Đồ án Tịnh Tiến và Đối Xứng

Bài tập về tịnh tiến và đối xứng Bài 2: Trên hai đường tròn bằng nhau O; O’ lần lượt lấy hai cung AM và A’M’ bằng nhau nhưng khác hướng với A; A’ cố định còn M; M’ thay đổi.. Vậy AH; DM

TỊNH TIẾN & ĐỐI XỨNG

Nhóm 4 & 5 toán 4A

Giảng viên phụ Trách bộ môn:

Ths Lê Ngô Hữu Lạc Thiện

Các thành viên nhóm 4: Các thành viên nhóm 5:

Bá Thanh Luận Thạch Thị Ngọc Mai

TỊNH TIẾN & ĐỐI XỨNG

- Nguyễn Thị Ngọc Trà My - Trần Thị Xuân Mừng - Huỳnh

Nguyễn Thảo Ngân Các thành viên nhóm 5:

Thạch Thị Diệu - Da Gout K' Gam - Nay H’Hậu - Thạch Minh Hoàng -

Lê Đình Huy - Nông Thị Thu Huyền - Danh Thị Kim Loan -

Hoàng Thị Loan - Bá Thanh Luận - Thạch Thị Ngọc Mai

Mục lục

Bài tập về tịnh tiến và đối xứng 1

Bài tập bổ sung 22

Bài tập phép tịnh tiến 22

Bài tập về phép đối xứng: 31

Bài tập về tịnh tiến và đối xứng

Bài 2: Trên hai đường tròn bằng nhau (O); (O’) lần lượt lấy hai cung AM và A’M’

bằng nhau nhưng khác hướng với A; A’ cố định còn M; M’ thay đổi Tìm quỹ tích trung điềm đoạn MM’

Giải:

Ý tưởng:

Gọi I là trung điểm MM’

Để tìm quỹ tích điểm I, ta tìm một đường cố định đi qua I

Cụ thể I thuộc đường thẳng là ảnh của một đường cố định qua phép biến hình xác định

Giải:

Ta có : O, O’, A, A’cố định

1 OO'

Vậy quỹ tích điểm I lthuộc là ảnh của BC qua 1O'O

2

T (J)

Giới hạn:

Khi M chạy trên (O) thì J chạy trên đoạn thẳng BC

Do đó, điểm I thuộc B’C’ là ảnh của BC qua 1O'O

2

T (J)

Bài 3: Cho hình vuông ABCD E là điểm trong hình vuông sao cho CDE cân tại

E và góc đáy là 15  Chứng minh ABE đều

C

Bài 4: Cho ΔABC Gọi Bx và Cy lần lượt là các tia đối của các tia BA và CA D

và E là các điểm chuyển động lần lượt trên hai tia Bx và Cy sao cho BD = CE Tìm quỹ tích trung điểm M của DE

Ta có BD = CE mà ở đây không thể thực hiện phép tịnh tiến nào để biến BD thành

CE ,nên ta thử đưa hai tia Bx và Cy thành hai tia cùng gốc xem có xuất hiện phép đối xứng trục hay không !

Do đó : Δ CFE cân tại C

Gọi N là trung điểm EF

Suy ra : N thuộc phân giác Ct của

z

t t'

N F M

E

A

D

Suy ra : KL cắt DE tại trung điểm M

( Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường )

Do đó : M là trung điểm KL

Mặt khác Δ IKL cân tại I (IK = IL ) nên IM là đường phân giác của góc KIL

Nhận thấy KIL = BAC không đổi tại I nên IM cố định

Do đó M thuộc tia phân giác cố định tại Ik của góc uIv không đổi

Phần đảo: Lấy điểm M bất kì trên tia Ik Vẽ đường thẳng vuông góc với IM tại I; cắt Iu, Iv lần lượt tại K, L

Từ K, L vẽ các đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D, E

A

B

C D

M là trung điểm KL suy ra I là trung điểm DE

Giới hạn:

Khi D B E C thì M I

Khi D chạy xa vơ tận trên tia Bx thì M chạy xa vơ tận trên tia Ik

Vậy M chuyển động trên tia Ik

Bài 5: Cho ΔABC Dựng hình vuơng BCDE về phía ngồi tam giác Kẻ các

đường thẳng DM và EN vuơng gĩc lần lượt với AB và AC AH là đường cao của

ABC Chứng minh các đường thẳng AH, DM, EN đồng qui

Theo tính chất phép tịnh tiến, ta có: AB // A'E; AC // A'D DM A'E; DN A'C

Có DM AB; EN ACCó A'H' ED (do A'H' // AH; AH ED )

