Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn O R; và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP R>.. b Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N.. Chứng minh rằng đường
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ MÔN TOÁN- CẤP THCS
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 3 3 4 5
A
a) Rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A> −2
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình 2 4
, với m là tham số
a) Giải hệ phương trình với m=2
b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất (x y0; 0) với mọi m và biểu
B x= +y − x +y không phụ thuộc vào m.
Câu 3 (1,0 điểm) Cho phương trình x2−2mx m+ 2− + =m 3 0 (1) (x là ẩn, m là tham số) Tìm tất
cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2
1 2 4 1 2
C =x + −x x x
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O R; ), đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O R; ) và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP R> Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O R; ) tại điểm M (M khác A)
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N Chứng minh rằng tứ giác OBNP là hình bình hành
c) Đường thẳng PM và ON cắt nhau tại điểm I , đường thẳng PN và OM cắt nhau tại điểm J
Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m n, ) sao cho 6m+ +2n 2 là một số chính phương
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a b c d, , , là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 1 2
a +b +c +d =
Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh ……… Số báo danh ………
Trang 2SỞ GDĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án gồm 04 trang)
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN
NĂM HỌC 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN : CẤP THCS
Câu 1 (2,0 điểm) Xét biểu thức : 2 3 3 4 5
A
ĐK:
0
x
≥
0,25
Đặt x a= ta có :
2 2
A
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
=
0,25
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )
2 5
x A
x
+
= −
A
12 0 12
5 5
a a
a a
>
−
Với a>12⇔ x >12⇔ >x 144 Vậy giá trị cần tìm là 0≤ <x 25 hoặc x>144 0,25
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình 2 4
, với m là tham số
Với m=2 hệ trở thành 2 6
x y
+ =
( )
x y
− + =
8
5
x
y
y
=
=
0,25
Trang 3Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ( ; ) 8 19;
5 5
2b) Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất (x y0; 0) với mọi
mvà biểu thức 2 2 ( )
Từ PT thứ hai của hệ ta có y=3m+ −1 mx, thế vào PT thứ nhất ta được:
(m2+1)x=3m2−3m+2 *( ) 0,25
Do m2 + ≠1 0 với mọi m nên (*) có nghiệm duy nhất 3 2 23 2
1
x
m
=
+
Khi đó 2
2
1
y
m
+ +
=
+ Vậy với mọi m hệ luôn có nghiệm
( 0 0) 3 2 23 2 4 22 1
x y
0,25
Từ hệ ta có ( ) (2 ) (2 ) (2 )2 ( 2 ) ( 2 2) 2
x my− + mx y+ = − m + m+ ⇔ m + x +y = m − m+
2
2 2
2
1
x y
m
+
0,25
Mặt khác
2
1
x y
m
+ Suy ra
B
Câu 3 (1,0 điểm) Cho phương trình: x2−2mx m+ 2− + =m 3 0 1( ), ( x là ẩn, m là tham số ).
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( )1 có nghiệm Giả sử x x là hai nghiệm của phương1 2,
trình Tìm các giá trị của m để biểu thức C=x12+x22−4x x1 2 đạt giá trị lớn nhất
Phương trình ( )1 có nghiệm khi và chỉ khi ∆ = − ≥ ⇔ ≥′ m 3 0 m 3 0,25 Theo định lý Viét ta có x1+x2 =2 ; m x x1 2=m2− +m 3 0,25
( )
2
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O R , đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn ; ) (O R và; )
lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP R> Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn
(O R tại điểm M ( M khác A ).; )
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N Chứng minh rằng tứ
giác OBNP là hình bình hành
c) Đường thẳng PM và ON tại điểm I , đường thẳng PN và OM cắt nhau tại điểm J Chứng minh
rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP
Trang 44a) Chứng minh rằng tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp. 1,0
Suy ra ·PAO PMO+· =180 0 Do đó tứ giác APMO nội tiếp 0,5
Ta có · 1·
2
ABM = AOM Mà OP là phân giác của góc · 1·
2
Ta có hai tam giác AOP, OBN bằng nhau (gcg) Suy ra OP = BN (2) 0,25
4c)… Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của OP 1,0
Gọi K là giao điểm của OP và AN Do PN AO , suy ra AONP là hình chữ nhật, suy ra K là trung||
Do PM ⊥OJ và ON ⊥PJ nên I là trực tâm tam giác OPJ Suy ra IJ ⊥OP (3) 0,25
Ta có ·APO POI=· (sole) và ·APO OPI=· , suy ra ·OPI =·POI Do đó tam giác IPO cân tại I. 0,25
Mà K là trung điểm của OP nên IK ⊥OP (4) Từ (3) và (4) suy ra , ,I J K thẳng hàng. 0,25
Câu 5 (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m n sao cho 6, ) m+2n+2 là một số chính phương
6m+2n+ =2 2 3m×2m− +2n− +1 là một số chính phương thì 3m×2m−1+2n−1+1 phải là
một số chẵn Vậy trong hai số 3m×2m−1 và 2n−1 có một số chẵn và một số lẻ.
0,25
TH1: Nếu 3m×2m−1 là số lẻ thì m=1, khi đó 6m +2n+ = +2 8 2 n
Ta thấy ngay n=1,n=2 không thỏa mãn và n=3 thỏa mãn
Xét n≥4, ta có 8 2+ n =4 2( n−2+ ⇒2) 2n−2+2 là số chính phương
Một số chính phương khi chia cho 4 có số dư là 0 hoặc 1 mà 2n−2+2 chia 4 dư 2 nên không là
số chính phương Do đó cặp (m n, ) ( )= 1;3 là một nghiệm của bài toán
0,25
Trang 5TH2: Nếu 2n−1 là số lẻ thì n=1, khi đó 6m+2n+ =2 6m+4. Ta có
( )
7k ≡0 mod 7 , 7k±1 ≡1 mod 7 , 7k±2 ≡4 mod 7 , 7k±3 ≡2 mod 7 ,
Do đó 6m +2n+2 không thể là số chính phương Vậy (m n, ) ( )= 1;3 là đáp số duy nhất cần tìm 0,25
Câu 5 (1,0 điểm) Cho , , , a b c d là các số thực dương thỏa mãn : 1 1 1 1 2
a +b +c +d =
Chứng minh rằng :
Ta có
2 2
2
1
2
a
a a
a a
a
+ − + − =
2
2
Suy ra 2 1 1 ( 1)2
a a
a
a
− + − ≥
+
0,25
a
−
a
a
2 cyc a
( )
a
a
a
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta được 1( 1)
a
a
+ , suy ra
( )
1
a
a
+
2
cyc
a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = = =b c d 1
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
- Hướng dẫn chấm (HDC) chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Bài hình học nếu không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/