điểm  m 2m b

B C B b;

m b



� � ��  ��

m 2b

AB b;

m b







uuur

Tam giác ABI vuông cân tại A AB AI AB.AI 02 2

AB AI AB AI

�



uuur uur

 

 



Nếu b  thì 2   m 4 2

Nếu b 2 thì   m 4 2

 hoặc m 4

Vậy m�1, m�4 là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2 Cho hàm số y x 4mx34x m 2  Tìm tất cả tham số thực m

để hàm số đã cho có 3cực trị A ,B,C và trọng tâm G của tam giác ABC trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 4x

4x m



 .

Lời giải.

Đồ thị của hàm số y 4x

4x m



 có tâm đối xứng là

m

I ;1 4

Hàm số :y x 4mx34x m 2  , liên tục trên �.

Ta có :y' 4x 33mx24

Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt , hay phương trình 4x33mx2  có 3 nghiệm phân biệt.4 0 Xét hàm số g x 4x33mx2 liên tục trên � và4

xlim g x , lim g xx

� �  � � �  �

x 0,g 0 4 0 g' x 12x 6mx g' x 0 m m 16 m

x ,g

�

  �  � �� � �� � 

� �

�

 

g' x đổi dấu 2 lần qua nghiệm và g x  có 3nghiệm phân biệt khi 0

3 3

m

0

16 m

0

4

� 

�



�

�



�

Giả sử A x ;y ,B x ;y ,C x ;y là tọa độ 3 cực trị thỏa mãn đề bài, khi  1 1  2 2  3 3

đó y y x m 3m x2 2 3x 5m 2

�

2 2

i

Vì G là trọng tâm tam giác ABC , nên G x1 x2 x3;y1 y2 y3

2

2 2 2

1 2 3

1 2 3 1 2 3

Do x ,x ,x là nghiệm của phương trình 1 2 3 4x33mx2  , theo định lý Vi-4 0

et ta có 1 2 3

1 2 2 3 3 1

3m

x x x

4

x x x x x x 0

�   

�

�

�

1 2 3

2 2

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1

9m

x x x x x x 2 x x x x x x

16

�

� �

�

Khi đó

4 2

� � và trọng tâm G của tam giác ABC trùng với tâm đối xứng của đồ thị hàm số y 4x

4x m



 khi và chỉ khi

4

2

� � �m 4 9m   336m2144m 64  0

m 4

� Vậy m 4 thỏa mãn đề bài

Chú ý : Ngoài cách giải trên ta có thể trình bày :

Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y' 0 có 3 nghiệm phân biệt , nghĩa là phương trình 4x33mx2  có 3 nghiệm phân biệt 4 0 Khi đó phương trình 3

2

4x 4

3m

x  có 3 nghiệm phân biệt khác 0 Nói khác hơn đường thẳng y 3m cắt đồ thị của hàm số h x  4x32 4

x



 , tại 3 giao điểm Đến đây đã dễ dàng

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1:

1 Tìm m để hàm số y x 33x23mx 3m 4  có tâm đối xứng I 1;2 

2 Tìm m để hàm số 2x2 m 4 x 2m 1

y

x 2



 có tâm đối xứng I 2;1 

Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số x3 2  

m

    � có tâm đối xứng

 

I 1;0

Bài 3: Cho hàm số y x 3(3m 1)x 22mx m 1  có đồ thị là (C ) m

1 Tìm trên đồ thị (C ) những cặp điểm đối xứng qua O2

2 Tìm m để trên (C ) tồn tại một cặp điểm đối xứng nhau qua Oym

Dạng 4: Lập phương trình đường cong đối xứng

với một đường cong qua một điểm hoặc qua một

đường thẳng.

Phương trình của phép đối xứng tâm.

Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(a;b) Gọi S là phép đối xứng tâm I.I

Ta có M '(x';y') là ảnh của M(x;y) qua S khi và chỉ khi:I

x' 2a x x 2a x'

y' 2b y y 2b y'

�

Đường (C): y f(x) có ảnh qua phép tịnh tiến theo véc tơ vr là

(C'):2b y f(2a x)   �y 2b f(2a x)  

Phương trình của phép đối xứng qua đường thẳng.

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng ( ):Ax By C 0,    A2B2 0 Gọi S là phép đối xứng qua đường thẳng ( )

Ta có M '(x';y') là ảnh của M(x;y) qua S khi và chỉ khi

(Ax By C) (Ax' By' C)

(Ax By C) (Ax' By' C)

Lập phương trình đường cong đối xứng với một đường cong qua một điểm hoặc qua một đường thẳng.

Cho đường cong  C có phương trình y f x   và một điểm M x ;y (cho  0 0

sẵn)

1.Lập phương trình đường cong  C' đối xứng với đường cong  C qua điểm M

2 Lập phương trình đường cong  C' đối xứng với đường cong  C qua đừng thẳng d : y kx m  

Cách giải:

1 Gọi N x;y thuộc    C :y f x  là một điểm bất kỳ

- Gọi N' là điểm đối xứng với N qua M thì :

   � ��      

� �

�

0 0

x' 2x x 1

N ' x';y' C'

y' 2y y 2

- Từ  1 và  2 ta có : � 

�  

�

0 0

x 2x x'

y 2y y', Thay x,y tìm được vào : y f x   ,ta suy

ra y' g x';x ;y  0 0 Đó chính là phương trình của đường cong  C'

2 Gọi A x;y   �C �y f(x);B x';y'    �C'