pt va bat phuong trinh chua can thuc

ph¬ng tr×nh Vµ BÊt ph¬ng tr×nh CHøA C¡N THøC

−−−−−−−

 Kiến thức cơ bản:

● Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng:

 Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản

 Ví dụ: Giải phương trình: 3x29x   1 x 2 0

Giải:

2 2

2

1 3

2 1

2

x

x

x

�

�

� �

�

� �

�

��  

��� Vậy phương trình có nghiệm: 1

2

x 

 Bài tập: Giải các phương trình sau:

 6 4 x x 2  x 4 0

 2x 6x2  1 x 1

( ) ( )

f x

�

=

� (hoặc ( ) 0g x � )

▪

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

�

�

▪

[ ]2

( ) 0

( ) ( )

f x

�

�

< ۳ ��

� <

�

▪

2

( ) 0

( ) ( ) 0

( ) ( )

( ) 0

( )

g x

I

f x

g x

II

�� <

�

�

> � ��� �

��

>

�

nghiệm của BPT đã cho là hợp của nghiệm hệ (I) với

hệ (II)

 4 3 10 3  x x 2

 x x(  1) x x( 2) 2 x2

 Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức

 Ví dụ: Giải phương trình: 2x 9 4 x 3x1

Giải:

2x 9 4 x 3x (1)1

Điều kiện:

1

3

x

x

�

�  �

�

(1)

2

(3 1)(4 ) 2

�

�

�

�

0 11 3

x x

�

�

�

� 

�

(nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 11

0;

3

S � �� �

�

 Bài tập: Giải các phương trình sau:

 x  9 5 2x4  5 1x  3x 2 x 1 0

 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ phương trình đại số:

 Ví dụ: Giải phương trình: (x5)(2 x) 3 x23x

Giải:

2 (x5)(2 x) 3 x 3x(1)

0

x

x

��

�

(1)� (x 3 ) 10 3x   x 3x

Đặt t x23 (x t� Phương trình trở thành: 0) t2 3 10 0t �t t 2( )5( )n l

 � � 

�

4

x

x

�

� (nhận) Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  4;1

 Bài tập: Giải các phương trình sau:

 x 1 4 x (x1)(4x) 5  3x215x2 x25x 1 2

 3(x2) (2 x 1) 2 x33x2  3 8 0  2x 3 x 1 3x2 2x25x 3 16

 x 1 3 x (x1)(3x) 2  2x25x 2 2 2x25x 6 1

 3 x x2 2 x x2 1  x2  x 4 x2  x 1 2x22x9

 Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số: A.B=0 hoặc A.B.C=0

 Ví dụ: Giải phương trình:

2



Giải:

2

x

2

x  � x 2

2

( 1)( 2) (1 ) 3 2 0

1 1

2

x x

x x

�

�

�



�

  

So với điều kiện ban đầu ta được: x=1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 1

 Bài tập: Giải các phương trình sau:

 x2 7 x 2 x   1 x2 8x 7 1

 2x28x 6 x2 1 2(x1)

 Phương pháp 5: Quy phương trình chứa căn thức về hệ phương trình không chứa căn thức

 Ví dụ: Giải phương trình: 3x 2 3x 3 32x 1

Giải:

3x 2 3x 3 32x (1)1

Đặt u3x2;v3x3

3

3 3 3

3 3

3 3

3 3

0 5 0

(1)

5

5

0 5

u v v

uv u v

u v

u v

u v

u v

��

�



�

�

  

�

�� 

�

  

�

Do đó: 03 2 0

2

3 5 5

x x

v

�

3

5

x x

u

�  �   

�

3

�    �   

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 2; 3; 1

2

S��   ��

�

 Bài tập: Giải các phương trình sau:

 3x343x 3 1  3x 1 3x 2 32x3

 2(x2 2) 5 x31  2(x23x 2) 3 x38

 32  x 1 x1  3(2x)23(7x)23(7x)(2x) 3

 x3 35- x x3( +335- x3)=30  x+ 17- x2 +x 17- x2 =9

 Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất của phương trình:

Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f (x) c có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b) Do đó nếu tồn tại x 0 (a,b) sao cho f (x 0 ) c thì x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình

f (x) c

Tính chất 2: Nếu hàm f là hàm tăng trong khỏang (a,b) và hàm g là hàm giảm trong khoảng (a,b) thì phương trình

f (x) g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a,b) Do đó nếu tồn tại x 0 (a,b) sao cho f (x 0 ) g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình

 Ví dụ: Giải phương trình: x5+ -x3 1 3- x+ =4 0

Giải:

Điều kiện: x�13 Đặt f x  x5 x3  1 3  x  4 0

Ta có:   5 4 3 2 3 0

2 1 3

x

    f (x) đồng biến trên x 13  ,1

Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất x  1.

● Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng:

 Phương pháp 1: Biến đổi về dạng cơ bản:

 Ví dụ 1: Giải bất phương trình: x2- 4x+ < +3 x 1

Giải:

2 2

1

3

x

x

�

�

� Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S � �1;1 [3; )

� �

 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: (x+1)(4- x)> -x 2

Giải:

2

x x

�

�

�

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S= -[ 1;2) (�0;7)

 Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

2

2 2

+ - >

+ - + >

- - >

- Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) và nâng lũy thừa để khử căn thức:

 Ví dụ : Giải bất phương trình: x+ -11 2x- �1 x- 4 (1)

Giải:

Điều kiện:

11 0

x

x

� + �

�

�

� -�۳

�

�

�- �

�

(1) � x+ �11 x- 4+ 2x- 1

12

x

x

-

��-�

�

�� �

�

Kết hợp điều kiện ta được: 5� �x 8 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S=[ ]5;8

 Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

- Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số:

 Ví dụ : Giải bất phương trình: 2 2

2x +4x+3 3 2- x x- >1 (1) Giải:

Điều kiện: 2

3 2- x x- � � - � �0 3 x 1

(1)�3 - x - 2x+ > + -3 1 2( x - 2x+ -3) 6 (2)

Đặt t= - x2- 2x+3 (t�0) Bất phương trình (2) trở thành:

2

t - t- < � - < <t

So sánh điều kiện t�0ta được: 5

0

2

t

2

So với điều kiện ban đầu ta được tập nghiệm của bất phương trình (1) là: S= -[ 3;1]

 Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

2 2

x x

- Phương pháp 4: Biến đổi bất phương trình về dạng tích số hoặc thương:

 Ví dụ : Giải bất phương trình: (x2- 3 ) 2x x2- 3x- 2�0 (1)

Giải:

Điều kiện: 2

1

2

x

x

�

�

�

�

TH1: Với 1

2

x=- hoặc x=2 thì (1) thỏa mãn Suy ra 1

2

x=- ; x=2 là nghiệm của (1)

TH2: Với 1

2

x<- hoặc x>2 thì (1) 2 0

3

x

x

��

�

��

�

So sánh điều kiện ta được: 1

2

x<- hoặc x�3 Vậy nghiệm của bất phương trình là: 1

2

 Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau:

2

2

x