Do đó A'H'; DM; EN đồng quy

.Có AH; AA'; HH' cùng vuông góc ED nên A; A'; H; H' thẳng hàng

Vậy AH; DM; EN đồng quy (đpcm)

Bài 6: Cho đường trịn (O) với đưởng kính AB cố định, một đường kính MN thay

đổi AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q Tìm quỹ tích trực tâm

MPQ và NPQ

H'

A' H

M

N

D E

A

Trường hợp đối với ΔNPQ tương tự.

Bài 7: Khảo sát tích n phép đối xứng tâm Hãy bắt đầu bằng n = 2, 3

Bài 8: Dựng đường gấp khúc gồm năm đoạn khép kín biết trung điểm của 5 đoạn

Lấy điểm M bất kì , gọi M’ = F(M)

Ta cần xác định điểm A sao cho A = F(A)

Phân tích : Giả sử đã dựng được đa giác ABCDE thỏa yêu cầu đề bài

Gọi O , O , O , O , O1 2 3 4 5 lần lượt là trung điểm của hình ngũ giác cần xây dựng

Gọi F là trung điểm AC

Bài toán tổng quát của bài 8: Cho m = 2n + 1 điểm là trung điểm các cạnh của

một m - giác Hãy dựng các đỉnh của m - giác đó

do đó X là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng

Bài 9: Chứng minh rằng một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ

khi các đường thẳng mà mỗi đường đi qua trung điểm một đoạn và vuông góc với cạnh đối diện của tứ giác đồng qui

Giải:

1

1 1

ù d' ; d' ; d' lần lượt là trung trực của DA; AB; BC

Do đó: d ; d ; d ; d đồng quy d' ; d' ; d' ; d' đồng quy

Giả sử d' ; d' ; d' ; d' đồng quy tại O

Khi đó ta có OA = OB = OC = OD nên tứ giác ABCD nội tiếp

Bài 10: Cho đường trịn tâm O bán kính l và n điểm A1; A2; An với n > 2 Chứng minh rằng tồn tại điểm M trên (O) sao cho:

i 1

MA n

n i

Giải:

Ý tưởng: Sử dụng phép đối xứng tâm

Giải:

Lấy M bất kỳ thuộc (O)

Gọi M’ đối xứng với M qua O thì ta cĩ: OM= OM’= 1

d3

d1

d2 d4

I

P

N M

Theo bất đẳng thức trong tam giác MM'Ai ta có : MAi + M’Ai ≥ MM’ = 2OM

Bài 11: Dựng hình vuông ABCD biết A; C thuộc đường thẳng d1 cho trước và B;

D lần lượt thuộc hai đường thẳng d2; d3 cho trước

C

D

åm A; C của (I; IB) và d

- Ta có ABCD là hình vuông cần dựng

1

1

Chứng minh:

Ta có: I là trung điểm của BD (do B = Đd (D))

I là trung điểm AC (do A; C là giao điểm của (I; IB) và d )

Do đó: ABCD là hình bình hành

Mà AC BD; AC = BD (đều là đường kín

- Các trường hợp còn lại: bài toán có 1 nghiệm

Bài 12: Cho ABC cĩ I là tâm đường trịn nội tiếp Đường trịn (IBC) chắn trên hai đường thẳng AB và AC hai dây cung Chứng minh rằng hai dây này cĩ độ dài bằng nhau

Giải:

Cách 1:

Ý tưởng: Ta chứng minh N,C lần lượt là hai điểm đối xứng của B và M qua trục

đối xứng DI (với D là tâm (IBC) )

MAI = CAI (AI là phân giác)

Suy ra MIA = CIA

Ý tưởng : Dùng phương tích của điểm A đối với đường tròn (IBC) ta chứng minh

EAI = IAO (AI phân giác)

Suy ra AEI = AOI

=>AE = AO (1)

*Chứng minh BE = ON:

Xét hai tam giác vuông EIB và OIN có

IE = IO (I là tâm đường tròn nội tiếp ABC)

Cách 4: Ý tưởng sử dụng trục đối xứng AID

Chứng minh A, I, D thẳng hàng: (tương tự như cách 3)

Nhận xét AID là trục đối xứng của (IBC) và chia (IBC) làm hai nửa đường tròn C1

(chứa B và M) và C2(chứ C và N) đối xứng nhau

Do AID là phân giác của BAC nên ABM và ANC đối xứng nhau qua AID

Áp dụng tính chất phép đối xứng trục, ta có: CA CA’; DA DA’.

Do đó: CA CB CA’ CB A’B

Để đơn giản bài tốn , ta cho D cố định trên BC

Lấy E, F tùy ý lần lượt trên AB, AC

Lấy D1, D2 sao cho : D1 = ĐAB(D) , D2 = ĐAC(D).(*)

Khi đĩ , ta cĩ chu vi ΔDEF là : PDEF = DE + DF + EF

= D2E + D1F +EF

Suy ra : PDEF nhỏ nhất D1, E , F, D2 thẳng hàng

Suy ra: E, F lần lượt là giao điểm của D1D2 với AB, AC

Với điểm D cố định trên BC ta xác định được điểm E và F thoả bài tốn như trên

Do đĩ, để thỏa yêu cầu bài tốn ta chỉ cần xét vị trí của D để chu vi tam giác DEF nhỏ nhất

A

D E

F

Dựng D1, D2 với : D1 = ĐAB(D) , D2 = ĐAC(D)

Dựng E , F lần lượt là giao điểm của D1D2 với AB, AC

Khi đó ta được hình cần dựng

Chứng minh:

Theo phân tích ở trên D, E, F lần lượt thuộc cạnh BC, AB, AC (doA nhọn) và

chu vi DEF đạt giá trị nhỏ nhất

Biện luận:

Bài toán có một nghiệm hình

Bài 15: Cho dây cung AB của đường tròn (O) và điểm M thay đổi trên cung lớn

AB Tìm vị trí điểm M sao cho MA + MB lớn nhất

Bài 16: Cho hai đường thẳng song song x; y và điểm M nằm cùng phía với x đối

với y và nằm cùng phía với y đối với x Trên x ta đặt một đoạn thẳng AB = a, trên

B' Mo

O

M

y ta đặt một đoạn thẳng CD = b (a; b là các độ dài cho trước) Tìm vị trí các đoạn AB; CD để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất

Giải:

Phân tích:

Ta xét các điểm A,B,C,D được xắp xếp

như hình dưới đây

B là giao của MM1 với x

C là giao của MM 2với y

A là ảnh của B trong phép tịnh tiến BA 

D là ảnh của B trong phép tịnh tiến CD

Bài 17: Gọi C1; C2 là các điểm đối xứng của đỉnh C của ABC qua các phân giác trong của BAC và ABC Chứng minh rằng trung điểm của C1C2 là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp ABC và cạnh AB

Gọi M; N; K lần lượt là các tiếp điểm củađường tròn nội tiếp với AB; AC; BC.Áp dụng tính chất tiếp tuyến ta có:

AM = AN (1)

BM = BK (2)

CN = CK (3)Có AO là phân giác của BACNên ĐAO

AO AO

Bài 18: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AD, BC về phía ngồi ta vẽ các

hình vuơng ADKL; BCMN Trên cạnh AB; DC về phía ngồi ta vẽ các tam giác đều AEB; DFC Gọi H; K lần lượt là tâm của các hình vuơng ADKL; BCMN Chứng minh GFHE là hình bình hành

Giải:

N

K

O M

C1

C2

A

H G

ø (1), (2) ta có GH; EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Nên GFHE là hình bình hành

Bài tập bổ sung

Bài tập phép tịnh tiến

Bài 1: Trong hình thang ABCD (AD // BC), tổng hai đáy lớn hơn tổng hai cạnh

bên Gọi M là giao điểm của các đường phân giác trong của các gĩc A và B; gọi N

là giao điểm của các đường phân giác trong của các góc C và D Chứng minh

BAM B'A'D; MAA' B'A'D

A'B'N NB'C;B'A'D B'A'D (doABM MBB'; BAM MAA')

Theo treân ta suy ra BB' = AA' = MN

Khi đĩ BCA’A và BCD’D là hình bình hành và AA’ = DD’ ( = BC)

Do BA'A = CAD, vậy theo giả thiết suy ra CAD < CDA (1)

Từ (1) nên trong CA'D ta có CA' > CD (2)

Gọi I là trung điểm của A'D (khi đó I cũng là trung điểm của AD')

Bằng cách xét 2 tam g

Từ giả thiết MBC = MDC, từ (1), (2) suy ra DMM' = M'AD (3)

AMM'D là tứ giác nội tiếp AMD = AM'D (3)

B

M

Bài 4: Trên đoạn AD cố định dựng hình bình hành ABCD sao cho AC BD

D

Lấy A làm gốc toạ độ, dựng hệ trục toạ độ sao cho trục hoành là đường thẳng nối

A và D, có chiều dương hướng từ A đến D Trong hệ trục ấy, giả sử D (1; 0); B(x; y); khi đó C(x + 1; y)

Theo giả thiết ta có AC AB = AD BD

Bài 5: Cho ABC, một điểm M nằm trong ABC, chuyển động song song với

cạnh BC cho đến khi cắt cạnh CA, sau đó di động song song với cạnh AB cho đến

khi gặp cạnh BC, tiếp đó di động song song với cạnh AB cho đến khi gặp cạnh

AB Chứng minh sau một số bước thì quỹ đạo của điểm di động M là một đường

M1=M7 M6

A

M

Bài 6: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC,

CD, DA Giả sử MP + NQ = p, ở đây p là nửa chu vi của tứ giác Chứng minh

Do P là trung điểm của CD B; P; E thẳng hàng

Có MP là đường trung bình trong BAE

1nên MP = AE

AD // BC

1Tương tự NQ (AB + CD) (2)

2Dấu bằng trong (2) xảy ra AB // CD

E Q

Dấu bằng trong (3) xảy ra ABCD là hình bình hành

Có MP + NQ = p Vậy ABCD là hình bình hành

Bài 7: Cho ABC cố định, vẽ hình thoi BCDE Từ D kẻ DD1 AB, từ E vẽ

Gọi H là trực tâm ABC H cố định

Ta có HC // DD (cùng vuông góc AB)

HB // EE (cùng vuông góc AC)

MED = HBC; MDE = HCB (góc có cạnh tương ứng song song)

Vậy quỹ tích của M là ảnh của quỹ tích của D qua phép tịnh tiến T

Vì CD = a = const (ở đây BC = a) nên quỹ tích D là đường tròn tâm C bán kính a

Do T : C H nên quỹ t



MN là đường kính di động Tiếp tuyến tại B cắt AM, AN tại P, Q Tìm quỹ tích

trực tâm MPQ

Giải:

Có NAM = 90 nên QA là đường cao MPQGọi H là trực tâm MPQ thì

H thuộc đường thẳng QA

Do H là trực tâm MPQ nên HM PQ

HM // AB (cùng vuông góc PQ)Tương tự: QH // BM (cùng vuôn

Vậy quỹ tích trực tâm H là (E; R) bỏ đi A; B

 

Bài 9: Cho ABC Gọi A1; B1; C1 là các trung điểm của BC; CA; AB Gọi O1;

O2; O3 và I1; I2; I3 tương ứng là các đường trịn ngoại và nội tiếp các tam giác

 

AB 2 1

Do M'M = const, M d , nên từ (2) suy ra:



Vì AM + MB' AB', mà A'; B' cố định

Vậy (AM + MB')min A; M; B' thẳng hàng

Từ đó suy ra nếu gọi M* d ; N* d là hai điểm cần tìm thì M* = AB' d ,còn N* là hình chiếu của M* lên d 2

Gọi là đường thẳng qua A

và song song với BC

Vì vậy b + c = CA + AB = CA + AB' CB' (1)

Theo định lí Pythagore, có CB' = BB' + BC 4h + a (2)

Thay (2) vào (1), có b + c 4h + a

(b + c) - a 4h

(b + c + a)(b + c - a) 4h

a 2

A

Bài 2: Cho ABC và hai trung tuyến AF; CE Giả sử BAF = BCE = 30  o Chứng

Giải:

E E

F

Đ Đ 1

1 Đ

Do EAF = ECF = 30 EACF là tứ giác nội tiếp.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp EACF

và là đường tròn ấy

Ta có: A B

Do A nên B .Lại có C B

Bài 3: Gọi H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh bốn tam giác ABC; HBC;

D2

D1

F

O E

A

K đối xứng với H qua BC.

B B

C C(KBC)

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC Tìm tất cả các điểm nằm bên trong tam giác sao

cho 3 điểm đối xứng với nĩ qua các trung điểm ba cạnh của tam giác đều nằm trên đường trịn ngoại tiếp của tam giác

E1

M

H=E A

K H A

(1)(2)(3) E là giao điểm của 3 cung chứa góc 180 - C dựng trên AB;

180 - B dựng trên AC; 180 - A dựng trên BC

E là điểm duy nhất và chính là trực tâm H của ABC

A x BC; B y CA; C z AB; A x' BC; B y' CA; C z' AB

Giả sử A1x; B1y; C1z đồng quy Chứng minh A2x’; B2y’; C2z’ đồng quy

x

I

N M

B1

B2

A2 A1

C1

C2 A

B

C

1 1 1 I

Gọi A ; B ; C tương ứng là hình chiếu của N lên BC; CA; AB

Do N là ảnh của M qua Đ nên IM = IN,

vì thế trong hình thang vuông A MNA

Tương tự B B ; C C Nói cách khác đi A x'; B y'; C z' đồng quy

Bài 6: Cho ABC Tìm đường thẳng qua đỉnh A sao cho mọi điểm M trên ,

ta đều cĩ PMBC PABC, ở đây PMBC; PABC tương ứng là chu vi của MBC ;

Vậy * là đường thẳng cần tìm

Xét đường thẳng xy bất kì qua A (xy *) Rõ ràng trong 2 tia Ax; Ay có 1 tiacùng phía với B đối với *(chẳng hạn là Ax)

Ax

Gọi N = B'C Ax Khi đó tương tự trên ta có:

Bài 7: Cho A; B; C thuộc đưởng thẳng xx’ (B nằm giữa A; C) Một đường thẳng

yy' xx' tại C Đường thẳng di động qua A cắt yy’ tại M Qua B dựng đường thẳng vuơng gĩc với cắt yy’ tại N Chứng minh khi quay quanh A thì đường trịn ngoại tiếp BMN cịn đi qua một điểm cố định thứ hai

Giải:

Nên B là trực tâm AMN

Do đó theo tính chất trực tâm ta có B' đ

Có A; yy' cố định nên A' cố định

Do đó (BMN) còn đi qua điểm cố định thứ hai A' với A' là ảnh của A qua Đ

Bài 8: Cho ABC cân, AB = AC, BAC = 80  

Điểm O được chọn bên trong tam giác sao cho OBC = 10 ; OCB = 30    

Tính gĩc AOB.

Do đó OCA = ACB - OCB = 50 - 30 = 20 (2)

(1), (2) ta có OCI OCA tức

Suy ra BK là phân giác của ABO

Theo định lí góc ngoài của BOC, ta có: KOB = OCB + OBC = 40

Trong AHB có: KAB = 90 - ABH

H

Bài 9: Cho hai đường trịn (O1); (O2) cắt nhau tại A; D Qua A hãy dựng một cát tuyến cắt (O1); (O2) theo hai dây cung bằng nhau, AB = AC

Giả sử đã dựng cát tuyến BAC sao cho AB = AC

Ta cần xác định B hoặc C

) là ảnh của (O ) qua Đ

- Dựng giao điểm B của (O' ) và (O )

- Dựng giao điểm C của AB với (O )

Bài toán luôn có một nghiệm

Bài 10: Cho hai điểm A; B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ xy Tìm trên xy một

điểm M sao cho xMA = 2BMy 

Ta có: TMB' = B'MH = HMB

= xMz = zMAKhi đó: xMA = 2BMy

Do có hai tiếp tuyến kẻ từ Ađến (B') n



ên có hai điểm Mthoả bài toán (2 nghiệm hình)

Bài 11: Hai người chơi một trị chơi như sau: Họ lần lượt đặt các đồng xu lên mặt

bàn hình chữ nhật, đồng xu được phép đặt vào bất cứ chỗ trống nào Ngừoi nào

đến lượt mình đi mà khơng thể đặt được đồng xu vào đâu thì coi như là bị thua

Chứng minh rằng, nếu biết cách chơi, người đi đầu luơn thắng

Giải:

Người thứ nhất đặt đồng xu vào tâm bàn, sau đĩ các đồng xu tiếp theo đối xứng

với các đồng xu của người thứ hai qua tâm bàn

Với cách chơi như vậy người thứ nhất luơn đặt được đồng xu khi đến lượt mình đi

Bởi vì trị chơi khơng thể kéo dài hơn S/s nước đi, trong đĩ S là diện tích của bạn,

s là diện tích đồng xu nên trị chơi sẽ kết thúc sau một thời gian hữu hạn nào đĩ

với phần thắng thuộc về người chơi thứ nhất

x y

z M

T

H B'

B

A